CINEMÁTICA CINEMÁTICA DE UNA PARTICULA • Vector velocidad instantánea (𝑣). • Ecuación de movimiento para un movimiento con velocidad constante. • Vector aceleración media (𝑎). • vector aceleración instantánea (𝑎). • Ecuaciones cinemáticas de posición y velocidad para un movimiento con aceleración constante. CINEMÁTICA DE UNA PARTICULA Vector velocidad instantánea (𝒗) Consideremos dos puntos fijos A y B a lo largo de la trayectoria descrita por una partícula, ahora, vamos a acercarnos al punto A moviendo el punto B, tal como se indica en la figura. ∆𝑟 se hace muy pequeño y este vector tiende a ser un vector tangente a la trayectoria en dicho punto y el intervalo de tiempo también se hace pequeño. CINEMÁTICA DE UNA PARTICULA Geométricamente, el vector velocidad es un vector tangente a la trayectoria descrita por la partícula en cualquiera de sus puntos. CINEMÁTICA DE UNA PARTICULA Vector velocidad instantánea (𝒗) Es igual al valor limite de la proporción Δx/ Δt conforme Δt tiende a cero. Puede ser positiva, negativa o cero. ∆𝑥 𝑣𝑥= lim ∆𝑡→0 ∆𝑡 = 𝑑𝑥 𝑑𝑡 De aquí en adelante, se usa la palabra velocidad para designar velocidad instantánea. CINEMÁTICA DE UNA PARTICULA • Rapidez instantánea Se define como la magnitud de la velocidad instantánea. Como con la rapidez promedio, la rapidez instantánea no tiene dirección asociada con ella. Ejemplo: Si una partícula tiene una velocidad instantánea de -40 m/s a lo largo de una línea dada, esta tiene una rapidez de 40 m/s. CINEMÁTICA DE UNA PARTICULA • Ejemplo: • Una partícula se mueve a lo largo del eje x. Su posición varia con el tiempo de acuerdo con la expresión 𝑥 = −4𝑡 + 2𝑡 2 , donde x esta en metros y 𝑡 en segundos. • A). Graficar • B). Determinar el desplazamiento de la partícula en los intervalos t=0 a t=1s y t=1 a t=3 s. • C). Calcule la velocidad promedio durante estos dos intervalos de tiempo. • D). Encuentre la velocidad instantánea de la partícula en t=2,5 s CINEMÁTICA DE UNA PARTICULA • La partícula bajo velocidad constante: Este modelo se aplica a cualquier situación en la que una entidad que se pueda representar como partícula se mueva con velocidad constante. Si la velocidad de una partícula es constante, su velocidad instantánea es la misma que la promedio en ese intervalo. 𝑣𝑥 = 𝑣𝑥,𝑝𝑟𝑜𝑚 CINEMÁTICA DE UNA PARTICULA • Representación matemática: ∆𝑥 𝑣𝑥 = ∆𝑡 ∆𝑥 = 𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 𝑣𝑥 = ∆𝑡 𝑥𝑓 = 𝑥𝑖 + 𝑣𝑥 ∆𝑡 Tomando el tiempo al principio del intervalo 𝑡𝑖 =0, con tiempo final 𝑡𝑓 queda la ecuación 𝑥𝑓 = 𝑥𝑖 + 𝑣𝑥 𝑡 para 𝑣𝑥 constante Ecuación cinemática de posición que permite describir cualquier movimiento con velocidad constante. CINEMÁTICA DE UNA PARTICULA • Una partícula bajo velocidad constante se mueve con una rapidez constante a lo largo de una línea recta. • La partícula bajo rapidez constante: Se aplica a trayectorias curvas, donde la rapidez promedio se sustituye por rapidez constante 𝑣. 𝑑 𝑣 = ∆𝑡 CINEMÁTICA DE UNA PARTICULA • Aceleración: Es una magnitud vectorial que nos indica el cambio de la velocidad con respecto al tiempo. CINEMÁTICA DE UNA PARTICULA • Aceleración promedio 𝒂𝒙,𝒑𝒓𝒐𝒎 : Cambio de la velocidad ∆𝑣𝑥 , dividido por el intervalo de tiempo ∆𝑡 durante el que ocurre el cambio. 𝑎𝑥,𝑝𝑟𝑜𝑚 = ∆𝑣𝑥 ∆𝑡 = 𝑣𝑥𝑓 −𝑣𝑥𝑖 𝑡𝑓 −𝑡𝑖 CINEMÁTICA DE UNA PARTICULA • Aceleración instantánea 𝒂𝒙 : Limite de la aceleración promedio, conforme ∆𝑡 tiende a cero. ∆𝑣𝑥 𝑑𝑣𝑥 𝑎𝑥= lim = ∆𝑡→0 ∆𝑡 𝑑𝑡 . CINEMÁTICA DE UNA PARTICULA • La aceleración instantánea es igual a la derivada de la velocidad respecto al tiempo. 𝑑𝑣𝑥 𝑑 𝑑𝑥 𝑑2 𝑥 𝑎𝑥 = = = 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 CINEMÁTICA DE UNA PARTICULA • Cuando la velocidad y la aceleración del objeto están en la misma dirección, el objeto aumenta su velocidad, pero cuando la velocidad y la aceleración están en direcciones opuestas, el objeto frena. Aceleración negativa no necesariamente significa que el objeto esta frenando, si la aceleración es negativa y la velocidad también, el objeto esta aumentando velocidad. CINEMÁTICA DE UNA PARTICULA • La partícula bajo aceleración constante: En este caso la aceleración promedio 𝑎𝑥,𝑝𝑟𝑜𝑚 en cualquier intervalo de tiempo es numéricamente igual a la aceleración instantánea 𝑎𝑥 en cualquier instante dentro del intervalo. CINEMÁTICA DE UNA PARTICULA Ecuaciones cinemáticas útiles para resolver problemas Las ecuaciones cinemáticas de movimiento de una partícula bajo aceleración constante, se determinan conociendo la definición de aceleración promedio, aceleración constante y desplazamiento. CINEMÁTICA DE UNA PARTICULA Ecuaciones cinemáticas útiles para resolver problemas Las ecuaciones cinemáticas de movimiento de una partícula bajo aceleración constante, se determinan conociendo la definición de aceleración promedio, aceleración constante y desplazamiento. CINEMÁTICA DE UNA PARTICULA • Llegamos a las siguientes ecuaciones: 𝑣𝑓 = 𝑣𝑖 + 𝑎𝑡 (1) 𝑣𝑥,𝑝𝑟𝑜𝑚 = 𝑥𝑓 = 𝑥𝑖 + 𝑣𝑖 +𝑣𝑓 (2) 2 1 2 (𝑣𝑖 + 𝑣𝑓 )𝑡 (3) 𝑥𝑓 = 𝑥𝑖 + 𝑣𝑖 𝑡 + 1 2 𝑎𝑡 2 (4) 𝑣𝑓 2 =𝑣𝑖 2 + 2 𝑎(𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 ) (5)