Documento 29777

Si V={ P(x) / P(x)= a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn , ai " R }.Demostrar que V es un espacio vectorial sobre
el campo de los R y calcular la dim(V).
Sean , " R , f(x),p(x),g(x) " P(x)
• condicion cerradura
P.D. f(x)+g(x) " P(x)
f(x)+g(x)= ( a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn) + (b0+b1x+b2x2+b3x3+......+bnxn)
= (a0+b0)+(a1x + b1x)++(anxn + bnxn) " P(x)
P.D p(x)" P(x)
p(x)= ( a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn)= a0+a1x+a2x2++anxn " P(x)
"la suma y la multiplicación por escalar son cerrados
• condición Asociativa.
P.D. f(x) + [g(x) + p(x)] = [f(x) + g(x)] + p(x)
f(x) + [g(x) + p(x)]= ( a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn) + [(b0+b1x+b2x2+b3x3+......+bnxn) +
(c0+c1x+c2x2+c3x3+......+cnxn)]
= a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn +[ (b0 + c0) + (b1x + c1x)+..+ ( (bnxn + cnxn)]
= (a0 + (b0 + c0)) + (a1x + (b1x + c1x))+..+ (anxn + (bnxn + cnxn))
= ((a0+b0)+c0)+((a1x + b1x)+c1x)+(anxn + bnxn)+cnxn)
=[ (a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn ) + (b0+b1x+b2x2+b3x3+......+bnxn)] +(c0+c1x+c2x2+c3x3+......+cnxn)
= [f(x) + g(x)] + p(x)
" se cumple la condición
• Elemento neutro
"! e " P(x) " " a " P(x) , e(x) + p(x) = p(x) + e(x) = p(x)
sea e(x) = 0 + 0x + 0x2 + ......+ 0xn
e(x) + p(x) = (0 + 0x + 0x2 + ......+ 0xn) + (a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn )
= (0+a0) + (0x + a1x )+..+(0xn + anxn)
= (a0 + 0) + (a1x + 0x)+.+(anxn + 0xn)
1
= a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn
= p(x)
"se cumple
• Elemento inverso
" p(x) " P(x) "! p(x)−1 " P(x)" p(x) + p(x)−1 = e(x)
sea p(x)−1 = (−a0+(−a1)x+(−a2 )x2+(−a3 )x3+......+(−an )xn
p(x) + p(x)−1 = (a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn ) + (−a0+(−a1)x+(−a2 )x2+(−a3 )x3+......+
(−an )xn
= (a0 − a0) + (a1x − a1x)+..+(anxn − anxn)
= 0+0x+.+0xn = e(x)
"se cumple
• P.D. (+) p(x) = p(x) + p(x)
(+) p(x) = (+) (a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn )
= [(+)a0 + (+)a1x++ (+)anx2]
=[a0+a0 + a1x+a1x+.+ anxn+anxn]
= [(a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn )+ (a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn )]
= p(x) + p(x)
"se cumple
vi) P.D. (p(x)) = ()p(x)
(p(x)) = [ (a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn)] = (a0 )+ (a1x)++ (anxn)
= ()a0 + () a1x +..+ ()anxn
=()(a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn)
=( )p(x)
"se cumple
vii) P.D. [p(x) + f(x)] = p(x) + f(x)
[p(x) + f(x)] = [ (a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn) + (b0+b1x+b2x2+b3x3+......+bnxn)]
2
=[(a0+b0) )+(a1x + b1x)++(anxn + bnxn)]
=a0 + b0 + a1x + b1x+.+anxn + bnxn
= (a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn) + (b0+b1x+b2x2+b3x3+......+bnxn)
= p(x) + f(x)
" se cumple
viii) " x " P(x) , 1*p(x) = p(x)
1*p(x)= 1*(a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn)
=1*a0+1*a1x+1*a2x2+1*a3x3+......+1*anxn
= a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn = p(x)
"se cumple
ix) Suma Conmutativa
f(x) + g(x) = g(x) + f(x)
f(x) + g(x) =(a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn) + (b0+b1x+b2x2+b3x3+......+bnxn)
=((a0+b0)+((a1x + b1x)++(anxn + bnxn))
=((b0+a0)+((b1x + a1x)++(bnxn + anxn)
=(b0+b1x+b2x2+b3x3+......+bnxn) + (a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn)
= g(x) + f(x)
! como se cumplen las nueve propiedades
"P(x) es un espacio vectorial
la dimensión de un espacio vectorial es el numero de vectores de una base del espacio vectorial.
P(x) =(a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn) = [ a0 a1..an]
"dim(V)=n
Dado W ={P(x) / grado P(x)"}, verificar que { } es una base de W donde : =−3x , = 1+x2 ,
=x2−5
¿Es generador?
Sean , , " R y a0 + a1x + a2x2 " P(x)
a0 +a1x + a2x2 = (−3x) + ( 1+x2) + (x2−5)
3
− 5 = a0
−3, =a1
+ =a2
"si es generador
es linealmente independiente?
(a0,a1,a2) = (0,0,0)
!"= ==0
" es una base para P(x)
Demostrar que si {v1, v2,.......,vn} es base de V y si
U1 = v1
U2 = v1 + v2
.
.
un = v1 + v2 +.......+ vn
entonses {u, u,.......,un} es base de V
Si V= { p(c) / grado p(x) " 4 } y si A = { p(x) " V/ p(4) =p(2) =0}, demostrar que A es un sub espacio de V
• ¿ 0 " A? Si
• ¿ (x+y) " A ?
sea " R, x,y " A
[(a0 + a3 x3 + a4x4) + (a5 + a8 x3 + a9x4)]
= [(a0 + a5) + (a3 + a8 )x3 + (a4 + a9 )x4] " A
" A es un subespacio de P(x)
4