Anexo 1.1: Modelación Matemática de Sistemas Físicos

ELC-33103
Teoría de Control
Anexo 1.1
Modelación Matemática de
Sistemas Físicos
Prof. Francisco M. Gonzalez-Longatt
fglongatt@ieee.org
http://www.giaelec.org/fglongatt/TIC.html
TEORÍA DE CONTROL
Modelación de Sistemas Físicos
Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org
Copyright © 2007
1. Reducción de Diagramas de Bloque
• Se desea simplificar el diagrama de bloques mostrado
en la figura siguiente.
R (s ) +
−
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+
+
C (s )
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1. Reducción de Diagramas de Bloque
• El primer paso es mover el punto de ramificación de
la trayectoria de señal que contiene la función de
transferencia Hl fuera del lazo que contiene H2, de tal
modo que el sistema resulta:
R (s )
+
−
+
+
C (s )
H1
G
R (s )
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Modelación de Sistemas Físicos
+
−
+
+
C (s )
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1. Reducción de Diagramas de Bloque
• El segundo paso, es procede a eliminar los dos lazos;
el que contiene a H2, que es una realimentación,
donde se cierra un lazo, y el la bifurcación hacia
H
delante H1/G.
G
1
R (s )
R (s )
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Modelación de Sistemas Físicos
+
−
G
1 + GH 2
+
+
H1
1+
G
C (s )
C (s )
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1. Reducción de Diagramas de Bloque
• Una vez que se han eliminado los dos lazo, se
procede a combinar la asociación de dos bloques en
cascada y se logra:
R (s )
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G + H1
G+
1+ GH2
C (s )
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2. Reducción de Diagrama de Bloques
• Se desea simplificar el diagrama de bloques mostrado
en la siguiente Figura.
R (s )
+
+
X (s )
+
C (s )
+
• A partir del resultado obtenido,
obtenido se desea obtener la
función de transferencia que relaciona C(s) con R(s)
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2. Reducción de Diagrama de Bloques
• Un primer enfoque, es modificar la señal que va a los
sumadores, y se modifica, para mostrada como dos
lazos separados.
R (s )
+
+
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X (s )
+
C (s )
+
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2. Reducción de Diagrama de Bloques
• Ahora, se procede a eliminar la trayectoria directa
hacia delante, mas interna, que involucra a la función
de transferencia G1.
R (s )
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+
G1
+
X (s )
+
G2
C (s )
+
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2. Reducción de Diagrama de Bloques
• Se procede ahora a eliminar el paso hacia delante.
R (s )
G1G2 + G2 + 1
C (s )
• Finalmente la función de transferencia C(s)/R(s) se
consigue mediante:
C (s )
= G1G2 + G2 + 1
R(s )
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2. Reducción de Diagrama de Bloques
• También se obtiene el mismo resultado, procediendo
del siguiente modo. Dado que la señal X(s) es la suma
de dos señales G1R(s) y R(s), se tiene que:
X (s ) = G1 R(s ) + R(s )
• La señal de salida C(s) es la suma de G2X(s) y R(s).
Por tanto:
C (s ) = G2 X (s ) + R(s ) = G2 [G1 R(s ) + R(s )] + R(s )
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2. Reducción de Diagrama de Bloques
• De tal modo, que se obtiene el mismo resultado ya
presentado:
C (s )
= G1G2 + G2 + 1
R(s )
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TEORIA DE CONTROL
Introducción
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3. Ejemplo de Reducción de Modelo de
p
de Estado
Espacio
• Obtener el modelo en el espacio de estados del
sistema que aparece en la siguiente Figura.
U (s ) +
−
1
s
10
s+5
Y (s)
1
s +1
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3. Ejemplo de Reducción de Modelo de
Espacio de Estado
• El sistema contiene un integrador y dos con retraso;
es decir, dos bloques con función de transferencia de
primer orden.
g
o con retraso ppuede ser
• La salida de cada integrador
considerado como una variable de estado.
• Se define la salida de la planta como la variable de
estado xl, la salida del controlador como x2 y la salida
del sensor como x3.
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3. Ejemplo de Reducción de Modelo de
Espacio de Estado
• Se define la salida de la planta como la variable de
estado xl, la salida del controlador como x2 y la salida
del sensor como x3.
U (s ) − X 3
U (s ) +
−
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X 3 (s )
1
s
X2(s)
X1(s)
10
s+5
Y (s )
1
s +1
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3. Ejemplo de Reducción de Modelo de
Espacio de Estado
• Así, se obtiene que la función de transferencia de la
U (s ) − X
X (s)
X (s)
planta queda dada por:
+
Y (s)
U (s )
1
10
3
1
2
X1
10
=
X2 s +5
−
s+5
s
X3 (s)
1
s +1
• De igual modo se aplica la algebra de señales al
detector de error, junto con el controlador.
X2
1
=
U − X3 s
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U (s ) − X 3
U (s ) +
−
X3 (s)
1
s
X2(s)
X1(s)
10
s+5
Y (s)
1
s +1
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3. Ejemplo de Reducción de Modelo de
Espacio de Estado
• En el caso del sensor se tiene:
U (s ) − X
X (s)
X (s)
+
X3
Y (s)
U (s )
1
1
10
=
s
s+5
−
X1 s +1
X (s)
1
s +1
• Y finalmente se tiene que: Y = X 1
• El arreglo se puede reordenar y reescribir de la forma:
3
2
1
3
sX 1 = −5 X 1 + 10 X 2
sX 2 = − X 1 + U
sX 3 = X 1 − X 3
Y = X1
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3. Ejemplo de Reducción de Modelo de
Espacio de Estado
• Ahora, se procede a tomar la transformada inversa de
Laplace de las cuatro ecuaciones precedentes
(considerando las condiciones iniciales nulas) y se
tiene:
x&1 = −5 x1 + 10 x2
x& 2 = − x3 + U
x&3 = x1 − x3
Y = x1
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3. Ejemplo de Reducción de Modelo de
Espacio de Estado
• Finalmente, estas ecuaciones diferenciales se escriben
de manera matricial, en la forma canónica del modelo
de espacio de estado del sistema, de modo que se
obtiene:
⎡ x&1 ⎤ ⎡− 5 10 0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡0⎤
⎢ x& ⎥ = ⎢ 0 0 − 1⎥ ⎢ x ⎥ + ⎢1⎥u
⎢ 2⎥ ⎢
⎥⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎥
⎢⎣ x&3 ⎥⎦ ⎢⎣ 1 0 − 1⎥⎦ ⎢⎣ x3 ⎥⎦ ⎢⎣0⎥⎦
⎡ x1 ⎤
⎢
⎥
y = [1 0 0]⎢ x2 ⎥
⎣⎢ x3 ⎥⎦
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4. Ejemplo de Función de Transformación
• Considere el circuito eléctrico que aparece en la
figura siguiente.
R1
+
ei
−
R2
+
i1
C1
i2
C2
e0
−
• Se desea obtener la función de transferencia
Ei(s)/Eo(s) usando el enfoque de diagrama de bloques
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4. Ejemplo de Función de Transformación
• Las ecuaciones para los circuitos son:
1
(i1 − i2 )dt
d + R1i1 = ei
C1
1
1
(i2 − i1 )dt
d + R2 i2 +
i2 dt
d =0
C1
C2
1
i2 dt = e0
R1
R2
C2
∫
∫
∫
∫
+
ei
−
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i1
C1
i2
+
C2
e0
−
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4. Ejemplo de Función de Transformación
• La ecuación primera del conjunto se puede reescribir
como:
C1s[Ei (s ) − R1 I1 (s )] = I1 (s ) − I 2 (s )
Ei (s)
+
−
C1s
R1
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I1(s) − I2 (s)
I1 (s )
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4. Ejemplo de Función de Transformación
• La ecuación segunda se modifica a:
C2 s
1
[I1 (s ) − I 2 (s )]
I 2 (s ) =
R2 C 2 s + 1 C1s
I 1 (s ) − I 2 ( s )
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1
C1s
C2s
R2C 2 s + 1
I 2 (s )
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4. Ejemplo de Función de Transformación
• Finalmente combinando de manera adecuada los
diagramas de bloques desarrollados, de acuerdo a las
ecuaciones del sistema se obtiene:
Ei (s)
+
−
I 2 (s )
I 1 (s ) − I 2 (s )
1
C1s
C1s
R1
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+
C2s
R2C 2 s + 1
1
C2 s
E 0 (s )
+
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4. Ejemplo de Función de Transformación
• Ahora bien este diagrama de bloques se modifica y se
simplifica sucesivamente. Inicialmente se mueven los
puntos de bifurcación.
Ei (s)
+
−
C1s
R1
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1
C1s
C1s
++
C2s
R2C 2 s + 1
1
C2 s
E 0 (s )
C2s
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4. Ejemplo de Función de Transformación
• Se procede a modificar la posición del sumador
inferior:
Ei (s) +
−
+
−
C1s
1
C1s
C1s
C2s
R2C 2 s + 1
1
C2 s
E0 (s )
R1
R1
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C2s
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4. Ejemplo de Función de Transformación
• Ahora se procede a resolver las respectivas
realimentaciones, la externa y la interna:
Ei (s)
+
−
1
R1C 1 s + 1
1
R2C2 s + 1
E 0 (s )
R1C2 s
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4. Ejemplo de Función de Transformación
• Por ultimo, se resuelve la cascada y la respectiva
realimentación, lográndose:
Ei (s )
1
R1C1 R2C2 s 2 + (R1C1 + R2C2 + R1C2 )s + 1
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E0 (s )
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