Heaviside y las ecuaciones de Maxwell. - UAM-I

Heaviside y las ecuaciones de M axwell
J. L . J¶ ³m e n e z , N . A qu in o ( D e p t o . d e F¶ ³s ic a , U A M-I) e
I. Ca m p o s ( D e p t o . D e F¶ ³s ic a , Fa c . d e Cie n c ia s , U N A M)
Podemos decir entonces que Maxwell culmina la
s¶³ntesis de la descripci¶
on te¶
orica de los fen¶
omenos
el¶ectricos y magn¶eticos y, como una primera consecuencia l¶
ogica de la s¶³ntesis, establece la naturaleza electromagn¶etica de los fen¶
omenos ¶
opticos. Esto es an¶
alogo a lo que ocurre en la mec¶
anica. Newton, basado tambi¶en en las intuiciones y conceptos de investigadores anteriores, sintetiza la descripci¶
on te¶
orica de los fen¶
omenos mec¶
anicos y, como consecuencia de dicha s¶³ntesis, establece la descripci¶on
mec¶
anica del sistema solar. Sin embargo la obra de
Newton es obscura en varios aspectos, algunos de los
cuales se debaten hasta la fecha. Por ejemplo, Newton utiliza un lenguaje geom¶etrico y una idea intuitiva del concepto de l¶³mite, pero no el lenguaje del c¶
alculo diferencial e integral tal como lo conocemos ahora. Esto es hasta cierto punto entendible, pues el c¶
alculo se desarrolla principalmente sobre la base de las ideas y el lenguaje simb¶
olico introducidos por Leibnitz, m¶
as que sobre las ideas de
Newton, quien les da muy poca difusi¶
on. Debido
a esto se desarrolla una amarga disputa entre ambos pensadores y sus seguidores.
Introducci¶
on
El desarrollo y establecimiento de una teor¶³a f¶³sica sigue un largo y tortuoso camino hist¶orico, que normalmente se elimina en las exposiciones did¶acticas
que encontramos en los textos, o bien, se inventan
episodios pseudo-hist¶oricos para dar cierta plausibilidad a los conceptos introducidos. Esto es un indicio de que la introducci¶on de los conceptos y leyes fundamentales de una teor¶³a constituyen en esencia un acto creativo. Por lo tanto la aceptaci¶
on de
una teor¶³a por una comunidad cient¶³¯ca no es un proceso meramente l¶ogico. Por el contrario, la aceptaci¶
on se va dando a medida que los conceptos y estructura de la teor¶³a se van aplicando y su signi¯cado se va a¯rmando, permitiendo una mejor comprensi¶
on de los fen¶omenos involucrados en comparaci¶
on con teor¶³as rivales.
En el caso de los fen¶omenos electromagn¶eticos el proceso de la creaci¶on de una teor¶³a para su comprensi¶
on se aceler¶
o a partir del descubrimiento de la pila el¶ectrica por Volta en 1800. La pila permiti¶
o estudiar los efectos de las corrientes el¶ectricas continuas, siendo uno de los m¶as importantes el campo magn¶etico asociado a ¶estas, descubierto por Oesterd en 1820. Esto permite la uni¯caci¶on parcial de
los fen¶
omenos el¶ectricos y magn¶eticos. Esta uni¯caci¶
on se hizo m¶
as estrecha con el descubrimiento de
la ley de inducci¶on por Faraday en 1831, que establece (en t¶erminos modernos), que la variaci¶on del
°ujo de un campo magn¶etico a trav¶es de un circuito crea una corriente el¶ectrica en ¶este. Es decir, en el
circuito aparece un campo el¶ectrico que produce corriente. El efecto rec¶³proco, la creaci¶on de un campo magn¶etico por la variaci¶on del campo el¶ectrico a
trav¶es de un circuito es postulado por Maxwell, ya
que su observaci¶on directa es muy dif¶³cil. Esta variaci¶
on de un campo el¶ectrico es bautizada por Maxwell como corriente de desplazamiento, ya que tiene
el mismo efecto de una corriente de conducci¶on, esto es, la producci¶on de un campo magn¶etico.
Newton introduce tambi¶en las nociones de tiempo
y espacio absolutos, conceptos que tendr¶
an que ser
sustituidos por los de espacio y tiempo relativos para hacer compatible a la mec¶
anica con la electrodin¶
amica a trav¶es de la mec¶
anica relativista. Esta
u
¶ltima establece los l¶³mites de aplicabilidad, no la incorreci¶
on, de la mec¶
anica cl¶
asica.
Por otra parte, los seguidores de Newton interpretan
la ley matem¶
atica de la gravitaci¶
on como acci¶on a
distancia, concepto rechazado por el mismo Newton
debido a sus ideas teol¶
ogicas. La acci¶
on a distancia
ser¶
a posteriormente desechada por la introducci¶on
del campo electromagn¶etico.
Queda as¶³ para otros talentos la tarea de reformular y generalizar matem¶
aticamente la mec¶
anica, as¶³
como la de aclarar sus conceptos y aplicarla a la
comprensi¶
on de diversos fen¶
omenos mec¶
anicos. Entre estos esta desde luego la continuaci¶
on del estudio del sistema solar, que estimular¶
a el desarrollo
de t¶ecnicas matem¶
aticas avanzadas, como la creaci¶
on de las llamadas funciones especiales (de Bessel, Hermite, Legendre, etc.). Estos talentos incluyen desde Euler y Laplace, hasta Mach y Poincar¶e,
sin olvidar desde luego a Lagrange, Hamilton y Jacobi, que produjeron las versiones matem¶
aticas de
La estructuraci¶
on matem¶atica de los fen¶omenos electromagn¶eticos efectuada por Maxwell, tiene sus antecedentes en las intuiciones de Faraday respecto a
las l¶³neas f¶³sicas de fuerza, as¶³ como en analog¶³as matem¶
aticas entre fen¶omenos electrost¶aticos y la conducci¶
on de calor planteadas por Thomsom (Lord
Kelvin). Estas analog¶³as servir¶an precisamente de
intermediarias entre las l¶³neas de fuerza de Faraday
y el concepto de campo electromagn¶etico introducido por Maxwell.
48
Heaviside y las ecuaciones de Maxwell. J. L. J¶³menez, N. Aquino y I. Campos.
la mec¶
anica que llevan sus nombres. Cabe mencionar a muchos cient¶³¯cos contempor¶aneos que todav¶³a
trabajan en la producci¶on de una axiomatizaci¶
on satisfactoria de la mec¶anica Newtoniana.
Algo semejante ocurre con la electrodin¶amica, donde
tambi¶en muchos f¶³sicos dedicar¶an su talento a simpli¯car y sistematizar la parte matem¶atica, as¶³ como
a aclarar la parte conceptual de la obra de Maxwell.
Tenemos como ¯gura destacada en esta tarea a Heaviside, que como menciona Bork en el art¶³culo cuya
traducci¶
on presentamos aqu¶³, es el primero en resaltar el papel est¶etico de la corriente de desplazamiento que, vista as¶³ proporciona mayor simetr¶³a a las
ecuaciones de Maxwell. Adem¶as Heaviside reformula la teor¶³a de Maxwell en el lenguaje del an¶
alisis vectorial que ¶el mismo crea, as¶³ como Euler contribuye
de manera esencial al desarrollo de la mec¶
anica Newtoniana al reformularla en el lenguaje del c¶
alculo.
Estas reformulaciones de las teor¶³as f¶³sicas tienen importantes consecuencias para su evoluci¶on, pues no
s¶
olo pueden llegar a simpli¯car los problemas meramente matem¶aticos, sino que tambi¶en pueden contribuir al esclarecimiento conceptual y a la interpretaci¶
on f¶³sica de la teor¶³a. Recordemos que Max
Born propone su interpretaci¶on probabilista de la
m¶ecanica cu¶antica bas¶andose en el formalismo de
SchrÄ
odinger y su funci¶on de onda y no en la mec¶
anica
matricial de Heisenberg. En el caso del electromagnetismo, Maxwell propone su teor¶³a formul¶
andola en
t¶erminos de cuaterniones, concepto introducido por
Hamilton para generalizar los n¶
umeros complejos y
cuyo estudio dar¶a lugar al c¶alculo vectorial, contribuyendo a este desarrollo matem¶aticos y f¶³sicos como
Grassmann, Cli®ord, Gibbs (a quien su necesidad de
ense~
nar electromagnetismo lo empuj¶o al c¶alculo vectorial), Tait y sobre todo, Heaviside, quien al mismo
tiempo lo presenta como la estructura matem¶
atica
m¶
as apropiada para la teor¶³a del electromagnetismo.
De esta manera la reformulaci¶on del electromagnetismo propuesta por Heaviside fue captando la atenci¶
on de otros f¶³sicos, sobre todo los alemanes, quienes
consideraban el tratado de Maxwell demasiado obscuro. Es as¶³ que Hertz, a trav¶es de su mentor Helmholtz, se introduce al electromagnetismo a trav¶es del
camino trazado por Heaviside, contribuyendo de manera te¶
orica y experimental al estudio de las ondas
electromagn¶eticas.
Por otra parte, en la teor¶³a original de Maxwell el
concepto de carga el¶ectrica es secundario, teniendo el peso fundamental el concepto de campo. Es decir, la teor¶³a de Maxwell es unitaria en el sentido de
que la carga el¶ectrica resulta del efecto del campo
en los materiales. Ser¶an los f¶³sicos alemanes, como
Helmholtz y Abraham, as¶³ como el holand¶es Lorentz,
los que propongan que los cuerpos cargados son los
que producen el campo electromagn¶etico, dando lugar a otra reformulaci¶on y reinterpretaci¶
on conocida como la teor¶³a de los electrones. Ahora conocemos esta reformulaci¶on como la teor¶³a de MaxwellLorentz, o como la electrodin¶amica microsc¶
opica.
49
Esta l¶³nea de desarrollo a partir de Heaviside tendr¶a
consecuencias a¶
un m¶
as importantes, pues a trav¶es
de la in°uencia de August FÄ
oppl, quien escribe un libro de electromagnetismo ampliamente le¶³do, se llega a Einstein y su teor¶³a de la relatividad. En efecto, FÄ
oppl escribe en el prefacio de su libro: \El trabajo de este autor (Heaviside) ha in°uenciado mi presentaci¶
on m¶
as que cualquier otro f¶³sico, con la excepci¶
on de Maxwell mismo". Tenemos aqu¶³ el ejemplo de c¶
omo un buen texto, con ¯nes puramente
did¶
acticos, puede contribuir al desarrollo de la investigaci¶
on. Esta nueva visi¶
on de los fen¶
omenos electromagn¶eticos plantea el problema de la relaci¶on entre \eter y materia" o como decimos ahora entre radiaci¶
on y materia. Este problema estimular¶
a no s¶olo
el nacimiento de la relatividad, sino tambi¶en el de la
mec¶
anica cu¶
antica y la uni¶
on de ambas en la electrodin¶
amica cu¶
antica.
Oliver Heaviside
Vemos por lo tanto que el desarrollo y evoluci¶on de
la f¶³sica requiere de los talentos de muchas personas,
que contribuyen a reformular las ideas originales estructuradas en las primeras teor¶³as que describen con
¶exito prometedor una clase de fen¶
omenos f¶³sicos. Sin
este trabajo conjunto ser¶³a casi imposible lograr los
¶exitos cient¶³¯cos y tecnol¶
ogicos que conforman nuestra cultura. El art¶³culo de Bork que aqu¶³ presentamos revela el papel que jug¶
o Heaviside en la comprensi¶
on de la corriente de desplazamiento, introducida por Maxwell con otros argumentos menos claros. Tambi¶en presentamos como vi~
netas las ecuaciones de Maxwell como aparecen en su art¶³culo de 1864
y como se encuentran en el tratado. As¶³ mismo presentamos las ecuaciones de Maxwell como aparecen
en el libro de Hertz Electric Waves, en el que trata ya de establecer un conjunto m¶³nimo de ecuaciones, es decir, de postulados independientes. Finalmente tenemos las ecuaciones de Maxwell escritas
por Heaviside en su libro, donde ya es evidente el aspecto simpli¯cado que les da el c¶
alculo vectorial.
50
ContactoS 33, 48{58 (1999)
Maxwell, Corriente de Desplazamiento y
Simetr¶³a
Alfred M. Bork, Am. J. Phys. 31, 854 (1963)
Departamento de F¶³sica, Colegio Superior Reed,
Portland 2 Oregon.
Se c o nside ra n la s ra z o ne s de M a x w e ll pa ra intro duc ir la c o rrie nte de de spla z a mie nto . Sus
tra ba jo s public a do s no c o ntie ne n a rg ume nto s
ba sa do s e n la sime tr¶ ³a ; e l ¶e nfa sis e n la sime tr¶ ³a de la s e c ua c io ne s de M a x w e ll re spe c to de lo s c a mpo s e l¶e c tric o s y ma g n¶e tic o s, se e nc ue ntra e n e l tra ba jo de Oliv e r H e a v iside so bre la te o r¶ ³a e le c tro ma g n¶ e tic a .
La simetr¶³a y la belleza matem¶aticas se han convertido en consideraciones importantes en la F¶³sica del siglo XX, tanto para crear nuevas teor¶³as f¶³sicas como
en la elegante conexi¶on de simetr¶³as y leyes de conservaci¶
on. Uno de los primeros usos de tales consideraciones para desarrollar una nueva teor¶³a se suele atribuir a James Clerk Maxwell. Norman Campbell dice1 : \Suponga que encuentra una p¶agina con
los siguientes s¶³mbolos en ella - - sin importar si signi¯can algo (Las ecuaciones de Maxwell sin la corriente de desplazamiento en la izquierda y con corriente de desplazamiento a la derecha ). Pienso que ver¶
a
que el conjunto de t¶erminos a la derecha son m¶
as bellos en alg¶
un sentido que aquellos de la izquierda; son
m¶
as sim¶etricos. Bueno, el gran f¶³sico, James Clerk
Maxwell, alrededor de 1870, tambi¶en pens¶o as¶³; y
sustituyendo los s¶³mbolos del lado derecho en lugar de los del lado izquierdo fund¶o la f¶³sica moderna
y, entre otros resultados pr¶acticos, hizo posible la telegraf¶³a inhal¶
ambrica". Tambi¶en se encuentran a¯rmaciones similares en fuentes m¶as recientes2 .
En el aula es usual enfatizar la simetr¶³a de las ecuaciones de Maxwell; uno puede incluso permitir a la
clase \descubrir" la corriente de desplazamiento, como Campbell dice hizo Maxwell. Pero >representa ¯elmente este procedimiento, pedag¶ogicamente
u
¶til, el razonamiento hist¶orico en la introducci¶
on del
concepto? El conjunto de eventos hist¶oricos ciertos y el conjunto del material pedag¶ogicamente u
¶til,
si bien poseen una intersecci¶on no vac¶³a, no son conjuntos id¶enticos. Ahora los f¶³sicos y los historiadores de la ciencia est¶an dolorosamente concientes del
f¶acil °orecimiento de leyendas hist¶oricas en las ciencias. Aqu¶³ nuestro prop¶osito es tratar de determinar los eventos hist¶oricos que subyacen la introducci¶
on de la corriente de desplazamiento por Maxwell.
Primero veamos qu¶e tiene que decir Maxwell respecto de la corriente de desplazamiento, luego examinaremos algunas de las fuentes secundarias y, ¯nalmente, trataremos de sacar algunas conclusiones.
Los tres art¶³culos principales
El trabajo de Maxwell sobre la teor¶³a del campo electromagn¶etico est¶
a publicada b¶
asicamente en
tres art¶³culos principales: \Sobre las l¶³neas de fuerza de Faraday" (1855- 1856), \Sobre las l¶³neas de
fuerza f¶³sicas" (1861-1862), y \Una teor¶³a din¶
amica
del campo electromagn¶etico" (1864). Los art¶³culos
muestran un desarrollo progresivo del pensamiento de Maxwell. La l¶³nea de desarrollo ha sido rese~
nada por Whittaker3 y Gillespie4 , por lo que aqu¶³
bastar¶
a con un resumen.
Como indica el t¶³tulo, el primer art¶³culo est¶
a basado
en el trabajo de Faraday, en particular su extensi¶on
a la estructura matem¶
atica. El segundo art¶³culo emplea un elaborado modelo mec¶
anico de celdas rotantes y contiene todos los resultados matem¶
aticos esenciales en veinte ecuaciones con veinte inc¶
ognitas. El
tercer art¶³culo es de¯nitivo | se abandona el modelo, se re¶
unen las ecuaciones (en la parte III), y se introduce el t¶ermino \campo electromagn¶etico".
Deseamos determinar ahora qu¶e dice cada uno de
esos art¶³culos acerca del t¶ermino de corriente de
desplazamiento5 . En el trabajo I no aparece la corriente de desplazamiento. La ecuaci¶
on con \rot H"
aparece s¶
olo con el t¶ermino de corriente de conducci¶
on en el lado derecho de las tres ecuaciones. (Debe
notarse que aqu¶³ se usa este nombre s¶
olo por conveniencia. Maxwell no usa esta notaci¶
on en los trabajos I, II ¶
o III). Inmediatamente despu¶es de las ecuaciones dice6 : \Podemos observar que las ecuaciones
de arriba dan por diferenciaci¶
on
dbz
dcz
daz
+
+
= 0;
dx
dy
dz
que es la ecuaci¶
on de continuidad para corrientes cerradas. Nuestras investigaciones est¶
an, por lo tanto, limitadas por ahora a corrientes cerradas; y sabemos poco de los efectos magn¶eticos de cualquier
corriente que no sea cerrada". Deja esto y procede a otros asuntos.
La corriente de desplazamiento aparece por primera vez en el trabajo I7 . Se re¯ere al desplazamiento
de electricidad en cada mol¶ecula debido a un campo
el¶ectrico aplicado a un diel¶ectrico, como se mide por
el desplazamiento el¶ectrico. \El efecto de esta acci¶on
en la masa total del diel¶ectrico es producir un desplazamiento general de la electricidad en cierta direcci¶
on. Este desplazamiento no da lugar a una corriente, debido a que cuando alcanza cierto valor permanece constante, pero es el inicio de una corriente, y su variaci¶
on constituye corrientes en direcci¶on
positiva o negativa, ya sea que el desplazamiento este increment¶
andose o disminuyendo". Unas cuantas
Heaviside y las ecuaciones de Maxwell. J. L. J¶³menez, N. Aquino y I. Campos.
p¶
aginas despu¶es usa esta conclusi¶on, en la proposici¶
on XIV, \Para corregir las ecuaciones (9) de las corrientes el¶ectricas respecto del efecto debido a la elasticidad del medio. . . una variaci¶on del desplazamiento es equivalente a una corriente, esta corriente debe tomarse en cuenta y sumarse (a la corriente de
conducci¶
on) en la ecuaci¶on (9). . . " Entonces obtiene la ecuaci¶
on de continuidad con el t¶ermino de la derivada temporal.
Como hemos indicado, el trabajo III es de muchas
maneras una versi¶on m¶as pulida y elegante del trabajo II. Entre las veinte ecuaciones del campo electromagn¶etico est¶an aqu¶ellas que sumando las corrientes de desplazamiento y las corrientes de conducci¶
on constituyen las corrientes \verdaderas". El
\desplazamiento el¶ectrico" consiste en la electrizaci¶
on opuesta de los extremos de las mol¶eculas o
part¶³culas del cuerpo que puede o no estar acompa~
nada con transmisi¶on a trav¶es del cuerpo. . . las variaciones del desplazamiento el¶ectrico deben sumarse a las corrientes para obtenerse el movimiento total de electricidad . . . "8 . La ecuaci¶on de continuidad tambi¶en es una de las veinte ecuaciones, que no
se deduce aqu¶³ de las otras. Es digno de notarse que
en el trabajo III la ecuaci¶on de \rot H" no aparece expl¶³citamente con la derivada temporal del desplazamiento, porque las ecuaciones para las corrientes verdaderas aparecen por separado, a diferencia
del trabajo II.
Un tratado sobre electricidad y magnetismo
El tratado9 apareci¶o en tres ediciones, 1873, 1881,
y 1892. Respecto de la corriente de desplazamiento todas las ediciones son casi id¶enticas; Maxwell
revis¶
o s¶
olo la primera parte de la segunda edici¶
on
(N.T. Maxwell muri¶o en 1879). En general el tratado es de tono similar al trabajo III; en el segundo volumen las ecuaciones fundamentales est¶
an reunidas casi igual que en el trabajo III. En el primer
volumen Maxwell hace sugerencias sobre la corriente en una discusi¶on del desplazamiento el¶ectrico9 .
\Cuando ocurre inducci¶on en un diel¶ectrico, tiene lugar un fen¶
omeno que es equivalente a un desplazamiento de electricidad en la direcci¶on de la inducci¶
on. . . Cualquier incremento de este desplazamiento es equivalente, durante el tiempo del incremento, a una corriente de electricidad positiva de dentro hacia afuera, y cualquier disminuci¶on del desplazamiento es equivalente a una corriente en direcci¶
on opuesta". Whittaker10 parece que pas¶
o por alto este pasaje.
En el volumen dos s¶³ emerge un nuevo elemento:
Maxwell establece expl¶³citamente que la corriente de
desplazamiento es una contribuci¶on nueva. \Una de
las principales peculiaridades de este tratado es la tesis que a¯rma que la verdadera corriente el¶ectrica ,
51
de la cual depende el fen¶
omeno electromagn¶etico, no
es la misma cosa que R, la corriente de conducci¶on,
ya que la variaci¶
on temporal de D, el desplazamiento el¶ectrico, debe tomarse en cuenta para calcular el
movimiento total de electricidad; entonces debemos
escribir c = R+ D_ (Ecuaci¶
on de las corrientes verdaderas). . . " Precisamente antes de esto12 hab¶³a escrito la ecuaci¶
on \rot H" con corriente; se~
nala que esto implica divergencia de la corriente cero, y por lo
tanto circuitos cerrados. \Esta ecuaci¶
on es verdadera si tomamos u, v y w como las componentes del °ujo el¶ectrico debido tanto a la variaci¶
on del desplazamiento el¶ectrico como a la verdadera conducci¶on".
Contin¶
ua \Tenemos muy poca evidencia experimental respecto a la acci¶
on electromagn¶etica directa de
corrientes debidas a la variaci¶
on del desplazamiento el¶ectrico en un diel¶ectrico, pero la extrema di¯cultad de reconciliar las leyes del electromagnetismo con la existencia de corrientes el¶ectricas que no
sean cerradas es una de las razones, entre otras muchas, por las cuales debemos admitir la existencia de
corrientes transitorias debidas a la variaci¶
on del desplazamiento. Se ver¶
a su importancia cuando lleguemos a la teor¶³a electromagn¶etica de la luz".
Otros art¶³culos y cartas de Maxwell
En la segunda parte del breve art¶³culo \Sobre un
M¶etodo Para Hacer una Comparaci¶
on Directa de la
Fuerza Electrost¶
atica con la Electromagn¶etica; con
una nota sobre la Teor¶³a Electromagn¶etica de la
Luz", Maxwell repasa la teor¶³a electromagn¶etica de
la luz para distinguir su enfoque del de Riemann,
Weber y Lorentz13 . Despu¶es de establecer tres teoremas, dice: \Cuando sobre un diel¶ectrico act¶
ua
una fuerza electromotriz, experimenta lo que podemos llamar polarizaci¶
on el¶ectrica. Si la direcci¶on de
la fuerza electromotriz se llama positiva, y si suponemos al diel¶ectrico limitado (circunscrito) por dos
conductores, A del lado negativo y B del lado positivo, entonces la super¯cie del conductor A est¶a electrizada positivamente, y la super¯cie de B negativamente,. . . " Entonces, \Teorema D: cuando el desplazamiento el¶ectrico se incrementa o disminuye el efecto es equivalente al de una corriente el¶ectrica en la
direcci¶
on positiva o negativa. Entonces, si los dos
conductores en el u
¶ltimo caso se conectan mediante un alambre, habr¶
a una corriente en el alambre
de A a B . . . De acuerdo con este punto de vista, la corriente producida al descargarse un condensador es un circuito completo, y puede seguirse dentro del diel¶ectrico mismo mediante un galvan¶ometro
construido adecuadamente. No estoy enterado de
que esto se haya hecho, de manera que esta parte
de la teor¶³a, aunque consecuencia natural de lo anterior, no se ha veri¯cado mediante un experimento directo. Ciertamente, el experimento ser¶³a muy delicado y dif¶³cil." Despu¶es de esto Maxwell deduce las on-
52
das electromagn¶eticas planas a partir de esas suposiciones sin escribir las ecuaciones de campo en su forma general.
Debemos recordar otro art¶³culo \Discurso a
la Secci¶
on Matem¶atica y F¶³sica de la Asociaci¶
on Brit¶
anica", que tuvo lugar el 15 de septiembre de 1870.
Aqu¶³, ¯nalmente, encontramos a Maxwell mencionando asuntos de simetr¶³a matem¶atica.
Debido a su importancia para la investigaci¶on presente, y debido al inter¶es general del tema, se cita en detalle parte de ¶el.
\El estudioso que desea dominar cualquier ciencia
particular debe familiarizarse con las diversas cantidades que pertenecen a esa ciencia. Cuando entiende todas las relaciones entre estas cantidades, las
considera como un sistema interconectado, y clasi¯ca el sistema completo de cantidades reunidas como pertenecientes a esa ciencia particular. Esta clasi¯caci¶
on es la m¶as natural desde un punto de vista
f¶³sico, y generalmente es la primera en un orden temporal."
ContactoS 33, 48{58 (1999)
Parece que no existe una colecci¶
on sistematizada de
las cartas de Maxwell. Algunas cartas est¶
an en la bibliograf¶³a escrita por Campbell y Garnett15 . Las importantes cartas a W. Thomson se han publicado en
un volumen diferente16 . Una carta a Thomson citada a menudo describe el art¶³culo de 1861, pero no
menciona a la corriente de desplazamiento con este nombre. S¶³ dice: \As¶³ habr¶
a un desplazamiento de part¶³culas proporcional a la fuerza electromotriz, y cuando esta fuerza es retirada las part¶³culas se
recobrar¶
an del desplazamiento". Las cartas a G. G.
Stokes17 y P. G. Tait18 no contribuyen en nada al conocimiento de la corriente de desplazamiento. Finalmente, la poes¶³a de Maxwell no contiene ninguna referencia.
\As¶³ es llevado a reconocer una clasi¯caci¶on de cantidades bajo un nuevo principio, seg¶
un el cual la naturaleza f¶³sica de la cantidad es subordinada a su forma matem¶
atica. Este es el punto de vista caracter¶³stico del matem¶atico; pero temporalmente aparece despu¶es del aspecto f¶³sico, porque la mente humana, para concebir diferentes clases de cantidades, debe distinguirlas primero en la naturaleza."
Fuentes secundarias
El trabajo de Maxwell sobre la teor¶³a electromagn¶etica, como el de Newton en mec¶
anica,
no logr¶
o aceptaci¶
on inmediata aun en Inglaterra. Los tres trabajos principales obtuvieron poca atenci¶
on, y s¶
olo despu¶es del Tratado la teor¶³a encontr¶
o partidarios. La mayor¶³a de los amigos cercanos de Maxwell no reconocieron su importancia. W. Thompson mantuvo reservas de por vida acerca de la teor¶³a como un todo y acerca de la corriente de desplazamiento en particular. P. G. Tait, la otra mitad de la famosa \T y T", escribi¶
o tanto una rese~
na, no ¯rmada, del Tratado como una evaluaci¶
on del trabajo de Maxwell despu¶es de su muerte.20;21 La rese~
na es altamente favorable, compara a Maxwell con Newton; enlista nueve puntos particularmente dignos de menci¶
on (<Menciona incluso los cuaterniones!) pero omite mencionar la corriente de desplazamiento. Esta omisi¶
on junto con la evaluaci¶
on nos conduce a pensar que Tait no entendi¶
o plenamente la nueva teor¶³a. Las rese~
nas en Quarterly Journal of Science y en Journal of Science and Arts, tampoco mencionan la corriente de desplazamiento.
Como era de esperarse, los cient¶³¯cos ingleses que aceptaron a Maxwell fueron mucho m¶
as in°uenciados por su tratamiento. Watson y Burbury22 dieron los mismos argumentos concernientes a la polarizaci¶
on del medio diel¶ectrico que hemos visto en su forma original.
Pero no hay referencia expl¶³cita a la corriente de desplazamiento, y Maxwell s¶olo cita ejemplos del trabajo de otros. Los casos que vienen a la mente
de la lectura de las a¯rmaciones anteriores son (1)
la analog¶³a entre la conducci¶on del calor y la electrost¶
atica se~
nalada por W. Thomson, y (2) la analog¶³a general entre hidrodin¶amica y el campo electromagn¶etico, mencionada por Maxwell al comienzo del trabajo I.
Oliver Heaviside es el primer f¶³sico que, hasta donde sabe el presente autor, se re¯ere expl¶³citamente a
la simetr¶³a de las ecuaciones de Maxwell. En el deleitable prefacio a \Teor¶³a Electromagn¶etica"23 , menciona su esbozo de la \teor¶³a electromagn¶etica desde el punto de vista de Faraday-Maxwell, con algunas peque~
nas modi¯caciones y extensiones sobre las
ecuaciones de Maxwell". Sugiere tres modi¯caciones: Primero, usa unidades racionalizadas; segundo,
\Pero cuando el estudioso se ha familiarizado con
varias ciencias diferentes, encuentra que los procesos matem¶
aticos y las formas de razonamiento en
una ciencia se parecen tanto a los de otra que su conocimiento de una ciencia puede convertirse en una
muy u
¶til ayuda en el estudio de la otra."
\Cuando examina la raz¶on de esto encuentra que
en las dos ciencias ha estado tratando con sistemas
de cantidades en los cuales las formas matem¶
aticas
de las relaciones entre cantidades son las mismas en
ambos sistemas, aunque la naturaleza f¶³sica de las
cantidades puede ser totalmente diferente."
Heaviside y las ecuaciones de Maxwell. J. L. J¶³menez, N. Aquino y I. Campos.
usa notaci¶
on vectorial similar a la contempor¶
anea,
con \rot" y \div" y tipograf¶³a en negritas (Clarendon); y tercero, \se hace en la forma d¶
uplex que introduje en 1885, por medio de la cual los aspectos
el¶ectrico y magn¶etico del electromagnetismo, son exhibidos sim¶etricamente y conectados . . . " Es claro
que ¶el considera la \forma d¶
uplex" como una innovaci¶
on importante que no aparece en los art¶³culos o libros de Maxwell. Tanto en su art¶³culo anterior, \Inducci¶
on Electromagn¶etica y su Propagaci¶on"24 , como en \Teor¶³a Electromagn¶etica" usa esta simetr¶³a.
En el primer trabajo, por ejemplo, escribe las dos
ecuaciones con rotacional una despu¶es de la otra, notando que \Debemos cambiar fuerza magn¶etica por
fuerza el¶ectrica tomada negativamente, y corriente
el¶ectrica por corriente magn¶etica", usando corriente en el sentido Maxwelliano de incluir los t¶erminos
con derivada temporal. Hay una indicaci¶on25 de que
la corriente de desplazamiento hace posible esta forma: \La corriente el¶ectrica en un no conductor era el
meollo para coordinar electrost¶atica y electrocin¶etica
y armonizar consistentemente las ecuaciones del electromagnetismo" Heaviside usa incluso esta simetr¶³a
para hacer una extensi¶on de las ecuaciones de Maxwell: Introduce expl¶³citamente un t¶ermino de corriente de conducci¶on magn¶etica para empatarlo con
el t¶ermino de conducci¶on el¶ectrica, haciendo entonces las ecuaciones completamente sim¶etricas excepto por los signos; no obstante reconoce que \Posiblemente no hay tal cosa como una corriente magn¶etica
de conducci¶
on, con disipaci¶on de energ¶³a"26 Aunque
esta adici¶
on no alcanz¶o aceptaci¶on general, por varias razones la han hecho los f¶³sicos del presente siglo. En otro trabajo,27 vemos que Heaviside considera esta simetr¶³a como ayuda en los c¶alculos basados en las ecuaciones de Maxwell: \El m¶etodo de
tratar el esquema electromagn¶etico Maxwelliano empleado en el texto (introducido primero en \Inducci¶
on electromagn¶etica y su propagaci¶on", El electricista, enero 3 de 1885) quiz¶as pueda llamarse apropiadamente m¶etodo D¶
uplex, pues su caracter¶³stica
es la exhibici¶on de las relaciones el¶ectrica, magn¶etica
y electromagn¶etica en una forma d¶
uplex, sim¶etrica
con respecto a las partes el¶ectrica y magn¶etica. Pero no es meramente un m¶etodo para exhibir la relaci¶
on oculta a la vista por la intervenci¶
on del potencial vectorial y sus par¶asitos, sino que constituye tambi¶en un m¶etodo de trabajo."
Webster28 se re¯ere a Heaviside m¶as que a Maxwell cuando dice: \Estas ecuaciones (rot B) ahora son completamente an¶alogas a las ecuaciones (5)
(rot E) excepto por la diferencia en el signo del lado
izquierdo. . . " George Francis FitzGerald, otro \seguidor" de Maxwell en su rese~
na29 muy favorable de
\Art¶³culos el¶ectricos" de Heaviside, tambi¶en men-
53
ciona este aspecto de Heaviside: \La dualidad de la
electricidad y el magnetismo era un hecho viejo y familiar. La ley del inverso del cuadrado se aplica a
ambos; todo problema en una tiene su contraparte en el otro. Oliver Heaviside ha extendido esto a todo el electromagnetismo. Mediante la suposici¶on de
la posibilidad de conducci¶
on magn¶etica, ha hecho todas las ecuaciones sim¶etricas. Todo matem¶
atico puede apreciar el valor y la belleza de esto". Hertz20 no
se re¯ere directamente a los aspectos de simetr¶³a de
las ecuaciones de Maxwell, pero s¶³ escribe las ecuaciones de manera contempor¶
anea (sin notaci¶on vectorial), y entonces hace hincapi¶e en que \El se~
nor
Heaviside ha estado trabajando en la misma direcci¶
on desde 1885. Elimin¶
o de las ecuaciones de Maxwell los mismos s¶³mbolos que yo; y la simpl¶³sisima
forma que adquieren esas ecuaciones con ello es esencialmente la misma a la que llegu¶e."
Posiblemente no nos desv¶³e mucho notar la in°uencia esencial de Heaviside en la propagaci¶
on de las
ideas de Maxwell. Parece haber sido la primera persona en investigar las consecuencias de la teor¶³a en
muchas direcciones. Hemos hecho notar su inter¶es en
la formulaci¶
on b¶
asica de la teor¶³a. Encontr¶
o la ecuaci¶
on para la energ¶³a del campo electromagn¶etico independientemente de Poynting; condujo investigaciones exhaustivas sobre varios tipos de ondas electromagn¶eticas, y estudi¶
o de manera m¶
as adecuada que J. J. Thomson la radiaci¶
on producida por
una carga en movimiento, dando origen al concepto de masa electromagn¶etica el cual ser¶³a desarrollado por Lorentz y Abraham. Cualquier seguimiento
cuidadoso de la historia de la teor¶³a electromagn¶etica
deber¶³a dedicar atenci¶
on considerable a Heaviside.
Uno debe estar de acuerdo con la cita que acompa~
n¶
o su grado honorario otorgado por la Universidad de GÄ
ottingen en 1905: \. . . entre los propagadores de la ciencia Maxwelliana, f¶
acilmente el primero."
Duhem31 se re¯ere a la corriente de desplazamiento en su singular comparaci¶
on de los f¶³sicos ingleses y continentales. Se lamenta de que Maxwell introduzca repentinamente el concepto con poco cuidado, en contraste con lo que ¶el hubiera esperado
de un f¶³sico franc¶es o alem¶
an. A¯rma: \Esta corriente de desplazamiento fue introducida por Maxwell para completar la de¯nici¶
on de las propiedades de un diel¶ectrico en un tiempo dado. . . tiene
una estrecha analog¶³a con la corriente de conducci¶
on. . . "
Regresando a nuestro punto de partida, encontramos
que el mismo N. R. Campbell no es consistente con
sus puntos de vista del problema. En contraste con
su pasaje en \Qu¶e es la Ciencia", dice en \F¶³sica,
Los Elementos"32 : \La introducci¶
on (de la corriente
54
ContactoS 33, 48{58 (1999)
de desplazamiento) . . . fue sugerida por la teor¶³a
del campo electrost¶atico de Faraday . . . " En otra
discusi¶
on de la corriente de desplazamiento33 no se
mencionan consideraciones est¶eticas.
contra de Campbell; pero el trabajo II es m¶
as favorable a ¶el en este respecto.
Conclusiones
Con base en la evidencia presentada parecen estar
garantizadas las siguientes conclusiones:
La explicaci¶
on alternativa del cambio dada por
Campbell pesa tambi¶en en contra suya. M¶
as a¶
un,
en \Qu¶e es la Ciencia" ¶el asigna la fecha \alrededor de 1870". Esto es unos diez a~
nos despu¶es de que
Maxwell empez¶
o a usar la corriente de desplazamiento, pero curiosamente la fecha coincide con el \discurso". El origen de las a¯rmaciones de Campbell
sugerido por esta consideraci¶
on debe de tomarse como especulaci¶
on. Una posibilidad mejor es que el argumento de Campbell es un embellecimiento de la
forma d¶
uplex de Heaviside, no obstante que Heaviside no la us¶
o para justi¯car la existencia de la corriente de desplazamiento. Como hemos visto, Heaviside mismo consider¶
o el paralelismo entre electricidad y magnetismo como propio, y Webster y FitzGerald concordaron con ¶el.
1. Consistentemente Maxwell expone dos factores
relacionados cuando usa la corriente de desplazamiento. Primero, las ecuaciones de rot H sin
tal t¶ermino implicar¶³an que la corriente de conducci¶
on deber¶³a de °uir s¶olo en circuitos cerrados, una situaci¶on inaceptable si consideramos
corrientes de conducci¶on. Notamos esta conclusi¶
on en el trabajo I, antes de que haga sugerencia alguna de la corriente adicional. Pero la \corriente verdadera" s¶olo °uye en circuitos cerrados. Tambi¶en la ecuaci¶on de continuidad para corrientes est¶a agrupada en los dos siguientes trabajos con las ecuaciones de campo. Segundo, la corriente de desplazamiento
es una corriente f¶³sica en el medio diel¶ectrico,
tan \real" como la corriente de conducci¶
on. La
ecuaci¶
on para las \corrientes verdaderas" enfa¶ incluso discute las di¯cultades patiza esto. El
ra intentar medir la corriente. Debe recordarse que el vac¶³o en t¶erminos de la teor¶³a electromagn¶etica es un concepto ajeno a Maxwell, entonces los diel¶ectricos incluyen el caso que describir¶³amos como vac¶³o. Como dijo Heaviside,
\el eter es diel¶ectrico". El tema de desplazamientos de carga variables (medidos por el desplazamiento el¶ectrico) en las mol¶eculas del medio como corrientes ocurre una y otra vez con
muy poca variaci¶on.
2. No hay evidencia directa para sustentar la noci¶
on de que Maxwell introdujo el t¶ermino de corriente de desplazamiento para mejorar la simetr¶³a de las ecuaciones del campo electromagn¶etico. En los tres art¶³culos o en el Tratado no hay a¯rmaci¶on que pueda interpretarse as¶³; de hecho, s¶olo se encuentran las razones alternativas para su introducci¶on. (establecidas arriba en (1)). El enfoque m¶as pr¶
oximo
aparece en la discusi¶on de la simetr¶³a que est¶
a
en \el discurso" nueve a~
nos despu¶es de haber introducido la corriente de desplazamiento pero,
como hemos notado, debemos leer entre l¶³neas
de lo que realmente escribi¶o para ver la discusi¶
on referente a la corriente de desplazamiento. El hecho de que los dos conjuntos de tres
ecuaciones sim¶etricas se establezcan en el trabajo III como tres conjuntos de ecuaciones (perdi¶endose as¶³ las propiedades de simetr¶³a) va en
Esta conclusi¶
on negativa est¶
a sujeta a todas las reservas usuales que requiere un resultado nulo. Primero, un estudio m¶
as cuidadoso con fuentes hasta ahora desconocidas podr¶³a revelar un fundamento para el argumento de simetr¶³a. Las cartas y trabajos de Maxwell en el laboratorio Cavendish podr¶³an
contribuir con revelaciones adicionales. Segundo, incluso sino se encuentra apoyo en un caso ideal en
el que todas las posibles fuentes se conozcan y se
examinen, la sugerencia todav¶³a no ser¶³a imposible.
Existe siempre una brecha (incluso en Kepler) entre el hombre creativo y el hombre que escribe, entre los procesos mentales detr¶
as de un descubrimiento y la descripci¶
on posterior de ese descubrimiento en libros y art¶³culos; es esto lo que hace el estudio del \m¶etodo cient¶³¯co", lo que el cient¶³¯co realmente hace, tan dif¶³cil.
Vi~
neta 1
Ecuaciones de Maxwell en su art¶³culo: The Dynamical Theory of Electromagnetic ¯eld. The Royal Society Transaction Vol. CLV, 1864. Publicado en \The Scienti¯c Papers of James Clerk Maxwell", W. D. Niven editor, Dover 1965.
Desplazamiento electrico
p0
= p + df
dt
q0
= q + dg
dt
r0
= r + dh
dt
Heaviside y las ecuaciones de Maxwell. J. L. J¶³menez, N. Aquino y I. Campos.
Fuerza magn¶etica
¹® =
dH + dG
dy
dz
¹¯
=
dF + dH
dz
dx
¹°
=
dG + dF
dx
dy
Ecuaciones de las corrientes
d° d¯
dy ¡ dz
= 4¼p0
d® ¡ d°
dz
dx
= 4¼q 0
d¯ ¡ d®
dx
dy
= 4¼r0
Ecuaciones de fuerza electromotriz
³
´
dz ¡ dF ¡ dÃ
P = ¹ ° dy
¡
¯
dt
dt
dt
dx
³
´
dx ¡ dG ¡ dÃ
Q = ¹ ® dz
¡
°
dt
dt
dt
dy
R
En estas ecuaciones hemos empleado la nomeclatura:
Momento electromagn¶etico
F G H
Intensidad magn¶etica
® ¯ °
Fuerza electromotriz
P Q R
Corriente debida a la conducci¶
on
verdadera
p q
r
Desplazamiento el¶ectrico
f
g
h
Corriente total
p0 q 0 r0
Carga electrica
e
Potencial el¶ectrico
Ã
Vi~
neta 2
Ecuaciones de Maxwell como aparecen en: ATreatise
on Electrcity and Magnetism, J. C. Maxwell, Dover
1954 (Republicaci¶
on de la 3a. Edici¶
on, Clarendon
1891).
a)
de dp dq
dr
+
+
+
=0
dt dx dy dz
=
dF ¡ dH
dz
dx
c
=
dG ¡ dF
dx
dy
Ecuaci¶
on de la fuerza electromotriz.
Ã; ' potencial escalar.
c)
x = vc ¡ wb
y = wa ¡ uc
z = ub ¡ va
P = ¡½p
Q = ¡½q
R = ¡½r
Ecuaci¶
on de la continuidad
b
dÃ
dz dF
= c dy
dt ¡ b dt ¡ dt ¡ dx
dx dG dÃ
Q = a dz
dt ¡ b dt ¡ dt ¡ dy
dy dH
dÃ
R = b dx
dt ¡ b dt ¡ dt ¡ dz
Ecuaciones de la resistencia el¶ectrica
df
dg dh
e+
+
+
=0
dx dy
dz
dH ¡ dG
dy
dz
P
Ecuaciones de la elasticidad el¶ectrica
Ecuaci¶
on de electrcidad libre
a =
b)
³
´
dy
dÃ
dH
¡
®
= ¹ ¯ dx
dt
dt ¡ dt ¡ dz
P = kf
Q = kg
R = kh
55
Ecuaci¶
on de la fuerza electromagn¶etica
F = V
¼
C B
¼ ¼
d)
a = ® + 4¼A
b = ¯ + 4¼B
c = ° + 4¼C
Ecuaciones de la magnetizaci¶
on
B = H
¼
¼
+ 4¼J
¼
56
ContactoS 33, 48{58 (1999)
e)
l)
4¼u
=
d°
d¯
dy ¡ dz
4¼v
=
d® ¡ d°
dz
dx
4¼w =
d¯
d®
dx ¡ dy
Ecuaciones de la corriente el¶ectrica.
f)
D
¼
=
1
4¼E
¼
Ecuaci¶
on del desplazamiento el¶ectrico.
g)
N
¼
= CF
¼
Ecuaci¶
on de la conductividad.
h)
I = N
¼
¼
+ D_
¼
B
¼
Vi~
neta 3
Ecuaciones de Maxwell en el libro de Hertz: Electric
Waves, McMillan and Co. Ltd., London 1900.
Si X; Y; Z son las componentes de la fuerza el¶ectrica
a lo largo de las coordenadas x; y; z (<sistema izquierdo!), \suponga que est¶
a usted en el origen del sistema de coordenadas en el plano xy. Suponga adem¶as
que la direcci¶
on positiva de x es hacia arriba y la direcci¶
on de y a su derecha. A menos de que se siga esta convenci¶
on, los signos de las fuerzas el¶ectricas y
magn¶eticas en las siguientes ecuaciones no tendr¶an
signi¯cado usual. L; M; N son las componentes correspondientes de la fuerza magn¶etica en unidades
gaussianas. X 0 ; Y 0 ; Z 0 las componentes de la fuerza electromotriz y u; v; w las componentes de la corriente el¶ectrica, " es la capacidad inductiva especi¯ca y ¹ la permeabilidad magn¶etica, ¸ la conductividad especi¯ca.
Ecuaci¶
on de las corrientes verdaderas.
h¤ )
dZ ¡ dY ;
dy
dz
A dM
dt
=
dX ¡ dZ ;
dz
dx
v
= q + dg
dt
A dN
dt
=
dY ¡ dX ;
dx
dy
I =
¼
³
´
1 Kd E
C + 4¼
dt
¼
i )
1 K dP
u = CP + 4¼
dt
1 K dQ
= CQ + 4¼
dt
1 K dR
u = CR + 4¼
dt
j)
df
dg dh
½=
+
+
dx dy
dz
k)
=
= p + df
dt
i)
v
A dL
dt
u
w = r + dh
dt
¤
= ¹H
¼
¾ = lf + mg + nh + l0 f 0 + m0 g0 + n0 h0
l; m; n cosenos directores de la normal a la super¯cie, ¾ es la densidad super¯cial de carga.
(1a)
A dX
dt
=
dM ¡ dN ¡ 4¼Au;
dz
dy
A dY
dt
=
dN ¡ dL ¡ 4¼Av;
dx
dz
A dZ
dt
=
dL ¡ dM ¡ 4¼Aw;
dy
dy
(1b)
donde
L
M
N
= ¹11 L + ¹12 M + ¹13 N;
= ¹21 L + ¹22 M + ¹23 N;
= ¹31 L + ¹32 M + ¹33 N ;
X = "11 X + "12 Y + "13 Z;
Y = "21 X + "22 Y + "23 Z;
Z = "31 X + "32 Y + "33 Z;
(1c)
(1d)
v = ¸11 (X¡X 0 ) + ¸12 (Y¡Y 0 ) + ¸13 (Z¡Z 0 );
u = ¸21 (X¡X 0 ) + ¸22 (Y¡Y 0 ) + ¸23 (Z¡Z 0 );
w = ¸31 (X¡X 0 ) + ¸32 (Y ¡Y 0 ) + ¸33 (Z¡Z 0 ):
(1e)
Heaviside y las ecuaciones de Maxwell. J. L. J¶³menez, N. Aquino y I. Campos.
De las ecuaciones anteriores se deducen
´
R ³ dX dY
dZ
+
+
dt
=
dy
dz
R dx
(X cos n; x + Y cos n; y + Z cos n; z)dw =
4¼e:
57
Conducci¶
on magn¶etica
~ =G
¡Curl E
(2)
El punto sobre la D no aparece en el original (error
tipogr¶
a¯co)
J = C + D_ + ½u
G = K + B_ + ¾w
~B
~
F~ = V C
dY
dZ
dX
+
+
= 0 (3)
dx
dy
dz
dL dM
dN
+
+
= 0 (4)
dx
dy
dz
Vi~
neta 4
Ecuaciones del electromagnetismo en el libro de Haveside: Electromagnetic Theory, Dover 1950.
La V signi¯ca producto vectorial.
No encontramos menci¶
on alguna en el libro de Heaviside sobre un conjunto m¶³nimo de ecuaciones o algo por el estilo, a diferencia del libro de Hertz que,
de paso sea dicho meciona los trabajos de Heaviside (no el libro pues es posterior).
Bibliograf¶³a
~
D
~
B
~
= cE
~
= ¹H
c; ¹ son propiedades f¶³sicas del medio, c es la capacidad de permitir desplazamiento el¶ectrico, es u permitividad, ¹ es la capcacidad de soportar inducci¶
on
magn¶etica, es su inductividad.
Energ¶³a el¶ectrica
U=
Z
~
D
~ dD
~
E
0
Energ¶³a magn¶etica
T=
Z
~
B
~ dB
~
H
0
Corriente de conducci¶on
~ = xE
~
C
Si encontramos una sustancia que no pueda soportar
fuerza magn¶etica sin disipaci¶on continua de energ¶³a,
tal sustanci deber¶³a (por analog¶³a) ser conductor
magn¶etico.
~
K
¡
~
= gH
= C + D_
Conducci¶
on el¶ectrica
~ =J
Curl H
1. N. R. Campbell, What is Science, (Methuen and
Company, Ltd., London, 1921), pp. 155-156.
2. E. Rogers, Physics for the Inquiring Mind
(Princeton University Pres. Princeton, New
Jersey, 1960), p.471.
3. E. T. Whittaker, A History of the Theories of
Aether and Electricity (Longmans Green and
Company Ltd., London 1910), 1st . ed.
4. C. C. Gillispe, The Edge of Objetivity (Princeton University Press, Princeton, New Jersey,
1960).
5. Por brevedad se llamar¶
a a los art¶³culos I, II,
III. El n¶
umero de la p¶
agina para los art¶³culos se
re¯ere a The Scienti¯c Papers of James Cleck
Maxwell, W. D. Niven editor (Cambridge University Press, Cambridge, England, 1890). Vol
I
6. Ref. 5, p. 194
7. Ref. 5, p. 491
8. Ref. 5, p. 554
9. J. C. Maxwell, A Treatise of Electricity and
Magnetism (Oxford University Press, Oxford,
England) Vol. I 1a. edition (1873), p. 132, 2a.
edition (1881), p. 154; 3a. edition (1892), p.
166. La segunda y tercera edici¶
on usan una terminolog¶³a ligeramente diferente.
10. E. T. Whittaker , Ref. 3, p. 300
11. J. C. Maxwell, Ref. 9, II, 1a. edici¶
on , p. 232,
2a. edici¶
on, p.234.
58
12. Ref. 9,1a. edici¶on, p. 231, 2a. edici¶on p.233.
13. Ref. 5, II 139. Publicado originalmente en Phil.
Trans. Royal Soc. London, 158 (1868).
14. Ref. 5, p. 218. Brithish Assocition Report , 40
(1870).
15. L. Campbell and W. Garnett, The Life of James
Clerk Maxwell (MacMillan and Company Ltd.,
London, 1882).
16. Origins of Clerk Maxwell's Electric Ideas as
described in Familiar Letter to William Thomson, editado por J. Larmor (Cambridge University Press, Cambridge, England, 1897).
17. Memoir and Scienti¯c Correspondence of the
Late Sir George Garbriel Stokes, editado por J.
Larmor (Cambridge University Press, Cambridge, England, 1907) Vol. II
18. C. G. Knott, Life and Scienti¯c Work of Peter Guthrie Tait (Cambridge University Press,
Cambridge, England 1911).
19. Ref. 15.
20. R. G. Tait, Clerk-Maxwell's Electricity and
Magnetism Nature 7, 478(1873).
21. R. G. Tait, Clerk-Maxwell's Scienti¯c Work,
Nature 21, 317(1880).
22. H. W. Watson and S. H. Burbury, Mathematical
Theory of Electricity and Magnetism (Oxford
University Press, Oxford, England 1885).
23. O. Heaviside, The Electromagnetic Theory (The
Electrician Printing and Publishing Company,
London 1893) Vol. I
ContactoS 33, 48{58 (1999)
24. O. Heaviside, Electrical Paper (MacMillan and
Company Ltd. London 1892), Vol. I (Reimpreso de The electrician Enero 3 de 1885).
25. O. Heaviside, Ref. 23, p. 67 (Reimpreso de The
electrician Mayo 29 de 1891).
26. O. Heaviside, Ref. 24, p. 441.
27. O. Heaviside, On Forces, Stresses and Fluxes
of Energy in the Electromagnetic Field, Phys.
Trans. Roy. Soc. London, 183 A(1893) 423480.
28. A. G. Webster , The Theory of Electricity
and Magnetism (MacMillan and Company Ltd.
London, 1897), p. 507.
29. G. F. FitzGerald , Heaviside's Electrical Papers
Agosto 11 de 1893. En: J. Larmor The Scienti¯c Writings of the Late George Francis FitzGerald (Hodges, Figgis and Company, Dublin, Ireland, 1902), pp. 292{300.
30. H. Hertz, Electric Waves (Mac Millan and Company Ltd., London 1900), p.196. (Publicado
originalmente en Gottingen Norchr, Marzo 19,
1890).
31. P. Duhem, The Aim and Structure of Physical
Theory (Princeton University Press, Princeton,
New Jersey, 1954), Cap. 4.
32. N. R. Campbell, Physics, The Elements (Cambridge Univerity Press, Cambridge, England
1919), reimpreso como Foundations of Sciences (Dover Publications, New York, 1957).
33. N. R. Campbell, Modern Electrical Theories
(Cambridge University Press, Cambridge, England 1913).
cs