Electromagnetismo Curso 2012/2013 Electrostática • • • • • • Definición Los conductores en electrostática. Campo de una carga puntual. Aplicaciones de la Ley de Gauss Integrales de superposición. Potencial electrostático – Definición e Interpretación. Integrales de superposición. – Ecuaciones de Poisson y Laplace. Condiciones de Interfase. Condiciones de regularidad. Teorema de unicidad, teorema del valor medio. • Campo y potencial eléctrico en puntos alejados: dipolo, momento dipolar, polarización de materiales. • Método de las imágenes. • Sistemas de conductores. Condensadores. • Energía y Fuerzas. Elmg 3h-1 J.L. Fernández Jambrina Energía Electrostática • A partir del teorema de Poynting la energía asociada al campo eléctrico es: WE = r r 1 E ⋅ DdV ∫∫∫ 2 V r r • La energía eléctrica es una magnitud positiva ya que E ⋅ D ≥ 0 • Sólo puede ser nula si el campo eléctrico también lo es. • Esta expresión asocia la energía al campo y, aunque este enfoque es ventajoso, conviene obtener una expresión que relacione la energía con las cargas: ( ) r r r r r ∇ ⋅ Φ D = ∇Φ ⋅ D + Φ ∇ ⋅ D = − E ⋅ D + Φ ρ r r r 1 1 1 W E = ∫∫∫ E ⋅ DdV = ∫∫∫ ΦρdV − ∫∫∫ ∇ ⋅ ΦD dV V V V 2 2 2 – Los cambios de medio plantean problemas al intentar transformar la segunda integral mediante del teorema de Gauss. – Utilizando ( ) J.L. Fernández Jambrina Electrostática: Energía y Fuerzas Elmg 3h-2 Eym 3h-1 Electromagnetismo Curso 2012/2013 Energía Electrostática (2) WE = ( ) r r r 1 1 1 E ⋅ DdV = ∫∫∫ ΦρdV − ∫∫∫ ∇ ⋅ ΦD dV ∫∫∫ 2 V 2 V 2 V • Suponiendo una situación como la de la figura, y utilizando los sentidos de las normales indicados resulta: ∫∫∫ ∇ ⋅ (ΦD )dV = ∫∫∫ r V V0 ( ) ( ) N r r ∇ ⋅ ΦD0 dV + ∑ ∫∫∫ ∇ ⋅ ΦDi dV = i =1 Vi r N r N r r r r = ∫∫ ΦD0 ⋅ dS − ∑ ∫∫ ΦD0 ⋅ dS + ∑ ∫∫ ΦDi ⋅ dS = S∞ Si Si i =1 14 4244 3 i =1 0 ( ) N N r r r = −∑ ∫∫ Φ D0 − D j ⋅ dS = −∑ ∫∫ Φρ Si dS i =1 Si i =1 S∞ ρ S1 S1 V0 ε0 V1 ε1 n$1 Si ρ SN SN n$ N VN εN – La integral que se cancela lo hace debido a las condiciones de regularidad en el infinito. – También se ha aplicado la condición de frontera del vector desplazamiento. • Resultado: WE = r r 1 1 1 E ⋅ DdV = ∫∫∫ ΦρdV + ∫∫ Φρ S dS ∫∫∫ V V 2 2 2 S J.L. Fernández Jambrina Elmg 3h-3 Energía electrostática (3) WE = r r 1 1 1 E ⋅ DdV = ∫∫∫ ΦρdV + ∫∫ Φρ S dS ∫∫∫ V V 2 2 2 S • En la expresión en función de los campos la integral debe extenderse a todo el volumen en existan campos, lo que equivale a decir casi siempre todo el espacio. • En la expresión en función las cargas y el potencial, la integral volumétrica puede restringirse al volumen en que existe carga. • No tiene sentido desarrollar expresiones para cargas lineales o puntuales ya que la energía asociada es infinita: ambos tipos de distribución dan lugar potenciales infinitos en los puntos en que se encuentran situadas. J.L. Fernández Jambrina Electrostática: Energía y Fuerzas Elmg 3h-4 Eym 3h-2 Electromagnetismo Curso 2012/2013 Ejemplo: Energía de una bola de carga • El campo debido a la distribución de la figura es: ρ0 r r 3ε rˆ ; 0 ≤ r ≤ R E= 3 ρ0 R2 rˆ ; R≤r 3εr ρ = ρ0 ε R • La energía: r r r r r2 1 1 ε E ⋅ DdV = ∫∫∫ E ⋅ εEdV = ∫∫∫ E dV = 2 ∫∫∫V 2 V 2 V 2 3 2 ∞ π 2π ρ R 1 R π 2π ρ 0 r 2 0 r 2 sen θdϕ dθ dr = = r sen d d dr + θ ϕ θ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 θ ϕ θ ϕ r = 0 = 0 = 0 r = R = 0 = 0 2ε 3 3r WE = = 2πρ 0 9ε 2 6 ∞ R R 4 2πρ 0 ∫ r dr + ∫ dr = r =0 r=R r 2 9ε 2 R5 4πR 5 ρ 0 3Q 2 + R 5 = = 15ε 20πεR 5 2 • Donde si se mantiene la carga total, Q, y el radio tiende a 0, carga puntual, la energía se hace infinita. J.L. Fernández Jambrina Elmg 3h-5 Energía de un sistema de conductores • En un sistema de conductores toda la carga está en sus superficies: WE = 1 1 1 1 1 ρ S ΦdS = ∑ ∫∫ ρ Si ΦdS = ∑ ∫∫ ρ Si Vi dS = ∑ QiVi = ∑∑ C ijV jVi 2 ∫∫ΣS 2 i Si 2 i Si 2 i 2 i j • En el caso de un condensador: 2 Q W E = 1 (Q1V1 + Q2V2 ) = 1 Q1 (V1 − V2 ) = 1 QV = 1 CV 2 = 1 2 2 2 2 2 C J.L. Fernández Jambrina Electrostática: Energía y Fuerzas Elmg 3h-6 Eym 3h-3 Electromagnetismo Curso 2012/2013 Energías de Formación e Interacción • Si se suponen dos distribuciones de carga, ρ 1 y ρ 2 : Φ = Φ 1 + Φ 2 r r r ⇒ ρ = ρ + ρ ⇒ r r E = E1 + E 2 1 2 r r r ρ 2 ⇒ Φ 2 , E 2 , D2 D = D1 + D2 r r ρ1 ⇒ Φ 1 , E1 , D1 • Su energía total puede escribirse como: WE Formacion 1 W E Formacion 2 WE Interaccion 6447448 6447448 6444 4744448 r r r r r r r r r r 1 1 1 1 WE = ∫∫∫ E ⋅ DdV = ∫∫∫ E1 ⋅ D1 dV + ∫∫∫ E 2 ⋅ D2 dV + ∫∫∫ E1 ⋅ D2 + E 2 ⋅ D1 dV V V V V 2 2 2 2 1 1 1 1 1 = ∫∫∫ ΦρdV = ∫∫∫ Φ 1 ρ1 dV + ∫∫∫ Φ 2 ρ 2 dV + ∫∫∫ Φ 1 ρ 2 dV + ∫∫∫ Φ 2 ρ1 dV V1 V2 V2 2 V 2 2 2 2 4V4 1 144244 3 1442443 144444 424 444 3 W E Formacion 1 WE Formacion 2 WE Interaccion ( ) • La energía de formación es la propia de cada distribución. • La energía de interacción es la corrección que hay que hacer a la suma de las energías de formación para obtener la energía total. Representa la interacción energética entre las distribuciones. J.L. Fernández Jambrina Elmg 3h-7 Energías de Formación e Interacción (2) • La energía total y de formación no pueden ser negativas. • La energía de interacción puede ser negativa. • Simplificaciones de las expresiones de la energía de interacción: r r r r r r r r r r r r E1 ⋅ D2 = εE1 ⋅ E 2 = E 2 ⋅ D1 ⇒ WE1, 2 = ∫∫∫ E1 ⋅ D2 dV = ∫∫∫ εE1 ⋅ E 2 dV = ∫∫∫ ε −1 D1 ⋅ D2 dV V V V – De forma similar a como se obtuvo la expresión de la energía en función de las cargas se obtiene: r r W E1, 2 = ∫∫∫ E1 ⋅ D2 dV = ∫∫∫ Φ 1 ⋅ ρ 2 dV = V V2 r r = ∫∫∫ E 2 ⋅ D1 dV = ∫∫∫ Φ 2 ⋅ ρ1 dV V J.L. Fernández Jambrina Electrostática: Energía y Fuerzas V1 Elmg 3h-8 Eym 3h-4 Electromagnetismo Curso 2012/2013 Energías de interacción de cargas puntuales • Considerando una carga puntual como el límite al que tiende una distribución de carga cuando el volumen que la contiene tiende hacia r r cero: W I :q ,Φ e = lim ∫∫∫ Φ e ρ q dV = Φ e (rq )∫∫∫ ρ q dV = qΦ e (rq ) V V Vq →0 q q – Resultado de acuerdo con la interpretación física del potencial escalar electrostático. Vq • Si el potencial externo es debido a otra carga puntual: r 1 qi q j W I :q ,q = qi Φ q (rq ) = r r i j j 4πε ri − r j ρq q= ∫∫∫ Vq ρ q dV • La energía de interacción en un sistema de N cargas puntuales es: N WI :q ...q = ∑ 1 N N 1 qi q j ∑ 4πε rr − rr i =1 j = i +1 i j = 1 N N 1 qi q j ∑∑ r r 2 i =1 j =1 4πε ri − rj j ≠i – En la última expresión se han omitido los términos j=i que corresponden a la energía de formación de las cargas puntuales (∞). J.L. Fernández Jambrina Elmg 3h-9 Energía de interacción de distribuciones de carga nula. • Suponiendo una distribución de carga total nula en presencia de un potencial externo casi constante (~campo constante): – Si el potencial es casi constante: r r ∂Φ Φ e (r ) ≈ Φ e (r0 ) + (x − x0 ) + ∂Φ ( y − y0 ) + ∂Φ r (z − z0 ) = ∂x rr ∂y rr ∂z r Vρ 0 0 0 r r r r r r r r r = Φ e (r0 ) + (r − r0 ) ⋅ ∇Φ e (r0 ) = Φ e (r0 ) − (r − r0 ) ⋅ E (r0 ) ρ – Aplicando esta aproximación: r rρ r r r r r WI :ρ, Φ = ∫∫∫ Φ eρdV ≈ Φ e (rρ )∫∫∫ ρdV − E (rρ ) ⋅ ∫∫∫ (r − rρ )ρdV = Vρ Vρ Vρq O 142 4 3 = q =0 r r r r r r r r r rρ puede ser = − E (rρ )⋅ ∫∫∫ r ρdV + E (rρ ) ⋅ rρ ∫∫∫ ρdV = − p ⋅ Ee cualquier punto Vρq Vρq 142 1424 3 de la distribución r 43 p =q=0 • La energía de interacción depende del valor y orientación con respecto al campo externo del momento dipolar de la distribución. J.L. Fernández Jambrina Electrostática: Energía y Fuerzas Elmg 3h-10 Eym 3h-5 Electromagnetismo Curso 2012/2013 Acciones Mecánicas r r • Recordando la definición del campo eléctrico: FEr = qE r r • La fuerza sobre una distribución volumétrica rígida será: FEr = ∫∫∫ EρdV Vρ • Si se consideran dos distribuciones ρ i y ρ j , las fuerzas que ejercen una sobre la otra son iguales y de sentido contrario (principio de acción y reacción): r r r r r ρ j (ri − rj )dV j 1 Fi , j = ∫∫∫ E j (ri )ρi dVi = ∫∫∫ ∫∫∫ r r 3 ρi dVi = Vi V V 4πε i j ri − rj r r r r r ρi (rj − ri )dVi −1 = ρ j dV j = − ∫∫∫ Ei (rj )ρ j dV j = − F j ,i ∫∫∫ ∫∫∫ Vj 4πε V j Vi rri − rrj 3 – Consecuencia 1: una distribución no ejerce fuerza sobre sí misma. r r r » Basta con tomar j = i ⇒ Fi ,i = − Fi ,i ⇒ Fi ,i = 0 – Consecuencia 2: Para calcular la fuerza sobre una distribución da igual utilizar el campo total o el campo debido al resto de cargas. r r r r r r r r r r Fi = ∫∫∫ ET (ri )ρi dVi = ∫∫∫ Ei (ri ) + EResto (ri ) ρi dVi = Fi ,i + Fi , Resto = Fi , Resto Vi Vi { [ ] 0 J.L. Fernández Jambrina Elmg 3h-11 Fuerzas sobre conductores • Campo en la superficie de un conductor: – Estrictamente no está definido ya que es discontinuo. dS – Se acostumbra a denominar como tal el campo r que existe justo fuera del conductor. EdS ,e r – Se puede descomponer en dos componentes: EdS ,i r r » La del elemento de superficial de carga: Eresto E resto es discontinua y por simetría: r r ρS EdS , e = − EdS ,i = nˆ σ r n̂ 2ε » La del resto de las cargas: E resto r r – Para que el campo sea nulo dentro del conductor: E resto = − E dS ,i r r r r – Luego el campo total justo fuera es: ET = E resto + E dS ,e = 2 E resto r v r • La fuerza sobre el dS utilizando el campo del resto: dF = E resto ρ S dS = 12 ET ρ S dS • La fuerza total sobre el conductor: 2 r r v ρ F = 1 ∫∫ ET ρ S dS = 1 ∫∫ S dS 2 S 2 S ε J.L. Fernández Jambrina Electrostática: Energía y Fuerzas ¡La mitad de lo que se podía haber pensado! Elmg 3h-12 Eym 3h-6 Electromagnetismo Curso 2012/2013 Relación fuerza energía: • Si se modifica la posición relativa de dos distribuciones de carga con la lentitud suficiente para que los estados intermedios se puedan considerar como situaciones estáticas, las fuerzas eléctricas realizarán un trabajo a costa de la energía eléctrica del sistema. – En el caso de una carga puntual en el seno de un campo externo: » Para que el desplazamiento se haga de forma lenta 2 r debe existir una fuerza externa, Fm ,que cancele en r q Fm r r todo momento el efecto de la fuerza eléctrica. FEr = qE » El trabajo realizado por la fuerza eléctrica será igual a la disminución derla energía eléctrica: r r r 1 r2 r r2 r r r2 r r ∫rr1 FEr ⋅ dl = ∫rr1 qE ⋅ dl = − ∫rr1 qdΦ = −q[Φ(r2 ) − Φ(r1 )] = −∆WI = −∆WE » La variación de energía eléctrica es independiente del camino: r r r r r r ∂W I ⇒ FEr = −∇ rr W I FEr ⋅ dl = qE ⋅ dl = − dWI ⇒ qE ⋅ nˆ = − q ∂n » Se deriva respecto del vector de posición de la carga. • El resultado es aplicable a otros tipos de distribuciones. J.L. Fernández Jambrina Elmg 3h-13 Fuerza entre conductores • Si los conductores se consideran aislados, carga constante, es inmediato. – Ejemplo: la fuerza entre las armaduras de un condensador plano es » Directamente: x − x1 Q x − x1 Q Φ ( x ) = (V2 − V1 ) + V1 = + V1 = ( x − x1 ) + V1 x 2 − x1 C x 2 − x1 εS r −Q Q E = − xˆ Q εS S 2 r v Q S F2,1 = 1 ∫∫ ET ρ S 2 dS 2 = − xˆ 2 S2 2εS x1 » A partir de la energía: Q2 Q2 = ( x2 − x1 ) 2C 2εS Q2 = −∇ rr WI = − xˆ 2 2εS x 2 = x1 + d W I = 12 QV = r F2,1 J.L. Fernández Jambrina Electrostática: Energía y Fuerzas X V1 V2 Elmg 3h-14 Eym 3h-7 Electromagnetismo Curso 2012/2013 Fuerza entre conductores (2) • Si los conductores se encuentran a potencial constante, deben considerarse los generadores: – Los generadores mantienen la tensión a base de aportar la carga que sea necesaria, por lo tanto también aportan energía en forma eléctrica. Wg • Ejemplo: El condensador anterior. V 1 dx – Si se supone un desplazamiento 2 : V2 » La capacidad aumenta un Q -Q Wm εS εSdx2 C2 = − dC = d =− dx2 2 εS ( x2 − x1 ) WE x 2 − x1 » La carga aumenta un: S S VC 2 dx 2 εS » La energía eléctrica varía un 1 C 2C 2 dWE = V 2 dC = − dx2 2 2εS » El generador entrega ... dQ = VdC = − x 2 = x1 + d x1 J.L. Fernández Jambrina X Elmg 3h-15 Fuerza entre conductores (3) dC = − C2 dx2 εS V 2C 2 dx 2 εS V 2C 2 Su energía aumenta: dW g = −VdQ = dx 2 εS • El generador entrega: VdQ = − r VC 2 dx2 εS V 2C 2 dWE = − dx2 2εS dQ = − r • El trabajo realizado por la fuerza externa es: F ⋅ xˆdx 2 = − FEr ⋅ xˆdx2 r r La energía externa aumenta un: dWm = − F ⋅ xˆdx 2 = FEr ⋅ xˆdx 2 Wg V1 • Como la energía total no puede variar: -Q V 2C 2 V 2 C 2 r dWE + dWG + dWm = − + + FEr ⋅ xˆ dx 2 = 0 εS 2εS 2 2 2 r V C Q FEr = − xˆ = − xˆ 2εS 2εS S 1 Electrostática: Energía y Fuerzas Q Wm WE x • El mismo resultado que a carga constante. • Para ambas situaciones las fuerzas son idénticas .... ¡¡¡ Considere la situación más cómoda !!! J.L. Fernández Jambrina V2 S x 2 = x1 + d X Elmg 3h-16 Eym 3h-8 Electromagnetismo Curso 2012/2013 Energía y pares de fuerza • Las fuerzas eléctricas también pueden dar lugar a pares de fuerzas sobre las distribuciones de carga. r r r – Recordando la definición de par de fuerzas: M = ∑ r × F – La expresión para el par de fuerzas de origen eléctrico es: r r r r r r M = ∑ r × qE ⇒ M = ∫∫∫ r × EρdV V – Si se puede considerar constante el campo en el volumen de la distribución: r α r r r r r E M = ∫∫∫ r ρdV × E = p × E V 14 2 3 r4 u$ p -q – El par será perpendicular al campo y al momento. Su componente en esa dirección será: ( ) r r r r ∂ r r ∂W M u = p × E ⋅ uˆ = p E sen α = − p E cos α = − I ∂α ∂α J.L. Fernández Jambrina Electrostática: Energía y Fuerzas +q r p r r ; uˆ // p × E Elmg 3h-17 Eym 3h-9