Laboratorio de Matemáticas PRÁCTICA 3 METODOS ITERATIVOS PARA ECUACIONES NO LINEALES II 1.- Hacia técnicas de convergencia rápida. Ejemplos que justifican la necesidad de estas técnicas 2.- Método de Newton-Raphson. Descripción del método iterativo. Interpretación geométrica. Algoritmo del método de Newton-Raphson. Interpretación del método de Newton-Raphson como un método de punto fijo. Condiciones de convergencia. (i) Importante la elección de la aproximación inicial. (ii) Importante que no se anule la derivada de la función. Convergencia cuadrática para raíces simples. 3.- Método de la secante. Finalidad de las variantes del método de Newton-Raphson. Descripción del método de la secante. Interpretación geométrica. Convergencia superlineal. 4.- Método de Newton-Raphson para polinomios. Posibilidad de no declarar la derivada de la función. Polinomios en forma anidada. Evaluación de un polinomio y su derivada en un punto. Algoritmo de Horner. Utilización del algoritmo de Horner en el método de Newton-Raphson. Método de deflación. 5.- Algunas herramientas de Matlab interesantes. Los comandos echo on y echo off. Posibilidad de introducir datos por teclado. La instrucción input. Tol = input(‘Introduce la tolerancia deseada Tol =‘) Cadenas de texto por pantalla. La función disp. disp(‘El número de iteraciones utilizado es k = ‘); k El comando fzero. El comando roots. PROBLEMAS MÉTODOS ITERATIVOS PARA ECUACIONES NO LINEALES II 1.- Utilizar los métodos de Newton-Raphson y de la secante para aproximar las soluciones de las ecuaciones siguientes con precisión de 105 2 ex x 2 (a) x (b) 3x 2 e x 0 3 x x (c) e 2 2 cos( x) 6 0 (d) x 2 10 cos( x) 0 2.- La función f(x)=(4x7)/(x2) tiene un cero en x=1.75. Utilizar el método de Newton-Raphson con las siguientes aproximaciones iniciales: (a) x0 = 1.625 (b) x0 = 1.875 (c) x0 = 1.5 (d) x0 = 1.95 (e) x0 = 3 (f) x0 = 7 Dar una interpretación gráfica de los resultados. Aplicar ahora el método de la secante con las aproximaciones iniciales (a) x0 = 1.625, x1 = 1.875 (b) x0 = 1. 5 x1 = 1.95 (c) x0 = 1.9, x1 = 1.4 (d) x0 = 1.4, x1 = 1.9 (e) x0 = 3 x1 = 1.7 (f) x0 = 1.7, x1 = 3 3.- Consideremos la ecuación ex cos(x) = 1. (a) Estimar gráficamente las dos soluciones positivas más pequeñas. (b) Utilizar el método de Newton-Raphson y el de la secante para aproximar estas soluciones con una tolerancia de 106. Comparar los resultados. (c) Analizar la convergencia cuadrática del método de Newton para esta ecuación. 4.- Utilizar el programa de Newton para polinomios y la deflación para encontrar, con una precisión de 105, las raíces de los siguientes polinomios: (a) p(x) = x3 + 3x2 1 (b) p(x) = x4 + 2x2 x 3 (c) p(x) = x4 2x3 5x2 + 12x 5 5.- La ecuación f(x)=x3 7.5x2+18x14 tiene una raíz doble en x=2. Aplicar el método de Newton-Raphson y observar la lentitud de la convergencia. 6.- Determinar todas las raíces de los siguientes polinomios con una precisión de 106 (a) p(x) = 0.658x5 8.68x4 + 41.6x3 88.09x2 + 79.35x 23.33 (b) p(x) = x4 8.6x3 35.51x2 +464x 998.46 (c) p(x) = 4x4 24.8x3 + 57.04x2 56.76x + 20.57 7.- En los programas hechos en las prácticas sobreescribimos la iteración antigua con la nueva para simplificar la codificación y ahorrar memoria. Modifica los programas para que almacenen todos los iterados en una variable vectorial x, cuya componente k-ésima sea el iterado del paso k1 (llamando x(1) a la estimación inicial). Almacena también en un vector y los valores de la función en los iterados. Estos vectores pueden usarse para hacer tablas o gráficas que muestren la evolución de las iteraciones.