INSTITUTO TECNOLÓGICO DE COSTA RICA ESCUELA DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA CM3201 MÉTODOS NUMÉRICOS, GRUPO 8 PROF. MARVIN HERNÁNDEZ C. I SEMESTRE 2009 I EXAMEN PARCIAL INICIO: 16 HORAS FINAL: 24 HORAS TOTAL: 8 HORAS 1. Empleando iteración de punto fijo encuentre una aproximación a una raíz real de la ecuación cos x – 3x = 0. Aproxime graficando en MatLab. Itere hasta que εa = 0.1%. 2. Encuentre una raíz real de la ecuación f(x) = x3 + 2x2 + 10x – 20 mediante el método de Newton-Raphson, para xi = 1, εa = 10-3 3. Para la ecuación polinomial del punto anterior, emplee ahora el método de la secante para encontrar una raíz real. Utilice, asimismo, MatLab para verificar sus resultados. 4. Considere un líquido en equilibrio con su vapor. Si el líquido está formado por los componentes 1, 2, 3, 4, con los datos dados en la tabla, calcule la temperatura y la composición del vapor en el equilibrio a la presión total de 75 psia. Componente Composición del líquido % mol 1 2 3 4 10.0 54.0 30.0 6.0 Presión de vapor de componente puro (psia) a 150 °F 25.0 14.7 4.0 0.5 Presión de vapor de componente puro (psia) a 200 °F 200.0 60.0 14.7 5.0 Utilice la siguiente ecuación para la presión de vapor : ln (pi0) = Ai + Bi / T; i = 1, 2, 3, 4; T en °R Algunas ayudas n La presión total es PT = ∑ Pi (1) i=1 Suponiendo que la mezcla de los cuatro componentes, a las condiciones de presión y temperatura de este sistema, obedece las leyes de Raoult y Dalton, entonces 4 PT = ∑ Pi0 xi (2) i=1 donde Pi0 es la presión de vapor de cada componente y PT es la presión total del sistema. Pi es la presión parcial de cada componente y xi es la fracción mol de cada componente en el líquido. De la ecuación de presión de vapor se tiene que Pi0 = exp (Ai + Bi / T) i = 1, 2, 3, 4 De las ecuaciones (1) y (2) resulta que 4 PT = ∑ xi exp (Ai + Bi / T) = 0 i=1 Ai y Bi pueden calcularse así: Si se hace P1,i0 = presión de vapor del componente i a T1 = 150 °F = 609.56 °R P2,i0 = presión de vapor del componente i a T2 = 200 °F = 659.56 °R, entonces, ln (P1,i0) = Ai + Bi / T1 i = 1, 2, 3, 4 (3) y ln (P2,i0) = Ai + Bi / T2 i = 1, 2, 3, 4 (4) Restando la ecuación (4) de la (3) se tiene ln (P1,i0 / P2,i0 ) = Bi (1/ T1 – 1/ T2 ), de donde, Bi = [ln (P1,i0 / P2,i0 )] / (1/ T1 – 1/ T2 ). Conociendo Bi se puede obtener Ai de la ecuación (3), Ai = ln (P1,i0) - Bi / T1 i = 1, 2, 3, 4 Valores iniciales Debe estimar un valor inicial para T. Considere el componente dominante de la mezcla y use PT en lugar de P20 en la ecuación de presión de vapor. Utilice un método adecuado (raíces de ecuaciones, de los estudiados) para resolver. Emplee MatLab para verificación.