II. Dinámica Relativista LICENCIATURA EN TECNOLOGÍA FÍSICA MODERNA II. DINÁMICA RELATIVISTA a) Velocidades Relativistas. b) Dinámica Relativista. c) Aceleración bajo una fuerza constante. d) Invariantes Relativistas. e) Transformación de campos electromagnéticos. M. en C. Angel Figueroa Soto. Centro de Geociencias, UNAM angfsoto@geociencias.unam.mx http://www.geociencias.unam.mx/~angfsoto/ II. Dinámica Relativista Objetivo: comportamiento de la naturaleza dado los postulados : 1.- Como suceden los fenómenos vistos desde diferentes marcos de referencia. 2.- Principio de Causalidad. 3.- Interacción de cuerpos entre sí Newton, Lagrange, Hamilton, Poincaré, Einstein II. Dinámica Relativista Velocidades Relativistas. Cantidad de Movimiento. Masa y Energía v t S mv m0 v 2 v 1 c2 S’ dP d ( mv ) F dt dt II. Dinámica Relativista Velocidades Relativistas. Cantidad de Movimiento. Masa y Energía s v t S Ec s 0 S’ S’ s d ( mv ) s ds s F ds ds d ( mv ) d (mv)v 0 0 dt dt 0 mv v 0 0 Ec d ( mv )v d ( m0 v 1 v2 c2 )v II. Dinámica Relativista Velocidades Relativistas. Cantidad de Movimiento. Masa y Energía s v t S Ec Ec ET m0 c 2 m0 c 2 1 v2 c2 S’ S’ mo c 2 mc 2 m0 c 2 ET Ec m0 c 2 II. Dinámica Relativista Velocidades Relativistas. Cantidad de Movimiento. Masa y Energía s S v t 2 v Para bajas velocidades: 1 2 c S’ 1 v2 1 2 2 2 c2 1 v c 1 1 Ec mo c m0 v 2 2 2 S’ ¿? II. Dinámica Relativista Velocidades Relativistas. x’ v t S x' x vt v2 1 2 c Obtener S’ t’ vx’ v t 2 x c t' v2 1 2 c dx ' ? dt ' ? y y' z z' II. Dinámica Relativista Velocidades Relativistas. x’ S x' dx ' x vt v2 1 2 c dx vdt 1 v2 c2 v t t’ S’ vx’ v t 2 x c t' v2 1 2 c v dx 2 c dt ' 1 v2 c2 dt y y' z z' Velocidad medida desde el sistema de referencia S’: dx ' v dt ' ' x II. Dinámica Relativista Velocidades Relativistas. x’ v t S S’ t’ vx’ Obtener las velocidades medida desde el sistema de referencia S’: dx ' v dt ' ' x dy ' v dt ' ' y dz ' v dt ' ' z II. Dinámica Relativista Velocidades Relativistas. x’ S v t S’ t’ vx’ Obtener las velocidades medida desde el sistema de referencia S’: vx v v v 1 2 vx c ' x v2 vy 1 2 c v 'y v 1 vx c v2 vz 1 2 c vz' v 1 vx c II. Dinámica Relativista Velocidades Relativistas. Transformaciones Inversas x S v t S’ t vx Velocidades desde el sistema S: x x ' vt ' v2 1 2 c dx ? v t ' 2 x ' c t v2 1 2 c dt ? y y' z z' Velocidad medida desde el sistema de referencia S: dx dy vx vy dt dt dz vz dt II. Dinámica Relativista Análisis Vectorial y Matricial Que es un Escalar, Vector, Matriz. Sistema de Coordenadas. Suma, Resta, Productos Escalar y Vectorial de Vectores. Suma, Resta, Multiplicación de Matrices. Orden y Rango de matrices. II. Dinámica Relativista Análisis Tensorial Los tensores son importantes en muchas áreas de la física, como relatividad general y electrodinámica. Los escalares y los vectores son un caso especial de los tensores. Un escalar está especificado por un número real y es un tensor de rango 0. En el espacio de tres dimensiones, un vector es especificado por 3=31 números reales, y es un tensor de rango 1. Un tensor de rango n tiene 3n componentes. Describir el mundo físico por medio de las matemáticas, pero una predicción física debe de ser independiente de la convección matemática, tal como el sistema coordenado con su origen arbitrario o la orientación de sus ejes. II. Dinámica Relativista Análisis Tensorial Tensor de Rango 1 a11 Ai' aij A j aij A j a21 j a 31 a12 a22 a32 a13 A1 a23 A2 a33 A3 Tensor de Rango 2 A11 21 kl A A A31 A12 22 A A32 A13 23 A A33 Aij' akl blj Ckl i II. Dinámica Relativista Análisis Tensorial En general, los tensores son sistemas de componentes organizados por uno o más índices que transforman, de acuerdo a reglas específicas bajo un conjunto de transformación. ˆ ˆ 1 x 2 y 3 zˆ x x x ' x j j 'i 'i x j x x El número de índices es llamado el rango del tensor. En Cuatro dimensiones, las transformaciones son las transformaciones de Lorentz, y los tensores de rango 1 son llamados cuadri vectores II. Dinámica Relativista Análisis Tensorial Convenio de suma de Einstein Amn Anm Tensor Simétrico. Amn Anm Tensor Anti simétrico. ij Delta de Kronecker Símbolo de Levi-Civita Tensor de Rango 3 ijk 1 0 ijk pqk ip jq iq jp 1 0 1 ijk jki kij ijk ikj jik kji II. Dinámica Relativista Análisis Tensorial Producto Escalar A B C ci ai bi Producto Vectorial. A B C ci ijk a j bk Rotacional y Divergencia A ( A)i ijk j Ak A ( A)i i Ai II. Dinámica Relativista Análisis Tensorial A (B C) ai ( klm bl cm )i ai ilm bl cm ilm ai bl cm lmi ai bl cm bl lmi cm ai mil ai bl cm cm mil ai bl B (C A) C ( A B) iml ai bl cm ai iml cm bl A (C B ) mli ai bl cm cm mli bl ai C ( B A) II. Dinámica Relativista Análisis Tensorial D A (B C) d i ijk a j ( B C ) k ijk a j ( lmn bm cn ) k d i ijk a j kmn bm cn d i ijk kmn a j bm cn ijk mnk a j bm cn d i ( im jn in jm )a j bm cn d i im jn a j bm cn in jm a j bm cn d i ii jj a j bi c j ii jj a j b j ci d i bi a j c j ci a j b j D B( A C ) C ( A B) II. Dinámica Relativista Análisis Tensorial ( A B ) (C D) ( A B )i (C D )i ( ijk a j bk )( ipq c p d q ) ijk a j bk ipq c p d q jki pqi a j bk c p d q jki pqi a j bk c p d q ( jp kq jq kp )a j bk c p d q jp kq a j bk c p d q jq kp a j bk c p d q jj kk a j bk c j d k jj kk a j bk ck d j a j bk c j d k a j bk ck d j a j c j bk d k a j d j bk ck ( A C )( B D ) ( A D )( B C ) II. Dinámica Relativista Análisis Tensorial ( A B) ( A B) ( A) ( A) II. Dinámica Relativista Transformación de Campos Electromagnéticos Ecuaciones de Maxwell E E (r , t ) B B(r , t ) (r , t ) J J (r , t ) E B 0 E t B B t E J Ley de Gauss campo Eléctrico Ley de Gauss campo Magnético Ley de Faraday Ley de Ampere E x Ex y E y z Ez i Ei B A Bi ( A)i ijk j Ak II. Dinámica Relativista Ecuaciones de Maxwell E E (r , t ) B B(r , t ) (r , t ) J J (r , t ) E B 0 E t B B t E J E t ( A) E t A Ley de Gauss campo Eléctrico Ley de Gauss campo Magnético Ley de Faraday Ley de Ampere ( E t A) 0 E t A Ei i0 t Ai II. Dinámica Relativista Ecuaciones de Maxwell E E (r , t ) B B(r , t ) (r , t ) J J (r , t ) t ( E ) t t E J 0 E B 0 E t B B t E J Ley de Gauss campo Eléctrico Ley de Gauss campo Magnético Ley de Faraday Ley de Ampere ( B ) ( t E ) J 0 t J 0 Ley de Conservación de la carga eléctrica II. Dinámica Relativista Ecuaciones de Maxwell E E (r , t ) B B(r , t ) (r , t ) J J (r , t ) E B 0 E t B B t E J Ley de Gauss campo Eléctrico Ley de Gauss campo Magnético Ley de Faraday Ley de Ampere Definimos los cuadrivectores: Cuadri Velocidad V (Vt , Vx , Vy , Vz ) Vt c 1 v2 c2 , Vi V 1 v 2 c2 , Cuadri Operador: ( t , x , y , z ) ( t , ) 0 t , 1 x , 2 y , 3 z Cuadripotencial: ( , A) 0 1 , 1 Ax , 2 Ay , 3 Az II. Dinámica Relativista Ecuaciones de Maxwell E E (r , t ) B B(r , t ) (r , t ) J J (r , t ) E B 0 E t B B t E J Ley de Gauss campo Eléctrico Ley de Gauss campo Magnético Ley de Faraday Ley de Ampere Definimos la cuadri corriente: j ( , J ) j0 , j1 J x , j2 J y , j3 J z El campo Electromagnético: F , 0,1, 2,3 II. Dinámica Relativista Ecuaciones de Maxwell El campo Electromagnético: F F0i 0i i0 t ( Ai ) i0 t Ai i0 Ei II. Dinámica Relativista 8. Un hombre abandona la tierra en una nave cohete que hace el recorrido de ida y vuelta a una estrella, situada a una distancia de 4 añosluz a la velocidad de 0.9c (OJO: Distancia y velocidad medidas desde la tierra). A su regreso a la tierra ¿cuánto tiempo es más joven que su hermano gemelo que permaneció en ella? (Un año luz es igual a 9.46 x 1015m). t t: t0 1 v 2 t0 1 v 2 d (2)(4)(9.46 1015 ) t 8.8años v 0.9c c2 c 2 Tiempo desde el sistema S t t0 : Tiempo desde el sistema S’ t0 3.8años t t0 5años