reducción de orden y caos en la molécula de agua

REDUCCIÓN DE ORDEN Y CAOS EN LA MOLÉCULA DE AGUA
L.M.A. CLAUDIA ANGÉLICA MARTÍNEZ ESPINOZA Y DRA. LUZ VIANEY VELA ARÉVALO
Maestría en Ciencias – Matemáticas
Universidad Autónoma de Aguascalientes
INTRODUCCIÓN
La dinámica entre los átomos de una molécula de
agua es descrita mediante la función Hamiltoniana
de Baggott. Originalmente el Hamiltoniano de
Baggott es cuántico y aquí estudiaremos su versión
clásica, la cual tiene tres grados de libertad dados
por tres pares de coordenadas acción – ángulo. Los
parámetros del Hamiltoniano de Baggott fueron
obtenidos mediante experimentación por técnicas
espectroscópicas, por tanto son fijos. Una función
de energía Hamiltoniana se traduce en un sistema
de ecuaciones diferenciales que satisfacen una
geometría simpléctica. Cada grado de libertad
corresponde a dos variables: una coordenada de
posición y otra de momento; a estos pares de
coordenadas se les llama variables conjugadas.
Además la función de energía es constante respecto
al tiempo a lo largo de soluciones.
El sistema de ecuaciones obtenido del Hamiltoniano
de Baggott posee una integral primera conocida
como el número de Polyad que viene de la
naturaleza cuántica de la molécula de agua;
clásicamente, el número de Polyad refleja la
simetría del sistema, y al ser integral primera es
constante a lo largo de soluciones. Este número
permite reducir el orden del sistema en un grado de
libertad y así tener un Hamiltoniano en cuatro
variables, o bien, con dos grados de libertad. Para
hacer esta reducción se utilizan varias
transformaciones simplécticas que conservan las
propiedades de las ecuaciones Hamiltonianas.
Mediante la integración numérica se obtienen las
soluciones del sistema ya que para dicho sistema no
es posible obtener una solución analítica. El
comportamiento del sistema se observa graficando
el mapeo de Poincaré ya que éste reduce la
dimensión del sistema a dos.
OBJETIVOS
Revisar
la
teoría
general
de
sistemas
Hamiltonianos, y su aplicación al problema
específico del Hamiltoniano de Baggott. Describir
la dinámica de la molécula de agua. Observar su
comportamiento en todo el espacio fase, que es
dimensión seis. Analizar el comportamiento caótico
y regular que presenta. Identificar las resonancias
no lineales del sistema.
MÉTODOS
Para reducir los grados de libertad de la función
Hamiltoniana de la molécula de agua se utilizan las
transformaciones
simplécticas.
Las
transformaciones simplécticas son funciones que
conservan la estructura y geometría del sistema de
ecuaciones Hamiltoniano. El objetivo de dichas
transformaciones de coordenadas es eliminar los
productos cruzados de variables en la función
Hamiltoniana y hacer provecho de la simetría del
sistema para reducir un grado de libertad. Para
identificar los rasgos básicos de la dinámica de la
molécula de agua se obtuvieron los puntos fijos del
sistema así como su estabilidad. Debido a que se
obtiene un sistema de cuatro ecuaciones no es
posible obtener una solución de forma analítica, por
tal motivo se utilizan los métodos numéricos de
integración. El mapeo de Poincaré fija una variable
y muestra el comportamiento del resto del sistema
en una sección de Poincaré. La reducción de la
dimensión del sistema es como sigue: originalmente
se tiene un espacio fase de dimensión cuatro; al
tener un sistema Hamiltoniano la energía es
constante a lo largo de soluciones y podemos
restringirnos a un conjunto de nivel de la función
Hamiltoniana que tiene dimensión tres; luego, una
sección de Poincaré de este conjunto de nivel es de
dimensión dos; así se reduce una dinámica de
cuatro dimensiones en tiempo continuo a una de dos
dimensiones en tiempo discreto. El mapeo de
Poincaré se calcula al encontrar numéricamente las
intersecciones de las trayectorias con la sección de
Poincaré, que es un plano de dimensión dos.
RESULTADOS
Los puntos fijos del sistema de dos grados de
libertad representan órbitas periódicas en el
sistema de tres grados de libertad. El mapeo de
Poincaré presenta una mezcla de caos con
regularidad. Y se observan islas resonantes.
CONCLUSIONES
Es necesario aplicar en tres ocasiones
transformaciones simplécticas para reducir el orden
del sistema y evitar los productos cruzados de
variables. El caos que presenta el mapeo de
Poincaré depende de las condiciones iniciales dadas
al sistema; es decir, se pueden encontrar regiones
donde las trayectorias tienen un comportamiento
regular, y regiones en las que las trayectorias son
caóticas. El estudio de las resonancias en el sistema
requiere un tratamiento posterior.
BIBLIOGRAFÍA
Luz V. Vela-Arevalo and S. Wiggins, "Timefrequency analysis of classical trajectories of
Polyatomic molecules" Int. J. Bifurcat. Chaos 22
No.5, p. 1359-1380, 2001.