Teorema de Bayes

UNIDAD IV
PROBABILIDAD
“Teorema de Bayes”
M. en C. Mario Arturo Vilchis Rodríguez
TEOREMA DE BAYES
El reverendo Thomas Bayes (1702 – 1761) desarrolló un concepto útil al
calcular ciertas probabilidades. Se asume que Dunham Manufacturing utiliza
dos máquinas para producir su producto. La máquina A produce el 60% de la
producción total, y la maquina B produce el restante 40%. El 2% de las
unidades por A son defectuosas, mientras que B tiene una tasa de defectos del
4%.
Esto se muestra en el diagrama de árbol que acompaña la siguiente figura. Se
asume que una unidad de producción se selecciona aleatoriamente. El primer
conjunto de “ramas” en el árbol que indica cuál máquina produjo la unidad,
muestra que la probabilidad de que provenga de la máquina A es P(A) = 0.60 y
que la probabilidad de que provenga de la maquina B es P(B) = 0.40. El
segundo grupo de ramas que indica la calidad de la unidad dice que si provino
de la máquina A puede ser defectuosa o no defectuosa. Estas probabilidades
condicionales demuestran que la probabilidad de que no sea defectuosa dado
̅ |𝐴) = 0.98 y la probabilidad de que sea
que provino de la máquina A es 𝑃(𝐷
defectuosa dado que proviene de A es 𝑃(𝐷 |𝐴) = 0.02. Las probabilidades
condicionales para B revelan que la probabilidad de que no sea defectuosa
̅ |𝐵) = 0.96 y la probabilidad de que sea
dado que provino de B es 𝑃(𝐷
defectuosa con base en la condición de que provino de B es 𝑃(𝐷 |𝐵) =0.04.
Figura Diagrama de árbol para Dunham Manufacturing
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Finalmente, se observa que hay cuatro posibles resultados para el experimento
de seleccionar una unidad de producción La probabilidad de cada uno se
calcula multiplicando las probabilidades sobre cada una de las ramas que
conllevan a ella. Para ilustrarlo, el primer posible resultado es que la unidad
̅ ). Utilizando la regla de la
provenga de A y que no sea defectuosa, 𝑃(𝐴 ∩ 𝐷
multiplicación,
̅ ) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐷
̅ |𝐴)
𝑃(𝐴 ∩ 𝐷
=
(0.60)(0.98)
=
0.588.
Las
probabilidades de los tres resultados restantes pueden determinarse de forma
similar.
Se puede observar directamente en la figura anterior que 𝑃(𝐴) = 0.60.
Suponiendo que la unidad es defectuosa, se desea saber la probabilidad de
que la unidad provino de la máquina A. Con esta información adicional, se
puede revisar la probabilidad de que la unidad fue producida por la máquina A.
Ahora se desea determinar 𝑃(𝐴 |𝐷), no sólo 𝑃(𝐴).
Vale la pena recordar la regla de la probabilidad condicional:
𝑃(𝐴 |𝐷) =
𝑃(𝐴 ∩ 𝐷) 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐷|𝐴)
=
𝑃(𝐷)
𝑃(𝐷)
Sin embargo, 𝑃(𝐷) no es discernible de inmediato. Aquí es donde participa el
teorema de Bayes. Existen dos formas en las cuales la unidad puede ser
defectuosa. Puede provenir de la máquina A y ser defectuosa, o puede provenir
de la máquina B y ser defectuosa. Utilizando la regla de la adición,
𝑃(𝐷) = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐷) + 𝑃(𝐵 ∩ 𝐷)
𝑃(𝐷) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐷|𝐴) + 𝑃(𝐵) ∙ 𝑃(𝐷|𝐵)
Cuando se hace la sustitución en el denominador de la fórmula de la
probabilidad condicional anterior para 𝑃(𝐷), el teorema de Bayes dice
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𝑃(𝐴 |𝐷) =
𝑃(𝐴 ∩ 𝐷)
𝑃(𝐴 ∩ 𝐷) + 𝑃(𝐵 ∩ 𝐷)
Teorema de Bayes
𝑃(𝐴 |𝐷) =
𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐷|𝐴)
𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐷|𝐴) + 𝑃(𝐵) ∙ 𝑃(𝐷|𝐵)
Ahora se puede hallar 𝑃(𝐴|𝐷)
𝑃(𝐴 |𝐷) =
𝑃(𝐴 |𝐷) =
𝑃(𝐴 ∩ 𝐷)
𝑃(𝐷)
𝑃(𝐴 ∩ 𝐷)
𝑃(𝐴 ∩ 𝐷) + 𝑃(𝐵 ∩ 𝐷)
𝑃(𝐴 |𝐷) =
0.012
(0.012) + (0.016)
𝑃(𝐴 |𝐷) = 0.429
Mientras que 𝑃(𝐴) = 0.60, 𝑃(𝐴 |𝐷) = 0.429. Se nota que 𝑃(𝐴 |𝐷) < 𝑃(𝐴) debido
a que la máquina A produce un porcentaje menor de defectos que la máquina
B.
Ejemplo del Teorema de Bayes.
El departamento de personal de una empresa grande ha descubierto que sólo
el 60% de los candidatos entrevistados están realmente calificados (Q) para
asumir un cargo en la compañía. Una revisión de los registros de la firma
muestra que quienes estaban calificados, el 67% tuvo un entrenamiento previo
en estadística (T), mientras que el 20% de quienes no estaban calificados
habían recibido instrucción estadística mucho antes. Es decir,
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𝑃(𝑄) = 0.60
𝑃(𝑇|𝑄) = 0.67
̅) = 0.20
𝑃(𝑇|𝑄
El director de personal puede ver claramente que dado que usted está
calificado, es más probable que usted tenga algo de capacitación en estadística
que si no está calificado (0.67 > 0.20). Se perdió mucho tiempo entrevistando a
los candidatos que resultaron no calificados; sin embargo, el director está
considerando conceder entrevista sólo a aquellos candidatos que tengan
capacitación en estadística. Él espera incrementar la probabilidad de encontrar
candidatos calificados para ocupar el cargo. La pregunta entonces sería, ¿es
más probable que usted esté calificado dado que ha tenido capacitación:
𝑃(𝑄|𝑇)? Si es así, el departamento de personal podría evitar demoras y costos
innecesarios restringiendo las entrevistas sólo a aquellos candidatos que
tengan capacitación en análisis estadístico
Solución
Utilizando la regla de probabilidad condicional
𝑃(𝑄 |𝑇) =
𝑃(𝑄 ∩ 𝑇) 𝑃(𝑄) ∙ 𝑃(𝑇|𝑄) (0.60)(0.67)
=
=
𝑃(𝑇)
𝑃(𝑇)
𝑃(𝑇)
Debido a que los registros de la compañía no proporcionan 𝑃(𝑇), se debe
utilizar el teorema de Bayes para hallar el denominador. Existen dos formas en
las que un candidato puede tener entrenamiento previo: (1) el candidato puede
estar calificado y tener capacitación, 𝑃(𝑄 ∩ 𝑇), y (2) el candidato puede no
estar calificado y tener entrenamiento 𝑃(𝑄 ∩ 𝑇). Por tanto,
𝑃(𝑇) = 𝑃(𝑄 ∩ 𝑇) + 𝑃(𝑄̅ ∩ 𝑇)
𝑃(𝑇) = 𝑃(𝑄) ∙ 𝑃(𝑇|𝑄) + 𝑃(𝑄̅ ) ∙ 𝑃(𝑇|𝑄̅ )
𝑃(𝑇) = (0.60)(0.67) + (0.40)(0.20)
𝑃(𝑇) = 0.482
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Entonces
𝑃(𝑄 |𝑇) =
(0.60)(0.67)
0.482
𝑃(𝑄 |𝑇) = 0.834
Puesto que
𝑃(𝑄) = 0.60, 𝑃(𝑄|𝑇) = 0.834
Interpretación.
Para aumentar la probabilidad de entrevistar sólo candidatos calificados, el
departamento de personal debería entrevistar solamente a los candidatos que
tienen capacitación en análisis estadístico.
Fuentes de información
Webster, Allen L., (2000)., Estadística aplicada a los negocios y la economía.,
Editorial McGraw-Hill., Colombia.
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