UNIVERSIDAD DEL VALLE FACULTAD DE CIENCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS PROYECTO 4. CALCULO III
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UNIVERSIDAD DEL VALLE FACULTAD DE CIENCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS PROYECTO 4. CALCULO III PROF. DORIS HINESTROZA G. ECUACIONES DE MAXWELL Las ecuaciones de Maxwell son las siguientes: → − q 1. ∇ · E = ²o − → 3. ∇ · B = 0 (Ley de Gauss) (Ley de Gauss) − → − → ∂B 2. ∇ × E = − (Ley de Faraday) ∂t − → → − → − J ∂E (Ley de Ampere) 4. c2 ∇ × B = + ²o ∂t → − → − donde E es un campo eléctrico y B un campo magnético en cada punto del espacio, q es una densidad − → de carga, c es la velocidad de la luz y J es la densidad de corriente (no confundir con el vector unitario en la dirección de y). Actividad 1. Investigue cual es la interpretación de las cuatro ecuaciones de Maxwell. Actividad 2 Deduzca la Ley de Continuidad (explique su significado) de las ecuaciones de Maxwell Actividad 3. ¿Cuál es la importancia de las leyes de Maxwell desde su campo de estudio?.¿Cual será las aplicaciones de las leyes de Maxwell en su campo? ¿Cuál de la importancia en la estadı́stica del estudio de la leyes de Maxwell? Investigue con los profesores. Actividad 4. Dependen las cuatro ecuaciones de Maxwell del Teorema de Gauss y Teorema de Stokes? Actividad 5. Muestre que las cuatro ecuaciones son equivalentes a RRR → − − Q E .→ n dS = (S es una superficie cerrada). S ²o R → − − →− ∂ RRR − r =− B .→ n dA (C es la curva cerrada simple y S es una superficie limitada por C). 20 C E .d→ S ∂t RRR → − − 30 B .→ n dA = 0 (S es una superficie cerrada). S 10 40 c2 R − → → →→ →− 1 RRR − ∂ RRR − B .d− r = J .− n dA + E .→ n dS (C es la curva cerrada simple y S es una superficie C S S ²o ∂t limitada por C). Actividad 6. Si los campos eléctrico y magnético no dependieran del tiempo escriba como serian las ecuaciones de Maxwell. En este caso que podrı́a decir de la segunda y tercera ecuación. − → − → Actividad 7. En el vacı́o q = 0 y J = 0 ; en este caso escriba como serı́an las ecuaciones de Maxwell − → − → Claramento de la ecuación ∇ · B = 0 podemos decir que B = ∇ × A donde tenemos A es un campo − → vectorial. Si usted sustituye B en la ecuación tercera (3) y simplificando obtenemos − → − → ∂∇ × A ∂∇ × A → − ∇× E =− , ∇ × (E + )= 0. ∂t ∂t → − ∂∇ × A ∂∇ × A Este resultado implica que E + = −∇φ para cierto campo escalar φ. Ası́ E = −∇φ − ∂t ∂t − → − → .Observemos que de esta manera obtenemos dos expresiones para los campos B y E en función del campo vectorial A y el campo escalar φ. Actividad 8. ¿Qué pasa con los campos mágnetico y électrico si tomamos un campo escalar diferenciable ∂ϕ ? y redefinimos A0 = A + ∇ϕ y φ0 = φ − ∂t Actividad 9. De las ecuaciones de Maxwell determine los teoremas de conservación de la carga, la energı́a, el momento lineal y el momento angular. 1
