Electromagnetismo Curso 2012/2013 Electrostática • • • • • • Definición Los conductores en electrostática. Campo de una carga puntual. Aplicaciones de la Ley de Gauss Integrales de superposición para el campo eléctrico. Potencial electrostático. – Definición e Interpretación. Ecuaciones de Poisson y Laplace. Condiciones de Interfase. Integrales de superposición. Condiciones de regularidad. Teorema de unicidad, teorema del valor medio. • Campo y potencial eléctrico en puntos alejados: dipolo, momento dipolar, ... • Polarización de materiales. • Método de las imágenes. • Sistemas de conductores. Condensadores. • Energía y Fuerzas. Elmg 3a-1 J.L. Fernández Jambrina Electrostática: Definición. • Es el caso más simple de las Ecuaciones de Maxwell. • Condiciones: – No hay variación con el tiempo: d dt = 0 r – No hay movimiento de cargas: J = 0 » Esta última condición es necesaria: • Puede haber corrientes aunque dρ dt = 0 • Ejemplo: esfera con carga uniforme que gira alrededor de uno de sus diámetros. • Comentarios: – No pueden existir situaciones estáticas desde un punto de vista estricto: » Los campos precisan de un tiempo infinito para alcanzar su valor estático. » Siempre hay corrientes de conducción en los medios. – No obstante, es una buena aproximación para muchos casos en que las corrientes y las velocidades de las cargas son pequeñas. J.L. Fernández Jambrina Grupo 25.1 Elmg 3a-2 1 Electromagnetismo Curso 2012/2013 Campo Estático – En estas condiciones las ecuaciones de Maxwell se simplifican notablemente: r r r r ∂B(r , t ) r r ∇ × E (r , t ) = − ∇ × E (r ) = 0 ∂t r r r r r r r r ∂D(r , t ) ∂ = 0 ∇ × H (r ) = 0 ∇ × H (r , t ) = J (r , t ) + ∂ t r r r r r r r r r r∂t r J = 0 ∇ ⋅ D(r ) = ρ (r ) ∇ ⋅ B(r ) = 0 r → ∇ ⋅ D(r , t ) = ρ (r , t ) ∇ ⋅ B(r , t ) = 0 r r ∇ ⋅ J (r ) = 0 r r r ∂ρ (r , t ) r r r r r ∇ ⋅ J (r , t ) + =0 D(r ) = εE (r ) B(rr ) = µH (rr ) r r r r r ∂rt r r r r D(r , t ) = εE (r , t ) B(r , t ) = µH (r , t ) 0 = σE (r ) r r r r J (r , t ) = σE (r , t ) – Puede suponerse sin problema que el campo magnético es nulo, aunque no se sigue directamente de sus ecuaciones. – Las ecuaciones de la electrostática son: r r r r ∇ × E (r ) = 0 D = εE r r ∇⋅D = ρ 0 = σE Elmg 3a-3 J.L. Fernández Jambrina El campo electrostático en el interior de los conductores. • Antes de pasar al estudio en profundidad de las ecuaciones de la electrostática conviene analizar el comportamiento de los conductores. – Puesto que las corrientes son nulas y la conductividad de los conductores no es nula, el campo eléctrico en los conductores es nulo: r r r r J r J = σE ⇒ E = σ ⇒ E = 0 » Partiendo de la ley de Ohm generalizada: r σ ≠ 0, J = 0 » Para conseguir este efecto la carga del conductor se distribuye sobre su superficie de forma que cancela cualquier campo exterior. » La carga neta en el interior del + conductor es nula: r r ∇ ⋅ D = ∇ ⋅ εE = ρ = 0 ( ) J.L. Fernández Jambrina Grupo 25.1 σ=0 + σr ≠ 0 E=0 - + + Elmg 3a-4 2 Electromagnetismo Curso 2012/2013 El campo electrostático en la superficie de los conductores. • Se trata de aplicar las condiciones de frontera sabiendo que en el interior de los conductores el campo es nulo: – Suponiendo que el conductor es el medio 1: r r r nˆ ⋅ D2 − D1 = ρ S nˆ ⋅ D2 = D2 n = ρ S E2 n = ρ S r rS r ρ S nˆ × E2 − E1 = 0 ⇒ r ε 2 ⇒ E2 = S nˆ ⇒ r S S ε2 r r nˆ × E2 S = 0 E2t = 0 E1 = 0 D1 = 0 ( ( ) ) – Resulta que el campo en la parte exterior de la r r E2 , D2 superficie de los conductores es normal a la ε2 superficie. – Por comodidad se suele denominar al campo σ 2 = 0 en la parte exterior de la superficie de los conductores como campo en la superficie del conductor. 2 1 n̂ r r E1 = D1 = 0 ε1 σ1 ≠ 0 J.L. Fernández Jambrina Elmg 3a-5 Campo de una carga puntual en espacio libre • Es necesario para justificar la utilización de las simetrías en la aplicación de la Ley de Gauss. – Planteamiento del problema: Se supone que la carga está en el origen de coordenadas. r r r r ρ = 0 r ≠ 0 ∇⋅D =ρ q = ∫∫ D ⋅ dS O ⊆ S r r r S D = ε0 E ∇× E = 0 – Por la linealidad del medio: r r r ρ = 0 r ≠ 0 ∇⋅D = ρ ∇×D = 0 – Se conoce que: r r r r ∇ ⋅ v = 0 r ≠ 0 r k ∫∫SS v ⋅ dS = 4πk O ⊆ S v = 2 rˆ ⇒ r r ∇×v = 0 – Luego: r q r q D= v= rˆ 4π 4πr 2 J.L. Fernández Jambrina Grupo 25.1 Elmg 3a-6 3 Electromagnetismo Curso 2012/2013 Campo de una carga puntual en espacio libre • La expresión del campo creado por una carga en el origen de coordenadas es: r r D(r ) = q rˆ 4π πr 2 • Propiedades: – Es radial. – Su módulo sólo depende (del inverso del cuadrado) de la distancia entre la carga y el punto de observación. J.L. Fernández Jambrina Elmg 3a-7 Aplicaciones directas de la Ley de Gauss. • La ley de Gauss en su forma integral permite en determinadas condiciones calcular el campo creado por una distribución de carga. – En general se requiere un conocimiento previo del comportamiento del campo en la superficie en que se aplica la ley de Gauss. – Este comportamiento se suele inferir a partir de » Las simetrías que presente el sistema. » El hecho de que el campo debido a una carga puntual es radial. • Importante: – La ley de Gauss se puede aplicar siempre. – Las simetrías sólo son necesarias para poder utilizar la Ley de Gauss para obtener el campo eléctrico. J.L. Fernández Jambrina Grupo 25.1 Elmg 3a-8 4 Electromagnetismo Curso 2012/2013 Ley de Gauss: Distribuciones con simetría esférica. • Una distribución tiene simetría esférica cuando sólo hay variación con la coordenada esférica r: • Bajo estas condiciones el campo eléctrico es radial y sólo depende de la coordenada esférica r: d d =0 = dθ dϕ r E = Er (r )rˆ r D = Dr (r )rˆ – Demostración: » Dado un punto arbitrario para el cálculo del campo y un dq arbitrario, siempre resulta posible encontrar otro dq’ tal que su contribución al campo total cancele las componentes no radiales del primer dq : dq r r r dE ′ dE + dE ′ r dE dq’ » El campo no depende de las coordenadas θ y ϕ: una carga vería la distribución de igual forma al variar estas coordenadas. Elmg 3a-9 J.L. Fernández Jambrina Ley de Gauss: Distribuciones con simetría esférica. (2) • Con estos presupuestos basta aplicar la ley de Gauss a una superficie esférica centrada en el centro de simetría de la distribución: ∫∫∫ Vr r r ρdV = q(r ) = ∫∫ D ⋅ dS = ∫∫ Dr (r )dS = 4πr 2 Dr (r ) Dr (r ) = Sr S r r q (r ) q(r ) q (r ) rˆ ⇒ E = ⇒ D (r ) = rˆ 2 2 4πr 4πr 4πεr 2 – Donde q(r) es la carga encerrada en la superficie de radio r. • Ejemplo: – El campo creado por una bola de carga de radio R y densidad de carga ρ 0 es: 4πρ0r 3 ρ0 r rˆ ; 0 ≤ r ≤ R ; 0≤r≤R r q 3 q (r ) = ∫∫∫ ρdV = ⇒ D (r ) = = 3 3 3 2 Vr 4πr 4πρ0 R ; ρ0 R2 rˆ ; R≤r R≤r 3r 3 J.L. Fernández Jambrina Grupo 25.1 Elmg 3a-10 5 Electromagnetismo Curso 2012/2013 Ley de Gauss: Distribuciones invariantes en una dirección con simetría de revolución. • Una distribución tiene simetría de revolución alrededor de un eje, el eje Z, y es invariante en esa dirección cuando sólo hay variación con la coordenada cilíndrica ρ: • Bajo estas condiciones el campo eléctrico es radial y sólo depende de la coordenada cilíndrica ρ: – Demostración: d d = =0 dϕ dz r E = Eρ (ρ )ρˆ r D = Dρ (ρ )ρˆ • Dado un punto arbitrario para el cálculo del campo y un dq arbitrario, siempre resulta posible encontrar otro dq’ tal que su contribución al campo total cancele las componentes no radiales del primer dq : • Una carga vería la distribución de la misma forma aunque varíen ϕ y z. dq r dE ′ dq’ r r dE + dE ′ r dE Elmg 3a-11 J.L. Fernández Jambrina Ley de Gauss: Distribuciones invariantes en una dirección con simetría de revolución. (2) • Con estos presupuestos basta aplicar la ley de Gauss a una superficie cilíndrica con eje el el eje de simetría de longitud arbitraria L: ∫∫∫ V L ,ρ r r r r r r ρdV = qL (ρ)L = ∫∫ D ⋅ dS = ∫∫ D ⋅ dS + ∫∫ D ⋅ dS = ∫∫ Dρ dS = 2πρLDρ (ρ ) Sρ Slat Tapas Slat n$ ≡ z$ – Observese que el flujo a través de las tapas es nulo porque el campo eléctrico es tangencial a la superficie. r r q (ρ ) L q (ρ ) q (ρ ) Dρ (ρ) = L ⇒ D(ρ) = L ρˆ ⇒ E = L ρˆ 2πρ 2πρ 2περ – Donde qL es la carga por unidad de longitud dentro del cilindro de radio ρ. r D = Dρ (ρ)ρ$ r D = Dρ (ρ)ρ$ n$ ≡ ρ$ • Ejemplo: Distribución lineal de carga ρ L = λ a lo largo del eje z: r E= J.L. Fernández Jambrina Grupo 25.1 λ ρˆ 2περ Elmg 3a-12 6 Electromagnetismo Curso 2012/2013 Ley de Gauss: Distribuciones con variación en una dirección. d d • Estas distribuciones sólo dependen de una =0 = coordenada lineal, si ésta es la coordenada z: dx dy • Son indefinidas en las direcciones a la coordenada de la que dependen. – Para comenzar su estudio conviene empezar por el caso más simple: una distribución de carga superficial constante en el plano z=0. – El campo tiene sólo componente normal r D a la distribución: dado un dq siempre se z puede encontrar otro, en posición simétrica, de forma que se cancelan las componentes del campo paralelas al plano de la distribución. ρs – Para puntos simétricos respecto del plano, uno a un lado y el otro al otro lado, el campo tiene el mismo módulo y sentidos contrarios: r cuestión de simetría. D r r E ( z ) = Ez ( z )zˆ = − Ez (− z )zˆ = − E ( z ) – El módulo del campo no depende de la distancia a la distribución: → Elmg 3a-13 J.L. Fernández Jambrina Ley de Gauss: Distribuciones con variación en una dirección. (2) – El módulo del campo no depende de la distancia a la distribución: » Basta con tomar una superficie de Gauss como la de la figura: un cilindro con recto con sus tapas paralelas a la distribución y en posiciones simétricas respecto a ellas. • El flujo a través de la superficie lateral es nulo ya que el campo es tangencial. • El flujo a través de las caras se suma debido a la simetría del campo y de r las normales. ρ S dS = ρ S S = r r r r r r r r = ∫∫ D ⋅ dS = ∫∫ D ⋅ dS + ∫∫ D ⋅ dS + ∫∫ D ⋅ dS = S Slat S (z=h) S (z =−h) 1 424 3 0 D n̂ q = ∫∫ S ( z =0 ) = ∫∫ S (z =h) Dz (h )dS − ∫∫ S (z=−h) Dz (− h )dS = 2 Dz (h )S ρS zˆ ; z < 0 r − ρS Dz (h ) = ⇒ D( z ) = 2 ρ 2 S zˆ ; 0 < z 2 J.L. Fernández Jambrina Grupo 25.1 2h z=0 ρS n$ n̂ r D Elmg 3a-14 7 Electromagnetismo Curso 2012/2013 Ley de Gauss: Distribuciones con variación en una dirección. (3) • El campo es constante a cada lado de la distribución superficial y con el mismo módulo y sentidos contrarios a cada lado. • En caso de distribuciones mas complejas, debe recordarse que cada dz define un elemento infinitesimal de carga equivalente a una distribución superficial de carga de densidad: ρS=ρdz y que la simetría de los campos debe mantenerse fuera de la distribución. Dz ρ aρ 0 2ρ0 z=-a a ρ0 2 z=-a z=a Z − ρ0 − z=a a ρ0 2 Z − aρ 0 − 3a ρ0 2 Elmg 3a-15 J.L. Fernández Jambrina Campo producido por un sistema de cargas puntuales • Supongamos un conjunto de cargas puntuales en el vacío. – El campo producido por ellas será la suma de los que producen cada una de ellas por separado, es decir: r r' r r r r qi ˆ = ∑ qi (r − ri ) E (r ) = ∑ Ei (r ) = ∑ R i 2 r r' r r' 3 i i 4 πε r − r i 4 πε r − r i i r r siendo Ei (r ) el campo producido por la carga i-ésima qi. q1 r E i r E q2 r r1 r E 2 Total = ∑ r E i i r E1 r r2 r r O J.L. Fernández Jambrina Grupo 25.1 r ri qi Elmg 3a-16 8