hoja ejercicios funciones 1-2009

UNIVERSIDAD ALBERT EINSTEIN
MATEMATICA II
HOJA DE EJERCICIOS 1 (Agosto 2009)
Ejercicios sobre funciones
1.- Representa en un sistema de coordenadas rectangulares los puntos cuyas coordenadas se dan
a continuación:
a) (3;0) (b) (0;3) (c) (0;0) (d) (2;8) (e) (-3;5) (f) (-1;-1) (g) (4;-6) (h) (1/2;-5) (i) (0.4;3/2)
2) Representa en el plano los puntos cuyas coordenadas se indican. Determina, además, las
coordenadas de P'.
a) P(4;6) y P' simétrico de P respecto al eje de las abcisas.
b) P(-2;3) y P' simétrico de P respecto al eje de las ordenadas.
c) P(-1;-4) y P' simétrico de P respecto al origen de coordenadas.
3) La función f está dada por el gráfico que aparece en la figura 3.13.
a) Determina f(o); f(1); f(2); f(4) y f(6).
b) Determina el valor de x si f(x) = 0; f(x) = 1;
f(x) = 2.
4) Determina cuáles de las siguientes ecuaciones definen funciones lineales:
a) y = x - 2
(b) y = 3x
(c) y = x2
(d) y = 3/x + 1,
3
y=x +5
(g) y = x/5
(h) y =
(i) 3x + y = 0
j) x + 2y = 8
(e) x = 0 f)
5) Comprueba si los puntos siguientes pertenecen a la representación gráfica de la función
y = 8x + 3.
a) P1(0;2)
b) P2(1;11)
c) P3(0;3)
d) P4(-1;5)
6) Escribe las ecuaciones que definen las funciones representadas en la figura:
7) Determina para qué valores de "x" la función: (a) y = 5x +8. Toma el valor 4.
b) y = 12 - x. Toma el valor -2/5.
(c) y = -2x -5. Toma el valor 0.4.
d) y = - x. Toma el valor .
8) De una función lineal se sabe que su cero es -4 y que interseca al eje "y" en el punto de
ordenada -21/2. Represéntala gráficamente.
9) Representa gráficamente las funciones lineales siguientes:
a) y = x
(b) y = - 1/2 x
(c) y = x + 2
(d) y = 8 - 3x
10) Determina cuáles de las siguientes ecuaciones representan funciones cuadráticas y cuáles
no. Fundamenta tu respuesta.
a) y =
(b) y = -x2 + 5 (c) x = -y2 + 3y -1 (d) y = 2x2 + 3x
e) y = x2 + 0.5 (f) y2+x2 =1
(g) v = at2+ 3t
11) Determina la ecuación de una función de la forma y= ax2 (a > 0) cuyo gráfico pasa por los
puntos:
a) A (1;2)
(b) B(-3;-3)
(c) C(1; 4)
(d) D (2; -3)
12) Determina cuáles de las representaciones gráficas de la figura son funciones y de ellas
cuáles son inyectivas. Considera conjuntos de pares de la forma (x, y) y (y, x).
13) Los gráficos de la figura corresponden a funciones del tipo f(x) =(x + b)3 + c. Escribe la
ecuación que le corresponde a cada caso.
14) Determina los valores b y c de la ecuación y = (x + b)3+ c si el gráfico de la función
contiene a los puntos:
a) (-b;2) y (1;-6)
(b) (0;0) y (-2;8)
(c) (0;-1) y (1;6)
d) (0; 123) y (-4;-1)
(e) (3;5) y(5;7)
(f) (-b;b) y (3;-1)
15) Dados los gráficos de las funciones representadas en la figura, analiza si se puede
determinar la función inversa. Fundamenta.
Trabajo exaula. Para entregar el día lunes 24 de agosto 2009
16) Determine las gráficas de f(x) = x3 y de g(x)= a(x – h)3 + k
1. Con base en la gráfica de f(x) = x3 determine:
a. Coordenadas del corte con el eje x
b. Coordenadas de corte con el eje y
c. Tipo de simetría
d. Rango
e. Intervalo(s) del dominio donde f(x)
, intervalos del dominio donde f(x) < 0
f. Intervalos(s) del dominio donde f(x) es creciente, intervalos(s) del dominio donde f(x)
es decreciente
g. Comportamiento de la función cuando
h. Comportamiento de la función cuando
2. A partir de la función f(x) = x3 determine la incidencia de las constantes a, h, k, si se
desea dibujar en forma aproximada (esbozar la gráfica) g(x) = a (x – h)3 + k
3. Haga un análisis detallado de g(x) = a (x – h)3 + k , incluyendo cada uno de los literales
del punto 1, en los siguientes casos:
a. a es negativo, h es cero y k es cero
b. a es positivo, h es positivo y k es negativo
c. a es negativo, h es negativo y k es positivo
FUNCIONES RACIONALES
Definición: Si P(x) y Q(x) son polinomios, la función de la forma:
f ( x) 
P( x )
Q( x )
se llama una función racional, donde Q(x) es diferente de cero.
Ejemplos:
f ( x) 
1
x3
, g( x) 
, h( x )  3x 2  1
x
x 1
El dominio de las funciones racionales es el conjunto de todos los números reales tal que el
denominador sea diferente de cero.
Ejemplo para discusión: ¿Cuál es el dominio de cada una de las siguientes funciones?
1) La función
Analiza además
 ¿Cuál es el comportamiento de la función a medida que x se acerca a 3 por la derecha?
 ¿Cuál es el comportamiento de la función a medida que x se acerca a 3 por la
izquierda?
 ¿Corta la gráfica de la función a la recta x=3?
 ¿Intercepta la función al eje y? ¿Y al eje x?
2. La función
De acuerdo como está definida la función, el dominio de f es el conjunto de los números
reales excepto el cero (0). Esto implica que la función no tiene intercepción con el eje y.
Como f(x) nunca es cero, la grafica tampoco tiene intercepción con el eje x.
Por otra parte, según la forma de la ecuación se puede afirmar que la función nunca es
negativa, siendo además una función par. Por consiguiente, la gráfica está confinada en el
primer y segundo cuadrante.
Investiga el comportamiento de la función a medida que:
 x se acerca a cero por la derecha
 x se acerca a cero por la izquierda
 x aumenta sin límites
 x disminuye sin límites.
3. La función
El dominio de f es el conjunto formado por todos los números reales excepto -1. Dado que
f(0) = -3, la intersección con el eje y es -3. La intercepción con el eje x es 2/3, este valor se
obtiene igualando el denominador a 0. Como f no es una función par ni impar, no tiene
simetría respecto al eje y ni respecto al origen.
Analizar que sucede en los casos siguientes
 x se acerca a - 1 por la derecha.
 x se acerca a -1 por la izquierda.
 x aumenta sin límites
 x disminuye sin límites.
Función
El dominio de f es el conjunto formado por todos los números reales excepto 5 y -5. Dado
que f(0) =0, la gráfica pasa por el origen. Como f(-x) = -f(x), f es una función impar y la
gráfica es simétrica respecto al origen.
Analizar el comportamiento de la función en las condiciones siguientes:
 Cuando x se acerca a 5 por la derecha
 Cuando x se acerca a 5 por la izquierda
 Cuando x se acerca a -5 por la derecha
 Cuando x se acerca a -5 por la izquierda
 Cuando x aumenta sin límites
 Cuando x disminuye sin límites.
f ( x) 
P( x )
Q( x )
Teorema: Sea f una función racional definida de la forma:
donde P(x) y Q(x) son polinomios. Si a es un número real tal que Q(a) = 0 y P(a) es diferente
de cero, entonces la recta x = a es una asíntota vertical de la gráfica de y = f(x).
Ejemplos para discusión: Halla las asíntotas verticales para cada de las siguientes funciones:
1) f ( x ) 
1
x
2
x 1
2x  3
3)h( x )  2
x 4
1
4) f ( x ) 
2x  1
2) g ( x ) 
Teorema: Sea f una función racional definida por el cociente de dos polinomios,
f ( x) 
a m x m ...a1 x  a 0
bn x n ...b1 x  b0
entonces:
1) Para m < n, la recta y = 0 (el eje x) es una asíntota horizontal.
2) Para m = n, la recta y = am/bn, es una asíntota horizontal.
3) Para m > n, no hay asíntotas horizontales.
Ejemplos para discusión: Halla las asíntotas horizontales para cada una de las siguientes
funciones:
1) f ( x ) 
1
x
2
x 1
2x  3
3)h( x ) 
3x  1
3x 3
4) f ( x )  2
x 1
2) g ( x ) 
Gráfica de funciones racionales
1) f ( x ) 
1
x
1
x 1
2x
3) h( x ) 
x3
3
4) f ( x )  2
x 1
3x  6
5) g ( x ) 
x 1
2) g ( x ) 
Ahora utilizaremos las técnicas de interceptos y asíntotas para graficar
algunas funciones racionales.
Ejemplos para discusión: Dibuja la gráfica de:
Ejercicio de práctica: Halla las asíntotas verticales y horizontales para cada una de las
siguientes funciones. Dibuja la gráfica.
3x
x2
1
2) f ( x )  2
x
1) f ( x) 
Teorema: Si f es una función definida de la forma:
f ( x) 
P( x )
Q( x )
donde P(x) y Q(x) son polinomios y el grado de P(x) es 1 más que el grado de Q(x), entonces
se puede expresar de la forma:
f ( x )  mx  b 
r ( x)
Q( x )
donde el grado de r(x) es menor que el grado de Q(x). La recta y = mx + b es una asíntota
oblicua para la gráfica de f.
Ejemplo para discusión: Halla las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas para:
f ( x) 
x 2  3x  4
x2
Dibuja la gráfica.
Ejercicio de práctica: Halla las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas para:
f ( x) 
x2  5
x 1
Dibuja la gráfica.
1.- Para las siguientes funciones:
a) Dibuja la gráfica por sus características
b) Determine Dominio y Rango
c) Determine intervalos donde se comporta como función creciente y/o decreciente
a) y = Log 2x
b) y = (3)x
c) y =
d) y = Sen x
[-  , ]
e) y = Cos x
2.- Graficar las siguientes funciones
x+2
si x < -1
Y = f(x) =
2x + 4
si -1  x  3
2
X +1
si x > 3
Y = f(x) =
X2
- 5/3 x + 5
X–3
si -  < x < 0
si 0  x < 3
si x  3
Y = f(x) =
7
2x + 9
X2 + 6
si x  -1
si -1 < x < 3
si x  3
[-  , ]
Halle el dominio y el codominio, y grafique las siguientes funciones :
1) Encontrar, si es posible, la funciòn inversa para cada funciòn:
a) f(x) = x + 2
(b) f(x) = 4x - 1
(c) f(x) = x2 + 3
2
d) f(x) = 3x – 1
(e) f(x) = x – 5
(f) f(x) = x – 2
3
g) f(x) = x + 2
(h) f(x) = x
i) f(x) = (x + 1)3
(j) f(x) = x + 5
2
4
2) La temperatura Celcius C, se expresa en funciòn de la temperatura Farenheit F, mediante la
expresiòn C ( F) = 5 (F – 32) donde F  -459.67
9
a) Hallar la función inversa de C(F) y escribir una interpretaciòn de ella.
b) Determinar el dominio de la función C-1(F)
3) Si f es una función inyectiva con f(4) = 8 ¿Cuál es el valor de f-1 (8)?
FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS
Sea y = f(x) = ax
Sean a y b reales positivos y x,y números reales ,entonces:
1.
2.
4.
5.
3.
.
6.
Cuando a > 1 ,si x < y, entonces,
.Es decir, cuando la base a es mayor que 1,la función
exponencial de base a es estrictamente creciente en su dominio.
Cuando 0 < a < 1, si x < y , entonces,
.
Esto significa que la función exponencial de base a < 1 es estrictamente decreciente en su
dominio.
.
Si 0< a < b ,se tiene:
.
Función Logarítmica
Definición.
Sea a un real positivo fijo,
y sea x cualquier real positivo, entonces:
La función que hace corresponder a cada número real positivo su logaritmo en base
,
denotada por
,se llama: función logarítmica de base a, y, el número
se
llama logaritmo de x en la base a.
La definición anterior, muchas veces, se expresa diciendo que :el logaritmo de un número, en
una base dada ,es el exponente al cual se debe elevar la base para obtener el número.
En el teorema siguiente, se presentan las propiedades más importantes de los logaritmos.
Propiedades de los logarítmos
Si a > 0, y b es cualquier real positivo, x e y reales positivos, entonces :
.
.
Cuando a > 1 , si 0 < x < y , entonces,
base a > 1 es estrictamente creciente en su dominio.
.Es decir ,la función logarítmica de
Cuando 0 < a < 1, si 0 < x < y ,entonces,
.Esto es la función logarítmica de
base entre 0 y 1; es estrictamente decreciente en su dominio.
Para todo número real , existe un único número real
tal que
propiedad indica que la función logarítmica es sobreyectiva .
.
. Esta
Gráfica de La Función Logarítmica En las figuras abajo (3 y 4), aparecen las gráficas de las
funciones
e
En la figura 5, se han trazado conjuntamente las curvas
e
.Allí pueden
visualizarse los comentarios hechos en la observación ii). Puede notarse, además, que las curvas
son simétricas con respecto a la recta y = x.
fig 3
y fig 4
fig.5
Funcion Exponencial y = a x
Dominio: R
Rango: R+
El punto (0,1) pertenece a su gráfica
Pasa por el punto (1, a)
Es creciente si a> 1
Es decreciente si 0< a< 1
Funcion Logarítmica y = Log a x
Dominio: R+
Rango : R
El punto (1,0) pertenece a su gráfica
Pasa por el punto (a,1)
Es creciente si a>1
Es decreciente si 0<a < 1
Logaritmo en base b (cambio de base)
Son comunes los logaritmos en base e (logaritmo neperiano), base 10 (logaritmo común), base 2
(logaritmo binario), o en base indefinida (logaritmo indefinido). La elección de un determinado
número como base de los logaritmos no es crucial, debido a que se pueden hacer conversiones
de una base a otra de forma sencilla. Para ello, es útil la siguiente fórmula que define al
logaritmo de x en base b (suponiendo que b, x, y k son números reales positivos y que tanto "b"
como "k" son diferentes de 1):
en la que "k" es cualquier base válida. Si hacemos k=x, obtendremos:
Ejercicios:
1) Graficar las siguientes funciones exponenciales
a) f(x) = 2x
(b) f(x) = (3/2)x
(c) f(x) = 5x
Tomando de base las funciones anteriores, graficar las siguientes funciones logarítmicas:
a) f(x) = log 2 x (b) f(x) = log 3/2 x
(c) f(x) = log 5 x
2) Sean las funciones: f(x)= 5x ; g(x)= 5x - 1; h(x) = 5x + 3 ; p(x) = 5x + 3 - 1
Determina:
a) Dominio e imagen de estas funciones.
b) Ceros en caso de que existan.
c) ¿Para qué valor de x se cumple que:
3) Determina la ecuación de las funciones cuyos gráficos, se muestran en la figura. Analiza sus
propiedades.
4) Representa gráficamente las siguientes funciones si:
f(x)= log5 x - 1;
g(x)= log5 (x + 0.5) ;
m(x)= log5 (x - 5) + 1
a) Determina el dominio y la imagen de f(x), g(x), m(x)
b) Calcula su cero
c) Calcula x si: f(x)= - 3;
g(x)= 1;
m(x)= 2.
5) Los gráficos siguientes representan funciones del tipo y= log3 (x + b) +c , en cada caso:
a) Escribe su ecuación.
b) Determina los valores de x para los que está definida la función.
c) Halla su cero.
d) Escribe las coordenadas de los puntos P1, P2, P3 si sus ordenadas son 2,-1, y 1/2
respectivamente.
e) Escribe las coordenadas de los puntos Q1, Q2, Q3 si sus abscisas son 25, -5/3, y 0
respectivamente.
6) Simplifique totalmente la siguiente expresión:
7) Pruebe que
SOLUCIÓN
8) Pruebe que si a > 0 , a
y x > 0 ,entonces,
9) Sea a > 0 , x > 0 y, además ,
.
.Determine el valor de x.
10) Determine los valores de x e y que satisfacen simultáneamente las ecuaciones :
(1)
( 2 ) OLUCIÓN
11) En la escala de Richter, la intensidad M de un terremoto, se relaciona con su energía E (en
Ergios ) por medio de la fórmula:
Si un terremoto tiene 1000 veces más energía que otro, ¿cuántas veces
mayor es su índice de Richter M ? ¿Cuál es la razón de la energía del terremoto de San
Francisco, ocurrido en 1906 (M=8.3), con la del Eureka de 1980 (M=7) ?