Electromagnetismo 2012/2013 Ecuaciones generales Modelo de Maxwell • Introducción • Fuentes de campo: – Carga eléctrica. Corriente eléctrica. – Ecuación de continuidad. • Definición del campo electromagnético. • Ecuaciones de Maxwell. – Forma Integral. Forma diferencial. • Ecuaciones de estado. – Influencia sobre los materiales. – Clasificación de medios. – Ley de Ohm. Constante de relajación. • Condiciones en las interfases. • Linealidad de las ecuaciones de Maxwell. • Balance energético: Teorema de Poynting J.L. Fernández Jambrina Elmg 2c-1 Linealidad de las ecuaciones de Maxwell Principio de Superposición • En el caso de medios lineales, ε, µ y σ independientes del valor de los campos, las ecuaciones de Maxwell son lineales: – Todas las operaciones implicadas son lineales: sumas, productos y derivadas. – Esto quiere decir que si: r r r » ρ1 , J1 dan lugar a unos campos E1 , B1 r r r » ρ2 , J 2 dan lugar a unos r campos r r E2 , B2 – Entonces, ρ = αρ1 + βρ 2 , J = αJ1 + βJ 2 dan lugar a r r r r r r E = αE1 + βE2 , B = αB1 + β B2 • Este hecho recibe el nombre de principio de superposición. – Permite descomponer una situación en varias más simples. J.L. Fernández Jambrina Grupo 25.1 Elmg 2c-2 1 Electromagnetismo 2012/2013 Energía: Introducción. r r • En una región existe un campo electromagnético: E , B r • Si en ella se mueve una carga q con una velocidad v , sobre ella aparecerá una fuerza de origen electromagnético: ( r r r r FEM = q E + v × B ) r B • Puesto que la carga se mueve, esta fuerza desarrolla un trabajo: – Considerando un desplazamiento infinitesimal: r r r r r r r r r r FEM ⋅ dl = q E + v × B ⋅ dl r ⇒ FEM ⋅ dl = qE ⋅ dl r r r r v || dl ⇒ v × B⊥dl – La potencia asociada: r r r dl r r d r d r r = qE ⋅ v FEM ⋅ dl = qE ⋅ dl = qE ⋅ dt dt dt ( ( ) ) ( ) q r qE r E r v r dl r r qv × B • Este trabajo se hace a costa de la energía almacenada en forma electromagnética por el sistema: r r dWEM = − qE ⋅ v dt J.L. Fernández Jambrina Energía: Introducción. Elmg 2c-3 (2) r r dWEM = − qE ⋅ v dt • Si se tratase de una distribución volumétrica de carga (y de corriente), la cantidad de energía electromagnética que en un dV se transforma en otro tipo de energía es: r r r r r r dWEM dV = − E ⋅ v dq = − E ⋅ v ρdV = − E ⋅ JdV dtdV • Y en un volumen V: r r dWEM = − ∫∫∫ E ⋅ JdV V dt • Conclusiones: r r – La expresión − J ⋅ E es el incremento de energía en forma electromagnética del sistema por unidad de tiempo y volumen debido a conversión r rde tipo de energía. » Si J ⋅ E > 0 , entonces el sistema pierde energía en forma electromagnética: se transformará en otro tipo de energía, por ejemplo energía mecánica o térmica. r r » Si J ⋅ E < 0 , entonces el sistema gana energía en forma electromagnética: algún tipo de energía se transformará en energía electromagnética. Es el caso de los generadores. J.L. Fernández Jambrina Grupo 25.1 Elmg 2c-4 2 Electromagnetismo 2012/2013 Energía: Introducción Efecto Joule r (3) r • En un conductor: J = σE • La variación de energía por unidad de tiempo y volumen: r r r2 dWEM = − E ⋅ J = −σ E dtdV • Puesto que esta energía se transforma en calor, la potencia disipada por unidad de volumen será: dWEM → C r r = E⋅J dtdV I A→ B • Adelantando un poco, SA σ = σ0 SB – si se tratase de una corriente estacionaria: r r r r r r ∇ ⋅ Φ J = ∇Φ ⋅ J + Φ ∇ ⋅ J Φ = VB r r ⇒ ∇ ⋅ Φ J = − E ⋅ J Φ = VA E = −∇Φ ∇ ⋅ J = 0 – Y si el conductor tuviese dos electrodos a potenciales constantes y sólo circula corriente a través de ellos: r r r dWEM → C = ∫∫∫ E ⋅ JdV = − ∫∫ ΦJ ⋅ dS = (VA − VB )I V S dt ( ) ( ) » Resultado conocido. J.L. Fernández Jambrina Elmg 2c-5 Energía: Teorema de Poynting • Manipulando ecuaciones: ( ) ( ) ( r r r r r r ∇ ⋅ E × H = Hr ⋅ ∇ × E − E ⋅ ∇ ×r H r r r ∂D ∂B ∇× E = − ∇× H = J + ∂t ∂t ) r r r r r ∂B r r r ∂D ⇒ ∇ ⋅ E × H = − H ⋅ − E ⋅ J − E ⋅ ∂t ∂t ( ) • Si el medio es lineal: r r r r ∂B r ∂D r ∂H ∂ r r ∂ r r = 2H ⋅ H ⋅ B = µ 2 H ⋅ ; E ⋅ D = 2E ⋅ ∂t ∂t ∂t ∂t ∂t • Entonces: ( ) r r 1 ∂ r r 1 ∂ r r r r 0 =∇⋅ E×H + H ⋅B+ E⋅D+ E⋅J 2 ∂t 2 ∂t • Integrando a un volumen V constante en el tiempo: ( ) r ∂ r r r r ∂ 1 r r 1 r r 0 = ∫∫ E × H ⋅ dS + ∫∫∫ H ⋅ BdV + ∫∫∫ E ⋅ DdV + ∫∫∫ J ⋅ EdV S V ∂t V 2 ∂t V 2 J.L. Fernández Jambrina Grupo 25.1 Elmg 2c-6 3 Electromagnetismo 2012/2013 Energía: T. de Poynting. Interpretación r ∂ r r r r ∂ 1 r r 1r r 0 = ∫∫ (E × H ) ⋅ dS + ∫∫∫ H ⋅ BdV + ∫∫∫ E ⋅ DdV + ∫∫∫ J ⋅ EdV ∂t 2 ∂t 2 S V V • Puesto que la potencia disipada es V r r dWEM → C = ∫∫∫ J ⋅ EdV V dt todos los términos de la expresión pueden ser interpretados como potencias (variación de energía en la unidad de tiempo) y teniendo en cuenta el principio de conservación de la energía: ∂ 1 r r • Sólo depende del campo magnético: H ⋅ BdV ∫∫∫ V 2 ∂t ⇒ Es el incremento por unidad de tiempo de la energía asociada al campo magnético. r r • Sólo depende del campo eléctrico: ∂ 1 E ⋅ DdV ⇒ Es el incremento por unidad de tiempo de la ∂t ∫∫∫V 2 energía asociada al campo eléctrico. ∫∫ (E × H )⋅ dS r S r r• Es un flujo a través de la superficie que limita el volumen: ⇒ Es la cantidad de energía que sale del volumen por unidad de tiempo en forma electromagnética. J.L. Fernández Jambrina Elmg 2c-7 Energía: Teorema de Poynting. Resumen r ∂ r r r r ∂ 1 r r 1 r r 0 = ∫∫ (E × H ) ⋅ dS + ∫∫∫ H ⋅ BdV + ∫∫∫ E ⋅ DdV + ∫∫∫ J ⋅ EdV 2 2 ∂t ∂t S V V V • Esta expresión recibe el nombre de Teorema de Poynting: ∂WEM − ∂t − ∂WEM ∂t = − = ∂ 1 r r E ⋅ DdV ∫∫∫ V ∂t 2 Disminucion de energia electrica dWE 1 r r = E⋅D dV 2 dWB 1 r r = H ⋅B dV 2 r r J ⋅E r r r r P = S = E×H + ∂ 1 r r H ⋅ BdV ∫∫∫ V ∂t 2 Disminucion de energia magnetica = ∫∫ (E × H )⋅ dS r S r r + r r ∫∫∫ J ⋅ EdV V Potencia EM Potencia EM = saliente a traves + transformada en de la superficie otro tipo de energia es la densidad volumétrica de energía asociada al campo eléctrico. es la densidad volumétrica de energía asociada al campo magnético. es la densidad volumétrica de potencia transformada en otro tipo. Es el vector de Poynting. Su componente en una dirección representa la densidad de flujo de energía electromagnética por unidad de área en esa dirección. Su dirección y sentido coinciden con los del transporte de energía electromagnética. J.L. Fernández Jambrina Grupo 25.1 − Elmg 2c-8 4 Electromagnetismo 2012/2013 Transporte de energía en un cable coaxial. • Se ha escogido el cable coaxial para ilustrar el transporte de energía electromagnética porque es un ejemplo realista en el que se pueden calcular los campos de forma simple. I0 b a I0 – Si por el cable circula una corriente I0 V0 y en una sección del mismo la diferencia Z c de potencial es V0 , entonces es conocido que la potencia transmitida será V0 I0. – Se va a llegar a este resultado aplicando el teorema de Poynting. » Si los conductores son perfectos: I0 ρ ; 0≤ ρ ≤a ϕˆ 2πa 2 0 ; 0≤ ρ <a I0 r r V 1 r r ; a≤ ρ ≤b ϕˆ ˆ 2 πρ E (r ) = 0 ; a < < b H ( r ) = ρ ρ b ρ 2 2 ln a I0 c − ρ ϕˆ ; b ≤ ρ ≤ c 2 2 0 ; b<ρ <c 2πρ c − b 0 ; c≤ρ J.L. Fernández Jambrina Elmg 2c-9 Transporte de energía en un cable coaxial.(2) • La potencia transmitida será igual al flujo del vector de Poynting a través de la sección del cable. – El vector de Poynting sólo es no nulo entre los conductores. 0 ; 0<ρ<a r r r r V0 I 0 zˆ P(r ) = E × H = ; a<ρ<b b 2 2π ln a ρ 0 ; b<ρ – La potencia transmitida: r r ρ=b 2π 1 ∂Wt V0 I 0 = ∫∫ P ⋅ dS = ρdϕdρ = V0 I 0 ∫ ρ ∂t 2π ln b a = a ∫ϕ = 0 ρ 2 S – La potencia se transmite a través de la región entre conductores. » Por los conductores no se transmite energía por que en ellos el campo eléctrico es nulo. » Los conductores guían los campos y, por tanto, la energía. • Guiar ~ imponer las condiciones de contorno que guían. J.L. Fernández Jambrina Grupo 25.1 Elmg 2c-10 5 Electromagnetismo 2012/2013 Transporte de energía en un cable coaxial.(3) • Si los conductores son reales, conductividad finita, habrá campo eléctrico en su interior: – De forma aproximada: I0 0 ; 0≤ ρ <a πσ a a 2 r V 1 r ; a < ρ < b ; E z (r ) = 0 E ρ (r ) = 0 b ln a ρ I0 0 − πσ c 2 − b 2 ; b < < c ρ b ( ; 0 ≤ ρ ≤ a +δ ; a +δ < ρ < b −δ ) ; b −δ ≤ ρ ≤ c δ es una distancia mucho menor que los radios a y b. – La componente según z del vector de Poynting es como la de conductores perfectos, salvo que la diferencia de potencial entre conductores varía como consecuencia de su resistencia : V0 ( z ) = V0 (0 ) − I0 1 1 + π σ a a 2 σb c 2 − b 2 ( ) 2 dWT ( z ) I 1 1 z ⇒ = V0 (0 )I 0 − 0 + dt π σ a a 2 σb c 2 − b 2 ( J.L. Fernández Jambrina ) z Elmg 2c-11 Transporte de energía en un cable coaxial.(4) • También hay una componente radial del vector de Poynting. – Esta componente es entrante en los conductores y se corresponde con la potencia disipada en ellos: 2 I − 20 4 ρ ; 0<ρ<a+δ 2π σ a a r r r 0 ; a+δ<ρ<b−δ Pρ (r ) = E × H ρ = 2 2 2 − ρ I c 0 ; b<ρ≤c 2 π 2 σb c 2 − b 2 2 ρ 0 ; c≤ρ ( ) ( ) – Para el conductor interior: 2 r r z 2π r ∂Wt I = ∫∫ P ⋅ dS = ∫ ∫ P ⋅ (− adϕdzρˆ ) = z 0 2 0 0 z = ϕ = ∂t ρnˆ == a−ρˆ S πσa a – Para el exterior: 2 r r z 2π r ∂Wt I0 = ∫∫ P ⋅ dS = ∫ ∫ P ⋅ (bdϕdzρˆ ) = z 2 z = 0 ϕ=0 ∂t ρnˆ ==bρˆ S πσb c − b 2 ( J.L. Fernández Jambrina Grupo 25.1 ) Elmg 2c-12 6 Electromagnetismo 2012/2013 Transporte de energía en un cable coaxial.(5) • Resumen: – La energía se transmite fundamentalmente por el exterior de los conductores. » Donde existen componentes ortogonales de los campos eléctrico y magnético. – Por el interior de los conductores prácticamente no se transmite energía ya que el campo eléctrico es muy débil. – La energía que entra en un conductor se disipa es forma de calor » Salvo que el conductor sea muy fino y pueda atravesarlo. – Los conductores simplemente guían los campos. J.L. Fernández Jambrina Grupo 25.1 Elmg 2c-13 7