Tema 7 I.E.S. COMPLUTENSE 1 Trigonometría. (Pendientes de Matemáticas I) Tipo I: Relación entre las razones trigonométricas de un ángulo 5 y α es del cuarto cuadrante, calcula sin hallar el valor de α , sus restantes 2 razones trigonométricas. 1. Si cos ec α = − [sol] sen α = − 2 ; cos α = 5 21 5 ; sec α = 5 21 21 ; tg α = − 2 21 21 ; cot g α = − 21 2 . 2. Si cos α = –0,76 y α es del segundo cuadrante, calcula sin hallar el valor de α , sus restantes razones trigonométricas. [sol] sec α = −1,32 ; sen α = 0,65 ; cos ec α = 1,54 ; tg α = −0,86 ; cot g α = −1,17 . 1 3. [S] De un ángulo α del primer cuadrante se conoce que sen α = . Calcula el valor exacto de: 3 a) tg α b) sen (2α ) [sol] a) 2 4 2 ; b) 4 9 4. Si cot g α = −2 y sen β = 4 cos β calcula: a) tg 2α b) tg (α − β) [sol] a) –4/3; b) 9/2 5. Calcula las razones del ángulo α + β sabiendo que sen α = 1 π , con 0 < α < , y 4 2 1 π cos β = − , con < α < π. 3 2 [sol] sen (α + β) = − 1 + 120 12 ; cos (α + β) = − 15 − 8 15 − 15 8 ; tg (α + β) = 12 15 + 120 6. Si α es un ángulo del segundo cuadrante y sen α = a) sen 2α [sol] a) − b) sen 4 2 , b) 9 α 2 c) cos (π + α ) 1 , calcula: 3 d) tg (π − α) 2 2 2 3+ 2 2 ; c) ; d) 6 3 4 7. Sin utilizar calculadora, determina el valor numérico de la expresión: 2 1 1 sen 330o - tg 135o + 2 cos 270o – tg 240o. 5 4 6 [sol] 3 − 10 3 60 8. Calcula el valor numérico de la expresión cos π π 1 5π – 2 sen2 + cosec . 3 6 2 6 [sol] 1 Matemáticas I (Ed. McGraw−Hill) Tema 7 I.E.S. COMPLUTENSE 2 Tipo II: Identidades. Fórmulas de adición y transformación 9. Demuestra que: a) cos (α + β) · cos (α − β) = cos 2 α − sen 2 β b) cos (α + β) · cos (α − β) = cos 2 β − sen 2 α 10. Comprueba las siguientes identidades: cot g 2 α − 1 sen α cos α tg α a) cot g α − b) = tg α = 2 2 cot g α cos α − sen α 1 − tg 2 α 11. Comprueba la identidad: 12. ¿Es cierta la igualdad 1 − tg α 1 − sen 2α . = 1 + tg α cos 2α tg α + cos α = sec α + tg α ? sen α [sol] No. Tipo IV: Ecuaciones y sistemas trigonométricos 13. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 2 sen 2x = 1 b) 3 tg 2x = 3 c) 3 cos 15º + k ·180º π k ·π [sol] a) x = ; b) x = + ; c) 12 2 75º + k ·180º x = 1,5 2 120º + k·720º x= 600º + k·720º d) 5 sen 4x = 0 π ; d) x = 0 + k · . 4 14. Resuelve las siguientes ecuaciones: π 3 2 a) cos x + = b) sen (45 o + x ) = − 2 6 2 k ·2π 180º + k ·360º [sol] a) x = 5π ; b) x = 270 + k ·360º 3 + k ·2π 15. Resuelve la ecuación: cos x = sen 2x [sol] x = 90º + k·180º; x = 30º + k·360º; x = 150º + k·360º (k ∈ Z ) . 16. Resuelve la ecuación: tg x = 2 cos x [sol] x = 45º + k·360º; x = 135º + k·180º (k ∈ Z ) . 17. Resuelve la ecuación: tg 2x = −tg x [sol] x = 0º + k·180º; x = 60º + k·180º; x = 120º + k·180º, (k ∈ Z ) 18. Resuelve la ecuación: sen 2x cos x = 3 sen2 x [sol] x = 30º + k·360º; x = 150º + k·360º; (k ∈ Z ) Matemáticas I (Ed. McGraw−Hill)