MECÁNICA DEL MEDIO CONTINÚO

MECÁNICA DEL MEDIO CONTINÚO
I. Herramientas matemáticas
Convención del índice repetido:
Un índice repetido en una expresión se interpreta como una orden para darle a ese índice los valores 1, 2 y
3 y sumar.
Ejemplo:
Aii  A11  A22  A33
ai bi  a1b1  a2b2  a3b3
Aik bk  Aimbm  Aijb j
Un índice repetido puede tomar otra letra con tal que no sea utilizada en la expresión,
Ejemplo:
Aii  Akk  Amm  Ann
ai bi  a j b j  ak bk
Aikbk  Aimbm  Aijbj
En esta última expresión no se puede escribir:
Aik bk  Aiibi
Ya que el índice i aparece en esa expresión.
Como el índice i no esta repetido se dice que es un índice LIBRE.
¿Cómo interpretar un índice libre?
Si se tiene una ecuación como:
as  Ask bk
El índice s es libre. Si se le daría los valores 1, 2 y 3 se tienen 3 ecuaciones:
a1  A1k bk
a2  A2k bk
a3  A3k bk
Cada una de las cuales tiene tres términos a la derecha, si se hace el desarrollo del índice repetido, es
decir:
a1  A1k bk  A11b1  A12b2  A13b3
1
Dados los ejes coordenados 1, 2 y 3 un vector w se puede
escribir en término de sus tres componentes a lo largo de
estos ejes así:
w  w1e1  w2e2  w3e3
w  w1e1  w2 e2  w3 e3
Figura # 1. Representación esquemática del vector w.
Donde e1, e2 y e3 son los vectores unitarios en la direcciones 1, 2 y 3 respectivamente es decir que las
componentes de e1, e2 y e3 son:
e1 : (1,0,0)
e2 : (0,1,0)
e3 : (0,0,1)
Por tanto se puede hacer referencia a un vector w como:
w  wk ek  w1e1  w2 e2  w3 e3
El vector completo, identificado como vector por la barra abajo. Alternativamente se puede hacer
referencia a un vector a través de su componente en la dirección k, es decir:
wk
No obstante no es correcto decir o escribir que:
w  wk
En conclusión, un índice libre en una ecuación indica que al darle valores 1,2 y 3 resultan de allí tres
ecuaciones. Por otra parte si existe un índice libre en una expresión, ese índice DEBE SER EL MISMO a
la derecha y la izquierda.
Ejemplo:
wi  Aimbm
Índice libre a la izquierda i
Índice libre a la derecha i
No es correcto escribir:
2
w j  Aimbm
Índice libre a la izquierda j
Índice libre a la derecha i
¿Cómo se interpretan los índices libres en una ecuación?
Al darle a esos índices valores 1,2 y 3 se obtienen 9 ecuaciones.
Ejemplo:
 sm  Csmkj  kj
Índices libres a la izquierda s y m
Índices libres a la derecha s y m
Ecuaciones que resultan:
11  C11kj kj
12  C12 kj kj
13  C13kj kj
 21  C21kj kj
 22  C22 kj kj
 23  C23kj kj
 31  C31kj kj
 32  C32 kj kj
 33  C33kj kj
En la ecuación anterior k y j son índices repetidos.
¿Cómo se desarrolla una expresión cuando existen dos índices repetidos?
Se desarrolla primero uno y luego el otro
Ejemplo:
Desarrollo de la k
Csmkj  kj  Csm1 j1 j  Csm 2 j 2 j  Csm 3 j3 j
 Csm1111  Csm1212  Csm1313 
Csm 21 21  Csm 22 22  Csm 23 23 
Csm 31 31  Csm 32 32  Csm 33 33
Desarrollo de la j en cada expresión
Total de términos: 3 x 3 = 9
Producto escalar en notación indicial
Dados dos vectores w y z, su producto escalar se escribe así:
3
w.z  w1 z1  w2 z2  w3 z3  wk zk
Notación simbólica
Notación indicial
Delta de Kronecker o tensor sustitución
El delta de Kronecker ij se define así:
ij =
1, si i = j
0, si i ≠ j
Por tanto,
11   22   33  1
12   21  13  13   23   32  0
Si las componentes de ij se acomodan en una matriz 3x3 se obtiene
1 0 0 
0 1 0 


0 0 1 
Que es la matriz identidad
Propiedad de substitución de ij
Ejemplo:
¿A que es igual δij aj?
ij a j  i1a1  i 2a2  i 3a3
Si i = 1,
Si i = 2,
Si i = 3,
ija j  1 j a j  a1
ij a j  a2
ij a j  a3
Por tanto, se concluye que
ij a j  ai
Esta es la denominada propiedad de substitución de delta Kronecker
La propiedad de substitución se puede generalizar así:
Cuando en una expresión uno de los subíndices del delta de Kronecker aparezca repetido, se puede
cancelar el delta de Kronecker con tal que el subíndice que era repetido y que permanece en la expresión
se sustituya por el otro subíndice que toma el delta Kronecker.
Ejemplos:
4
ij wj  wi
Repetido
Desaparece el delta de Kronecker y la j convierte
en i.
ij ji  ii  11   22  33  3
Repetido
Desaparece el primer δij y el subíndice j se reemplazan por i
 st  tm Ams   sm Ams  Ass  Amm
Repetido
Desaparece el primer δst y la t se remplazan por s.
En el ejercicio anterior se puede modificar el orden de substitución y se obtiene el mismo resultado.
 st  tm Ams   sm Ams  Ass  Amm  A11  A22  A33
Desaparece el segundo δtm
Nota sobre el producto escalar
El producto escalar entre los vectores unitarios en las direcciones 1,2 y 3 es así:
e1  e1  1,
e1  e2  0,
e1  e3  0
Es decir en general ei .ej = ij
Otra forma de entender el producto escalar entre dos vectores w y z es así:
w  z  (wk ek )  ( zm em )  wk zm ek  em
 wk zm km  wk zk
Tensor permutación
El tensor permutación stm se define así:
1, si stm forman una permutación positiva
stm = -1, si stm forman una permutación negativa
0, si al menos dos de los subíndices son iguales
Para saber si una permutación es positiva o negativa se acomodan los números 1, 2 y 3 en sentido de
rotación contrario a las agujas del reloj:
5
Cuando el orden de los números coincide con el sentido de rotación contrario de las agujas del reloj se
dice que la permutación es POSITIVA:
123, 231, 321
Permutaciones positivas
Por el contrario, si el orden es de las agujas del reloj, la permutación en negativa:
132, 321, 213
Permutaciones negativas
Por tanto:
123   231   312  1
132   321   213  1
131   222   331  123  111   322  0
Producto vectorial (o cruz) de dos vectores
El producto vectorial de los vectores w y z es otro vector tal que

Su magnitud es igual a w z sen
Donde ‫׀‬w ‫ ׀‬es la magnitud del vector w
‫׀‬z ‫ ׀‬es la magnitud del vector z
θ es el ángulo entre los vectores

Su dirección es perpendicular al plano definido por w y z

Su sentido lo da la regla de la mano derecha. De acuerdo con lo anterior,
e1  e 2  e3  e 2  e1
e 2  e3  e1  e3  e 2
e3  e1  e 2  e1  e3
Figura # 2. Representación esquemática de
los ejes coordenados y los respectivos
vectores unitarios.
Igual resultado se puede obtener con el tensor permutación
 ijk e j  ek  2ei ,
ya que:
6
 ijk e j  ek   i11 e1  e1   i12 e1  e2   i13 e1  e3
  i 21 e2  e1   i 22 e2  e2   i 23 e2  e3
  i 31 e3  e1   i 32 e3  e2   i 33 e3  e3
Si i=1:
 ijk e j  ek  123 e1  132  e1   1e1   1 e1   2e1
Alternativamente, se puede demostrar que:
 ijk ei  e j  ek ,
ya que:
 ijk ei  1 jk e1   2 jk e2   3 jk e3
Donde j, k son índices LIBRES.
Si j=2, k=3, entonces:
 i 23 ei  123 e1   223 e2   323 e3  e1  e2  e3
Asimismo si j=3, k=1,
 i31 ei  131 e1   231 e2   331 e3  e2  e3  e1
Análogamente si j=1, k=2,
 i12 ei  112 e1   212 e2   312 e3  e3  e1  e2
Por tanto, con base en este resultado se pueden escribir productos vectoriales en notación indicial así:
w  z  wk ek   zm em   wk zm ek  em  wk zm ikm ei
El resultado anterior se puede describir así:
La componente i del producto vectorial de w×z es igual al tensor permutación cuyo PRIMER índice es i,
cuyo segundo índice es igual al índice de w y cuyo tercer índice es igual al índice de z, multiplicado por wk
y por zm.
w  z i  ikmwk zm
Tercer índice del tensor permutación
Segundo índice del tensor permutación
i: índice libre
Recuerde que:
w  z   ikmwk zm
Vector
Componente i del vector
Por ello, se debe especificar la componente i de w×z así:
w  z i  ikmwk zm
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Propiedades del tensor permutación
Observe que si el primer índice del tensor permutación se coloca al final, el signo de la permutación no se
modifica:
Permutación123 = Permutación231 = Permutación312
1 pasó al final
Por lo contrario, si un índice permanece en la misma posición y los restantes intercambian posiciones, la
permutación cambia de signo:
2 y 3 cambian de posición
Permutación123 = -Permutación132
El 1 conserva su posición
Con base en lo anterior, se puede escribir:
 ijk   jki   kij
i pasa al final
j pasa al final
 ijk   ikj
i conserva la primera posición
j y k intercambian posiciones
Se puede demostrar además que si dos de los índices de ijk están repetidos con los índices de una
expresión simétrica, el resultado es cero.
Es decir, si Aij = Aji (Aij simétrica), entonces Aijijk = 0.
Demostración:
1
1
2
2
1
1
 ijk Aij   ijk Ajk   ijk Akj
2
2
1
1
 ijk Aij   ijk Ajk   ikj Akj
2
2
1
1
 ijk Aij   ijk A jk   ijk Ajk
2
2
  ijk Aij  0
 ijk Aij   ijk A jk   ijk Ajk
(1 = ½ + ½)
(Simetría de Aij)
(Propiedad ijk)
(Índice repetido puede tomar cualquier letra)
También se puede demostrar que si:
 imn Amn  0  Amn  Anm
Relación tensor permutación – Tensor substitución
La relación más general entre el tensor permutación y el tensor substitución es:
8
 ijk mns
 im  in  is  fila i 

  jm  jn  js  fila j  ijk
 km  kn  ks  fila k 
Si se desarrolla el determinante a la derecha tenemos:
 ijk mns  im  jn ks   js kn   in  jm ks   js km   is  jm kn   jn km 
Observe que en la expresión anterior todos los subíndices son libres. Es decir, que en la expresión anterior
es tan representados: 3*3*3*3*3*3 = 729 ecuaciones.
Si en la expresión anterior se hace una “contracción” es decir si dos de los subíndices se hacen iguales,
haciendo m igual a i obtenemos:
 ijk ins   ii  jn ks   js kn    in  ji ks   js ki    is  ji kn   jn ki 
 3 jn ks   js kn    jn ks   js kn   kn js   jn ks
 ijk ins   jn ks   js kn
En la anterior expresión están representados 3*3*3*3*3*3 = 81 ecuaciones.
Verifiquemos el cumplimiento de una de ellas sea j=2, k=3, n=1, s=2, entonces:
 i 23 i12  123112   223 312   323 312
 (1)(0)  (0)(0)  (0)(1)  0
A la derecha tenemos:
 2132   2231  (0)(0)  (1)(0)  0
Adicionalmente, si se hace otra contracción haciendo n igual a j obtenemos:
 ijk ijs   jj ks   js kj  3 ks   ks  2 ks
 ijk ijs  2 ks
Finalmente si hacemos s igual a k.
 ijk ijk  2 kk  2  3  6
En la expresión anterior no existen subíndices libres, entonces tenemos solo una ecuación.
Representación de operaciones vectoriales mediante notación indicial
Sean w, x y z tres vectores.
Producto punto: w  x  wk xk  wm xm
El resultado es un ESCALAR, no existen índices repetidos.
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Producto vectorial:
wxz
 Resultado es un vector, por tanto debe tener un índice LIBRE
(w x z)i
 Componente i del vector resultante
(w x z)i = εimnwmzn
Subíndice libre, igual a izquierda y a derecha
El segundo índice de permutación esta repetido con el índice del PRIMER VECTOR
El tercer índice de permutación esta repetido con el índice del SEGUNDO VECTOR
Alternativamente se podría escribir:
(w × z)i = εmni wm zn

x = (w × z)i = εimnwm zn ei
Componente i.

Vector completo.
La expresión anterior equivale a escribir el vector completo, es decir:
x  xk e k  x1 e1  x2 e 2  x3 e3
Producto triple mixto
x  w  z   Resultado escalar, no debe tener subíndices libres.
Considere provisionalmente que w  z  h entonces:
x  x  z   x  h  xk hk , donde
hk   kmn wm zn , luego
x  w  z    kmn xk wm zn
Otras operaciones
y  w  z   El resultado es un vector, por tanto tener un subíndice libre.
Considérese que
h  w z
y  w z  y  h  
i
i
ist
,
ys ht , pero
ht   tmn wm zn , luego:
y  w  z i   ist ys tmn wm zn

Pero,  ist  tmn   tis tmn  im sn  in sm


Luego: y  w  z    im sn   in sm ys wm z n
y  w z  y w z
i
i
n
i n
 ymwm zi  y  z wi  y  wzi
Por tanto, en notación simbólica:
y  w  z   y  z w  y  wz
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 
Observe que y  z es un ESCALAR, por tanto, y  z wi se interpreta como la componente i de w
 
multiplicada por y  z
Producto diádico o producto externo
Se define como w  z , o alternativamente w z , igual a:

  
w  z  wm em  zk ek , al desarrollar:
w  z  w1 z1 e1  e1  w1 z1 e1  e 2  w1 z 2 e1  e 3  w2 z1 e 2  e1  w2 z1 e 2  e2  w2 z 2 e 2  e 3
 w3 z1 e 3  e1  w3 z1 e 3  e 2  w3 z 2 e 3  e 3
Por tanto el producto diádico o externo de dos vectores da origen a NUEVE componentes, que pueden ser
las componentes de un tensor de SEGUNDO ORDEN.
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