Ejercicios Capitulo 3 3.1 Verifique las siguientes dos identidades de la función gamma que fueron dadas en el este capı́tulo (a) Γ(α + 1) = αΓ(α) (b) Γ( 12 ) = √ π 3.2 Establezca una formula similar a la dada en el capı́tulo para la distribución Gamma. Si X ∼ gamma(α, β), entonces para alguna constante positiva ν β ν Γ(ν + α) EX = Γ(α) ν 3.3 Sea la va. X con la siguiente fdp 2 2 f (x) = √ e−x /2 , 2π 0 < x < ∞. (a) Encuentre la media, la varianza y la fgm de X. (Esta distribución muchas veces se llama Normal Doblada.) (b) Si X tiene una distribución Normal doblada, encuentre la transformación g(X) = Y , y valores α, β, para que Y ∼ gamma(α, β). 3.4 Sea X ∼ N (µ, σ 2 ). Encuentre valores de µ y σ 2 tal que P (| X |< 2) = 12 . Pruebe o desapruebe que esos valores de µ y σ 2 son únicos. 3.5 Escriba la integral que definirı́a la fgm de la pdf f (x) = 1 1 . π 1 + x2 Es la integral finita?. Espera encontrar la fgm? 3.6 Para cada una de las siguientes distribuciones, verifique las fórmulas de E X; V ar X dadas en el texto. 1 (a) (b) (c) 3.7 Suponiendo que X tiene fdp f (x) = 2xI(0, 1). (a) Determine la fgm de X (b) Usando la fgm, calcule E X; V ar X y verifique su respuesta. 3.8 Suponiendo que X tenga la fdp siguiente f (x) = λeλ(x−a) , x ≥ a. (a) Encuentre la fgm de X. (b) Usando la fgm, calcule E X; V ar X y verifique su respuesta. 3.9 Suponiendo que la fgm de la va. X es de la foma MX (t) = (0,4et + 0,6)8 . (a) Cuál es al fgm de la va. Y = 3X + 2? (b) Cuál es la E X. (c) Puede verificar su respuesta (b) con algún otro método?. (Trate de reconocer la MX (t).) 2