4 ACELERACION

Análisis de aceleraciones.
MECANISMOS
TEMA: ANALISIS DE ACELERACIONES.
1- INTRODUCCION.
2- ANALISIS GRAFICO DE ACELERACIONES.
2.1- Polígono de aceleraciones: método de las aceleraciones relativas.
2.1.1- Aplicación a mecanismos articulados.
2.1.2- Aplicación a mecanismos con órganos deslizantes.
3- ANALISIS NUMERICO DE ACELERACIONES.
3.1- Introducción.
3.1.1- Mecanismo de tres eslabones.
3.1.2- Mecanismo de biela-manivela.
3.2- Planteamiento general.
3.3- Aceleración de puntos del mecanismo.
3.3.1- Aceleración de puntos de definición del mecanismo: pares.
3.3.2- Aceleración de puntos asociados a un eslabón.
Análisis de aceleraciones. Pag-1
MECANISMOS
Análisis de aceleraciones.
1-INTRODUCCION.
Una vez realizado el estudio de posición y velocidad en mecanismos planos con un grado de
libertad, se realizará, en el presente tema, el análisis de aceleraciones para el tipo de mecanismos
mencionado.
Al igual que en los temas anteriores, antes de realizar cualquier tipo de análisis se supuso
conocido el valor de la variable primaria o posición del eslabón de entrada o eslabón motor, así como
su variación respecto al tiempo, se supondrá en este tema que la aceleración del eslabón de entrada es
también conocida y, por lo tanto, un dato de partida.
Por otra parte, tal y como se ha venido realizando en los temas anteriores, se abordará el estudio
de aceleraciones en los mecanismos mediante herramientas gráficas por una parte, y basadas en el
cálculo numérico por otra.
Todas las consideraciones hechas hasta el momento sobre la conveniencia, o no, de la
utilización de uno u otro método siguen siendo completamente válidas en el tema que a continuación
se va a desarrollar.
Análisis de aceleraciones. Pag-2
Análisis de aceleraciones.
MECANISMOS
2-ANALISIS GRAFICO DE ACELERACIONES.
Como se comentó en el tema anterior, los métodos gráficos empleados en el análisis cinemático
de mecanismos están fundamentados en las relaciones geométricas existentes entre las diferentes
magnitudes mecánicas. Por este motivo, y aún a riesgo de parecer redundante, se vuelve a insistir en la
necesidad de que el alumno haya asumido debidamente los conceptos básicos de la cinemática para,
así, poder hacer un uso coherente en su aplicación al estudio de mecanismos.
Hecho este pequeño inciso, se desarrollarán a continuación las bases necesarias para proceder al
estudio de aceleraciones en mecanismos mediante la aplicación de métodos gráficos.
2.1-Polígono de aceleraciones: método de las aceleraciones relativas.
El método gráfico de las aceleraciones relativas, guarda una gran similitud con el de las
velocidades relativas, pues en los dos se trata de realizar gráficamente una suma vectorial.
En la figura 1 se muestra un eslabón genérico sobre el que, se supone, se ha realizado un análisis
de velocidades, siendo por tanto conocidas las velocidades de los puntos A y B y la velocidad relativa
r
v BA , con lo que la velocidad angular del eslabón quedará determinada por:
ω=
n
aBA
ω
A
B
v BA
AB
O
aA
t
n
aBA
aBA
α
aB
aA
a
t
aBA a
BA
b
Fig-1. Polígono de aceleraciones de un eslabón genérico.
Análisis de aceleraciones. Pag-3
Análisis de aceleraciones.
MECANISMOS
Por otra parte, se conoce la aceleración angular del eslabón, α, así como la aceleración del punto
A. Para calcular la aceleración del punto B por medio del método de las aceleraciones relativas, se
planteará la igualdad vectorial:
r
r
r
a B = a A + a BA
y, puesto que la aceleración relativa puede ser a su vez descompuesta en las componentes tangencial y
normal:
r
rn rt
a BA = a BA
+ a BA
Donde:
rn
a BA
= ω 2 ⋅ AB siendo su dirección la de la recta AB y su sentido de B a A.
rt
a BA
= α ⋅ AB con dirección perpendicular a la recta AB y su sentido el indicado por la
aceleración angular α.
Luego el problema del cálculo de la aceleración del punto B quedará resuelto según se muestra
en la figura 1.
Más habitual que el caso estudiado suele ser el que a continuación se presenta, en el que no se
conoce la aceleración angular del eslabón, pero sí la dirección de la aceleración del punto B. Para
calcular esta aceleración, así como la aceleración angular del eslabón, se procederá como a
continuación se indica, presentándose el resultado gráfico en la figura 2.
Análisis de aceleraciones. Pag-4
Análisis de aceleraciones.
MECANISMOS
aA
o
a
Direcci¾n de AB
n
aBA
aB
t
a BA
Direcci¾n de la
aceleraci¾n de B
b
Direcci¾n normal a AB
Fig-2. Polígono de aceleraciones del eslabón AB.
Una vez planteada la ecuación de aceleraciones relativas utilizada anteriormente:
r
r
r
a B = a A + a BA
el procedimiento a seguir es el siguiente:
r
a) Se elige un polo de aceleraciones O y se traza a escala el vector a A , obteniéndose el
punto a.
rn
.
b) Se calcula la aceleración a BA
r
r
n
c) Por el extremo de a A se dibuja el vector a BA
.
r
n
d) Por el extremo de a BA
se traza un recta perpendicular a este vector. La dirección de
r
t
esta recta coincidirá con la de la aceleración tangencial relativa a BA
.
e) Por el polo de aceleraciones se dibuja una línea paralela a la dirección, conocida, de la
aceleración del punto B.
f) Al tenerse que cumplir la relación expresada anteriormente de suma de aceleraciones,
el punto donde se cruzan las dos últimas rectas determina el punto b, con lo que queda
r
calculada la magnitud, la dirección y el sentido de la aceleración a B
Por otra parte, si se desea calcular la aceleración angular del eslabón, puesto que:
rt
a BA
= α ⋅ AB
Análisis de aceleraciones. Pag-5
Análisis de aceleraciones.
MECANISMOS
se tiene directamente que:
α=
rt
a BA
AB
2.1.1-Aplicación a mecanismos articulados.
A modo de ejemplo se aplicará el método descrito al mecanismo de cuatro eslabones mostrado
en la figura 3. Como es habitual, antes de comenzar el análisis de aceleraciones se supondrá resuelto el
problema de velocidades; de igual forma, la aceleración angular del eslabón motor (el eslabón 2 en el
caso propuesto) deberá ser conocida.
La aceleración del punto A puede ser de inmediato conocida a través de sus componentes
normal y tangencial:
Por otra parte, como es sabido:
r
a An = ω 22 ⋅ O2 A
r
a At = α 2 ⋅ O2 A
r
rn
rt
a BA = a BA
+ a BA
de donde descomponiendo las aceleraciones del punto B y la relativa del punto B respecto del A, se
obtiene:
r
r
r
rn
rt
a Bn + a Bt = a A + a BA
+ a BA
Ambas aceleraciones normales pueden ser calculadas, ya que:
r
a Bn = ω 24 ⋅ O4 B
rn
= ω 23 ⋅ BA
a BA
siendo la dirección de la aceleración normal del punto B la de la recta O4B y su sentido de O4 a B,
mientras que la dirección de la componente normal de la aceleración relativa es la de la recta AB y su
sentido desde B hacia A.
Análisis de aceleraciones. Pag-6
Análisis de aceleraciones.
MECANISMOS
o
B
A
aAn
aAn
3
aAt
4
α 2
ω
C
02
n
aBA
04
a
aB
t
aBA
aA
aBn
aBt
b
Fig-3. Análisis de aceleraciones del mecanismo de cuatro eslabones.
Por otra parte las direcciones de las aceleraciones tangenciales incógnita son también conocidas:
r
rt
- La dirección de a BA
es perpendicular a BA.
- La dirección de a Bt es perpendicular a O4B.
Por lo tanto, operando como a continuación se indica se obtendrá la aceleración del punto B:
r
a) Se elige una escala de aceleraciones, el polo y se traza a A .
r
r
n
b) Por el extremo de a A se dibuja a BA
.
r
n
c) Por el extremo de a BA
se dibuja una perpendicular a la dirección BA.
r
d) Con origen en el polo se dibuja el vector a Bn y por su extremo una perpendicular a la
dirección O4B.
e) Donde se cruzan las perpendiculares trazadas a BA y a O4B se obtiene el punto b y, por
tanto, la aceleración del punto B.
Una vez conocidas las aceleraciones tangenciales, pueden ser calculadas las aceleraciones
angulares de los eslabones 3 y 4, puesto que:
rt
a BA
rt
a BA = α 3 ⋅ BA ⇒ α 3 =
BA
r
a Bt
rt
a B = α 4 ⋅ O4 B ⇒ α 4 =
O4 B
Análisis de aceleraciones. Pag-7
Análisis de aceleraciones.
MECANISMOS
En el caso de que se quiera calcular la aceleración de otro punto del eslabón (por ejemplo el
punto C del eslabón flotante 3 del mecanismo de la figura 3), al estar previamente calculada la
aceleración angular de dicho eslabón aplicando el método de las velocidades relativas, se tendrá:
r
r
r
a C = a A + a CA
Puesto que la aceleración del punto A es conocida, sólo falta por determinar la relativa;
descomponiendo esta en tangencial y normal:
r
rn
rt
aCA = aCA
+ aCA
Siendo el valor de dichas componentes conocido al haberse calculado previamente ω3 y α3:
rt
= α 3 ⋅ CA
aCA
rn
= ω 23 ⋅ CA
aCA
2.1.2- Aplicación a mecanismos con órganos deslizantes.
Cuando se trata de determinar la aceleración de un punto perteneciente a un eslabón que se
desliza sobre otro eslabón que a su vez posee un movimiento determinado, aparece un problema de
movimiento compuesto del punto, cuya solución mediante la aplicación de métodos gráficos será
tratada en el presente apartado.
Un caso típico en el que se presenta este tipo de movimiento es el mecanismo de cruz de Malta
mostrado en la figura 4.
Fig-4. Mecanismo de cruz de Malta
Análisis de aceleraciones. Pag-8
Análisis de aceleraciones.
MECANISMOS
Este mecanismo consta de una manivela con un tetón en el extremo que se desliza por las
ranuras del eslabón en forma de cruz, al que comunica un movimiento rotativo intermitente.
En la figura 5 se muestra la representación esquemática del mecanismo (como se ve no es otro
que el mecanismo de tres eslabones) junto con la solución gráfica al problema de cálculo de
aceleraciones, cuya construcción a continuación se explica.
VA4
3
O2
ω2
2
α2
4
O
VA2
a4
A
O4
VA2/4
a2
O
n
aA2
n
aA4
Direcci¾n perpendicu
4
aA2
t
aA2
t
aA4
a2
aA4
acor
t
aA2/4
a4
Direcci¾n del movimiento relativo
del punto A2 sobre el eslab¾n 4
Fig-5. Solución al problema de aceleraciones en el mecanismo de cruz de Malta.
Como en los casos anteriores se supondrá resuelto el problema de velocidades y conocida la
aceleración angular del eslabón motor, el número 2 en este caso.
Puesto que son conocidos tanto ω2 como α2, se podrá calcular de forma inmediata la
aceleración del punto A del eslabón 2.
r
r
r
a A2 = a An2 + a At2
Siendo:
r
a An2 = ω 22 ⋅ A2 O2
r
a At2 = α 2 ⋅ A2 O2
Por otra parte, teniendo en cuenta que el punto A2 se desplaza según la dirección A4O4, que a su
vez tiene un movimiento de rotación respecto al centro O4:
Análisis de aceleraciones. Pag-9
Análisis de aceleraciones.
MECANISMOS
r
r
r
r
a A2 = a A4 + a A2 / 4 + acor
r
a A4 es la aceleración de arrastre, esto es, la aceleración de un punto perteneciente al eslabón 4
que, en el instante considerado, su posición es coincidente con el punto A del eslabón 2. Luego su
valor será:
r
r
r
a A4 = a An4 + a At4
Puesto que, como se comentó con anterioridad, se supone resuelto el problema de velocidades,
la velocidad angular del eslabón 4 será conocida y, por tanto, la aceleración normal del punto A4:
r
a An4 = ω 24 ⋅ A4 O4
en cuanto a la aceleración tangencial del punto A4, sólo será conocida su dirección: perpendicular a la
de la aceleración normal.
r
Por otra parte, el término a A2 / 4 es la aceleración del punto A2 tal y como la percibe un
observador situado en el eslabón 4, es decir la aceleración relativa del punto respecto a un supuesto
sistema de referencia unido de forma invariable a dicho eslabón. Para este observador, la aceleración
del punto A2 sólo tendrá componente tangencial, puesto que la trayectoria desde su referencia es
rectilínea por lo que esta componente será paralela a la dirección A4O4.
r
Por último, el término a cor representa la aceleración de Coriolis cuyo valor es:
r
r
r
acor = 2ω 4 × v A2 / 4
r
r
donde ω 4 es la velocidad del eslabón 4 (velocidad de rotación del sistema de referencia móvil) y v A2 / 4
la velocidad relativa del punto A del eslabón 2 tal y como la ve un observador situado en el eslabón 4;
por tanto, se puede calcular el módulo de la aceleración de Coriolis mediante:
r
acor = 2ω 4 ⋅ v A2 / 4
siendo su dirección perpendicular a la de la velocidad relativa y su sentido el obtenido al aplicar la
regla de Maxwell en el producto vectorial (como regla nemotécnica, para mecanismos planos, la
r
r
r
dirección y sentido de a cor será de la v A2 / 4 girada 90º en el sentido de ω 4 ).
Análisis de aceleraciones. Pag-10
Análisis de aceleraciones.
MECANISMOS
En la figura 5 se ha representado la construcción gráfica del polígono de aceleraciones; para su
realización se deben seguir los siguientes pasos:
r
a) Se representa, a la escala elegida, a A2 desde un polo de aceleraciones O.
r
b) Por el mismo polo se traza la componente normal de la aceleración a A4 y por su extremo una
r
r
r
c) Por el extremo de a A2 se dibuja el vector que representa la aceleración de Coriolis, de forma
r
que su extremo coincida con el de a A2 .
r
d) Por el origen de acor se traza una línea cuya dirección será la de la aceleración tangencial
recta perpendicular a a An4 , cuya dirección es la de a At4 .
relativa.
r
e) Donde se cruzan las rectas trazadas por los extremos de los vectores que representan a acor y
r
r
a a An4 , se obtiene el punto que es el extremo del vector a A4 .
Como en los casos anteriores, una vez conocido el valor de la aceleración tangencial de alguno
de los punto pertenecientes al eslabón 4, su aceleración angular será calculada por medio de:
α4 =
r
a At4
A4 O 4
Análisis de aceleraciones. Pag-11
Análisis de aceleraciones.
MECANISMOS
3-ANALISIS NUMERICO DE ACELERACIONES
3.1-Introducción.
Se volverán a utilizar en este punto los ejemplos que sirvieron a modo de introducción en el
análisis de posiciones y velocidades para realizar posteriormente el estudio de aceleraciones en
mecanismos por medio de métodos numéricos.
3.1.1-Mecanismo de tres eslabones,
En al figura 6 se muestra el mecanismo de tres eslabones del que se realizó el estudio de
posiciones y velocidades en temas pasados.
α2
L2
L1
q
L3
Fig-6. Mecanismo de tres eslabones.
Cuando se plantearon las componentes de la ecuación vectorial de bucle cerrado, se obtuvo:
f 1 = L1 ⋅ cos q + L2 ⋅ cos α 2 − L3 = 0
f 2 = L1 ⋅ sen q + L2 ⋅ sen α 2 + 0 = 0
derivando estas funciones respecto al tiempo y operando se llegó a:
 α& i 
−1  ∂f i 
 q&  = −[J ] ⋅  ∂q 
 
 
que sustituyendo los valores para el caso en estudio quedará:
 L& 2 
 ∂f 1
 & 
 ∂L
 q  = − 2
 α& 2 
 ∂f 2
 q& 
 ∂L2
−1
∂f1   ∂f 1 
cos α 2
∂α 2   ∂q 
 ⋅   = −
∂f 2   ∂f 2 
 senα 2
∂α 2   ∂q 
−1
− L2 ⋅ senα 2  − L1 ⋅ senq 
⋅
L2 ⋅ cos α 2   L1 ⋅ cos q 
Análisis de aceleraciones. Pag-12
Análisis de aceleraciones.
MECANISMOS
y operando, se llegó finalmente a obtener las expresiones de los coeficientes de velocidad:
 L& 2 
 & 
1
 q =−
L1
 α& 2 
 q& 
 L ⋅ cos α 2
⋅ 2
 − senα 2
L2 ⋅ senα 2  − L1 ⋅ senq 
⋅
cos α 2   L1 ⋅ cos q 
 L& 2 
L ⋅ sen(α 2 − q ) 
 K L2   q&   1
 K  =  α&  =  L1 ⋅ cos(α − q )
2
 α 2   2   L2

 q& 
Para realizar el cálculo de las aceleraciones se supondrán conocidos los resultados anteriores
(posición y velocidades), y se dará a este análisis dos enfoques diferentes:
Inicialmente, en un primer enfoque, derivando dos veces respecto al tiempo las ecuaciones de
posición quedará:
df 1
= − L1 ⋅ q& ⋅ senq + L& 2 ⋅ cosα 2 − L2 ⋅ α& 2 ⋅ senα 2 = 0
dt
df 2
= L1 ⋅ q& ⋅ cosq + L& 2 ⋅ senα 2 + L2 ⋅ α& 2 ⋅ cosα 2 = 0
dt
df12
= − L1 ⋅ q&& ⋅ senq − L1 ⋅ q& 2 ⋅ cosq + L&&2 ⋅ cosα2 − L&2 ⋅ α& 2 ⋅ senα2 − L&2 ⋅ α& 2 ⋅ senα2 − L2 ⋅ α&&2 ⋅ senα2 − L2 ⋅ α& 22 ⋅ cosα2 = 0
dt 2
df 22
= L1 ⋅ q&& ⋅ cosq − L1 ⋅ q& 2 ⋅ senq + L&&2 ⋅ senα2 + L&2 ⋅ α& 2 ⋅ cosα2 + L&2 ⋅ α& 2 ⋅ cosα2 + L2 ⋅ α&&2 ⋅ cosα2 − L2 ⋅ α& 22 ⋅ senα2 = 0
dt 2
agrupando términos y expresando las anteriores ecuaciones en forma matricial:
cosα2
−
 senα2
− L2 ⋅ senα2   L&&2 
⋅  =
L2 ⋅ cosα2  α&&2 
− L1 ⋅ q&& ⋅ senq − L1 ⋅ q& 2 ⋅ cosq − L&2 ⋅ α& 2 ⋅ senα2 − L&2 ⋅ α& 2 ⋅ senα2 − L2 ⋅ α& 22 ⋅ cosα2 


2
2
&
&
 L1 ⋅ q&& ⋅ cosq − L1 ⋅ q& ⋅ senq + L2 ⋅ α& 2 ⋅ cosα2 + L2 ⋅ α& 2 ⋅ cosα2 − L2 ⋅ α& 2 ⋅ senα2 
(
)
&& , α&& , siempre
ecuaciones que representan un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas L
2
2
y cuando se conozcan con anterioridad los valores de las variables de posición (primarias y
secundarias) y sus variaciones con el tiempo, esto es sus velocidades.
Análisis de aceleraciones. Pag-13
Análisis de aceleraciones.
MECANISMOS
Una vez solucionado el sistema planteando, quedará:
[
]
L&&2 = q&& ⋅ L1 ⋅ sen(α 2 − q ) + q& 2 ⋅ K α2 ⋅ L2 − L1 ⋅ cos(α 2 − q )
α&&2 = q&& ⋅
L1
⋅ cos(α 2 − q ) + q& 2
L2
 − 2 ⋅ K α2 ⋅ K α2 L1

⋅
−
⋅ sen(α 2 − q )
L2
L2


Donde se observa que la aceleración se compone de dos términos: uno proporcional a q&& y otro a
2
q& .
Como puede verse, a través de esté primer enfoque, se consiguen las expresiones de las
aceleraciones (derivadas segundas respecto al tiempo de las variables secundarias) de forma bastante
engorrosa. Se aplicará ahora un segundo enfoque.
Cuando se calcularon los coeficientes de velocidades se obtuvo:
L& 2 = q& ⋅ K L2 (q )
α& 2 = q& ⋅ K α (q )
2
Donde ambos coeficientes son función de la variable primaria q.
Derivando respecto al tiempo, teniendo en cuenta que K L2 y K α 2 son funciones de q y
aplicando de forma correcta la regla de la cadena:
dK L2 (q )
dK L2 (q ) dq  
⋅   L&&2 = q&& ⋅ K L2 (q ) + q& 2 ⋅
dq
dq
dt  
⇒
dK
dK α 2 (q ) dq  
α 2 (q )
α&&2 = q&& ⋅ K α 2 (q ) + q& ⋅
⋅  α&&2 = q&& ⋅ K α 2 (q ) + q& 2 ⋅
dq
dq
dt  
L&&2 = q&& ⋅ K L2 (q ) + q& ⋅
que puede expresarse como:
L&&2 = q&& ⋅ K L2 + q& 2 ⋅ LL2
&& 2 = q&& ⋅ K α + q& 2 ⋅ Lα
α
2
Siendo LL2 =
dK L2
dq
y Lα 2 =
dK α 2
dq
2
los denominados coeficientes derivativos de la velocidad.
Análisis de aceleraciones. Pag-14
Análisis de aceleraciones.
MECANISMOS
3.1.2- Mecanismo de biela-manivela.
En la figura 7 se muestra el mecanismo de biela-manivela indicándose el bucle vectorial cerrado
que fue utilizado en los temas de posición y velocidad para su análisis.
α2
α3
L2
L1
q
L3
Fig-7. Mecanismo de biela-manivela.
Se propone como ejercicio para el alumno el desarrollo del cálculo de aceleraciones siguiendo el
primero de los métodos indicados en el apartado anterior a partir de las derivaciones sucesivas
respecto al tiempo de las ecuaciones componentes de la ecuación vectorial de bucle cerrado:
f 1 = L1 ⋅ cos q + L2 ⋅ cos α 2 + L3 cos α 3 = 0
f 2 = L1 ⋅ sen q + L2 ⋅ sen α 2 + L3 sen α 3 = 0
Un análisis más exhaustivo del método utilizado en el segundo enfoque, se realizará a
continuación en el estudio del problema general del cálculo de aceleraciones de mecanismos por
medio de métodos numéricos.
3.2-Planteamiento general.
Cuando, en el tema pasado, se expuso el planteamiento general para el cálculo de velocidades,
se obtuvo:
f 1 (q, α 1 , α 2 , L , α n ) = 0
f 2 (q, α 1 , α 2 , L , α n ) = 0
f 3 (q, α 1 , α 2 , L , α n ) = 0
M
f n (q, α 1 , α 2 , L , α n ) = 0
Análisis de aceleraciones. Pag-15
Análisis de aceleraciones.
MECANISMOS
y derivando:
 ∂f 1
 ∂f 1 
 ∂α
 ∂q 
 1
 
 ∂f 2  dq  ∂f 2
+  ∂α 1
 ∂q  ⋅
 M  dt  M

 ∂f 
 ∂f n
 n
 ∂α 1
 ∂q 
∂f 1
∂α 2
∂f 2
∂α 2
∂f 1  dα
 1
∂α n   dt 

∂f 2   dα 2 
L


∂α n  ⋅  dt  = 0
L


∂f n 
L
∂α n 
M
∂f n
O
∂α 2
 M 
 dα n 
 dt 
de donde se obtuvo:
 ∂f i 
 ∂f i 
 ∂f i 
 ∂f i 

 ⋅ [α& i ] = −q& ⋅   ⇒ 
 ⋅ Kαi = − 
 ∂q 
 ∂q 
 ∂α& j 
 ∂α j 
[ ]
Una vez resuelto el sistema en los Kα i , para el cálculo de las velocidades:
α& i = q& ⋅ K α
i
Derivando esta expresión respecto del tiempo, teniendo en cuenta que los coeficientes de
velocidad son función de la variable primaria q:
[α&&i ] = dq& ⋅ [K α
dt
K ] dq
] + q& ⋅ d [dq
⋅
dt
αi
i
[α&&i ] = q&& ⋅ [K α
i
] + q&
[α&&i ] = q&& ⋅ [K α
2
⋅
dq
] + q& ⋅ [L ]
2
i
[ ]
d K αi
αi
Para realizar la derivada de Kα i es necesario conocer los valores de las componentes de la
matriz de coeficientes de velocidad en forma funcional, esto es, su expresión algebraica; pero en la
mayoría de los casos puede resultar demasiado engorroso, por lo tanto se presenta el siguiente método,
válido en el caso de que Kα i se conozca numéricamente (es decir sus valores para la posición
analizada del mecanismo):
Como se ha visto:
Análisis de aceleraciones. Pag-16
Análisis de aceleraciones.
MECANISMOS
 ∂f i 
 ∂f i 

 ⋅ K αi = − 
 ∂α j 
 ∂q 
[ ]
 ∂f i 
 es la matriz jacobiana:
 ∂α j 
puesto que 
[J ] ⋅ [K α ] = −  ∂f i 
i
 ∂q 
derivando esta ecuación respecto a la variable primaria q:
d [K α i ]
d [J ]
d  ∂f 
⋅ K α i + [J ] ⋅
=−  i
dq
dq
dq  ∂q 
[ ]
de donde:
[J ] ⋅
[ ] = − d [J ] ⋅ [K ] − d  ∂f 
dq
dq
dq  ∂q 
d K αi
i
αi


y por último para calcular la matriz de los coeficientes derivativos de las velocidades: Lα i =
K ]
[L ] = d [dq
= −[J ]
αi
αi
−1
d K αi
dq
.
 d [J ]
d  ∂f i  
⋅ 
⋅ K αi +
 ∂q  
dq
dq
 

[ ]
3.3-Aceleración de puntos del mecanismo.
Se seguirá aquí el mismo proceso para el cálculo de las aceleraciones que el utilizado en el
cálculo de posiciones y velocidades de puntos del mecanismo; por tanto se comenzará por el estudio
de las aceleraciones de aquellos puntos que definen el mecanismo para continuar con puntos
cualesquiera asociados a un eslabón genérico.
Análisis de aceleraciones. Pag-17
Análisis de aceleraciones.
MECANISMOS
3.3.1-Aceleración de puntos de definición del mecanismo: pares.
En la figura 8 se muestra parte de un mecanismo genérico para el cual se deben calcular las
aceleraciones de los puntos B y C, punto que representan los pares por medio de los cuales los
eslabones se unen entre si. Se supondrán ya conocidos los valores de las variables secundarias, así
como sus derivadas primera y segunda respecto al tiempo (velocidades y aceleraciones de dichas
variables).
L2
B
L1
rB
C
α2
A
α1
rc
rA
Fig-8. Cálculo de las aceleraciones de los pares.
La posición del punto B viene dada por:
r r r
rB = rA + L1
o expresado en forma matricial:
 x B   x A   L1 cos α 1 
 y  =  y  +  L senα 
1 
 B  A  1
Derivando las expresiones de las coordenadas del punto B respecto al tiempo dos veces, se
obtendrá la aceleración de dicho punto.
Con la primera derivación:
Análisis de aceleraciones. Pag-18
Análisis de aceleraciones.
MECANISMOS
− L1 senα 1 
 x& B 
 y&  = α& 1  L cos α 
1 
 1
 B
y derivando de nuevo:
 a Bx   &x&B 
− L1 senα 1 
− L cos α 1 
+ α& 12  1
a  =  &&  = α&&1 


 L1 cos α 1 
 − L1 senα 1 
 By   y B 
Como se puede observar, la aceleración del punto B se compone de dos términos que no son
sino la aceleración tangencial, el primero de ellos, y la aceleración normal.
Para el punto C, se tiene que su posición viene dada por:
r r r r
rC = rA + L1 + L2
que de forma matricial quedará:
 xC   x A   L1 cos α 1 + L2 cos α 2 
 y  =  y  +  L senα + L senα 
1
2
2 
 C   A  1
Operando como se hizo para el punto B:
 x& C  − L1 senα 1
 y&  =  L cos α
1
 C  1
− L2 senα 2  α& 1 
L2 cos α 2  α& 2 
y derivando de nuevo:
 a Cx   &x&C  − L1 senα 1
a  =  &&  = 
 Cy   y C   L1 cos α 1
− L2 senα 2  α&&1  − L1 cos α 1
+
L2 cos α 2  α&&2   − L1 senα 1
− L2 cos α 2  α& 12 
 
− L2 senα 2  α& 22 
3.3.2-Aceleración de puntos asociados a un eslabón.
En la figura 9 se muestra un eslabón genérico de un mecanismo. Este se une al eslabón anterior
por medio del par A y al siguiente por medio del B. En este caso se deberá calcular la aceleración del
punto P de coordenadas (up,vp) referidas a los ejes U-V asociados al eslabón.
Análisis de aceleraciones. Pag-19
Análisis de aceleraciones.
MECANISMOS
y
v
u
yp
yA
i
P
B
up α i
vp
A
x
xA
xp
Fig-9. Aceleración de puntos asociados a un eslabón.
Cuando se realizó el cálculo de la posición del punto P se obtuvo:
 x P   x A  cos α i
 y  =  y  +  senα
i
 P  A 
− senα i  u P 
cos α i   v P 
Derivando respecto al tiempo se consiguió la expresión de la velocidad del punto en estudio:
− senα i
 x& P   x& A 
 y&  =  y&  + α& i  cos α
i
 P  A

− cos α i  u P 
− senα i   v P 
volviendo a derivar respecto al tiempo se conseguirá la expresión para el cálculo de la aceleración del
punto P:
− senα i
 &x&P   &x&A 
 &y&  =  &y&  + α&&i  cos α
i
 P  A

− cos α i  u P 
− cos α i
+ α& i2 



− senα i   v P 
 − senα i
senα i  u P 
− cos α i   v P 
El primer término es la aceleración del punto A, mientras que los otros dos representan las
componentes tangencial y normal de la aceleración del punto P respecto al punto A, de forma que
como debía esperarse se cumple la relación:
r
r r
r
r
a P = a A + α × rPA + ω × (ω × rPA )
que es la expresión general de la aceleración de un punto cualquiera perteneciente a un eslabón.
Análisis de aceleraciones. Pag-20
MECANISMOS
Análisis de aceleraciones.
BIBLIOGRAFIA:
Título: TEORIA DE MAQUINAS Y MECANISMOS.
Autor: Joseph E. Shigley.
Editorial: McGraw-Hill.
Título: MECHANICS OF MACHINES.
Autor: Samuel Doughty.
Editorial: John Wiley & Sons.
Título: MECANICA DE MAQUINAS.
Autor: Ham, Crame, Rogers.
Editorial: McGraw-Hill.
Título: CINEMATICA Y DINAMICA DE MAQUINAS.
Autor: A. de Lamadrid.
Editorial: Sección de Publicaciones ETSII de Madrid.
Análisis de aceleraciones. Pag-21