Ensayo-EI-III- 1.1-1

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DE LA DEFENSA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA
DE LA FUERZA ARMADA NACIONAL
NÚCLEO BARINAS
UNEFA
Estadística III – Licenciatura en Economía Social . Semana 01 – 15/03/10 al
19/03/2010- Lcdo. Eliezer Montoya
Contenido de la Unidad I 1.1 Población y muestra. Muestra aleatoria. Media
muestral. Varianza muestral. Cuasi varianza muestral. Proporción muestral.
Distribución de probabilidad de estadísticos muéstrales.
El muestreo estadístico es la herramienta que la Matemática utiliza para el
estudio de las características de una población a través de una determinada
parte de la misma.
Problemas para desarrollar en clases
1.- Mercantil Banco Universal analiza el número de veces que se utiliza por día su cajero
automático ubicado en los tres principales Centros Comerciales de Caracas (Sambil,
Recreo, Tolon). A continuación se indican el número de operaciones realizadas en estos
cajeros durante los 10 últimos días del mes de noviembre de 2008.
Día
Sambil
Recreo
Tolón
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
95
68
84
76
87
84
75
79
84
78
63
79
85
73
68
53
65
54
53
77
95
36
78
61
59
84
95
87
47
60
Determine:
a) En promedio cuantas veces fue utilizado el cajero en el Centro Comercial Recreo y
cual fue la variabilidad (varianza) de este promedio.
Resp. x = 67 , S2 =131,78
b) ¿Cual es el número promedio de operaciones realizadas en los cajeros de estos tres
Centros Comerciales y cual es la desviación típica o estándar?
Resp x = 72.73 , S2 = 225,8574 => S = 15,0286.
2. A continuación se muestran los puntos logrados en los últimos 40 partidos de
baloncesto, por el equipo de la escuela Moral y Luces.
91 51 79
53 82 51 76 82 84 53
86 51 85 45 88 51 80 49 82 75
73 67 68 86 72 75 75 66 84 70
79 60 86 71 67 81 76 83 76 50
a) Construir 2 muestras de tamaño 10 tomados al azar, halla la media muestral y la
desviación típica d de dichas muestras.
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1
b) Encuentra la Amplitud de clases – a través de Sturges y elabora una tabla de
distribución de frecuencias para datos agrupados en clases, determina la desviación
típica de dicha distribución
3. A continuación se muestran los tiempos medios de respuestas (en segundos) de 50
personas ante condiciones inesperadas de manejo.
4.4
3.2
5.0
3.5
4.1
4.4
3.6
6.5
5.3
4.4
3.1
5.3
3.8
4.3
3.3
5.0
4.9
4.8
3.1
5.3
3.0
3.0
4.6
5.8
4.6
4.0
3.7
5.2
3.7
3.8
5.3
5.5
4.8
6.4
4.9
6.5
3.5
4.5
4.9
5.3
3.6
2.7
4.0
5.0
2.6
4.2
4.4
5.6
4.7
4.3
a) Construir 25 muestras de dos tomando sin repetición los datos de izquierda a
derecha y de arriba hacia abajo.
b) Cual es la media de cada una de las 25 muestras?
c) Cual es la media y la desviación estándar o típica de las 25 muestras?
Resp. x = 4.428 y s =0.714
4. Para una distribución normal determinar el porcentaje de la población
estimada entre:
a) Z =0 y Z=1,83
b) Z=0 y Z= -0.56
c) Z=1 y Z= -1
d) Z= 2 y Z = -2
e) Z= 3 y Z = -3
f) Z = 1.12 y Z = 2.44
g) Z=-0.82 y Z = -2.41
h) Z= -0.73 y Z = 1.98
Use la tabla de Distribución Normal Estandarizada
5. En una Distribución Normal o de Gauss; calcula la probabilidad de obtener
un Z estimado:
a) menor que 1.9
d) menor que 0.33
g) entre 1.75 y -0.88
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b) mayor que -1.57
e) entre 1.29 y -1.06
h) menor que -1.6 y
mayor que 0.81
c) menor que 2.41
f) entre -2.03 y -1.06
i) menor que -1.6 y
mayor que 0.81
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Estadística III Carrera: Licenciatura en Economía Social . Semana 03 09/04/2010- Lcdo Eliezer Montoya
Contenido de la Unidad I 1.2 Distribución Normal o de Gauss
x−x
N ( µ , σ ) .Distribución Normal o de Gauss estandarizada N ( 0,1) ; Z =
s
Problemas propuestos.
1.-Una prueba del índice de inteligencia (Coeficiente Intelectual) fue dada a todos los
miembros de las fuerzas armadas. Los resultados están distribuidos normalmente con un
media de 110 y un desviación estándar de 15.
a) Que porcentaje está por encima del 125
b) Que porcentaje está por debajo de 80
c) Si 75000 personas tomaron la prueba, ¿cuántos obtuvieron más arriba de 140?
d) ¿Cuántos obtuvieron entre 110 y 125?
Sol. a) 16% b) 2% c) 1500 d) 34%
2.-Un productor de una granja de pavos ha determinado que las masas de sus pavos se
distribuye normalmente con una media de 5 Kg. y el desviación estándar de 0,2 Kg. Una
cadena de supermercados compró 10 000 pavos:
a) ¿Cuántos tendrán masas mayores de 4.8 kilogramos?
b) ¿Cuántos tendrán masas entre 4.6 y 5.2 Kg.?
Sol. a) 8400 b) 8200
3.-Para decidir de si instalar o no un semáforo en una intersección fueron registradas las
velocidades de los vehículos usando un velocímetro por el período de un mes. Los
resultados fueron distribuidos normalmente con una media de 47 km/h y un desviación
estándar de 3 km/h.
a) ¿Qué porcentaje de vehículos tenía velocidades menores de 44 km/h?
b) ¿Si el límite de velocidad es 50km/h, qué porcentaje de vehículos apresuraba?
c) ¿Si 12000 vehículos utilizan la intersección cada día, cuántos se están apresurando?
Sol. a) 16% b) 16% c) 1920
4.-La vida útil del las tostadoras se distribuyen normalmente con una media de 7
años y una distribución estándar de 1 año. Durante un año una compañía vendió
3000 tostadoras.
a) ¿Cuántas tostadoras deben durar más de 8 a?
b) Si el fabricante sustituye las tostadoras que dura menos de 5 años. ¿Cuántas
serán sustituidas?
Sol. a) 480 b) 60
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5.- Para una distrubición normal, µ = 30 y σ = 5, cuál es la probabilidad de obtener un
valor:
a) mayor que 35
b) menor que 28
c) entre 31 y 37
d) entre 19 y 29
e) entre 26 y 41
Sol. a) 0.1587 b) 0.3446 c) 0.3399 d) 0.4068 e) 0.7742
6.-Un supermercado ha determinado que el tiempo de espera promedio en un cajero
express es de 200 seg. con una desviación estándar del 40seg. ¿Si se asume sigue una
distribución normal, cuál es la probabilidad que usted esperará más de de 3 minutos?
Sol .0.6915
7.-El promedio de vida útil de cierto motor de un coche es 110.000 km con una
desviación estándar de 12.000 km. Si se asume que sigue una distribución normal, cuál
es la probabilidad ese motor dure:
(a) más de 120000 kilómetros.
(b) entre 95000 kilómetros y 115000 kilómetros.
Sol. a) 0.2033 b) 0.5572
8.-La vida promedio de cierta marca de un tubo al vacío de un TV es 9000 horas con
una desviación estándar de 600 horas. Si se asume que sigue una distribución normal,
cuál es la probabilidad cierto tubo dure:
(a) menos de 8000 h.
(b) más de 9500 h
Sol. a) 0.0475 b) 0.2033
9.-La vida de un mezclador se distribuye normalmente con una media de 7 años y una
desviación estándar de 1.5 años. Cuál es la probabilidad que un mezclador: (a) supere los
de 8 años (b) por debajo de de 5 años
Sol. a) 0.2514 b) 0.0918
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Área: Estadística III Carrera: Lic. Economía Social. Semana 5 - Lcdo. Eliezer
Montoya
Contenido de la Unidad I 1.3 Estimación del intervalo de confianza de una
distribución muestral de la media desconocida.
Para grandes muestras:
Z=
x−µ
σ
n
=
x−µ
σx
⇒ µ = x ± Z cσ x
donde el factor de
corrección del error estándar σ x puede ser modificado si las poblaciones son finitas de
 σ  N −n

 n  N −1
tamaño n ≥ 0.05 N , entonces σ x = 
1) Se extrae una muestra aleatoria de 144 con una media de 100 y una desviación
estándar de 70 a partir de una población de 1000 elementos. Calcular el intervalo
de confianza al 95% de la media desconocida de la población.
2) Un fabricante de papel para impresoras tiene un proceso de producción que
opera en forma continua durante todo el turno de producción. Se espera que el
papel tenga una longitud de 11 pulgadas y se sabe que la desviación estándar
es 0.02 pulgadas. De manera periódica se selecciona unan muestras para
determinar si la longitud promedio de la hoja es todavía 11pulgadas o si algo
va mal en el proceso de producción y cambió. Si ocurre esto necesita una acción
correctiva. Suponga que elige una muestra aleatoria de 100 hojas y que la
longitud promedio es 10,998pulgadas. Establezca una estimación de un
intervalo de confianza de 95% de confianza de la longitud promedio del papel
3) Calcule el valor Z de las siguientes áreas comprendidas entre la media y el
valor de z bajo la curva normal (a) Z = 40% , (b) Z = 47.5% (c) = 49,5
4) Estimar el intervalo de confianza al 99% de la longitud promedio del papel en el
problema 2.
5) Si x =85, σ = 8 n = 64, establezca un estimador del intervalo de confianza de
95% para la media poblacional µ .
6) Si x =125 , σ = 24 n = 36, establezca un estimador del intervalo de confianza
de 99% para la media poblacional µ
Para pequeñas muestras (n<30) El estadístico de prueba viene dado por la t de student
t=
x−µ
s
⇒ µ = x ± tα / 2 , n −1
= x ± t cσ x
s
n
n
(v)Grados de libertad v = n-1
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Estadística III
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1. Un fabricante de pastas instantáneas desea determinar el tiempo de cocido en
promedio de una nueva combinación de trigos. Se realizaron 20 pruebas
colocando en el micro ondas el empaque estándar para este tipo de producto,
consiguiendo los siguientes resultados; tiempo de cocción 2,21 minutos con una
desviación típica o estándar de 0,31 minutos. ¿Cuál es el intervalo de confianza
del 95% para la media verdadera µ ?
Solución:
Tenemos la siguiente información,
x = 2,21
α = 0,05:
s = 0,31
Usando la tabla de distribucion t encontramos que t 0,025;19 = 2,093,
 s 
 s 
x − tα /2,n-1 
 < µ < x + tα /2,n-1 

 n
 n
 0,31 
 0,31 
donde: 2,21- 2,093. 
 < µ < 2,21+ 2,093. 

 20 
 20 
Esto es,
luego el intervalo de confianza es
2,07 < µ < 2,36
2.
Un fabricante de pinturas desea determinar el tiempo de secado en promedio
de una pintura para interiores. Si en áreas de prueba de igual tamaño él obtuvo
un tiempo de secado medio de 66,3 minutos y una desviación estándar de 8,4
minutos. Construya
un intervalo de confianza del 95% para la media
verdadera µ .
3. Calcule el valor de t con 29 grados de libertad de las siguientes áreas bajo el
extremos (derecho) de la distribución t (a) 10% (b) 5% (c) 2.5% (d) 0.05% ( e )
En que se parecen estos valores de t con los correspondiente valores de Z
hallados en el problema 3 de la sección anterior.
4. Se extrae una muestra aleatoria de n = 16, con media muestral de 50 y
desviación típica muestral de 10 de una población muy grande con distribución
normal.Calcule el intervalo de confianza al 95% de de la media desconocida
de la población.
5. Si x =85 , S= 15 n = 36, establezca un estimador del intervalo de confianza de
95% para la media poblacional µ
_________________________ _________________ _________________
Los coeficientes de σ x que delimitan los niveles de confianza, se llaman
coeficientes de confianzas entre los cuales se usan más comúnmente los
siguientes:
Niveles
de
confianza (%)
Coeficiente de
confianzas , ZC
99,74
99
98
96
95,45
95
90
80
68.27
50
3
2.58
2,33
2,05
2
1.96
1.645
1.28
1
0.6745
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