ESTADISTICA I PROFESOR WALTER LOPEZ MÓDULO 6 Reglas de Probabilidad y el Teorema de Bayes AXIOMAS DE PROBABILIDAD Primer axioma : La probabilidad de un suceso E es un número real entre 0 y 1. Segundo axioma :Ocurre un suceso de la muestra de todos los sucesos o espacio de sucesos {e1,e2,...en} con probabilidad 1. Tercer axioma Si A1, A2 ... son sucesos mutuamente excluyentes 2.3 PROBABILIDAD CONDICIONAL Probabilidad condicional es la probabilidad de que ocurra un evento en particular, dado que ocurrió otro evento. Nota: la probabilidad de que ocurra el evento A dado que ya ocurrió B se denota como P(A|B). Reglas básicas de probabilidad Si los eventos son mutuamente excluyentes, la ocurrencia de cualquier evento impide que otro eventos ocurra. Reglas de adición: si dos eventos A y B son mutuamente excluyentes, la regla especial de adición indica que la probabilidad de que ocurra A o B es igual a la suma de sus probabilidades respectivas: 1 ESTADISTICA I PROFESOR WALTER LOPEZ P(A o B) = P(A) + P(B) Ejemplo Llegada Frecuencia Antes de tiempo 100 A tiempo 800 Demorado 75 Cancelado 25 Total 1000 American Airlines acaba de proporcionar la siguiente información de sus vuelos a Puerto Rico: 2 ESTADISTICA I PROFESOR WALTER LOPEZ Ejemplo Si A es el evento de que un vuelo llegue antes de tiempo, entonces P(A) = 100 /1000 = 0.1. Si B es el evento de que un vuelo llegue demorado, entonces P(B) = 75 /1000 = 0.075. La probabilidad de que un vuelo llegue antes de tiempo o demorado es P(A o B) = P(A) + P(B) = .1 + .075 = 0.175. Teorema de bayes El teorema de Bayes, descubierto por Thomas Bayes, en la teoría de la probabilidad, es el resultado que da la distribución de probabilidad condicional de una variable aleatoria A dada B en términos de la distribución de probabilidad condicional de la variable B dada A y la distribución de probabilidad marginal de sólo A. Sea A1, A2, ...,An un conjunto de sucesos incompatibles cuya unión es el total y tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero. Sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales P(B/Ai). entonces la probabilidad P(Ai/B) viene dada por la expresión: donde: 3 ESTADISTICA I PROFESOR WALTER LOPEZ P(Ai) son las probabilidades a priori. P(B | Ai) es la probabilidad de B en la hipótesis Ai. P(Ai | B) son las probabilidades a posteriori. Esto se cumple El teorema de Bayes es válido en todas las aplicaciones de la teoría de la probabilidad. Sin embargo, hay una controversia sobre el tipo de probabilidades que emplea. En esencia, los seguidores de la estadística tradicional sólo admiten probabilidadades basadas en experimentos repetibles y que tengan una confirmación empírica mientras que los llamados estadisticos bayesianos permiten probabilidades subjetivas. El teorema puede servir entonces para indicar como debemos modificar nuestras probabilidades subjetivas cuando recibimos información adicional de un experimento. La estadística bayesiana está demostrando su utilidad en ciertas estimaciones basadas en el conocimiento subjetivo a priori y permitir revisar esas estimaciones en función de la evidencia es lo que está abriendo nuevas formas de hacer conocimiento. Como observación, se tiene y su demostración resulta evidente. 4