Impredicatividad y Círculos Viciosos

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Impredicatividad y Círculos Viciosos*
Max Fernández Castro Tapia
UAMI
xamf_mx@yahoo.com
Abstract. This article explores some of the reasons that historically led or
may lead to the rejection of impredicative definitions, from a
philosophical point of view. It outlines the origin of the term
“predicativity” and the corresponding problem in the debate between
Poincaré and Russell (among others) and the paths that each of these
authors proposed or took in this respect. It is suggested that
impredicativity could be rejected a) as a peculiar form of circularity by
semantic considerations, b) by a specific notion of set and c) by the
conceptual indetermination that it may produce. It is suggested that the
rejection of circularity survives in the theory of Zermelo-Fraenkel and
that a different conception of set, as the one proposed by Peter Aczel’s
theory, prompted by applications outside of mathematics, frees our
notion of set of this limitation.
Key-Words: impredicativity; paradoxes; Russell; Poincaré; Aczel.
Resumen. En este artículo se exploran algunas de las razones que
condujeron históricamente o que pueden llevar desde un punto de vista
filosófico al rechazo de definiciones impredicativas. Se esboza el origen
del término y del problema correspondiente en el debate entre Poincaté
y Russell (entre otros) y los caminos que cada uno de ellos propuso o
tomó al respecto. Más adelante se sugiere que la impredicatividad pudo
ser rechazada a) por cuestiones semánticas, como una forma peculiar de
definición circular, b) por una noción específica de conjunto y c) por la
indeterminación conceptual que puede producir. Se sugiere que el
rechazo a la circularidad sobrevive en la teoría de Zermelo-Fraenkel y que
una concepción diferente de conjunto como la propuesta por Peter Aczel,
aprontada por aplicaciones al exterior de las matemáticas, libera la
noción de conjunto de esta limitación.
Palabras clave: impredicatividad; paradojas; Russell, Poincaré; Aczel.
*
Este trabajo forma parte de una investigación en curso que se realiza en el marco del proyecto “Los
problemas del conocimiento y la comprensión en matemáticas” (105949) auspiciado por CONACYT.
Notae Philosophicae Scientiae Formalis,
vol. 1, n. 1, p. 54 - 65, maio 2012.
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Introducción
Abel es la persona más agradecida con el comité organizador. Supongamos
que esta es la definición de Abel. Si Abel es un miembro del comité organizador
entonces la definición es impredicativa, porque define un individuo en términos de
un conjunto al cual pertenece. La cuestión que exploro en las páginas que siguen es
¿hay algo erróneo en la impredicatividad?
En la primera parte, presentaré de manera sumaria cuál es el origen histórico
del concepto de ‘impredicatividad’. En seguida trataré de responder a la cuestión de
qué razones o concepciones filosóficas de Russell motivaron su defensa del Principio
del Círculo Vicioso, es decir, su rechazo a la impredicatividad. La tercera parte
explora brevemente la misma cuestión en lo que se refiere a Poincaré. Hacia el final
sugiero que la teoría de conjuntos ZFC conserva algo de predicatividad, es decir, de
rechazo a la circularidad, y que una concepción diferente de conjunto como la
propuesta por Peter Aczel, aprontada por aplicaciones al exterior de las
matemáticas, libera la noción de conjunto de esta limitación.
Los orígenes del concepto “predicatividad”
Hace un poco más de un siglo, en una serie de artículos (1905, 1906, 1909a,
1909b, 1912), Poincaré atacó a los que él llamo ‘Les logisticiens’, rubro que incluía
no sólo a Peano y Frege, sino también a Hilbert. En cuanto a los logicistas, la
principal tesis de Poincaré era que el principio de inducción matemática (PIM) es
específicamente matemático, es decir, irreductible a la lógica. La estrategia de los
logicistas para probarlo desde la lógica sola equivalía a definir el conjunto de los
números naturales como la intersección de todos los conjuntos recurrentes (es
decir, que contienen al 0 y al sucesor de cada uno de sus miembros), de lo cual el
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PIM resulta un mero corolario. A juicio de Poincaré, el uso de axiomas como
definiciones requiere la prueba de consistencia del sistema axiomático en cuestión,
lo que, a su vez, requiere del PIM. Las objeciones entonces eran a) que se utilizaría el
PIM para justificar el uso de PIM, o bien b) que si fuese legítimo aplicar el PIM a los
números en cuanto definidos por los axiomas, no estaría justificado su empleo en el
metalenguaje pues ¿cómo sabremos que el número de nuestros razonamientos es
un número natural?
En un artículo publicado en 1905, Russell (1905) analiza la paradoja que lleva
su nombre y concluye que no todas las fórmulas con una variable libre (o “normas”
o “funciones proposicionales”) dan lugar a un conjunto. A las que sí lo hacen
propone llamarlas ‘predicativas’. Entonces plantea una cuestión central a la
constitución de la teoría de conjuntos: la de precisar qué normas son predicativas.
Russell cree que la aparición de las paradojas no es un problema aritmético sino
lógico y se resolverá sólo por una reforma de la lógica. Propone tres direcciones para
realizar esta tarea (la teoría de limitación de tamaño, la teoría zig-zag y la teoría
sustitucional de clases, que él recomienda).
En respuesta, Poincaré (1906) expone y defiende la solución que Richard
ofrece de su paradoja. Esta puede ser planteada del siguiente modo: el conjunto de
los decimales definibles es numerable, porque puede ser enumerado a partir de sus
definiciones. Estas definiciones, a su vez, pueden ordenarse por longitud y las que
son de la misma longitud, por orden lexicográfico. Ahora bien, la expresión G: “el
decimal cuyo dígito en su n-ésimo lugar es 1 más el dígito en el n-ésimo lugar del nésimo número de la lista, si este dígito es 8 o 9, y es 1, en otro caso” define un
decimal que no está en la lista, lo que parece contradictorio. Richard propone como
solución:
La colección G de letras… aparecerá en mi lista. Pero, en el lugar que
ocupa, no tiene significado. Menciona el conjunto E que no ha sido
todavía definido. Por lo tanto, yo tengo que tacharla” (van Heijenoort
1967, p. 143)
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Poincaré está de acuerdo. Dice que el conjunto E debe ser construido como
compuesto de decimales que pueden ser definidos “sin introducir la noción del
conjunto E mismo. Fallando esto, la definición de E contendría un círculo vicioso”
(Poincaré 1906, p. 307). Propone enseguida extender esta solución a las paradojas
de la teoría de los conjuntos y responder así a la cuestión planteada por Russell:
“Normas predicativas son aquellas que no contienen círculos viciosos”. A partir de
este principio (Principio del Círculo Vicioso (PCV)), a ser precisado más adelante),
Poincaré reformula las objeciones que tenía contra las demostraciones logicistas del
PIM. Más específicamente, hay dos definiciones de conjunto finito. De acuerdo a la
primera, un conjunto es finito1 si es similar a un elemento de la intersección de
todos los clases recurrentes. Por otro lado, un conjunto es finito2, si no es similar a
ninguno de sus subconjuntos propios. Ya Russell había señalado que para probar la
equivalencia de ambas definiciones se requería el axioma de elección. Poincaré
precisa que probar el PIM es demostrar que un conjunto es finito1si es finito2, y que
la dificultad principal, en las pruebas logicstas del mismo, radica en que, o bien, se
usa como premisa un axioma tan fuerte como el PIM, o se hace un uso
impredicativo de una definición. Por ejemplo, no es lícito deducir que la intersección
(N) de todos la clases recurrentes está contenida en un conjunto A del que se ha
probado que es recurrente, si la definición A involucra la noción N. “Un número
inductivo [natural] es aquel que pertenece a todas las clases recurrentes” –y
Poincaré agrega: “si queremos evitar un circulo vicioso debemos entender: a todas
las clases recurrentes en la definición de las cuales no interviene ya la noción de
número inductivo” (Poincaré, 1906, p. 310).
En la respuesta a este artículo, Russell (1906) sostiene el diagnóstico de
Poincaré, pero observa que Poincaré no puede mencionar instancias del PCV sin
infringirlo (“E es el conjunto de todos los números definibles… sin mencionar E”). Por
ello, cree que la lógica debe ser reformada de manera tal que, siguiendo sus reglas,
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el principio del círculo vicioso sea respetado. Por otro lado, Russell considera (contra
Poincaré) que las paradojas no tienen nada que ver con el infinito.
El camino de Russell
Veamos ahora las reformas lógicas que Russell propuso en obediencia al
Principio del Círculo Vicioso (PCV). Aunque enuncia éste de maneras muy diversas,
Hilton (2008) las agrupa en dos grandes categorías. En la primera están aquellas que
aluden a conceptos semánticos tales como: ninguna totalidad puede contener
miembros que son definibles en términos de esa totalidad. En la segunda, no
aparecen términos semánticos, sino que parecen aludir a la constitución misma de
los objetos, por ejemplo: “cualquier cosa que de alguna manera involucra todos,
cualquiera o alguno de los miembros de una clase no debe ser él mismo uno de los
miembros de esta clase”. Gödel (1944) y Ramsey (1926) habían criticado a Russell al
señalar, el primero, que la existencia de los objetos matemáticos es independiente
de nuestros actos de definición o clasificación y, el segundo, que algunas
definiciones en que un objeto es determinado en términos de una totalidad a la que
pertenece son completamente inocuas. Hylton piensa que ambas críticas están
basadas en las formulaciones semánticas de Russell lo que induce a pensar
erradamente que Russell sostuvo una opinión de las entidades matemáticas que las
hace dependientes de definiciones o construcciones. Pero, si esto es así, ¿cómo
justifica Russell el PCV? De acuerdo a Hylton (2008), la explicación es que, para
Russell, a) todas las entidades matemáticas (o los símbolos correspondientes) deben
ser definidos en términos de funciones proposicionales, b) las funciones
proposicionales son independientes de la mente humana; y, sin embargo, c) entran
en relaciones de presuposición. En particular, Russell dice que una función
proposicional no está bien definida excepto que todos sus valores estén ya bien
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definidos. ¿Por qué Russell piensa que todas las normas son impredicativas, es decir,
que ninguna norma define un conjunto? ¿Se trata, como diría Lakatos, de una
retirada estratégica a un dominio de seguridad? No es así. Russell parece haber
llegado a la conclusión de que ninguna norma es predicativa por el siguiente
argumento: (1) Cualquier limitación en el rango de una variable introduce una
variable no acotada (universal), (2) cualquier cosa que involucre una variable
aparente no debe estar entre los posibles valores de esa variable (PCV). De (1), (3)
los posibles valores de una variable incluyen todo el universo. De (2) y (3), (4)
cualquier cosa que involucra una variable aparente no puede existir. (5) Una clase
involucra una variable aparente. Russell lo formula así:
[W]e may regard a class as “all the x’s such that x is true”… but however
we regard it, it always involves an apparent variable in all its possible
significant occurrences. Thus we require, if the vicious-circle principle is
to be verified, that classes should not be among the possible values of a
wholly unrestricted variable, which is another way of saying that we
require that there should not be classes” (Russell, 1906, p. 646).
Esto lo condujo a la teoría sustitucional de clases la que tuvo, de acuerdo a los
estudiosos de su obra, dos versiones, una contradictoria, otra insuficiente para el
desarrollo de la lógica misma. Un segundo argumento (Russel, 1908)lo llevo a la
teoría de tipos: (1) Cualquier cosa que involucra todos de una colección no debe ser
uno de la colección (PCV), (2) no puede haber una proposición sobre todas las
proposiciones (porque violaría (1)); así (3) en “es siempre verdadero que si x es un
hombre, x es mortal”, ‘siempre’ no puede significar “para todos los valores de x”,
porque esto incluye “todas las proposiciones” y “todas las funciones” y tales
totalidades son ilegítimas. En consecuencia, (4) los valores de x deben estar
restringidos al interior de una totalidad legítima; (5) pero una restricción de x no
puede ser formulada, (6) Por lo tanto, solo podemos hablar de todos los miembros
de una colección si ésta es parte del rango de significación de una función
proposicional. Este razonamiento llevó a la teoría de tipos, la cual como es sabido,
sin el axioma de reducibilidad no es adecuada para el desarrollo de las matemáticas.
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El camino de Poincaré
Poincaré dio diversas formulaciones del PCV en las cuales introduce matices
y sutilezas interesantes. En primer lugar, objetó al uso impredicativo de definiciones
en pruebas, lo que permite atribuir a éstas impredicatividad. En segundo lugar,
sostuvo que la impredicatividad de una prueba puede ser removida (si, por ejemplo,
el objeto en cuestión puede ser definido de otra manera no impredicativa). En tercer
lugar, introdujo la idea que la impredicatividad puede ser hereditaria. Un caso
ilustrativo sería el de un objeto O que fuese definido en términos de un conjunto E
en el cual hay un objeto C que no puede ser definido más que por referencia a O.
Por lo tanto, la impredicatividad es relativa a un sistema. En el caso de Poincaré la
justificación del PCV proviene de su finitismo y de su constructivimo:
Es la creencia en la existencia del infinito actual la que ha dado
nacimiento a estas definiciones no predicativas. Me explico : en estas
definiciones figura la palabra todos [la cual] tiene un sentido muy claro
cuando se trata de un número finito de objetos ; para que hubiera
todavía uno cuando los objetos son en número infinito, se requeriría que
hubiera infinito actual. De otra manera todos estos objetos no podrán ser
concebidos como puestos anteriormente a sus definiciones y entonces si
la definición de una noción N depende de todos los objetos A, puede
estar manchada de círculo vicioso, si entre los objetos A hay uno que no
se puede definir sin hacer intervenir la noción N misma. No hay infinito
actual » (Poincaré, 1906, p. 316).
Russell (1906, p. 633) le hace notar que la noción de infinito no es fundamental en
las paradojas, como lo demuestra la antinomia de Berry. Poincaré (1909, p. 462)
parece matizar su posición, pero no de forma sustancial. De acuerdo a G. Heinzmann
(1985, pp. 19-20), Poincaré distingue entre dos tipos de definiciones. Unas son por
género primo y diferencia específica y otras por construcción y corresponden
respectivamente a los puntos de vista de la intensión y de la extensión. La primera
ha sido defendida por los cantorianos (entre los cuales se encuentran los logicistas) y
la ultima por los pragmatistas (ente los cuales Poincaré se sitúa). Contrasta Poincaré
estas dos perspectivas:
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Si empezamos desde el punto de vista de la extensión, una colección está
constituida por la sucesiva adjunción de nuevos miembros; podemos
combinar viejos objetos para construir nuevos… Desde el punto de vista
de la comprensión, por el contrario, comenzamos de la colección donde
hay objetos existentes que aparecen al principio ser indistintos. Pero
terminamos distinguiendo algunos porque les ponemos etiquetas y los
clasificamos en cajones, pero los objetos preexisten a sus etiquetas y la
colección existiría aún cuando no hubiera quien los clasificara. (Poincaré,
1912, pp. 87-88)
Sin embargo, hay una de las ideas de Poincaré que es independiente de sus
posiciones filosóficas. En germen, aparecía ya en un argumento de 1906: “una clase
impredicativa es una clase cuya frontera está indeterminada” (Poincaré 1909b, p. 8).
Por ejemplo, supongamos que introducimos tres clases con la siguientes
definiciones: A={Zermelo, B}, B={Fraenkel, C}, C={A,B}. Esta son definiciones
impredicativas de acuerdo a una de las formulaciones de Poincaré:
Una definición es impredicativa si contiene “una relación entre el objeto
a definir y todos los individuos de un género al cual el objeto a definir
supuestamente pertenece (o bien al que supuestamente pertenecen
entes que sólo pueden ser definidos ellos mismos por el objeto a definir)”
(Poincaré 1912, citado en 1913, p. 91).
Si definimos C como C={Zermelo, {Fraenkel, {C,B}}}, no podemos responder a la
pregunta
¿C=A? No se trata de una curiosidad semántica. Si hay conjuntos
constituidos de acuerdo a esas especificaciones, la pregunta anterior no tiene
sentido. También podemos interpretar esta idea semánticamente. Poincaré dice:
La lógica formal no es otra cosa que el estudio de las propiedades
comunes a toda clasificación… ¿Cuál es la condición para que las reglas
de esta lógica sean válidas? Es que la clasificación adoptada sea
inmutable. (Poincaré 1908, p. 31).
Sin duda, cuando Poincaré dice “inmutable” se refiere a una cuestión ontológica, a la
posibilidad de creación de nuevos objetos. Pero podemos interpretarlo de una
manera semántica. Al introducir una descripción en términos de una clasificación
anterior, puede ocurrir que el objeto que estaba fuera de un concepto ahora caiga
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bajo él, como ocurría con la paradoja de Richard. Este es un fenómeno interesante
que puede suceder cuando utilizamos conceptos semánticos en la ciencia.
Impredicatividad y ZFC.
En un cierto sentido, la teoría de conjuntos ZFC es impredicativa.
Técnicamente lo es porque, por ejemplo, el axioma de separación define un
conjunto con un cuantificador en el rango del cual se encuentra el conjunto
definido. Asimismo el axioma de extensionalidad provee un criterio de identidad de
conjuntos en términos de todos los conjuntos. Estas violaciones del PCV no
producen el tipo de indeterminación señalada por Poincaré gracias al axioma de
fundamento. Lo que sugiero a continuación es que hay un sentido de
“predicatividad” en que la moderna teoría de conjuntos es predicativa. La siguiente
cita de Feferman sugiere que el PCV fue parcialmente aceptado por Zermelo:
In the case of Zermelo Set Theory… the vicious circle principle is
accepted only in a minimal way, namely, by excluding the existence of a
set of all sets… Thus Zermelo by no means accepted the vicious circle
principle as a general guide, only enough of it to block (as it seems) the
paradoxes of set theory. (Feferman 1988, en (1998, p. 255))
Hay algo evidentemente equivocado con una definición en que el definiendum
aparece en el definiens. El PCV surge de una identificación de la impredicatividad
como un tipo de circularidad oculta. Ahora bien, ZFC no evitó este tipo de
definiciones, pero sí que un conjunto estuviese formado, entre otras cosas, de sí
mismo (se perteneciese a sí mismo). Esta es una forma de evitar circularidades y
paradojas. En este sentido ZFC es predicativa.
En general podemos concebir tres objeciones contra la impredicatividad
(considerada como un tipo de circularidad): a) semántica (si nuestra semántica
incluye un principio de composicionalidad), b) práctica (puede producir preguntas
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para las que no hay respuesta), y c) teórico-conjuntista: la impredicatividad puede
producir colecciones que no son conjuntos de acuerdo a nuestra noción intuitiva de
“conjunto”. Sin embargo, el intento de modelar ciertas situaciones extramatemáticas circulares ha dado lugar a una nueva noción de “conjunto” en la teoría
de Peter Aczel. Este tipo de situaciones no ocurren al interior de las matemáticas
donde, en general, los conjuntos que resultan no son circulares. Hay buenas razones
para aceptar la teoría de conjuntos (o hiper-conjuntos) de Peter Aczel y aceptar con
ella otra noción de “conjunto” expurgada del temor a la circularidad. En primer lugar
su introducción fue guiada por aplicaciones prácticas para las que resulta fecunda.
En segundo lugar, cada hiper-conjunto tiene una representación diagramática (la de
su relación de membrecía hereditaria) que permite “ver lo que está ocurriendo”. En
tercer lugar, es una extensión natural de ZFC. En cuarto lugar, la adjunción del
axioma de anti-fundamento sigue una tendencia natural en matemáticas
de
introducir objetos nuevos que sean solución de ecuaciones hasta entonces
insolubles. Mientras hace cien años, una ecuación del tipo a={b,a,c } sólo producía
perplejidad, en la teoría de Aczel es un objeto que puede ser visualizado y que tiene
una utilidad. Podemos considerar que ha habido tres nociones de “conjunto”: una,
la lógica (en que el conjunto es la extensión de un concepto), dos, la de Zermelo (el
conjunto es una colección arbitraria de objetos pre-existentes; y tres, una nueva
noción de conjunto (como un tipo de gráfica) que es capaz de tratar con
circularidad.
Si esto es así, vemos que lo que parecía inaceptable (la circularidad, por las
tres razones que mencionamos) puede devenir aceptable como resultado de
presiones externas a la matemática y, en particular, si tenemos un buen modelo que
nos permita “intuir” la materia de que estamos hablando y la teoría en cuestión es
una extensión natural de otra ya admitida.
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