SOLUCIONES

I.E.S LA ARBOLEDA (LEPE)
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
SOLUCIONES
Examen de Matemáticas I (1º Bachillerato)
UNIDAD 2: SUCESIONES
Fecha: 03-11-2009
Notas:
1) El examen ha de hacerse limpio, ordenado y sin faltas de ortografía.
2) El examen ha de realizarse en bolígrafo, evitando tachones en la medida de lo posible.
3) Debe aparecer todas las operaciones, no vale con indicar el resultado.
4) Los problemas deben contener: Datos, Planteamiento y Resolución, respondiendo a lo que se
pregunte, no vale con indicar un número como solución del problema.
1. Obtén el término general de las sucesiones siguientes: (2p)
a) 2, -8, -18, -28, ...
c) 2, 1,
b) -3, 1, 5, 9, 13, ...
1 1 1
, , ,K
2 4 8
d) − 1, 2, − 4, 8, − 16, K
Solución:
a) Es una progresión aritmética con a1 = 2 y d = -10. Por tanto:
a n = 2 + ( n − 1) ⋅ ( − 10 ) = 2 − 10 n + 10
→
a n = 12 − 10 n
b) Es una progresión aritmética con a1 = -3 y d = 4. Así:
a n = − 3 + ( n − 1) ⋅ 4 = − 3 + 4n − 4
→
a n = 4n − 7
c) Es una progresión geométrica con a1 = 2 y r =
 1
an = 2 ⋅  
 2
n− 1
= 2⋅
1
2
n− 1
2
=
2
n− 1
=
1
2
n− 2
→
1
. Por tanto :
2
an =
1
2
n− 2
d) Es una progresión geométrica con a1 = -1 y r = -2. Así:
a n = ( − 1) ⋅ ( − 2)
n− 1
2. Averigua el término general de las siguientes sucesiones: (1p)
a) 3, 6, 11, 18, 27, K
b)
3 5 7 9 11
, , ,
,
,K
2 4 8 16 32
Solución:
a) a n = n 2 + 2
b) b n =
2n + 1
2n
3. Halla el criterio de formación de la siguiente sucesión recurrente: (0.75p)
3, 4, 12, 48, 576, 27 648, ...
Solución:
A partir del tercero, cada término se obtiene multiplicando los dos anteriores:
a1 = 3
, a2 = 4
, an = an − 1 ⋅ an− 2
para n > 2
4. Halla la suma desde el término a20 hasta el a30 (ambos incluidos) en la progresión aritmética cuyo
término general es an = 2n + 3. (1.5p)
Solución:
Calculamos a20 y a30 :
a 20 = 2 ⋅ 20 + 3 = 40 + 3 = 43
, a 30 = 2 ⋅ 30 + 3 = 60 + 3 = 63
El número de términos desde a20 hasta a30 (ambos incluídos) es 11. Por tanto, la suma pedida es:
S=
( a 20
+ a 30 ) ⋅ 11 ( 43 + 63 ) ⋅ 11 106 ⋅ 11
=
=
= 583
2
2
2
5. Estudia si las siguientes sucesiones tienen límite. Si lo tienen, calcúlalo; si no, explica el porqué.
Elabora una tabla de valores y realiza la representación gráfica en cada caso. (1.5p)
a) a n =
4n
n+ 1
b) bn =
2n + 1
3
Solución:
a) a10 = 3,6363... a100 = 3,96039...
a1 000 000 = 3,999996
a1 000 = 3,996...
lím a n = 4
b) b10 = 7...
lím bn = + ∞
b100 = 67...
b1 000 = 667...
b1 000 000 = 666 667
6. Invéntate dos sucesiones cuyo límite sea 0 y tales que, al dividirlas, la sucesión que resulte tienda a
infinito. (0.75p)
Solución:
Por ejemplo, an =
2
1
y bn = 2 . Comprobamos que su límite es 0.
n
n
a10 = 0,2 a100 = 0,02 a1000 = 0,002 →
lim an = 0
b10 = 0,01 b100 = 0,0001 b1000 = 0,000001 →
Si hacemos cn =
lim bn = 0
an 2 1
2n 2
= : 2 =
= 2n, obtenemos una sucesión cuyo límite es infinito:
bn n n
n
c10 = 20 c100 = 200 c1000 = 2 000 → lím
lim bcnn = + ∞
7. Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Si es falsa, indica un contra-ejemplo.
(1p)
a) La sucesión
a2 a3
a
=
= L = n + 1 es un progresión geométrica.
a1 a2
an
b) La sucesión an =
−1
no tiene límite.
n2
c) Para que la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica no sea
infinitamente grande, ha de ser r < 1.
d) La sucesión an = (-1)n ·2n no tiene límite.
Solución:
a) Verdadero.
En una progresión geométrica se cumple:
a2 = a1r
→
a3 = a2 r
→
an + 1 = an r
→
a2 

a1 
a 
r = 3 
a2 
a 
r = n+ 1 
an 
r =
a2 a3
a
=
= K = n+ 1
a1 a2
an
b) Falso.
a10 = -0,01 a100 = –0,0001 a1000 = -0,000001 →
lim an  0
c) Verdadero.
Si r < 1, la suma de los infinitos términos es S∞ =
a1
.
1− r
d) Verdadero.
a1 = -2, a2 = 4, a3 = -6, a4 = 8, … Es decir, es una sucesión oscilante, luego no tiene límite.
8. En una progresión aritmética, la suma del quinto término con el décimo y el duodécimo es 54.
Calcula el noveno término. (1.5p)
Solución:
a5 = a1 + 4d 
 a + a10 + a12 = 54
a10 = a1 + 9d  5
a + 4d + a1 + 9d + a1 + 11d = 54
a12 = a1 + 11d  1
3a1 + 24d = 54
→
3 ( a1 + 8d ) = 54
1424
3
a9
→
a9 = 18