Análisis Insumo-Producto: Matemática I

MATEMÁTICA I
ANÁLISIS INSUMO- PRODUCTO
La principal característica de este modelo es que incorpora las interacciones entre diferentes
industrias o sectores que integran la economía. El objetivo del modelo es permitir a los
economistas predecir los niveles de producción futuros de cada industria, con el propósito de
satisfacer demandas futuras para diversos productos. Tal predicción se complica por las
interacciones entre las diferentes industrias, a causa de las cuales un cambio en la demanda de un
producto de una industria puede modificar los niveles de producción de otras industrias.
Por ejemplo, un incremento en la demanda de automóviles no sólo conducirá a un aumento en los
niveles de producción de los fabricantes de automóviles, sino también en los niveles de una
variedad de otras industrias en la economía, tales como la industria del acero, la industria de los
neumáticos, etc.
Con el objetivo de describir el modelo en los términos más simples, consideremos una economía
que conste sólo de dos industrias, P y Q. Para clarificar nuestras ideas, suponga que las
interacciones entre estas dos industrias son las dadas en la tabla l. Las primeras dos columnas de
esta tabla contienen los insumos de las dos industrias, medidos en unidades adecuadas. (Por
ejemplo, las unidades podrían ser millones de dólares al año). De la primera columna, advertimos
que en su producción anual, la industria P usa 60 unidades de su propio producto y 100 unidades
del producto de la industria Q. De manera similar, Q emplea 64 unidades del producto de P y 48
unidades de su propio producto. Además, en el último renglón observamos que P usa 40 unidades
de insumos primarios, los cuales incluyen insumos tales como mano de obra, suelos o materias
primas; mientras que Q utiliza 48 unidades de insumos primarios.
TABLA 1:
PRODUCCIÓN DE
LA INDUSTRIA P
PRODUCCIÓN DE
LA INDUSTRIA Q
INSUMOS
PRIMARIOS
INSUMOS
TOTALES
INSUMOS DE LA
INDUSTRIA P
60
INSUMOS DE LA
INDUSTRIA Q
64
DEMANDAS
FINALES
76
PRODUCCIÓN
TOTAL
200
100
48
12
160
40
48
200
160
Totalizando las columnas, advertimos que los insumos totales son de 200 unidades en el caso de P
y de 160 unidades para Q. En el modelo se supone que todo lo que se produce se consume, o en
otras palabras, la producción de cada industria debe ser igual a la suma de todos los insumos
(medidos en las mismas unidades).
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Así, la producción total de P debe ser de 200 unidades y de 160 unidades en el caso de Q.
Consideremos ahora los dos primeros renglones de la tabla 1, en los cuales se advierte cómo se
utilizan los productos de cada industria. De las 200 unidades producidas por P, 60 son utilizadas
por ella misma y 64 por Q. Esto deja 76 unidades disponibles para satisfacer la demanda final; esto
es, los bienes que no utilizan internamente las propias industrias productoras. Estos podrían
consistir en esencia de bienes producidos para consumo doméstico, consumo del gobierno o
exportación.
De manera similar, de las 160 unidades producidas por Q, 100 las utiliza P, 48 no salen de Q y 12
unidades se destinan a satisfacer la demanda final.
Suponga que la investigación de mercado predice que en 5 años, la demanda final para P
decrecerá de 76 a 70 unidades; mientras que en el caso de Q, se incrementará de 12 a 60
unidades. La pregunta que surge se refiere a qué tanto debería cada industria ajustar su nivel de
producción para satisfacer estas demandas finales proyectadas.
Es claro que las dos industrias no operan independientemente una de otra (por ejemplo, la
producción total de P depende de la demanda final del producto de Q y viceversa). Por tanto, la
producción de una industria está ligada a la producción de la otra industria (u otras industrias).
Supongamos que con el propósito de satisfacer las demandas finales proyectadas en 5 años, P
debe producir unidades y Q debe producir unidades.
En la tabla 1 advertimos que con el objetivo de producir 200 unidades, la industria P emplea 60
unidades de su propio producto y 100 unidades del producto de Q. Así, la elaboración por parte de
la industria P de
unidades requiere la utilización de
unidades de su propio producto y
unidades del producto de Q. En forma análoga, para producir
unidades, la industria Q
debería usar
unidades del producto de P y
que tenemos la siguiente ecuación:
Producción
total de la
industria P
=
Unidades
consumidas por P
+
unidades de su propio producto. Por lo
Unidades
consumidas por Q
Es decir:
Dado que la nueva demanda final es de 70 unidades.
+
Demanda final
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De manera similar, de
unidades producidas por la industria Q,
unidades las utiliza P y
las emplea Q misma. Así:
Producción
total de la
Esto es:
industria Q
=
Unidades
Unidades
+
+
consumidas por Q
consumidas por P
Demanda final
Estas dos ecuaciones pueden escribirse en forma matricial como:
[
]
[
][
]
[
]
[
]
En consecuencia:
En donde:
[
]
[
] y
Llamaremos a X la matriz de producción, a D la matriz de demanda y a A la matriz insumoproducto. Los elementos de la matriz A se denominan coeficientes de insumo-producto.
Consideremos la interpretación de los elementos de la matriz insumo-producto.
Como de costumbre, denotaremos por
a un elemento arbitrario de A. Nótese que de las 200
unidades de los insumos totales de la industria P, 60 constan de unidades de su propio producto y
100 corresponden a unidades del producto de Q. Por ello, los elementos
y
de la primera
columna de la matriz insumo-producto representan la proporción de los insumos de P que
provienen de las industrias P y Q, respectivamente. En general,
representa la parte fraccionaria
de los insumos de la industria j que son producidos por la industria i.
Cada elemento de la matriz de insumo-producto está entre 0 y 1, y la suma de los elementos de
cualquier columna nunca es mayor que 1. Observemos que la matriz insumo-producto
[
]
[
]
del ejemplo anterior puede obtenerse directamente de la tabla 1 dividiendo cada número en el
rectángulo interior de la tabla entre la producción total de la industria que encabeza la columna.
Por ejemplo, en la primera columna, encabezada por P, dividimos cada elemento entre 200, que
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es la producción total de la industria P. Así, obtenemos
y
como los elementos de la primera
columna de la matriz insumo-producto.
La ecuación (1),
,se conoce como ecuación insumo-producto.
Para encontrar la matriz de producción X que cumplirá con las demandas finales proyectadas,
debemos resolver la ecuación (1) para X. Tenemos:
Podemos escribir esto como:
Tenemos un sistema de ecuaciones lineales cuya matriz de coeficientes es
.
Podemos resolver este sistema por medio de la reducción por renglones o de forma alterna
utilizando la inversa de la matriz de coeficientes. Suponga que
existe:
Por tanto, observamos que la matriz de producción X queda determinada una vez que se
encuentra la inversa de la matriz
.
En nuestro ejemplo, tenemos:
[
]
[
]
[
[
]
]
En consecuencia:
[
][
]
[
]
[
]
Concluyendo, la industria P debe producir 251.7 unidades y Q debería producir 265.5 unidades con
el objetivo de satisfacer las demandas finales proyectadas en 5 años.
Puede suceder que un economista no tenga seguridad acerca de sus pronósticos de las demandas
futuras finales. Así él o ella podría desear calcular la matriz de producción X para diferentes
matrices de demanda D. En tal caso, es mucho más conveniente utilizar la fórmula
, que incluye la matriz inversa, que utilizar la reducción por renglón para obtener
X para cada D diferente.