Instituto Profesional de Chile Ingeniería en Industrias Funciones Modulo Nº 5 Tipos Importantes de Funciones Función raíz cuadrada La ecuación que representa a la función raíz cuadrada corresponde a: f ( x) a bx c El dominio de la función corresponde a los valores obtenidos al desarrollar la desigualdad a + bx 0. Una vez obtenido el dominio, se elabora una tabla de valores, se grafica y se obtiene el recorrido. Ejemplo: Graficar la función f ( x) 2x 5 , determinar su dominio y recorrido. Obtengamos el dominio desarrollando la desigualdad 2x – 5 0, de donde se determina que x 2,5. x f(x) 2,5 0 3 1 4 1.7 5 2.2 6 2.6 Luego el dominio de la función f ( x) 2x 5 corresponde al intervalo 2,5, y el recorrido al intervalo 0, Función Potencia 1.1 Definición y ejemplos La función potencia se define como: f : x f ( x) axn c; a y c , a 0, n en donde a, c y n son constantes, a es un número real distinto de cero, c es un número real y n un número natural. Algunos ejemplos de la función potencia son: 1. f ( x) 2 x 2 , a=2, n=2, c=0 2. f ( x) 3x5 + 4, a=3, n=5, c=4 3. f ( x) 1.2 4 2 4 x - 2, a= , n=2, c=-2 5 5 Gráfico Una forma clara y precisa de estudiar una función es a través de su gráfico, así es que.. ¡manos a la obra! He aquí los gráficos de las funciones potencias anteriores: 1. Gráfico de la función f ( x) 2 x 2 2. Gráfico de la función f ( x) 3x5 4 3. Gráfico de la función f ( x) 4 2 x 2 5 Como puedes observar las gráficas corresponden a curvas en el plano que toman diferentes formas dependiendo de los valores de a, c y n. Funciones exponencial Dado un número a real y positivo, llamamos función exponencial de base a, a la función f(x) = ax, cuyas propiedades generales son: Es una función inyectiva. Si a = 0 la función siempre vale 1. Es siempre positiva: su recorrido es R+ y la gráfica está en el semiplano positivo de ordenadas. La recta y = 0 es una asíntota horizontal. Si a > 1 Es una función creciente. Una función f(x) es creciente si cuando x crece, f(x) también crece. Para x > 0 la función siempre es mayor que 1. Para x < 0 la función siempre está en [0, 1 Si a 0, 1 [ Es una función decreciente. Una función f(x) es decreciente si cuando c crece, f(x) decrece. Para x > 0 la función siempre está en [ 0, 1 . Si x < 0 la función es mayor que 1. La recta y = 0 es una asíntota horizontal. Ejemplos: Función logarítmica Dado un número "a" positivo y distinto de 1. Llamamos función logarítmica de base a la función f(x) = logax cuyas propiedades son: Es la función inversa de y = ax Esta bien definida sólo para valores positivos. En x = 0 la función no existe y presenta una asíntota vertical. Para x = 1 la función siempre vale 0, sea cual sea la base a, la gráfica pasa por el punto (1,0). Si a >1 la función es creciente y si a <1 la función es decreciente. Ejemplos: Definición: Logaritmo de base a de un número n, es el exponente al que debemos elevar el número a, positivo y distinto de 1, para obtener el número n: loga n X a x n Si la base del logaritmo es 10, se llama logaritmo decimal, y no se indica la base en su escritura así escribimos: log x en vez de log10 x Si la base del logaritmo es el número e, se llama logaritmo natural ó neperiano, en honor a John Neper, o Napier, un matemático escocés de la segunda mitad del siglo XVI que estudió e inventó los logaritmos. Para estos logaritmos se usa la notación ln x, así escribimos: ln x en vez de loge x Algunos ejemplos de la función logaritmo son: 1. f ( x) log5 x , a =5 2. f ( x) loge x , a =e 3. f ( x) log10 x , a =10 He aquí los gráficos de las funciones logaritmos anteriores: 1. Gráfico de la función f ( x) log5 x 2. Gráfico de la función f ( x) loge x 3. Gráfico de la función f ( x) log10 x Ejercicios Propuestos 1. El geólogo C.E.F.. Richter ideó la fórmula: a M log10 E / E0 que relaciona la magnitud M con la energía E de un terremoto. Después de varios ajustes alcanzó en 1956 el resultado: a 1.5, E0 2,5 1011 ergios ( E0 es la energía del movimiento de tierra más pequeño registrado de manera instrumental). a) ¿Cuál es la razón entre la energía del terremoto de Antofagasta M 7.3 y el que afectó a Kobe (Japón), ambos en1995?. b) ¿Cuál es la magnitud según la escala de Richter de una bomba H de10 megatones, es decir, una bomba de hidrógeno cuya energía es equivalente a 10 millones de toneladas de TNT? (Una tonelada de TNT libera una energía de 4.2 · 106 ergios). 9. La velocidad de una partícula que se mueve a lo largo de una línea recta bajo la influencia de fuerzas de viscosidad es: vt c e kt en donde c y k son constantes positivas. ¿En qué momento la velocidad es igual a la mitad de la velocidad inicial?. 10. El ruido del sonido se mide en: decibeles (en honor a A.G.Bell, 1847 - 1922, inventor del teléfono). Un sonido tan débil que apenas puede escucharse, tiene una intensidad I 0 102 w / m 2 , a una frecuencia de 1000 herts. La sonoridad en, de un sonido con intensidad I se define como: I 10 logI / I 0 . Encontrar la intensidad del sonido de la banda Rockera Deep Purple si su concierto en Santiago tuvo una magnitud de 120 dB . 11.La razón de cambio de la presión atmosférica P con respecto a la altitud h es proporcional a, siempre que la temperatura sea constante. Esta relación implica que: Ph P0 e kh , donde P0 es la presión a nivel del mar y k constante de proporcionalidad. A una temperatura de 15º C la presión es de 101.3 kPa nivel del mar y de 87.14 kPa es la a a una altitud h 1000m . ¿Cuál es la presión atmosférica a la que trabajan los mineros de Chuquicamata?.