Probabilidad y Estadı́stica Ejercicios y Problemas. Capı́tulo III.Segunda Parte 1. Confeccionar una tabla con las distribuciones, sus funciones de densidad ó funciones de masa y sus respectivas funciones generadoras de momentos. 2. Indicar a que distribuciones, con sus respectivos parámetros corresponden las siguientes funciones generadoras de momentos. En cada caso deducir la media y la varianza de cada distribución ´25 ³ a) MX (t) = 52 + 35 et c) MX (t) = e10t+32t ³ b) MX (t) = 2 1 2 + 12 et ´4 d) MX (t) = (1 − 2t)−5 t e) MX (t) = e10(e −1) 3. Encuentre las funciones generadas de momentos de las siguientes funciones de densidad. Obtener media y varianza. 1 e−x/4 x > 0 4 (a) fX (x) = 0 en otro caso (b) fX (x) = 1 xe−x/4 16 0 x>0 en otro caso 4. Sea la variable aleatoria Z = 3X + 2. Determinar la fgm de Z en cada uno de los siguientes casos: (a) X ∼ N (4, 7) (b) X ∼ P o(3) (c) X ∼ Bin(7, 1/5) (d) X ∼ exponencial con media 12 (e) X ∼ gamma con media igual a 12 y varianza igual a 36. (f ) X ∼ chi cuadrado con desvı́o estándar igual a 4. Probabilidad y Estadı́stica Segundo Semestre 2005 1 Prof. Magister Osmar Vera Probabilidad y Estadı́stica (g) Utilizsando la fgm obtenidas, calcular (ó verificar según sea el caso) E X y V ar Z de las variables aleatorias anteriores 5. Dadas las va. X1 ∼ N (2, 4) y X2 ∼ N (3, 9) independientes y dadas: 2X1 + 3X2 2 W = Hallar aplicando propiedadas de la fgm: (a) fgm de W (b) E W y V ar W (c) E W 3 . 6. Sea X una va. con función de densidad f (x) = λ e−λx x≥0 (a) Obtener la fgm de X, determinar ası́ cual es la dsitribución de X y con que parámetro. (b) Obtener µk . (c) Obtener la fgm de Z = 4X − 3 y calcular E Z y V ar Z. 7. Sea X una va. con fmp, dada por: fX (x) = 0, 7(0, 3)x x = 0, 1, 2, . . . . . . . . . (a) Obtener la fgm de la variable X, y decir a partir de ella a que distribución pertenece y cual es su parámetro. (b) Obtener E X y V ar X. 8. Suponga que X es una va. con la siguiente función de densidad: f (x) = 0, 5 e−|x| Probabilidad y Estadı́stica Segundo Semestre 2005 2 −∞<x<∞ Prof. Magister Osmar Vera Probabilidad y Estadı́stica (a) Obtener la fgm de X (b) Obtener µk . 9. Sea X una variable aleatoria que distribuye según una distribución chi cuadrado con un grado de libertar. Sea Z=5 √ X +3 Obtener la fgm de Z, E Z y V ar Z. Probabilidad y Estadı́stica Segundo Semestre 2005 3 Prof. Magister Osmar Vera