Columnas a flexo compresión biaxial. Métodos simplificados y ayudas de cálculo Columns Subjected to Biaxial Flexo-Compression. Simplified Methods and Calculation Aids Juan José Hernández Santana1*, Claudia Sotolongo Pérez2 Resumen Es conocido que la mayor parte de las columnas están sometidas a flexo-compresión biaxial. Durante muchos años esta problemática se ha eludido, pues eran predominantes los análisis planos de las estructuras y por otra parte los cálculos de la flexo-compresión biaxial son complejos y las ayudas de cálculo disponibles, exigían del proyectista un dominio del tema muy poco frecuente. El desarrollo de los programas computacionales para el análisis de estructuras ha eliminado la primera justificación pues facilitan un análisis espacial de los edificios mucho más realista y racional. Entonces se hace más importante contar con procedimientos que faciliten el análisis de las columnas bajo solicitaciones de flexo-compresión biaxial. En este sentido se desarrolla este trabajo que aborda este tema desde dos ángulos: en primer lugar analizar la influencia de la variación del factor de reducción de la capacidad resistente de la sección, f, en función de la inclinación de la carga y la repercusión que esta problemática tiene al utilizar los procedimiento simplificados basados en el Método del Contorno de Carga de Bressler. En segundo orden el desarrollo de Hojas de Cálculo en MathCAD, basadas en la solución detallada de las principales ecuaciones que rigen el comportamiento de la sección y que permiten un análisis más profundo, seguro, confiable y sencillo. Ofreciendo por tanto la posibilidad de la evaluación de diversas soluciones de diseño en corto plazo y contar con una amplia información sobre las características del comportamiento de la sección. Palabras clave: hormigón armado, flexo-compresión biaxial, columnas. Abstract It is known that most columns are subjected to biaxial flexo-compression. For many years this problem has been avoided, for the flat analyzes of the structures were predominant. Moreover, the biaxial flexo-compression calculations are complex and the available design aids required from the designer to master an uncommon subject. The development of computer programs for the analysis of structures has eliminated the first justification because they facilitate a spatial analysis of buildings much more realistic and rational. In this sense, it becomes more important to have procedures that facilitate the analysis of the columns under biaxial flexo-compression loads. This work approaches the problem from two perspectives. First, it analyzes the influence of the variation of the reduction factor of the resistant capacity of the section, f, depending on the inclination of the load and the repercussion that this problem has in the use of simplifications based on the Bressler Load Contour Method. And second, it also explains the development of calculations aids in MathCAD, based on the detailed solution of the main equations that govern the behavior of the section and allow a deeper, safer, reliable and simple analysis. Thus offering the possibility of evaluating several design solutions in the short term, and having extensive information on the characteristics of the behavior of the section. Keywords: reinforced concrete, biaxial flexure-compression, columns. 1. INTRODUCCIÓN Históricamente se ha evitado el diseño de secciones bajo cargas de flexo-compresión biaxial ya que por lo general solían prevalecer los análisis bidimensionales de las estructuras. Conjuntamente con lo planteado anteriormente los procedimientos mediante los cuales es explicada * Autor de contacto: jjhernandez@uclv.edu.cu Ingeniero Civil. Doctor en Ciencias Técnicas y Profesor Titular. Departamento de 1 Ingeniería Civil. Facultad de Construcciones. Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas. Santa Clara. Cuba. Ingeniera Civil. Departamento de Ingeniería Civil. Facultad de Construcciones. 2 Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas. Santa Clara. Cuba. la misma son complejos a causa de las múltiples formas que puede adoptar el bloque comprimido de hormigón y las diversas distribuciones de refuerzo, lo cual provoca que cada una de estas variantes evolucione en una solución diferente. En el pasado siglo las ayudas de cálculo disponibles, gráficas o semi-gráficas en su mayoría, requerían del proyectista un dominio del tema muy poco frecuente y por otra parte acarreaban las imprecisiones que acompañan a este tipo de procedimiento. El amplio despliegue que se ha desarrollado en los últimos tiempos en cuanto a softwares computacionales relacionados con el análisis y diseño de estructuras ha erradicado la primera de las razones mencionadas ya que estos permiten un análisis en tres dimensiones de las Ingeniería Civil 189/2018 | 77 Columnas a flexo compresión... edificaciones con mayor racionalidad y realismo. Estas herramientas contribuyen a introducir mediante mecanismos de fácil manejo y compresión las acciones de carga de viento y sísmicas de forma más completa y rigurosa. Por otra parte la introducción de un nuevo enfoque de la seguridad estructural por la ACI 318-2002, sobre todo en la evaluación del Factor de Reducción de la Resistencia, f, obliga a una nueva lectura en el empleo del Método del Contorno de Carga de Bresler, propuesto por la propia normativa. (ACI 318-11) En resumen, este trabajo aborda el tema desde dos ángulos. El diagrama obtenido para el caso recoge todas las combinaciones de carga y momentos flectores en ambos ejes que limitan la resistencia de la sección. También se destaca en la figura una superficie resistente para una carga Pn dada, conocida como Contorno de Carga. Son dos formas de plantearse las zonas de resistencia de la sección. La comprobación de una sección de forma cualquiera, con cualquier número y distribución de armaduras, sometida a una solicitación normal (P, Mx, My), o, lo que es lo mismo, a una resultante normal P actuando con excentricidades ex=My /P, ey=Mx/P, referidas a los ejes de la sección, exige determinar la posición del eje neutro y la deformación máxima de la sección. Para ello se usarán las ecuaciones de compatibilidad y equilibrio. Estas ecuaciones no pueden expresarse de forma simple en función de las incógnitas del problema, por lo que este no admite solución analítica exacta y hay que recurrir a métodos aproximados. Tales métodos, tanto si son numéricos como si son gráficos, exigen el tanteo de distintas posiciones del eje neutro, siendo el cálculo laborioso resultado conveniente, por ello, su tratamiento mediante ordenador (JIMÉNEZ MONTOYA 2000). Desde el punto de vista analítico el problema fundamental radica en determinar cuál es la inclinación de la línea neutra θ, ya que no puede obtenerse una relación entre λ y θ, pues como regla no son iguales, ni se relacionan, como se muestra en la figura 2 (PARK 1979). El procedimiento se basa en determinar por separado el aporte del hormigón𝑃𝑃 y del acero. Las 𝑀𝑀 𝑒𝑒𝑒𝑒* ecuaciones de equi𝑀𝑀)* 𝑃𝑃) 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒** &' &' &' &' 𝑀𝑀)* &' 𝑃𝑃) &' 𝑒𝑒* )* = tan ) * = * 𝜆𝜆 = tan tan &' &' &' 𝜆𝜆 librio, acuerdo a la figura son: 𝜆𝜆 = = tan tande = tan tan =2,tan tan 𝑀𝑀)+ = 𝑃𝑃) 𝑒𝑒+ = 𝑒𝑒+ 1. Desarrollo de Hojas de Cálculo en MATHCAD, basadas en la solución detallada de las principales ecuaciones que rigen el comportamiento de la sección y que permiten un análisis más profundo, seguro, confiable y sencillo. Ofreciendo por tanto la posibilidad de la evaluación de diversas soluciones de diseño en corto plazo y contar con una amplia información sobre las características del comportamiento de la sección. 2. Analizar la influencia de la variación del factor de reducción de la capacidad resistente de la sección, f, en función de la inclinación de la carga y la repercusión que esta problemática tiene al utilizar los procedimiento simplificados propuestos por la PCA y basados en el Método del Contorno de Carga de Bressler. 2. AYUDAS DE CÁLCULO PARA LA FLEXO-COMPRESIÓN BIAXIAL El análisis de la Flexión Compuesta se 𝑒𝑒 𝑀𝑀)* biaxial 𝑃𝑃o𝑒𝑒esviada &' * &' ) * 𝜆𝜆 = tan =está tansometida = atan ilustra en la figura 1, donde la &' sección una 𝑀𝑀)+ 𝑃𝑃) 𝑒𝑒+ 𝑒𝑒+ carga descentrada tanto en el eje x como en el y; siendo las excentricidades ex y Σ𝐹𝐹 ey respectivamente. En dicha figura =0 se destacan los diagramas de interacción obtenidos para la 𝐶𝐶3 + 𝑆𝑆'ejes + 𝑆𝑆6y +esviada ⋯ 𝑆𝑆) =que 0 ocuflexo-compresión recta𝑃𝑃en ) =ambos rre esta última para ángulo λ respecto al eje x, este ángulo Σ𝑀𝑀)* = 0 puede determinarse por: 𝜆𝜆 = tan&' 𝑀𝑀)* 𝑃𝑃) 𝑒𝑒+ 𝑏𝑏 𝑒𝑒 𝑏𝑏 &' + [1]𝑆𝑆6 = tan&' 𝑀𝑀)* = 𝐶𝐶 tan − 𝑧𝑧 + 𝑆𝑆' − 𝑑𝑑= + 3 𝑀𝑀)+ 𝑃𝑃) 𝑒𝑒* 2 𝑒𝑒* + 2 Σ𝑀𝑀)+ = 0 𝑀𝑀)+ = 𝐶𝐶3 ℎ ℎ − 𝑧𝑧* + 𝑆𝑆' − 𝑑𝑑´ + 𝑆𝑆6 2 2 𝐶𝐶3 = 0,85𝑓𝑓3 ´𝐴𝐴′ 𝜀𝜀3 ´ 𝜀𝜀I' 𝜀𝜀I6 𝜀𝜀IJ 𝜀𝜀IK = = = = 𝑐𝑐* 𝑧𝑧' 𝑧𝑧6 𝑧𝑧J 𝑧𝑧K 𝑧𝑧' = 𝑐𝑐* − 𝑑𝑑´ − 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑= 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑧𝑧6 = 𝑐𝑐* − 𝑑𝑑´ − 𝑑𝑑= 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑧𝑧J = 𝑐𝑐* − 𝑑𝑑 + 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑= 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 Σ𝐹𝐹 =0 Σ𝐹𝐹 Σ𝐹𝐹 = =0 0 𝑀𝑀 )+ 𝑀𝑀)+ )+ 𝑃𝑃 𝑃𝑃))) 𝑒𝑒𝑒𝑒+++ = 𝐶𝐶 =0 𝑃𝑃 + 𝑆𝑆 + 𝑆𝑆 +⋯ 𝑆𝑆)) = 𝑃𝑃 𝑃𝑃))) = = 𝐶𝐶 𝐶𝐶333 + + 𝑆𝑆 𝑆𝑆''' + + 𝑆𝑆 𝑆𝑆666 + +⋯ ⋯ 𝑆𝑆 𝑆𝑆) = 0 0 [2] = Σ𝑀𝑀 Σ𝑀𝑀)* =0 0 )* Σ𝑀𝑀 )* = 0 (respecto al eje y) 𝑏𝑏 𝑏𝑏 𝑏𝑏 − = 𝑀𝑀 𝐶𝐶 𝑧𝑧 + 𝑆𝑆 )* 3 𝑀𝑀 = 𝐶𝐶 − )* 3 𝑀𝑀)* = 𝐶𝐶3 2 − 𝑧𝑧𝑧𝑧+++ + + 𝑆𝑆 𝑆𝑆''' 2 2 𝑏𝑏 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑Σ𝑀𝑀 +. = . . .0. 𝑆𝑆) − 𝑑𝑑= = )+ )+ = =0 0 Σ𝑀𝑀 2 Σ𝑀𝑀 2 )+ ℎ ℎ ℎ− = 𝑀𝑀 𝐶𝐶 𝑧𝑧 + 𝑆𝑆 )+ 3 𝑀𝑀 = 𝐶𝐶 − )+ 3 𝑀𝑀)+ = 𝐶𝐶3 2 − 𝑧𝑧𝑧𝑧*** + + 𝑆𝑆 𝑆𝑆''' 2 2 ℎ ℎ = 0,85𝑓𝑓 − 𝑑𝑑´𝐶𝐶 +. . . . . 𝑆𝑆 ´𝐴𝐴′ − 𝑑𝑑´ 𝐶𝐶 = 0,85𝑓𝑓 0,85𝑓𝑓)333 ´𝐴𝐴′ ´𝐴𝐴′ 𝐶𝐶333 = 2 2 𝑏𝑏 𝑏𝑏 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑== + 𝑆𝑆66 − − 𝑑𝑑 𝑑𝑑= + + 𝑆𝑆 𝑆𝑆6 2 2 2 𝑏𝑏 𝑏𝑏 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑== +. . . . . 𝑆𝑆)) − − 𝑑𝑑 𝑑𝑑= +. +. .. .. .. .. 𝑆𝑆 𝑆𝑆) 2 2 2 ℎ ℎ ℎ− 𝑑𝑑´ + 𝑆𝑆66 − − 𝑑𝑑´ 𝑑𝑑´ + + 𝑆𝑆 𝑆𝑆6 2 2 2 ℎ ℎ ℎ− 𝑑𝑑´ +. . . . . 𝑆𝑆)) − − 𝑑𝑑´ 𝑑𝑑´ +. +. .. .. .. .. 𝑆𝑆 𝑆𝑆) 2 2 2 𝜀𝜀𝜀𝜀33 ´´ 𝜀𝜀𝜀𝜀I' 𝜀𝜀I6 𝜀𝜀IJ 𝜀𝜀IK I' = 𝜀𝜀 I6 = 𝜀𝜀 IJ = 𝜀𝜀 IK 𝜀𝜀3 ´ = 𝜀𝜀I' 𝜀𝜀I6 𝜀𝜀IJ 𝜀𝜀IK = 𝑧𝑧𝑧𝑧' = = 𝑧𝑧𝑧𝑧6 = = 𝑧𝑧𝑧𝑧J = = 𝑧𝑧𝑧𝑧K 𝑐𝑐𝑐𝑐** = 𝑐𝑐* 𝑧𝑧'' 𝑧𝑧66 𝑧𝑧JJ 𝑧𝑧KK = 𝑐𝑐 − 𝑑𝑑´ 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑 𝑧𝑧𝑧𝑧'' = − 𝑏𝑏 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑧𝑧' = 𝑐𝑐𝑐𝑐*** − − 𝑑𝑑´ 𝑑𝑑´ − − 𝑏𝑏 − − 𝑑𝑑 𝑑𝑑=== 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 PQ 𝜀𝜀I' = 𝑧𝑧𝜀𝜀3= ´ 𝑐𝑐 − 𝑑𝑑´ − 𝑑𝑑 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 3R𝑧𝑧 𝑧𝑧666 = = 𝑐𝑐𝑐𝑐*** − − 𝑑𝑑´ 𝑑𝑑´ − − 𝑑𝑑 𝑑𝑑=== 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 PS 𝜀𝜀I6 = 𝑧𝑧𝑧𝑧J𝜀𝜀3= ´ 𝑐𝑐𝑐𝑐* − − 𝑑𝑑 𝑑𝑑 + + 𝑏𝑏 𝑏𝑏 − − 𝑑𝑑 𝑑𝑑= 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 3R𝑧𝑧J = J = 𝑐𝑐* * − 𝑑𝑑 + 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑= = 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 PT 𝜀𝜀IJ = 𝑧𝑧K𝜀𝜀3= ´ = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐** − − 𝑑𝑑 𝑑𝑑 + + 𝑑𝑑 𝑑𝑑= 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 3R𝑧𝑧 𝑧𝑧KK = * − 𝑑𝑑 + 𝑑𝑑= = 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 P 𝜀𝜀IK = U𝑧𝑧𝑧𝑧'𝜀𝜀3= ´ 𝑐𝑐 − 𝑑𝑑 − 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑 tan (𝜃𝜃) 3R𝑧𝑧' ' = = 𝑐𝑐𝑐𝑐*** − − 𝑑𝑑 𝑑𝑑III − − 𝑏𝑏 𝑏𝑏 − − 𝑑𝑑 𝑑𝑑III tan tan (𝜃𝜃) (𝜃𝜃) 𝑧𝑧𝑧𝑧6 = 𝑐𝑐𝑐𝑐* − 𝑑𝑑 − 𝑑𝑑 tan (𝜃𝜃) I I = − 𝑑𝑑 − 𝑑𝑑 tan (𝜃𝜃) 𝑧𝑧66 = 𝑐𝑐** − 𝑑𝑑II − 𝑑𝑑II tan (𝜃𝜃) 𝑧𝑧𝑧𝑧J = 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐 + 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑 tan 𝜃𝜃 𝑧𝑧' = 𝑐𝑐* − 𝑑𝑑I − 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑I tan (𝜃𝜃) 𝑧𝑧JJ = = 𝑑𝑑 𝑑𝑑 − − 𝑐𝑐𝑐𝑐*** + + 𝑏𝑏 𝑏𝑏 − − 𝑑𝑑 𝑑𝑑III tan tan 𝜃𝜃 𝜃𝜃 𝑧𝑧 = 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐 + 𝑑𝑑 tan 𝜃𝜃 𝑧𝑧6 = 𝑐𝑐* − 𝑑𝑑I − 𝑑𝑑I tan (𝜃𝜃) * I 𝑧𝑧𝑧𝑧KK = 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐 + 𝑑𝑑 tan 𝜃𝜃 * I K = 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐* + 𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃 𝑧𝑧𝑧𝑧'' ,, 𝑧𝑧𝑧𝑧66 ,, 𝑧𝑧𝑧𝑧JJ ,, 𝑧𝑧𝑧𝑧KK Figura 1.𝑧𝑧JDiagrama en flexo = 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐*de+interacción 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃 compresión biaxial. 𝑧𝑧' , 𝑧𝑧6 , 𝑧𝑧J , 𝑧𝑧K 𝑏𝑏 𝑏𝑏 𝑧𝑧K = 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐* + 𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃 𝑏𝑏 tan 𝑐𝑐𝑐𝑐* − 𝑑𝑑 𝜃𝜃 𝑧𝑧𝑧𝑧X = II − 𝑑𝑑 − tan X = *− = 𝑐𝑐 − 𝑑𝑑 − tan 𝜃𝜃 𝜃𝜃 𝑧𝑧 2 X * I 78 | Ingeniería Civil 189/2018 2 𝑧𝑧' , 𝑧𝑧6 , 𝑧𝑧J , 𝑧𝑧K 2 𝑏𝑏 𝑏𝑏 𝑏𝑏 𝑏𝑏 𝑧𝑧𝑧𝑧Y = 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐 + tan 𝜃𝜃 tan 𝜃𝜃 𝑧𝑧X = 𝑐𝑐* − 𝑑𝑑I − tan 𝜃𝜃 𝑧𝑧YY = = 𝑑𝑑 𝑑𝑑 − − 𝑐𝑐𝑐𝑐*** + +2 2 tan 𝜃𝜃 2 2 𝑧𝑧K = 𝑐𝑐* − 𝑑𝑑 + 𝑑𝑑= 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑒𝑒𝑒𝑒++ + P PQ 𝜀𝜀𝜀𝜀I' = PPQQQ 𝜀𝜀𝜀𝜀33 ´´ I' = 𝜀𝜀I' = 33RRR 𝜀𝜀3 ´ 3R P P S S P 𝜀𝜀𝜀𝜀I6 = PS 𝜀𝜀 ´ I6 = 𝜀𝜀I6 = 33RRRS 𝜀𝜀𝜀𝜀333 ´´ 3R P P PTT 𝜀𝜀𝜀𝜀IJ = = PRRTT 𝜀𝜀𝜀𝜀𝜀𝜀33 ´´´ 𝜀𝜀IJ 3R 3 IJ = 3 3R P P PUU = 𝜀𝜀𝜀𝜀IK = PRRUU 𝜀𝜀𝜀𝜀𝜀𝜀33 ´´´ 𝜀𝜀IK 3R 3 IK = 3 3R 𝑏𝑏 𝑏𝑏 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑== − − 𝑑𝑑 𝑑𝑑= 2 2 2 [3] ℎ ℎ ℎ− 𝑑𝑑´ − − 𝑑𝑑´ 𝑑𝑑´ 2 2 2 Columnas a flexo compresión... 𝜆𝜆 = tan&' = tan&' Σ𝐹𝐹 = 0 𝑀𝑀 𝑃𝑃 𝑒𝑒𝑒𝑒* 𝑒𝑒 &' 𝑀𝑀)* &' 𝑃𝑃) &' 𝑒𝑒* )* ) * * 𝜆𝜆 𝜆𝜆 = = tan tan&' 𝑀𝑀 = = tan tan&' 𝑃𝑃 𝑒𝑒 = = tan tan&' 𝑒𝑒 𝑀𝑀)+ 𝑃𝑃)) 𝑒𝑒++ 𝑒𝑒++ )+ 𝑒𝑒* 𝑒𝑒+ 𝑃𝑃) = 𝐶𝐶3 + 𝑆𝑆' + 𝑆𝑆6 + ⋯ 𝑆𝑆) = 0 Σ𝑀𝑀)* = 0 Σ𝐹𝐹 Σ𝐹𝐹 = =0 0 𝑀𝑀)* = 𝐶𝐶3 𝑃𝑃 𝑃𝑃)) = = 𝐶𝐶 𝐶𝐶33 + + 𝑆𝑆 𝑆𝑆'' + + 𝑆𝑆 𝑆𝑆66 + +⋯ ⋯ 𝑆𝑆 𝑆𝑆)) = =0 0 Σ𝑀𝑀 =0 Σ𝑀𝑀)* )* = 0 𝑑𝑑= + 𝑆𝑆6 𝑑𝑑´ + 𝑆𝑆6 Σ𝑀𝑀)+ = 0 ℎ 𝑀𝑀 = 𝐶𝐶 ℎ − − 𝑧𝑧𝑧𝑧* + 𝑆𝑆 𝑀𝑀)+ )+ = 𝐶𝐶3 3 2 * + 𝑆𝑆' ' 2 ℎ ℎ − 𝐶𝐶 𝑑𝑑´ =+.0,85𝑓𝑓 . . . . 𝑆𝑆 ´𝐴𝐴′ − 𝑑𝑑´ 2 𝐶𝐶33 = 0,85𝑓𝑓33)´𝐴𝐴′2 ℎ ℎ − 𝑑𝑑´ + 𝑆𝑆 − 𝑑𝑑´ + 𝑆𝑆66 2 2 ℎ ℎ − 𝑑𝑑´ +. . . . . 𝑆𝑆 − 𝑑𝑑´ +. . . . . 𝑆𝑆)) 2 2 ℎ ℎ − 𝑑𝑑´ − 𝑑𝑑´ 2 2 [4] 𝜀𝜀𝜀𝜀3 ´´ Donde 𝜀𝜀 𝜀𝜀 y z 𝜀𝜀𝜀𝜀son 𝜀𝜀𝜀𝜀IK proyecciones sobre los ejes del 3 = 𝜀𝜀I' I' = z𝜀𝜀xI6 I6 =y IJ IJ = las IK = = = = 𝑐𝑐 𝑧𝑧 𝑧𝑧 𝑧𝑧 𝑧𝑧𝑧𝑧K hormigón C . brazo ' la resultante 𝑐𝑐* 𝑧𝑧en 𝑧𝑧6 𝑧𝑧J del ' 6 J K c Empleando el diagrama rectangular – Pequivalente en la PQQ 𝜀𝜀 ´ 𝑧𝑧𝑧𝑧' = 𝑐𝑐 2 − − 𝑑𝑑 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝜀𝜀𝜀𝜀I' = figura se𝑑𝑑´ muestra dentro 𝑑𝑑´ − 𝑏𝑏 𝑏𝑏 − − el 𝑑𝑑==aporte 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 del hormigón 𝜀𝜀33 ´ de la sec' = 𝑐𝑐* *− I' = 3 3R R ción y como a partir del bloque comprimido puede obtePQ P 𝜀𝜀I' = nerse 𝜀𝜀3 ´ 𝑐𝑐C − 𝑑𝑑´ − 𝑑𝑑 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 PS 𝜀𝜀𝜀𝜀I6 = 3𝑧𝑧 𝑧𝑧R6 = = 𝑐𝑐* c− 𝑑𝑑´ − 𝑑𝑑= 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 = S 𝜀𝜀𝜀𝜀3 ´´ 6 PS * = 𝜀𝜀I6 = 𝑧𝑧 𝜀𝜀= 3 ´ 𝑐𝑐* − 𝑑𝑑 + 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑= 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 3𝑧𝑧RJ = 𝑐𝑐* − 𝑑𝑑 + 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑= 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 J 𝜀𝜀IJ ) tan 𝜃𝜃 𝜃𝜃 tan 𝜃𝜃 𝑏𝑏 𝑏𝑏 𝑏𝑏 𝑏𝑏 − 𝑧𝑧+ + 𝑆𝑆' − 𝑑𝑑= + 𝑆𝑆6 − 𝑑𝑑= +. . . . . 𝑆𝑆) − 𝑑𝑑= 2 2 2 2 𝑏𝑏 𝑏𝑏 𝑏𝑏 ℎ ℎ ℎ ℎ 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑 +. . . . . 𝑆𝑆 𝑏𝑏 𝑏𝑏 𝑑𝑑 𝑀𝑀 = 𝐶𝐶 𝑏𝑏 − 𝑧𝑧+ + 𝑆𝑆 2. 𝑏𝑏Diagrama − 𝑑𝑑 + 𝑆𝑆 = 𝑀𝑀)+ = 𝐶𝐶compresión − 𝑧𝑧* + 𝑆𝑆' − 𝑑𝑑´ + 𝑆𝑆6 − 𝑑𝑑´ +. . . . . 𝑆𝑆) − 𝑑𝑑´ 𝑀𝑀)* 𝑆𝑆66deformaciones, − 𝑑𝑑== +. . . .esfuerzos . 𝑆𝑆)) 2 − − y𝑑𝑑fuerzas. 3 Flexo biaxial. )* = 𝐶𝐶3 3 2 − 𝑧𝑧Figura + + 𝑆𝑆' ' 2 − 𝑑𝑑= = +de = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 𝑏𝑏 𝑏𝑏 − Σ𝑀𝑀 𝑑𝑑= )++.= . .0. . 𝑆𝑆) − 𝑑𝑑=al eje y) 𝐶𝐶3 = 0,85𝑓𝑓3 ´𝐴𝐴′ 2 Σ𝑀𝑀 2 )+ = 0 (respecto * 𝜃𝜃) 𝑀𝑀)* 𝑃𝑃) 𝑒𝑒* 𝑒𝑒* = tan&' = tan&' 𝑀𝑀)+ 𝑃𝑃) 𝑒𝑒+ 𝑒𝑒+ 𝜀𝜀IK I6 3 3 3R R P PTT 𝜀𝜀 ´ 𝜀𝜀𝜀𝜀IJ = IJ = 3R 𝜀𝜀3 3´ 𝜀𝜀3 ´ 𝜀𝜀I' 𝜀𝜀I6 𝜀𝜀IJ 𝜀𝜀IK Donde comprimida del hormigón, que = = A' es = el área = 𝑐𝑐* 𝑧𝑧presentarse 𝑧𝑧6 𝑧𝑧en 𝑧𝑧K ' J 4 formas puede en función de la magnitud y posición de la carga, y todo se trata de obtener el área comP 𝑧𝑧' = 𝑐𝑐* − 𝑑𝑑´ − 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑= 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 = Q 𝜀𝜀3 ´ 3Rproblemática se primida y la posición del centroide.𝜀𝜀I'Esta ilustra en la figura 3. P 𝑧𝑧6 =En 𝑐𝑐*la − figura 𝑑𝑑´ − 𝑑𝑑=4,𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝜀𝜀I6 = Sde 𝜀𝜀 ´ se muestra el diagrama 3R 3 deformaciones para una sección sometida a la flexión esviada, apoyo P importante para 𝑧𝑧J = 𝑐𝑐* − 𝑑𝑑 + 𝑏𝑏 −determinar 𝑑𝑑= 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 el esfuerzo 𝜀𝜀IJ = aT que 𝜀𝜀 ´ está some3R 3 tido cada acero (fsi). Aunque se ejemplifica para 4 barras PU es válido para situadas en las esquinas, el procedimiento 𝑧𝑧K = 𝑐𝑐* − 𝑑𝑑 + 𝑑𝑑= 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑧𝑧' = 𝑐𝑐* − 𝑑𝑑I − 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑I tan (𝜃𝜃) 𝑧𝑧 6 = 𝑐𝑐* − 𝑑𝑑I − 𝑑𝑑I tan (𝜃𝜃) P P = 𝑧𝑧T 𝜀𝜀= ´ 𝑐𝑐 − 𝑑𝑑 + 𝑑𝑑 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 PUU 𝜀𝜀 ´ 3 𝑧𝑧 𝜀𝜀 = J = 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐* + 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃 3𝑧𝑧RK = 𝑐𝑐* − 𝑑𝑑 + 𝑑𝑑= 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝜀𝜀IK 𝜀𝜀33 ´ K * = IK = 3 3R R 𝑧𝑧K = 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐* + 𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃 P 𝑧𝑧' , 𝑧𝑧6 , 𝑧𝑧J , 𝑧𝑧K = 𝑧𝑧U'𝜀𝜀= 3 ´ 𝑐𝑐* − 𝑑𝑑I − 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑I tan (𝜃𝜃) 3𝑧𝑧R' = 𝑐𝑐* − 𝑑𝑑I − 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑I tan (𝜃𝜃) 𝑏𝑏 𝑧𝑧𝑧𝑧6 = 𝑐𝑐 − 𝑑𝑑 − 𝑑𝑑 tan (𝜃𝜃) 𝑧𝑧X = 𝑐𝑐* − 𝑑𝑑I − tan 𝜃𝜃 6 = 𝑐𝑐* * − 𝑑𝑑II − 𝑑𝑑II tan (𝜃𝜃) 2 𝑧𝑧𝑧𝑧J = 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐 + 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑 tan 𝜃𝜃 𝑏𝑏 J = 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐* * + 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑II tan 𝜃𝜃 𝑧𝑧 = 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐 + tan 𝜃𝜃 Y * 𝑧𝑧𝑧𝑧K = 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐 + 𝑑𝑑 tan 𝜃𝜃 2 K = 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐* * + 𝑑𝑑II tan 𝜃𝜃 𝑧𝑧𝑧𝑧' ,, 𝑧𝑧𝑧𝑧6 ,, 𝑧𝑧𝑧𝑧J ,, 𝑧𝑧𝑧𝑧K 𝑧𝑧' , 𝑧𝑧6 , 𝑧𝑧J , 𝑧𝑧K , 𝑧𝑧X , 𝑧𝑧Y ' 6 J K 𝑏𝑏 ℎ 𝑏𝑏 𝑐𝑐 − 𝑑𝑑 − Figura tan 𝜃𝜃 3. Áreas comprimidas del hormigón en la flexo compresión 𝑧𝑧𝑧𝑧X = 𝑧𝑧Z = − 𝑐𝑐biaxial. * + 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃 X = 𝑐𝑐* * − 𝑑𝑑II − 2 tan 𝜃𝜃 2 2 𝑏𝑏 ℎ 𝑏𝑏 tan 𝜃𝜃 𝑧𝑧𝑧𝑧Y = 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐 + 𝑧𝑧[ = − 𝑐𝑐* + 𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃 Y = 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐* * + 2 tan 𝜃𝜃 2 2 𝑧𝑧𝑧𝑧' ,, 𝑧𝑧𝑧𝑧6 ,, 𝑧𝑧𝑧𝑧J ,, 𝑧𝑧𝑧𝑧K ,, 𝑧𝑧𝑧𝑧X ,, 𝑧𝑧𝑧𝑧Y , 𝑧𝑧 , 𝑧𝑧J , 𝑧𝑧K , 𝑧𝑧Z , 𝑧𝑧[ 𝑧𝑧 ' 6 ' 6 J K X Y ℎ 2𝑏𝑏 − 𝑑𝑑I ℎ − 𝑐𝑐 + 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑 tan 𝜃𝜃 𝑧𝑧𝑧𝑧Z = tan 𝜃𝜃 𝑧𝑧\ = 𝑐𝑐* − 𝑑𝑑I − Z = 2 − 𝑐𝑐* * + 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑II tan 𝜃𝜃 3 2 ℎ 𝑏𝑏 + 𝑑𝑑 I ℎ − 𝑐𝑐 + 𝑑𝑑 tan 𝜃𝜃 𝑧𝑧𝑧𝑧[ = 𝑧𝑧'^ = 𝑐𝑐* − 𝑑𝑑I − tan 𝜃𝜃 [ = 2 − 𝑐𝑐* * + 𝑑𝑑II tan 𝜃𝜃 3 2 𝑧𝑧𝑧𝑧' ,, 𝑧𝑧𝑧𝑧6 ,, 𝑧𝑧𝑧𝑧J ,, 𝑧𝑧𝑧𝑧K ,, 𝑧𝑧𝑧𝑧Z ,, 𝑧𝑧𝑧𝑧[ 2𝑏𝑏 − 𝑑𝑑I ' 6 J K Z [ 𝑧𝑧'' = 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐* + tan 𝜃𝜃 2𝑏𝑏 2𝑏𝑏 − − 𝑑𝑑 𝑑𝑑II tan 𝜃𝜃 3 𝑐𝑐𝑐𝑐* − 𝑑𝑑 − 𝑧𝑧𝑧𝑧\ = I = − 𝑑𝑑 − tan 𝜃𝜃 𝑏𝑏 + 𝑑𝑑 \ * I 3 I 3 𝑧𝑧'6 = 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐* + tan 𝜃𝜃 𝑏𝑏 𝑏𝑏 + + 𝑑𝑑 𝑑𝑑II tan 𝜃𝜃 3 𝑧𝑧𝑧𝑧'^ = 𝑐𝑐 − 𝑑𝑑 − * I = 𝑐𝑐 − 𝑑𝑑 − tan 𝜃𝜃 𝑧𝑧' , 𝑧𝑧6 , 𝑧𝑧J , 𝑧𝑧K , 𝑧𝑧\ , 𝑧𝑧'^ , 𝑧𝑧'' , 𝑧𝑧'6 '^ * I 3 3 𝑑𝑑 2𝑏𝑏 − 𝑑𝑑 + 2𝑑𝑑I II 2𝑏𝑏 − 𝑑𝑑 𝑧𝑧𝑧𝑧'' = 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐 + tan − 𝑐𝑐* + (𝑏𝑏 − 𝑑𝑑I ) tan 𝜃𝜃 𝑧𝑧'J = tan 𝜃𝜃 𝜃𝜃 '' = 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐* *+ 3 3 3 𝑏𝑏 + 𝑑𝑑 2𝑑𝑑 + 𝑑𝑑 I I 𝑏𝑏 + 𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃 𝑧𝑧𝑧𝑧'6 = 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐 + 𝑧𝑧'K = − 𝑐𝑐* + 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃 tan 𝜃𝜃 '6 = 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐* *+ 3 3 3 𝑧𝑧𝑧𝑧' ,, 𝑧𝑧𝑧𝑧6 ,, 𝑧𝑧𝑧𝑧J ,, 𝑧𝑧𝑧𝑧K ,, 𝑧𝑧𝑧𝑧\ ,, 𝑧𝑧𝑧𝑧'^ ,, 𝑧𝑧𝑧𝑧'' ,, 𝑧𝑧𝑧𝑧'6 𝑑𝑑 + 2𝑑𝑑I ' 6 J K \ '^ '' '6 𝑧𝑧'X = − 𝑐𝑐* + 𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃 𝑑𝑑 𝑑𝑑 + + 2𝑑𝑑 2𝑑𝑑II − 𝑐𝑐 + (𝑏𝑏 − 𝑑𝑑 ) tan 𝜃𝜃 3 𝑧𝑧𝑧𝑧'J = * I = − 𝑐𝑐 + (𝑏𝑏 − 𝑑𝑑 ) tan 𝜃𝜃 2𝑑𝑑 + 𝑑𝑑I 'J * I 3 3 𝑧𝑧'Y = − 𝑐𝑐* + 𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃 2𝑑𝑑 + 𝑑𝑑 II 2𝑑𝑑 + 𝑑𝑑 3 = − 𝑐𝑐𝑐𝑐* + + 𝑏𝑏 𝑏𝑏 − − 𝑑𝑑 𝑑𝑑I tan tan 𝜃𝜃 𝜃𝜃 𝑧𝑧𝑧𝑧'K = − 'K * I 3 32𝑑𝑑 Figura 4. Diagrama de deformaciones. 𝑑𝑑 + II 𝑑𝑑 + 2𝑑𝑑 𝑧𝑧𝑧𝑧'X = − − 𝑐𝑐𝑐𝑐** + + 𝑑𝑑 𝑑𝑑II tan tan 𝜃𝜃 𝜃𝜃 'X = 3 3 2𝑑𝑑 + 𝑑𝑑 I 2𝑑𝑑 + 𝑑𝑑 I 𝑧𝑧𝑧𝑧'Y = − − 𝑐𝑐𝑐𝑐** + + 𝑑𝑑 𝑑𝑑II tan tan 𝜃𝜃 𝜃𝜃 'Y = 3 3 𝜀𝜀IK = 𝜀𝜀 ´ 3R 3 3R Ingeniería Civil 189/2018 | 79 = 𝜀𝜀I' =3 𝜀𝜀I6 = 𝜀𝜀IJ = 𝜀𝜀IK 𝜀𝜀𝑐𝑐33´ = 𝑧𝑧' =3 ´𝐴𝐴′ 𝑧𝑧6 = 𝑧𝑧J = 𝑧𝑧K 𝐶𝐶 * 3 = 0,85𝑓𝑓 𝑧𝑧𝜀𝜀𝑐𝑐'*´= 𝑐𝑐𝜀𝜀𝑧𝑧*'− 𝑑𝑑´𝜀𝜀𝑧𝑧− − 𝑧𝑧IJ 6 𝑏𝑏 𝜀𝜀 J𝑑𝑑= 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 K 𝜀𝜀𝑧𝑧IK 3 I' I6 = = 𝜀𝜀 = 𝜀𝜀 = 𝜀𝜀 I6 IJ IK 𝑧𝑧𝜀𝜀𝑐𝑐'3*´== 𝑐𝑐𝜀𝜀𝑧𝑧*I' − 𝑑𝑑´ − 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑧𝑧 𝑧𝑧 𝑧𝑧 = K Columnas a flexo compresión...' = 6 = J = 𝑧𝑧𝑧𝑧𝑐𝑐'* = 𝑏𝑏 − 𝑧𝑧J𝑑𝑑= 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑧𝑧K 6 𝑑𝑑 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑧𝑧*'− − 𝑑𝑑´ 𝑑𝑑´𝑧𝑧− − 𝜀𝜀I' = 𝜀𝜀I' 𝜀𝜀I' 𝜀𝜀 6 * = I6 𝑧𝑧𝑧𝑧' = 𝑐𝑐𝑐𝑐* − 𝑑𝑑´ − 𝑏𝑏 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 − 𝑑𝑑= 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝜀𝜀I' = − 𝑑𝑑´ − 𝑑𝑑 𝜀𝜀 Tabla 1. Aporte del para diferentes distribucionesI6 6 refuerzo * = 𝑧𝑧𝑧𝑧' = 𝑐𝑐 − 𝑑𝑑´ − 𝑏𝑏 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 − 𝑑𝑑= 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝜀𝜀𝜀𝜀𝜀𝜀I' I6 𝑧𝑧6J = = 𝑐𝑐𝑐𝑐*** − − 𝑑𝑑´ 𝑑𝑑 +− 𝑑𝑑𝑏𝑏=− 𝑑𝑑= 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 IJ 𝑧𝑧 = 𝑐𝑐 − 𝑑𝑑´ − 𝑑𝑑 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝜀𝜀 =−las Variantes de 𝑧𝑧6J = 𝑐𝑐* − 𝑑𝑑 + 𝑏𝑏de 𝑑𝑑=barras 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡respecto a 𝜀𝜀I6 *z (posición IJ 𝑐𝑐 − 𝑑𝑑´ − 𝑑𝑑𝑏𝑏=− 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝜀𝜀IJ 𝑧𝑧𝑧𝑧6J = = + 𝑑𝑑= 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 x, y) distribución 𝑧𝑧 cartesianos = 𝑐𝑐𝑐𝑐** − − 𝑑𝑑 𝑑𝑑los + ejes 𝑑𝑑 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝜀𝜀𝜀𝜀I6 4barras 6barras 8barras 10barras 12barras 14barras 16barras K 𝑧𝑧𝑧𝑧J K 𝑧𝑧𝑧𝑧J 𝑧𝑧'K * = = − 𝑑𝑑= 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 = 𝑐𝑐𝑐𝑐** − − 𝑑𝑑 𝑑𝑑 + + 𝑑𝑑𝑏𝑏= 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 = 𝑐𝑐𝑐𝑐* − 𝑑𝑑 + 𝑏𝑏 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 − 𝑑𝑑 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 = − 𝑑𝑑 + 𝑑𝑑 * = = 𝑐𝑐* − 𝑑𝑑I − 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑=I tan (𝜃𝜃) IK 𝜀𝜀𝜀𝜀IJ IK 𝜀𝜀𝜀𝜀IJ IK = = = = = = = = = = = = = = = = = PQ 𝜀𝜀 ´ 3R 3 PQ 𝜀𝜀3 ´ 3P PRSQ 𝜀𝜀 ´ 𝜀𝜀 ´ 3R 3 3PRQ 3 PS 𝜀𝜀 ´ 3 3P R Q 𝜀𝜀3 ´ 3P PRST 𝜀𝜀 𝜀𝜀𝜀𝜀33 ´´´ 3 R 3R 3 3 PRS PT 𝜀𝜀 ´ 𝜀𝜀3 ´ 3P R S 3 3P 𝜀𝜀3 ´´ PRTU 𝜀𝜀 3R 𝜀𝜀3 3 3´ 3PR R PTU 𝜀𝜀 ´ 3 3P T 𝜀𝜀3 ´ 3PR U 𝜀𝜀 ´ R 3´ 𝜀𝜀 3 R 3 3R PU 𝜀𝜀 ´ 3P 3 Direcciones de trabajo de los aceros (en contra de las manecillas -, a favor de las manecillas +) Mx 𝑧𝑧𝑧𝑧K6 = = 𝑐𝑐𝑐𝑐* − − 𝑑𝑑 𝑑𝑑I+− −𝑑𝑑𝑑𝑑=𝑏𝑏I𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 tan𝑑𝑑 (𝜃𝜃)tan (𝜃𝜃) 𝜀𝜀IK = − ' * I I 1, 2, -3, -4. + 𝑑𝑑 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝜀𝜀IK = RU 𝜀𝜀3 ´ 𝑧𝑧𝑧𝑧'KJ = 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑𝑑𝑑II(𝜃𝜃) tan 𝜃𝜃 𝑐𝑐 − 𝑑𝑑 − 𝑏𝑏 − tan (𝜃𝜃) = tan *I − 𝑑𝑑 * = 𝑐𝑐 − 𝑑𝑑 3R 6 * I I = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑑𝑑 −𝑐𝑐𝑐𝑐𝑑𝑑 𝑑𝑑**I+ −𝑑𝑑𝑑𝑑 tan 𝑧𝑧𝑧𝑧'6KJ = 𝑑𝑑**− −− 𝑏𝑏I𝑏𝑏Itan −− 𝑑𝑑𝑑𝑑I𝜃𝜃I(𝜃𝜃) tan 𝜃𝜃 − tan (𝜃𝜃) I+ 𝑧𝑧 , 𝑧𝑧 , 𝑧𝑧 𝑧𝑧𝑧𝑧''J, = 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐 + 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑 tan 𝜃𝜃 6 𝑐𝑐 J K − 𝑑𝑑 − 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑 tan (𝜃𝜃) * I𝜃𝜃 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐 + 𝑑𝑑 tan * I I = 𝑐𝑐 − 𝑑𝑑 − 𝑑𝑑 tan (𝜃𝜃) K * I 6 * I I tan 𝜃𝜃(𝜃𝜃) − 𝑑𝑑**I+ −𝑑𝑑𝑏𝑏 𝑑𝑑 𝑧𝑧6 ,𝑑𝑑 , 𝑧𝑧𝑐𝑐𝑐𝑐K𝑑𝑑 𝑧𝑧𝑧𝑧'6JKX, = = 𝑑𝑑 −− 𝑏𝑏IItan −tan 𝑑𝑑I𝜃𝜃 tan 𝜃𝜃 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑧𝑧**J− − I+ 2 𝑧𝑧 , 𝑧𝑧 , 𝑧𝑧 𝑏𝑏 𝑧𝑧𝑧𝑧'JK, = 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐 + − 𝑑𝑑 6 𝑑𝑑 J K* + 𝑑𝑑 tan I𝜃𝜃 tan 𝜃𝜃 = − 𝑐𝑐 * I 𝑧𝑧 = 𝑐𝑐* − 𝑑𝑑I −𝑏𝑏𝑏𝑏 tan 𝜃𝜃 1, 2, -3, -4, 5, -6. 𝑧𝑧𝑧𝑧'KYX, = tan𝜃𝜃𝜃𝜃 2tan 𝑧𝑧 ,𝑑𝑑𝑧𝑧−, 𝑧𝑧𝑐𝑐* + 𝑑𝑑 X =6 𝑐𝑐*J− K𝑑𝑑I −𝑏𝑏 22I tan 𝜃𝜃 𝑧𝑧𝑧𝑧' ,, = 𝑧𝑧𝑧𝑧6 ,,𝑑𝑑𝑧𝑧𝑧𝑧J−,, 𝑧𝑧𝑧𝑧𝑐𝑐K , 𝑧𝑧+ , 𝑧𝑧𝑏𝑏 tan X 𝑏𝑏 Y tan 𝜃𝜃𝜃𝜃 𝑧𝑧'Y =6 𝑐𝑐*J− K𝑑𝑑*I − 𝑧𝑧𝑧𝑧XY = 𝑑𝑑 −−𝑐𝑐𝑑𝑑* +−2𝑏𝑏 𝜃𝜃 ℎ 2tan = 𝑐𝑐 𝑧𝑧6 , 𝑧𝑧*− 2𝑧𝑧𝑏𝑏 +X ,𝑏𝑏 − 𝑑𝑑I𝜃𝜃 tan 𝜃𝜃 𝑧𝑧'XZ, = J , 𝑧𝑧𝑐𝑐K*,I𝑧𝑧 Ytan 2 2𝑧𝑧J−, 𝑧𝑧𝑐𝑐K*, 𝑧𝑧+X , 𝑧𝑧Ytan 𝜃𝜃 𝑧𝑧6 ,𝑑𝑑 𝑧𝑧'Y, = ℎ 𝑏𝑏 ℎ 2𝑏𝑏tan =ℎ − + − 𝑑𝑑𝜃𝜃I tan 𝜃𝜃 𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧YZ = = 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐** + + 𝑑𝑑 2𝑧𝑧− 𝑧𝑧6 ,2 , 𝑧𝑧 , 2𝑧𝑧𝑏𝑏IYtan − + − 𝑑𝑑I𝜃𝜃 tan 𝜃𝜃 𝑧𝑧'[Z, = J , 𝑧𝑧𝑐𝑐K* X * ℎ 2𝑧𝑧J , 𝑧𝑧K , 𝑧𝑧X , 𝑧𝑧Y 𝑧𝑧𝑧𝑧6 ,,ℎ 1, 2, -3, -4, 5, -6, 7(0), 8(0). 𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧''[,, = = − +Z ,𝑑𝑑𝑧𝑧𝑏𝑏I[tan 6 ℎ𝑧𝑧− J , 𝑧𝑧𝑐𝑐K , 𝑧𝑧 − 𝑑𝑑I𝜃𝜃 tan 𝜃𝜃 2 − 𝑐𝑐𝑐𝑐** + ℎ 𝑧𝑧𝑧𝑧Z[ = + 𝑑𝑑 tan 𝜃𝜃 2𝑏𝑏 − 𝑑𝑑 2 * + 𝑏𝑏 I I = 𝑧𝑧6 ,𝑐𝑐ℎ 𝑧𝑧−, 𝑧𝑧𝑐𝑐K𝑑𝑑 2 *,I𝑧𝑧− tan 𝜃𝜃𝜃𝜃 𝑧𝑧'Z\ , = Z , 𝑧𝑧[ − 𝑑𝑑I tan 2𝑧𝑧*J− 3 𝑑𝑑𝜃𝜃I 𝑧𝑧6 ,ℎ 𝑧𝑧'[, = − +Z ,𝑑𝑑𝑧𝑧2𝑏𝑏 − J , 𝑧𝑧𝑐𝑐K*, 𝑧𝑧 I[tan 𝑏𝑏 + 𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃 𝑐𝑐2*−−𝑐𝑐𝑑𝑑I+−𝑑𝑑2𝑏𝑏 𝑧𝑧𝑧𝑧\ = − [, = *𝑑𝑑 −I tan 3 𝑑𝑑𝜃𝜃I tan 𝑧𝑧=,2𝑧𝑧𝑐𝑐*J*− ,− 𝑧𝑧K𝑑𝑑 ,I𝑧𝑧I− tan 𝜃𝜃𝜃𝜃 𝑧𝑧𝑧𝑧''^ Z , 𝑧𝑧[ 3 \ =6 𝑐𝑐 𝑏𝑏 + 𝑑𝑑𝑑𝑑I 3 2𝑏𝑏 − , 𝑧𝑧 , 𝑧𝑧 , 𝑧𝑧 𝑧𝑧𝑧𝑧' , 𝑧𝑧= I 6 , 𝑧𝑧 J K Z [ − 𝑑𝑑𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃 𝑐𝑐*−−𝑑𝑑𝑑𝑑I−−2𝑏𝑏 '^ 𝑏𝑏 + \ ==𝑐𝑐𝑑𝑑 𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧'' −−𝑐𝑐𝑑𝑑*I +−2𝑏𝑏 tan 𝜃𝜃 𝜃𝜃 3 𝑑𝑑I tan − =𝑐𝑐𝑐𝑐**− I− 2𝑏𝑏 3 33 𝑑𝑑II tan = 𝑑𝑑 tan 𝜃𝜃𝜃𝜃 𝑧𝑧'^ − \ * I 𝑏𝑏 + 𝑑𝑑 𝑏𝑏 +3 𝑧𝑧𝑧𝑧'' = = 𝑐𝑐𝑑𝑑 −−𝑐𝑐𝑑𝑑* +−2𝑏𝑏 tan 𝜃𝜃𝜃𝜃 I I tan −𝑑𝑑𝑑𝑑 I *− 𝑐𝑐* I+ 𝑏𝑏 + 𝑑𝑑 '6 = 𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧'^ 𝑑𝑑 −−𝑐𝑐𝑑𝑑* +− 333 𝑑𝑑Itan tan𝜃𝜃𝜃𝜃𝜃𝜃 1, 2, -3, -4, 5, -6, 7(0), 8(0), 9, 10, -11, -12. '' = = 𝑐𝑐 tan 𝑏𝑏 + 𝑑𝑑 33 𝑑𝑑 '^ * I 2𝑏𝑏 − II , 𝑧𝑧 , 𝑧𝑧 , 𝑧𝑧 , 𝑧𝑧 , 𝑧𝑧 𝑧𝑧𝑧𝑧''6, 𝑧𝑧= = 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐 + tan 𝜃𝜃 6 , 𝑧𝑧 J K \ '^ '' '6 𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐** + 𝑏𝑏 '' 2𝑏𝑏+3− = 𝑑𝑑 𝑐𝑐2𝑑𝑑 𝜃𝜃 3 𝑑𝑑Itan + 𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧'6 = 𝑑𝑑J− − 𝑐𝑐,**𝑧𝑧I+ + , 𝑧𝑧 , 𝑧𝑧 , 𝑧𝑧 , 𝑧𝑧 , 𝑧𝑧 , 𝑧𝑧tan '' 3 = − 𝑐𝑐 + − 𝑑𝑑𝜃𝜃I ) tan 𝜃𝜃 ' 6 K \ '^ '' 𝑏𝑏 + 'J *3𝑑𝑑 I (𝑏𝑏'6 , 𝑧𝑧3K𝑐𝑐2𝑑𝑑 ,*𝑧𝑧I+ , 𝑧𝑧'' ,tan 𝑧𝑧'6 𝜃𝜃 𝑧𝑧''6, 𝑧𝑧= 𝑑𝑑J− + 6 , 𝑧𝑧 \ , 𝑧𝑧𝑏𝑏'^+ 2𝑑𝑑+ = 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐*3 𝑑𝑑 +I (𝑏𝑏 − 𝜃𝜃𝑑𝑑I ) tan 𝜃𝜃 'J = 2𝑑𝑑 𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧'6 −+ 𝑐𝑐*𝑑𝑑II+− tan = 𝑐𝑐 + 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑 𝑑𝑑I ) tan tan 𝜃𝜃𝜃𝜃 3 , 𝑧𝑧6 , 𝑧𝑧J , 𝑧𝑧K , 𝑧𝑧\ ,− 𝑧𝑧'^ , 𝑧𝑧'6 𝑐𝑐**3, 𝑧𝑧+ − 𝑧𝑧''K ''(𝑏𝑏 'J = I 3 2𝑑𝑑 + 𝑑𝑑 3 II , 𝑧𝑧 , 𝑧𝑧 , 𝑧𝑧 𝑑𝑑 + 2𝑑𝑑 , 𝑧𝑧 , 𝑧𝑧 , 𝑧𝑧 𝑧𝑧𝑧𝑧' , 𝑧𝑧= 6 J+ K2𝑑𝑑I\ −'^ '' 𝑏𝑏'6 + − 𝑑𝑑 𝑑𝑑I ) tan tan 𝜃𝜃𝜃𝜃 'K = 𝑑𝑑 𝑑𝑑I − − 𝑐𝑐𝑐𝑐** + 𝑧𝑧'X = 2𝑑𝑑 +(𝑏𝑏 𝑑𝑑𝑏𝑏I − 32𝑑𝑑 𝑑𝑑 ++ I − 𝑐𝑐𝑐𝑐* 𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧'J −tan 𝑑𝑑II )𝜃𝜃tan tan 𝜃𝜃𝜃𝜃 3 'K = *+ 3 = − 𝑐𝑐 + (𝑏𝑏 − 𝑑𝑑 𝑑𝑑 + 2𝑑𝑑 'J * I 3 𝑑𝑑 32𝑑𝑑 2𝑑𝑑++ + 𝑑𝑑III − 𝑐𝑐* + 𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃 𝑧𝑧'X = = 2𝑑𝑑 𝑑𝑑I 𝜃𝜃 tan 𝜃𝜃 𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧'K = 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐** + + 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑏𝑏I − tan 3 𝑑𝑑II − 2𝑑𝑑 + 'Y = − + tan 𝜃𝜃 3 3 𝑧𝑧'X 2𝑑𝑑 + 𝑑𝑑I − 𝑐𝑐** + 𝑏𝑏I − 𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃 3 'K = 𝑑𝑑 I − 𝑐𝑐 + 𝑑𝑑 tan 𝜃𝜃 32𝑑𝑑 𝑧𝑧𝑧𝑧'Y = = 2𝑑𝑑++ 1, 2, -3, -4, 9, 10, -11, -12, 13, -14, 15, -16. 𝑑𝑑I − 𝑐𝑐** + 𝑑𝑑II tan 𝜃𝜃 32𝑑𝑑 𝑑𝑑 +3 I − 𝑐𝑐* + 𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃 𝑧𝑧𝑧𝑧'X 'Y = − 𝑐𝑐* + 𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃 'X = 2𝑑𝑑 + 3 3 𝑑𝑑I 𝑧𝑧'Y = 2𝑑𝑑 + 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐* + 𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃 I 3 𝑧𝑧'Y = − 𝑐𝑐* + 𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃 3 𝑧𝑧'J 𝑧𝑧'K 𝑧𝑧'X 𝑧𝑧'Y 𝑧𝑧'𝑧𝑧,'𝑧𝑧,6𝑧𝑧,6𝑧𝑧,J𝑧𝑧,J𝑧𝑧,K𝑧𝑧,K𝑧𝑧,X𝑧𝑧,X𝑧𝑧,Y𝑧𝑧,Y𝑧𝑧,'J , 𝑧𝑧,'K , 𝑧𝑧,'X , 𝑧𝑧,'Y 3𝑏𝑏3𝑏𝑏−−2𝑑𝑑2𝑑𝑑 I I tan𝜃𝜃 𝜃𝜃 𝑧𝑧'Z==𝑐𝑐*𝑐𝑐*−−𝑑𝑑I𝑑𝑑− tan 𝑧𝑧'Z I− 44 𝑏𝑏 − 2𝑑𝑑 𝑏𝑏 − 2𝑑𝑑I I 𝑧𝑧'[==𝑐𝑐*𝑐𝑐*−−𝑑𝑑I𝑑𝑑− tan𝜃𝜃 𝜃𝜃 𝑧𝑧'[ tan I− 44 3𝑏𝑏3𝑏𝑏−−2𝑑𝑑2𝑑𝑑 I I 𝑧𝑧'\==𝑑𝑑 𝑑𝑑−−𝑐𝑐*𝑐𝑐*++ tan𝜃𝜃 𝜃𝜃 𝑧𝑧'\ tan 44 𝑏𝑏 𝑏𝑏−−2𝑑𝑑2𝑑𝑑 I I 𝑧𝑧6^==𝑑𝑑 𝑑𝑑−−𝑐𝑐*𝑐𝑐*++ tan𝜃𝜃 𝜃𝜃 𝑧𝑧6^ tan 44 𝑧𝑧'Z 𝑧𝑧'[ 𝑧𝑧'\ 𝑧𝑧6^ , 𝑧𝑧,'[ , 𝑧𝑧,'\ , 𝑧𝑧,6^ 𝑧𝑧'𝑧𝑧,'𝑧𝑧,6𝑧𝑧,6𝑧𝑧,J𝑧𝑧,J𝑧𝑧,K𝑧𝑧,K𝑧𝑧,X𝑧𝑧,X𝑧𝑧,Y𝑧𝑧,Y𝑧𝑧,Z𝑧𝑧,Z𝑧𝑧,[𝑧𝑧[𝑧𝑧'Z ℎ ℎ++2𝑑𝑑2𝑑𝑑 I I tan𝜃𝜃 𝜃𝜃 𝑧𝑧6'== −−𝑐𝑐*𝑐𝑐*++𝑏𝑏 𝑏𝑏−−𝑑𝑑I𝑑𝑑Itan 𝑧𝑧6' 44 3ℎ3ℎ++2𝑑𝑑2𝑑𝑑 I I 𝑧𝑧66== tan𝜃𝜃 𝜃𝜃 𝑧𝑧66 −−𝑐𝑐*𝑐𝑐*++(𝑏𝑏(𝑏𝑏−−𝑑𝑑I𝑑𝑑)I )tan 44 ℎ ℎ++2𝑑𝑑2𝑑𝑑 I I 𝑧𝑧6J== tan𝜃𝜃 𝜃𝜃 𝑧𝑧6J −−𝑐𝑐*𝑐𝑐*++𝑑𝑑I𝑑𝑑Itan 44 3ℎ3ℎ++2𝑑𝑑2𝑑𝑑 I I 𝑧𝑧6K== tan𝜃𝜃 𝜃𝜃 𝑧𝑧6K −−𝑐𝑐*𝑐𝑐*++𝑑𝑑I𝑑𝑑Itan 44 𝑀𝑀𝑀𝑀 &'&' )*)* tan 𝜆𝜆 𝜆𝜆==tan 𝑀𝑀𝑀𝑀 )+)+ , 𝑀𝑀 , 𝑀𝑀 𝑃𝑃)𝑃𝑃,)𝑀𝑀 , 𝑀𝑀 )+)+ )*)* 𝑀𝑀𝑀𝑀 &'&' )*)* ≈ 𝜆𝜆 tan 𝜆𝜆'𝜆𝜆'==tan ≈ 𝜆𝜆 𝑀𝑀𝑀𝑀 )+)+ 𝑀𝑀𝑀𝑀 &'&' )*)* ≈ 𝜆𝜆 tan ≈ 𝜆𝜆 𝜆𝜆'𝜆𝜆'==tan 𝑀𝑀𝑀𝑀 )+)+ 80 | Ingeniería Civil 189/2018 My -1, 2, -3, 4. -1, 2, -3, 4, 5(0), 6(0). -1, 2, -3, 4, 5(0), 6(0), -7, 8. -1, 2, -3, 4, 5(0), 6(0), -7, 8, -9, 10, -11, 12. -1, 2, -3, 4, -9, 10, -11, 12, -13, -14, 15, 16. 1, 2, -3, -4, 5, -6, 13, -14, 15, -16, 17, 18, -19, -20. -1, 2, -3, 4, 5(0), 6(0), -13, -14, 15, 16, -17, 18, -19, 20. 1, 2, -3, -4, 5, -6, 7(0), 8(0) , 17, 18, -19, -20, 21, -22, 23, -24. -1, 2, -3, 4, 5(0), 6(0), -7, 8, -17, 18, -19, 20, -21, -22, 23, 24. 𝑀𝑀)* = 𝐶𝐶3 𝑏𝑏 − 𝑧𝑧 + 𝑆𝑆 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑= + 𝑆𝑆6 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑 +. . . . . 𝑆𝑆 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑= 𝑏𝑏 2 − 𝑧𝑧++ + 𝑆𝑆'' 𝑏𝑏 2 − 𝑑𝑑= + 𝑆𝑆6 𝑏𝑏 2 − 𝑑𝑑== +. . . . . 𝑆𝑆)) 𝑏𝑏 2 𝑑𝑑= 𝑏𝑏 𝑏𝑏 𝑏𝑏 𝑀𝑀 = 𝐶𝐶 )* 3 𝑏𝑏 𝑏𝑏 𝑏𝑏 𝑏𝑏 − 𝑀𝑀 = 𝐶𝐶 − 𝑧𝑧 + 𝑆𝑆 − 𝑑𝑑 + 𝑆𝑆 − 𝑑𝑑= +. . . . . 𝑆𝑆) 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑= )* = 𝐶𝐶3 + ' = 6 𝑀𝑀 − − − 3 2− 2 2 2 𝑀𝑀)* − 𝑧𝑧𝑧𝑧++ + + 𝑆𝑆 𝑆𝑆'' 2 − 𝑑𝑑 𝑑𝑑== + + 𝑆𝑆 𝑆𝑆66 2 − 𝑑𝑑 𝑑𝑑== +. +. .. .. .. .. 𝑆𝑆 𝑆𝑆)) 2 − 𝑑𝑑 𝑑𝑑== )* = 𝐶𝐶3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Σ𝑀𝑀)+ = 0 =0 Σ𝑀𝑀 )+ Σ𝑀𝑀 )+ = =0 0 Σ𝑀𝑀 Σ𝑀𝑀)+ )+ = 0 ℎ ℎ ℎ ℎ 𝑀𝑀)+ = 𝐶𝐶3 ℎ − 𝑧𝑧* + 𝑆𝑆' ℎ − 𝑑𝑑´ + 𝑆𝑆6 ℎ − 𝑑𝑑´ +. . . . . 𝑆𝑆) ℎ − 𝑑𝑑´ ℎ ℎ ℎ ℎ mayor número de + barras situadas bordeando el. perímetro 2 2 2 2 − 𝑑𝑑´ ℎ ℎ ℎ ℎ 𝑀𝑀 = 𝐶𝐶 − 𝑧𝑧 𝑆𝑆 − 𝑑𝑑´ + 𝑆𝑆 − 𝑑𝑑´ +. . . . 𝑆𝑆 )+ 3 * ' 6 ) ℎ ℎ ℎ ℎ 𝑀𝑀 = 𝐶𝐶 − 𝑧𝑧 + 𝑆𝑆 − 𝑑𝑑´ + 𝑆𝑆 − 𝑑𝑑´ +. . . . . 𝑆𝑆 − 𝑑𝑑´ )+ = 𝐶𝐶3 3 * ' 6 ) 𝑀𝑀 − − − − de la=sección. 2 2 2 2 𝑀𝑀)+ 𝐶𝐶3 2 − 𝑧𝑧𝑧𝑧** + + 𝑆𝑆 𝑆𝑆'' 2 − 𝑑𝑑´ 𝑑𝑑´ + + 𝑆𝑆 𝑆𝑆66 2 − 𝑑𝑑´ 𝑑𝑑´ +. +. .. .. .. .. 𝑆𝑆 𝑆𝑆)) 2 − 𝑑𝑑´ 𝑑𝑑´ )+ 2 2 2 2 2 2 2 2 0,85𝑓𝑓3 ´𝐴𝐴′ 𝐶𝐶3 =Considerando la proyección sobre el eje y = 0,85𝑓𝑓 ´𝐴𝐴′ 𝐶𝐶 3 0,85𝑓𝑓 𝐶𝐶 3 = = 0,85𝑓𝑓333 ´𝐴𝐴′ ´𝐴𝐴′ 𝐶𝐶 𝐶𝐶 𝜀𝜀333´ = 0,85𝑓𝑓 𝜀𝜀I' 3 ´𝐴𝐴′ 𝜀𝜀I6 𝜀𝜀IJ 𝜀𝜀IK = = [5] 𝜀𝜀𝜀𝜀3 ´´ 𝜀𝜀𝜀𝜀I' 𝜀𝜀𝜀𝜀I6 = 𝜀𝜀𝜀𝜀IJ = 𝜀𝜀𝜀𝜀IK 𝑧𝑧 𝑧𝑧IJ 𝑧𝑧IK I' 𝜀𝜀𝜀𝜀𝑐𝑐33*´´ = 𝜀𝜀 ' 6 = 𝜀𝜀 J = 𝜀𝜀 K = 𝜀𝜀I' = = 𝜀𝜀𝑧𝑧I6 I6 𝜀𝜀𝑧𝑧IJ 𝜀𝜀𝑧𝑧IK I' = 𝜀𝜀𝑧𝑧I6 = IJ = IK = = 𝑐𝑐𝑐𝑐3* = 𝑧𝑧 ' 6 J K 𝑐𝑐𝑐𝑐** = 𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧'' = 𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧66 = 𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧JJ = 𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧KK P Donde: 6 K 𝑧𝑧'* = 𝑐𝑐*'− 𝑑𝑑´ − 𝑏𝑏 −J𝑑𝑑= 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝜀𝜀I' = PQQ 𝜀𝜀3 ´ 3PRQ 𝑧𝑧𝑧𝑧' = 𝜀𝜀𝜀𝜀I' = = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐** − − 𝑑𝑑´ 𝑑𝑑´ − − 𝑏𝑏 𝑏𝑏 − − 𝑑𝑑 𝑑𝑑= 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 = 3PPRQQ 𝜀𝜀𝜀𝜀𝜀𝜀33 ´´´ 𝑧𝑧𝑧𝑧'' = 𝜀𝜀𝜀𝜀I' 3R 𝜀𝜀3 ´ * − 𝑑𝑑´ − 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑= = 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 I' = ' = 𝑐𝑐* − 𝑑𝑑´ − 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑= 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 I' = 3 3PR 3 𝑧𝑧6 = 𝑐𝑐* − 𝑑𝑑´ − 𝑑𝑑= 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝜀𝜀I6 = PRSS 𝜀𝜀3 ´ 3PR 𝑧𝑧𝑧𝑧6 = 𝑐𝑐 − 𝑑𝑑´ − 𝑑𝑑 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝜀𝜀𝜀𝜀I6 = = 3PPRSSS 𝜀𝜀𝜀𝜀𝜀𝜀33 ´´´ 𝑧𝑧𝑧𝑧66 = = 𝑐𝑐𝑐𝑐*** − − 𝑑𝑑´ 𝑑𝑑´ − − 𝑑𝑑 𝑑𝑑=== 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝜀𝜀𝜀𝜀I6 3R 𝜀𝜀3 ´ I6 = 6 = 𝑐𝑐* − 𝑑𝑑´ − 𝑑𝑑= 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 I6 = 3 3PR 3 𝑧𝑧J = 𝑐𝑐* − 𝑑𝑑 + 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑= 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝜀𝜀IJ = PRTT 𝜀𝜀3 ´ 3PRT 𝑧𝑧𝑧𝑧J = 𝑐𝑐 − 𝑑𝑑 + 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝜀𝜀𝜀𝜀IJ = P 𝜀𝜀 ´ IJ = 𝑧𝑧𝑧𝑧JJ = = 𝑐𝑐𝑐𝑐*** − − 𝑑𝑑 𝑑𝑑 + + 𝑏𝑏 𝑏𝑏 − − 𝑑𝑑 𝑑𝑑=== 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝜀𝜀𝜀𝜀IJ = 33PRRTT 𝜀𝜀𝜀𝜀𝜀𝜀333 ´´´ J = 𝑐𝑐* − 𝑑𝑑 + 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑= 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 IJ = 3 3PR 3 𝑧𝑧K = 𝑐𝑐* − 𝑑𝑑 + 𝑑𝑑= 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝜀𝜀IK = PRUU 𝜀𝜀3 ´ 3PRU 𝑧𝑧𝑧𝑧K = 𝑐𝑐𝑐𝑐* − 𝑑𝑑 + 𝑑𝑑 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝜀𝜀𝜀𝜀IK = P 𝜀𝜀 ´´ = − 𝑑𝑑 + 𝑑𝑑 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 = 3PU 𝜀𝜀3 * = IK 3 𝑧𝑧𝑧𝑧KK = = 𝑐𝑐 − 𝑑𝑑 + 𝑑𝑑 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝜀𝜀 = * = IK 𝜀𝜀IK = 33RRRU 𝜀𝜀𝜀𝜀33 ´´ K = 𝑐𝑐* − 𝑑𝑑 + 𝑑𝑑= 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 3R 𝑧𝑧' = 𝑐𝑐* − 𝑑𝑑I − 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑I tan (𝜃𝜃) En tabla se− ilustran las ecuaciones de las distancias 𝑐𝑐𝑐𝑐*la− 𝑑𝑑 tan 𝑧𝑧𝑧𝑧' = II − II(𝜃𝜃) 𝑑𝑑 −1 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑 tan (𝜃𝜃) (𝜃𝜃) 𝑑𝑑𝑏𝑏 tan𝑑𝑑 = 𝑐𝑐𝑐𝑐** − − 𝑑𝑑 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑 𝑧𝑧'6 = I− = − 𝑑𝑑 𝑏𝑏II distribuciones − 𝑑𝑑II(𝜃𝜃)tan tan (𝜃𝜃) (𝜃𝜃) de barras. En las columnas z𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧''6para II − = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑑𝑑**diferentes − 𝑑𝑑 − 𝑑𝑑 tan = − 𝑑𝑑 − 𝑑𝑑 tan (𝜃𝜃) 𝑐𝑐*II+− 𝑑𝑑 𝑏𝑏II−tan 𝑑𝑑I (𝜃𝜃) tan 𝜃𝜃 𝑧𝑧6J = 𝑐𝑐𝑐𝑐**−− −𝑐𝑐a𝑑𝑑 𝑑𝑑I+−derecha 𝑑𝑑 tan (𝜃𝜃) ubicadas ofrecen los signos de los momen*− I− 𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧6J6 = = 𝑑𝑑 𝑏𝑏 𝑑𝑑 tan 𝜃𝜃 II𝜃𝜃 se 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐𝑐𝑐**la + 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑 tan 𝜃𝜃 𝑑𝑑 tan I 𝑧𝑧𝑧𝑧JKJ = = 𝑑𝑑 − + 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑 tan 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐𝑐𝑐*** + 𝑏𝑏I tan −para 𝑑𝑑II𝜃𝜃 cada tan 𝜃𝜃 𝜃𝜃barra asumiendo los ejes coortos en ambos ejes 𝑧𝑧𝑧𝑧JK, = = 𝑑𝑑 − + 𝑑𝑑 = 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐 + 𝑑𝑑 tan 𝜃𝜃 𝑧𝑧 , 𝑧𝑧 , 𝑧𝑧 6 𝑑𝑑 J 𝑧𝑧𝑧𝑧'KK = − 𝑐𝑐K** + 𝑑𝑑II tan 𝜃𝜃 *+ I tan 𝜃𝜃 de la sección. También se especifica 𝑧𝑧𝑧𝑧'K,, = 𝑧𝑧𝑧𝑧6 ,,𝑑𝑑𝑧𝑧𝑧𝑧J−,, 𝑧𝑧𝑧𝑧𝑐𝑐en denados el𝑑𝑑centro 𝑧𝑧𝑧𝑧''X,, = 𝑧𝑧𝑧𝑧66 ,,𝑐𝑐𝑧𝑧𝑧𝑧*JJ− ,, 𝑧𝑧𝑧𝑧KKK𝑑𝑑I − 𝑏𝑏 tan 𝜃𝜃 𝑏𝑏 ' 6la simbología J K con 𝑏𝑏 2 tan(0)𝜃𝜃 en aquellos casos en los que debido = 𝑐𝑐𝑐𝑐* − − 𝑑𝑑 𝑑𝑑I − − 𝑏𝑏 𝑏𝑏 tan 𝜃𝜃 𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧XX = * I 𝑏𝑏 = 𝑐𝑐 − 𝑑𝑑 − tan 𝜃𝜃 2 X * I a𝑧𝑧𝑧𝑧Xla= posición de las y a la de los ejes coordenados no 2 𝑐𝑐 − 𝑑𝑑 − tanbarras 𝜃𝜃 * I 2tan 𝜃𝜃 Y = 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐* + 𝑏𝑏 2 𝑏𝑏 2 𝑏𝑏 se = 𝑑𝑑 𝑑𝑑 − − 𝑐𝑐𝑐𝑐momento + 𝑏𝑏 tan tan 𝜃𝜃 𝜃𝜃resistente respecto a uno u otro de los * 𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧YY, genera = + *, 𝑧𝑧 + tan 𝑧𝑧6 ,𝑑𝑑 Y 2𝑧𝑧de 𝑧𝑧'Y = = 𝑑𝑑𝑧𝑧J− −, 𝑧𝑧𝑐𝑐𝑐𝑐K**falta +X ,2 tan 𝜃𝜃 𝜃𝜃 ejes ,,ℎ𝑧𝑧𝑧𝑧J ,,la 𝑧𝑧𝑧𝑧K ,, 𝑧𝑧𝑧𝑧X ,,2 𝑧𝑧𝑧𝑧'Y,, 𝑧𝑧𝑧𝑧6por 2𝑧𝑧𝑧𝑧YY brazo. ' 6 J K X 𝑧𝑧𝑧𝑧Desarrollando , 𝑧𝑧 , 𝑧𝑧 , 𝑧𝑧 𝑧𝑧𝑧𝑧'Z,, = 6 ,,ℎ𝑧𝑧 J K X Y − 𝑐𝑐 + 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑 𝜃𝜃 ecuaciones generales se crean hojas 𝑧𝑧J , 𝑧𝑧K*, 𝑧𝑧X , 𝑧𝑧Y esas I tan ' 6ℎ 2− ℎ 𝑐𝑐𝑐𝑐* + 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑 tan 𝜃𝜃 𝑧𝑧𝑧𝑧Z = I ℎ = − + 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑 tan 𝜃𝜃 de cálculo en MathCAD parten de la siguiente filoso* II tanque ℎ − 𝑐𝑐 + 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑 𝜃𝜃 𝑧𝑧𝑧𝑧ZZ = 2 * 2− =ℎ − 𝑐𝑐𝑐𝑐* + + 𝑑𝑑𝑏𝑏 tan − 𝑑𝑑I𝜃𝜃 tan 𝜃𝜃 2 𝑧𝑧Z[ = I 2 fía: (ESHANI ℎ 2 − 𝑐𝑐** + 𝑑𝑑1986) ℎ 𝑧𝑧𝑧𝑧[ = tan 𝜃𝜃 −, 𝑧𝑧𝑐𝑐𝑐𝑐*, 𝑧𝑧+ 𝑑𝑑𝑧𝑧II tan 𝜃𝜃 = 2 𝑧𝑧6 ,ℎ 𝑧𝑧𝑧𝑧'[[, = J 𝑐𝑐K* + 2𝑧𝑧− = − +Z ,𝑑𝑑 𝑑𝑑II[tan tan 𝜃𝜃 𝜃𝜃 𝑧𝑧𝑧𝑧J ,, 𝑧𝑧𝑧𝑧K*,, 𝑧𝑧𝑧𝑧Z ,, 𝑧𝑧𝑧𝑧2𝑏𝑏 𝑧𝑧𝑧𝑧'[,, 𝑧𝑧𝑧𝑧6 ,,2 2 − 𝑑𝑑 [ Ila confección de Diagramas de Inte6 J K Z [ La base está en 𝑧𝑧𝑧𝑧1. , 𝑧𝑧 , 𝑧𝑧 , 𝑧𝑧 𝑧𝑧𝑧𝑧''\ ,, = 6 ,,𝑐𝑐𝑧𝑧 J K Z [ − 𝑑𝑑 − tan 𝜃𝜃 2𝑏𝑏 𝑑𝑑 *J , 𝑧𝑧K ,I𝑧𝑧Z , 𝑧𝑧 ' 6 𝑧𝑧 [ − II 2𝑏𝑏 − 𝑑𝑑 3 2𝑏𝑏 − 𝑑𝑑 𝑐𝑐 − 𝑑𝑑 − 𝜃𝜃 𝑧𝑧𝑧𝑧\ = I tan racción Superficies de Contorno de Carga. * II − o 2𝑏𝑏 − 𝑑𝑑 = 𝑐𝑐 − 𝑑𝑑 𝜃𝜃 I \ * 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐𝑐𝑐* − 𝑑𝑑 tan 𝜃𝜃 𝑧𝑧𝑧𝑧\ = 3 𝑑𝑑I tan I− 3 − 𝑑𝑑 − tan 𝜃𝜃 \ = * I 3 𝑧𝑧'^ = 𝑐𝑐 − 𝑑𝑑 − tan 𝜃𝜃 2. Se de la sección ante la 𝑏𝑏 + + 𝑑𝑑I la resistencia * comprueba I 3 𝑏𝑏 𝑑𝑑 3 𝑑𝑑II tan 𝜃𝜃 𝑏𝑏 𝑧𝑧𝑧𝑧'^ = − 𝑑𝑑 * II − 𝑏𝑏 + + 𝑑𝑑de = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐combinación − 𝑑𝑑 − 𝜃𝜃 carga a que esta está sometida. II tan * 2𝑏𝑏 − 𝑑𝑑 𝑧𝑧𝑧𝑧'^ − 𝑑𝑑 − tan 𝜃𝜃 3 '^ = * I 3 tan = 𝑐𝑐*−−𝑐𝑐𝑑𝑑I+−2𝑏𝑏 − 3 𝑧𝑧'^ tan 𝜃𝜃𝜃𝜃alternativas de: dimensiones de '' = 𝑑𝑑 *de probar 3 𝑑𝑑 Parte 2𝑏𝑏 − − 𝑑𝑑IIvarias 3 2𝑏𝑏 𝑑𝑑 𝑧𝑧𝑧𝑧'' 3. = 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐 + tan 𝜃𝜃 2𝑏𝑏 − 𝑑𝑑I tan = 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐𝑐𝑐** + 𝜃𝜃 𝑧𝑧𝑧𝑧'' tan 𝜃𝜃 3 '' = calidades 3𝑑𝑑I Itan = 𝑑𝑑 𝑑𝑑la− −sección, 𝑐𝑐* + + 𝑏𝑏 + tan𝜃𝜃de 𝜃𝜃 los materiales, cantidad y dis3 𝑧𝑧'' + 𝑑𝑑 '6 = 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐* * + 𝑏𝑏 3 I 𝑏𝑏 + 𝑑𝑑 3 I 𝑏𝑏 + 𝑑𝑑 refuerzo, = 𝑑𝑑 𝑑𝑑tribución − 𝑐𝑐𝑐𝑐* + + 𝑏𝑏 del tan 𝜃𝜃 𝜃𝜃 hasta comprobar que la comI tan + 𝑑𝑑 𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧'6 = − '6 𝑑𝑑 , 𝑧𝑧K𝑐𝑐𝑐𝑐,**𝑧𝑧+ , 𝑧𝑧''I ,tan 𝑧𝑧'6 𝜃𝜃 ' , 𝑧𝑧= 6 , 𝑧𝑧 J− \ , 𝑧𝑧'^3 3 𝑧𝑧'6 = 𝑑𝑑binación − + tan 𝜃𝜃 3, carga ,, 𝑧𝑧𝑧𝑧K2𝑑𝑑 ,,*𝑧𝑧𝑧𝑧I\ ,, 𝑧𝑧𝑧𝑧de 𝑧𝑧𝑧𝑧'' ,, 𝑧𝑧𝑧𝑧'6escogida esté dentro del Diagramas 𝑧𝑧𝑧𝑧'6 𝑑𝑑 ' ,, 𝑧𝑧 6 ,, 𝑧𝑧 J+ '^3 𝑧𝑧 𝑧𝑧 , ' 6 J K \ '^ '' '6 , 𝑧𝑧 , 𝑧𝑧 , 𝑧𝑧 , 𝑧𝑧 , 𝑧𝑧 6 ,, 𝑧𝑧 J K \ '^ '' '6 − 𝑐𝑐 + (𝑏𝑏 − 𝑧𝑧𝑧𝑧'''J,, 𝑧𝑧𝑧𝑧= , 𝑧𝑧K2𝑑𝑑 , 𝑧𝑧 , 𝑧𝑧 *, 𝑧𝑧'' , 𝑧𝑧'6 𝑑𝑑I ) tan 𝜃𝜃 𝑑𝑑J+ + 2𝑑𝑑 6 𝑧𝑧 𝑑𝑑 32𝑑𝑑III\ −'^ 𝑑𝑑 + − 𝑑𝑑 𝜃𝜃 𝑧𝑧𝑧𝑧'J = II ) 𝑑𝑑 + 2𝑑𝑑 = − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐** + + (𝑏𝑏 (𝑏𝑏 − 𝑑𝑑 ) tan tan 𝜃𝜃 + (𝑏𝑏 − 𝑑𝑑 tan 𝜃𝜃 𝑧𝑧'J 3 'J = *+ I) 3 𝑑𝑑II − = 2𝑑𝑑 − 𝑐𝑐 + (𝑏𝑏 − 𝑑𝑑 ) tan 𝜃𝜃𝜃𝜃 * I 3 𝑧𝑧𝑧𝑧'J = − 𝑐𝑐 + 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑 tan 2𝑑𝑑 + 𝑑𝑑 'K * I 3 I 2𝑑𝑑 + 𝑑𝑑 3 I 2𝑑𝑑 + 𝑑𝑑 = 2𝑑𝑑 + 𝑑𝑑I − − 𝑐𝑐𝑐𝑐* + + 𝑏𝑏 𝑏𝑏 − − 𝑑𝑑 𝑑𝑑I tan tan 𝜃𝜃 𝜃𝜃 𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧'K = 'K = 𝑑𝑑 +32𝑑𝑑II − 𝑐𝑐* I 𝑏𝑏 𝑑𝑑 𝑧𝑧𝑧𝑧'K = +3 𝑐𝑐𝑐𝑐** + + 𝑏𝑏 − −tan 𝑑𝑑II 𝜃𝜃tan tan 𝜃𝜃 𝜃𝜃 'K 32𝑑𝑑I − − + 𝑑𝑑 'X = 𝑑𝑑 * I 3 + 32𝑑𝑑 II − 𝑐𝑐 + 𝑑𝑑 tan 𝜃𝜃 𝑑𝑑 + 2𝑑𝑑 = 𝑑𝑑 * I 𝑑𝑑 + 2𝑑𝑑 𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧'X = − 𝑐𝑐 + 𝑑𝑑 tan 𝜃𝜃 'X I tan 𝜃𝜃 𝑑𝑑II − 𝑐𝑐** + 3 'X = 3 = 2𝑑𝑑 + − +𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑II tan tan 𝜃𝜃𝜃𝜃 3 𝑧𝑧𝑧𝑧'X − 𝑐𝑐𝑐𝑐** + + 𝑑𝑑 'Y = 2𝑑𝑑 I 3 I 2𝑑𝑑 + 𝑑𝑑 3 I 2𝑑𝑑 + 𝑑𝑑 𝑧𝑧𝑧𝑧'Y = − 𝑐𝑐 + 𝑑𝑑 tan I * I 2𝑑𝑑 + 𝑑𝑑 = − 𝑐𝑐𝑐𝑐* + + 𝑑𝑑I tan tan 𝜃𝜃 𝜃𝜃 I− 𝑧𝑧𝑧𝑧'Y 3 'Y = 3 − 𝑐𝑐** + 𝑑𝑑 𝑑𝑑II tan 𝜃𝜃 𝜃𝜃 'Y = 3 3 Figura 5. Hoja de cálculo empleando el diagrama de interacción. Columnas a flexo compresión... de Interacción o de la Superficies de Contorno de Carga, garantizándose así la resistencia de la sección. 𝑧𝑧' , 𝑧𝑧6 , 𝑧𝑧J , 𝑧𝑧K , 𝑧𝑧X , 𝑧𝑧Y , 𝑧𝑧'J , 𝑧𝑧'K , 𝑧𝑧'X , 𝑧𝑧'Y Siguiendo las superficies de3𝑏𝑏 falla antes enunciadas, se − 2𝑑𝑑 I tan =solución 𝑐𝑐* − 𝑑𝑑I − 𝜃𝜃 emplean dos vías del problema: 𝑧𝑧'𝑧𝑧,'Z 𝑧𝑧de 𝑧𝑧'K , 𝑧𝑧'X , 𝑧𝑧'Y 6 , 𝑧𝑧J , 𝑧𝑧K , 𝑧𝑧X , 𝑧𝑧Y , 𝑧𝑧'J , 4 𝑏𝑏 − 2𝑑𝑑 3𝑏𝑏 1era vía: a través de la construcción I de Diagramas de tan 𝜃𝜃 𝑧𝑧 𝑧𝑧 ==𝑐𝑐 𝑐𝑐 −−𝑑𝑑𝑑𝑑 −− Interacción. 'Z'[ * * I I 44 3𝑏𝑏−−2𝑑𝑑2𝑑𝑑 𝑏𝑏 , 𝑧𝑧6 , 𝑧𝑧J , 𝑧𝑧K , 𝑧𝑧X , 𝑧𝑧para I 𝑧𝑧I'Contorno Y , 𝑧𝑧'J , 𝑧𝑧 'K , 𝑧𝑧'X , 𝑧𝑧'Y 2da vía: graficando Superficie de una 𝑧𝑧'\==𝑐𝑐*𝑑𝑑 la − 𝑑𝑑 𝑐𝑐I* − + tan 𝑧𝑧'[ − tan 𝜃𝜃 𝜃𝜃 3𝑏𝑏 − 2𝑑𝑑I 4 4 tan 𝜃𝜃 = 𝑐𝑐 − 𝑑𝑑 − 𝑧𝑧 'Z * I carga dada. 4 𝑏𝑏 − 2𝑑𝑑I 3𝑏𝑏 𝑏𝑏 − 2𝑑𝑑 I 𝑧𝑧 = 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐 + 𝑧𝑧 = 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐 + tan 𝜃𝜃 En la elaboración de los de Interacción se '\6^ * * Diagramas 44 𝑧𝑧'[ = 𝑐𝑐* − 𝑑𝑑I − 4 tan 𝜃𝜃 sigue el procedimiento convencional, 3𝑏𝑏 − 2𝑑𝑑I 𝑏𝑏 − 2𝑑𝑑I solo que se requerirá 𝑧𝑧'\ =𝜃𝜃 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐* + tan 𝜃𝜃 𝑧𝑧6^ tan ,= 𝑧𝑧6tanteos ,𝑑𝑑𝑧𝑧J−, 𝑧𝑧𝑐𝑐K*, 𝑧𝑧+ 𝑧𝑧determinar , 𝑧𝑧'\ , 𝑧𝑧6^ 4 𝑧𝑧'de de la realización para inclinación X , 𝑧𝑧Y , 4 Z , 𝑧𝑧[ 𝑧𝑧'Z , 𝑧𝑧'[la 𝑏𝑏 − 2𝑑𝑑I + 2𝑑𝑑I 𝑧𝑧6^ =la 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐* + tan 𝜃𝜃 de la línea neutra θ= . Elℎ elemento −, 𝑐𝑐𝑧𝑧*base + 𝑏𝑏será −, 𝑧𝑧𝑑𝑑I , relación tan, 𝑧𝑧𝜃𝜃 4entre 𝑧𝑧,6' 𝑧𝑧 , 𝑧𝑧 , 𝑧𝑧 , 𝑧𝑧 , 𝑧𝑧 , 𝑧𝑧 𝑧𝑧 𝑧𝑧 𝑧𝑧 4 ' 6 J K X Y Z [ 'Z '[ '\ 6^ los momentos flectores en ambos ejes,𝑧𝑧es, 𝑧𝑧 decir el ángulo λ + 2𝑑𝑑I ℎ3ℎ + 2𝑑𝑑 ' 6 , 𝑧𝑧J , 𝑧𝑧K , 𝑧𝑧X , 𝑧𝑧Y , 𝑧𝑧Z , 𝑧𝑧[ 𝑧𝑧'Z , 𝑧𝑧'[ , 𝑧𝑧'\ , 𝑧𝑧6^ definido en la 𝑧𝑧figura la 𝑐𝑐− ecuación 1. 𝑧𝑧66==1 y porI − −I 𝑑𝑑ℎtan tan +* +𝑏𝑏 (𝑏𝑏 − 𝑑𝑑 𝜃𝜃I 𝜃𝜃 I+) 2𝑑𝑑 6' * 𝑐𝑐 − 𝑐𝑐* + 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃 𝑧𝑧6' = 44 4 Entonces los pasos ℎ a+seguir 2𝑑𝑑I son: 3ℎ 3ℎ + 2𝑑𝑑 𝑧𝑧6J== 𝑧𝑧66 − 𝑐𝑐* + 𝑑𝑑 tan = (𝑏𝑏I𝑧𝑧66 − 𝑑𝑑I )𝜃𝜃 tan I𝜃𝜃− 𝑐𝑐* + (𝑏𝑏 − 𝑑𝑑I ) tan 4 44 ℎ + 2𝑑𝑑I + 2𝑑𝑑 ℎ3ℎ + 2𝑑𝑑 1. Definir las dimensiones I I de la sección 𝑧𝑧6J = y las−resisten𝑐𝑐* + 𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃 𝑧𝑧6K== 𝑧𝑧6J − 𝑐𝑐−* 𝑐𝑐+* 𝑑𝑑+I 𝑑𝑑tan 𝜃𝜃 𝜃𝜃4 I tan 3ℎ + 2𝑑𝑑I 44 cias de los materiales. 𝑧𝑧6K = − 𝑐𝑐* + 𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃 3ℎ + 2𝑑𝑑I 4 𝑧𝑧6K = − 𝑐𝑐* + 𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃 𝑀𝑀 )* 𝑀𝑀)* 2. Calcular 𝜆𝜆 = tan&'4 𝜆𝜆 = tan&' 𝑀𝑀)+ 𝑀𝑀)+ 𝑀𝑀 &' )* 𝜆𝜆 = tan 3. Fijar un valor la posición de𝑃𝑃)la línea , 𝑀𝑀)+ , 𝑀𝑀)* neutra c y 𝑃𝑃) , 𝑀𝑀)+de , 𝑀𝑀𝑀𝑀 )+ )* asumir la inclinación de esta θ. 𝑀𝑀)* 𝜆𝜆' = tan&' ≈ 𝜆𝜆 . si no 4. Calcular 𝑃𝑃) , 𝑀𝑀)+ , 𝑀𝑀&' 𝑀𝑀comprobar )* )* y 𝑀𝑀)+ 𝜆𝜆' = tan ≈ 𝜆𝜆 se cumple se modifica𝑀𝑀y)+ se retoman los pasos anteriores. 𝑀𝑀)* 𝑀𝑀)* otras c hasta 5. Repetir el proceso tan&' ≈ el 𝜆𝜆 Dia𝜆𝜆' =completar &'para 𝜆𝜆' = tan ≈ 𝜆𝜆 𝑀𝑀)+ 𝑀𝑀)* grama de𝜆𝜆Interacción. &'𝑀𝑀)+ = tan ≈ 𝜆𝜆 ' a 𝑀𝑀)+ 𝑀𝑀)* S 𝑀𝑀)+ aQ + ≤1 𝑀𝑀 )* 𝑀𝑀)=+ 𝑀𝑀)=* &' En la figura𝜆𝜆'5=setan muestra un ejemplo de diseño para re≈ 𝜆𝜆 a 𝑀𝑀)+ 𝑀𝑀)* S 𝑀𝑀)+ aQ de: a solver una combinación + ≤ 𝑀𝑀 1)+ a + 𝑀𝑀)* ≤ 1 𝑀𝑀)=+ 𝑀𝑀)=* a 𝑀𝑀)=+ 𝑀𝑀)=* 𝑀𝑀)* S 𝑀𝑀)+ aQ Pu = 600kN Maux + = 160kN.m ≤ 1 𝑀𝑀Mux =𝑀𝑀100kN.m a )* )+ 𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑀𝑀𝑀𝑀)=* )=+ = 𝛽𝛽 = )* )+ + ≤ 1 𝑀𝑀)=+ 𝑀𝑀)=* 2 𝑀𝑀)=+ 𝑀𝑀)=* Se utilizará una sección de 40x40cm , fc´= 25MPa y rea 𝑀𝑀)* 𝑀𝑀)+ a log 0,5 fuerzo G-60. La solución + se alcanza≤con 1𝛼𝛼 =8 barras Nº 25 colog 𝛽𝛽 𝑀𝑀)=+ 𝑀𝑀)+ 𝑀𝑀𝑀𝑀 )* )=* locadas en todo𝛽𝛽el=perímetro = de la sección. ijk ^,X 𝑀𝑀)=+ 𝑀𝑀)=* ijk ^,X 𝑀𝑀)* ijk l 𝑀𝑀)+ ijk l 𝑀𝑀)* 𝑀𝑀)+ + ≤1 = 𝛽𝛽 = 𝑀𝑀)=+ 𝑀𝑀)=* 𝑀𝑀log )=+0,5 𝑀𝑀)=* 𝛼𝛼 = ijk ^,X ijk ^,X log 𝛽𝛽 𝜙𝜙𝜙𝜙)* ijk l 𝜙𝜙𝑀𝑀)+ ijk l log 0,5 + ≤1 𝜙𝜙𝜙𝜙)=+ 𝜙𝜙𝑀𝑀)=* 𝛼𝛼 = ijk ^,X log ijk 𝛽𝛽 ^,X 𝑀𝑀)* ijk l ijk ^,X 𝑀𝑀)+ ijk l ijk ^,X + ijk1 l 𝑀𝑀n* ijk l 𝑀𝑀n+ ≤ 𝑀𝑀)=+ijk ^,X 𝑀𝑀)=* ijk ^,X + ≤1 𝑀𝑀n=* 𝑀𝑀)* ijk𝑀𝑀ln=+ 𝑀𝑀)+ ijk l + ≤1 ijk ijk ^,X 𝑀𝑀)=* 𝑀𝑀)=+ 𝑃𝑃n^,X l 𝜙𝜙𝜙𝜙)*𝑃𝑃) =ijk 𝜙𝜙𝑀𝑀)+ ijk l 𝜙𝜙 + ≤1 𝜙𝜙𝜙𝜙)=+ijk ^,X 𝜙𝜙𝑀𝑀)=* ijk ^,X 𝑃𝑃nl 600 𝜙𝜙𝜙𝜙)* 𝑃𝑃 ijk 𝜙𝜙𝑀𝑀)+ ijk l = ) = + 1 = 666,67𝑘𝑘𝑘𝑘 𝜙𝜙 ≤0,9 𝜙𝜙𝜙𝜙)=+ ijk ^,X 𝜙𝜙𝑀𝑀)=*ijk ^,X l 𝑀𝑀n* 𝑃𝑃ijk 𝑀𝑀n+ ijk l 666,67 ) + = ≤ 1 = 0,098 𝑀𝑀n=+ijk ^,X 𝑀𝑀n=* ijk𝑃𝑃=^,X 6814 𝑀𝑀n* ijk l 𝑀𝑀n+ ijk l + ≤1 𝑀𝑀n=+ 𝑃𝑃n 𝑀𝑀n=* 𝑃𝑃) = 𝜙𝜙 𝑃𝑃n 𝑃𝑃) = 𝜙𝜙𝑃𝑃n 600 = = 666,67𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑃𝑃) = 𝜙𝜙 0,9 𝑃𝑃n 600 = = 666,67𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑃𝑃) = 𝑃𝑃) 𝜙𝜙666,67 0,9 = = 0,098 𝑃𝑃= 6814 𝑃𝑃) 666,67 = = 0,098 𝑃𝑃= 6814 Ingeniería Civil 189/2018 | 81 𝜃𝜃 Columnas a flexo compresión... 𝑧𝑧' , 𝑧𝑧6 , 𝑧𝑧J , 𝑧𝑧K , 𝑧𝑧X , 𝑧𝑧Y , 𝑧𝑧'J , 𝑧𝑧'K , 𝑧𝑧'X , 𝑧𝑧'Y 3𝑏𝑏 − 2𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃 4 𝑏𝑏 − 2𝑑𝑑I 𝑧𝑧'[ = 𝑐𝑐* − 𝑑𝑑I − tan 𝜃𝜃 4 3𝑏𝑏 − 2𝑑𝑑I 𝑧𝑧'\ = 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐* + tan 𝜃𝜃 4 𝑏𝑏 − 2𝑑𝑑I 𝑧𝑧6^ = 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐* + tan 𝜃𝜃 4 𝑧𝑧'Z = 𝑐𝑐* − 𝑑𝑑I − 𝑧𝑧' , 𝑧𝑧6 , 𝑧𝑧J , 𝑧𝑧K , 𝑧𝑧X , 𝑧𝑧Y , 𝑧𝑧Z , 𝑧𝑧[ 𝑧𝑧'Z , 𝑧𝑧'[ , 𝑧𝑧'\ , 𝑧𝑧6^ ℎ + 2𝑑𝑑I − 𝑐𝑐* + 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃 4 3ℎ + 2𝑑𝑑 I Figura 6. de cálculo 𝑧𝑧66Hoja = − 𝑐𝑐* + empleando (𝑏𝑏 − 𝑑𝑑I ) tan 𝜃𝜃 la superficie de contorno de carga. 4 ℎ + 2𝑑𝑑I 𝑧𝑧6J = − 𝑐𝑐* + 𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃 4 En la obtención de las Superficies de Contorno de Car3ℎ + 2𝑑𝑑I 𝑧𝑧6K = − 𝑐𝑐* + 𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃 ga el elemento es la carga de cálculo Pu, 4 caracterizador 𝑧𝑧6' = como lo indica 𝑀𝑀)*su nombre. Estas superficies de contorno 𝜆𝜆 = tan&' se construyen𝑀𝑀para valores de λ entre 0 y π/2. El procedi)+ miento𝑃𝑃)se completa con: , 𝑀𝑀)+ , 𝑀𝑀)* 𝑀𝑀 &' )* 𝜆𝜆' = tan ≈ 𝜆𝜆 de la posición de la línea neutra c e ir 1. Fijar un valor 𝑀𝑀)+ variando la inclinación de esta θ y comprobar que 𝜆𝜆' = tan&' 𝑀𝑀)* ≈ 𝜆𝜆 𝑀𝑀)+ 2. Calcular Pn y comprobar que fPn ≈ Pu. Si no se cuma 𝑀𝑀)* 𝑀𝑀)+ a ple se modifica c≤y1se retoman los pasos anteriores. + 𝑀𝑀)=+ 𝑀𝑀)=* 3. Calcular Mnx, Mny, f, Mux y Muy a a 𝑀𝑀)+ )* 4. Repetir el 𝑀𝑀proceso para otras valores de l hasta com+ ≤1 𝑀𝑀)=+ 𝑀𝑀)=* pletar la Superficie de Contorno. Q 𝛽𝛽 = S 𝑀𝑀)* 𝑀𝑀)+ = 𝑀𝑀)=+ 𝑀𝑀)=* La figura 6 expone la solución dada al ejemplo anterior siguiendo log 0,5 el procedimiento de construir la Superficie 𝛼𝛼 = log 𝛽𝛽de Carga de Contorno ijk desarrollada ^,X En resumen en la explotación de ijk ^,X la labor 𝑀𝑀)* ijk l 𝑀𝑀)+ ijk l + ≤plantear 1 las hojas𝑀𝑀)=+ de cálculo𝑀𝑀permite que: )=* ijk ^,X ijk ^,X l l • Las HCijkresuelven de la FCB a través de 𝜙𝜙𝜙𝜙)* elijkproblema 𝜙𝜙𝑀𝑀)+ + ≤1 𝜙𝜙𝜙𝜙 𝜙𝜙𝑀𝑀 )=+ )=* la solución de las ecuaciones físicas, de compatibiijk ^,X lidad ijky ^,Xequilibrio, por lo que ofrecen un referente 𝑀𝑀n* ijk l 𝑀𝑀n+ ijk l + ≤1 conceptual a los estudiosos del tema. Dada las po𝑀𝑀n=+ 𝑀𝑀n=* tencialidades antes expresadas las HC pueden con𝑃𝑃n vertirse en un valioso instrumento en manos de 𝑃𝑃) = 𝜙𝜙 estudiantes y proyectistas. 𝑃𝑃n 600 • La de los resultados obtenidos en las hojas = = 666,67𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑃𝑃) =validación 𝜙𝜙 0,9 de MathCAD mediante programas computacionales 𝑃𝑃) 666,67 de tales como el MIDAS nos permite ofre=vanguardia = 0,098 𝑃𝑃= 6814 cer a los usuarios docentes y profesionales una herramienta de diseño de columnas a FCB de fácil empleo ya que presenta una interfaz muy sencilla y accesible. • Se recomienda como herramienta de cálculo para el diseño y comprobación de secciones de hormigón armado de columnas sometidas a FCB las hojas de 82 | Ingeniería Civil 189/2018 cálculo que contienen los diagramas de interacción antes que la superficies de contorno, dado principalmente por el gasto computacional. 3. RESISTENCIA NOMINAL Y RESISTENCIA ÚLTIMA La resistencia última según la ACI 318 se plantea como: (ACI 318-14) Pu = f Pn Mux = f Mnx Muy = f Mny El coeficiente f depende del valor de la deformación del acero más traccionado, que es el situado en el lado opuesto a la fibra más comprimida, como se ilustra en la figura 2. La forma trapezoidal de la zona comprimida del hormigón la hace menos eficiente que una rectangular, pues requiere de un valor mayor de a =β1c para un mismo valor de Cc = 0,85fc´A´, o para el mismo valor de A´. Entonces si la carga está esviada, para un mismo valor de Pu, el valor de c será mayor que si actuara en flexo-compresión recta, por consiguiente la deformación del acero más traccionado et será menor. Esta realidad provoca que este acero alcance antes la fluencia, para una carga balanceada menor en la flexo-compresión biaxial que en la uniaxial. Lo mismo ocurrirá en la frontera entre la tracción controlada y la zona de transición con et =0,005. En los gráficos de la figura 7 se exponen los resultados de someter a una sección rectangular de 40 x 60cm2, fc´= 25MPa y armada con 8 barras No. 25 y G – 60 a diferentes combinaciones de carga y que permiten destacar como el coeficiente f es variable en función del ángulo l. El 1er caso es una sección donde para los momentos Mnox y Mnoy, en flexo-compresión recta, está en tracción controlada y f = 0,9. Sin embargo cuando ocurre la flexo-compresión biaxial el comportamiento de la sección pasa a la zona de transición y f < 0,9. Note que el valor menor de f se presenta para l = π/4. Columnas a flexo compresión... Figura 7. Influencia de la flexo-compresión biaxial en el coeficiente f. Tabla 2. Superficies de contorno. Para sección rectangular de 40 x 60cm2, fc'= 25MPa y armada con 8 barras No. 25 y G – 60 Momentos flectores (kN.m) para Pu=600kN Momentos flectores (kN.m) para Pu=1100kN l Mnx Mny Mux Muy f Mnx Mny Mux Muy f 0 565.79 0 509.21 0 0.9 631.28 0 555.61 0 0.88 0,393 435.73 182.74 343.25 143.95 0.788 474.61 197.47 329.22 136.98 0.694 0,785 273.38 280.24 214.81 220.20 0.786 294.65 306.86 204.11 212.57 0.693 1,178 127.72 327.30 109.18 279.79 0.855 151.85 370.98 108.19 264.32 0.713 1,571 0 349.24 0 314.31 0.9 0 396.64 0 314.32 0.792 Momentos flectores (kN.m) para Pu=1380kN l Momentos flectores (kN.m) para Pu=2000kN 0 674.06 0 490.24 0 0.727 635.52 0 413.08 0 0.65 0,393 483.30 203.82 314.14 132.48 0.65 463.49 195.22 301.27 126.90 0.65 0,785 304.21 312.87 197.74 203.37 0.65 294.84 298.79 191.65 194.22 0.65 1,178 155.25 378.51 100.91 246.03 0.65 145.81 358.94 94.78 233.31 0.65 1,571 0 429.70 0 288.97 0.673 0 396.98 0 258.03 0.65 En el 2do caso todas las secciones están en la zona de transición, pero de la misma forma el coeficiente disminuye para la flexo-compresión esviada. Una situación semejante se presenta para el 3er caso donde para flexo-compresión recta la sección se comporta en la zona de transición y en el resto en compresión controlada, con f = 0,65. En la tabla 2 se exponen los valores que caracterizan las superficies de contorno para las cargas evaluadas. Si se analiza detenidamente la variación de f ante la actuación de momentos biaxiales, como se destaca en la figura 8, puede concluirse que la diferencia entre los valores para Mnox y Mnoy y la obtenida para cuando Mnx = Mny, λ =π/4, puede alcanzar un valor de 0,9/0,786=1,15, para cuando P u = 600kN y 0,792/0,993=1,14, para cuando P u = 1100kN, siempre que se tome el menor valor de f para los momentos uniaxiales; pudiendo ser mayor para secciones con mayor rectangularidad. Ingeniería Civil 189/2018 | 83 3𝑏𝑏 − 2𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃 4 𝑏𝑏 − 2𝑑𝑑 I , 𝑧𝑧'X , 𝑧𝑧'Y 𝑧𝑧𝑧𝑧' , 𝑧𝑧= 𝑧𝑧X ,− 𝑧𝑧Y , 𝑧𝑧'J , 𝑧𝑧'K 6 , 𝑧𝑧𝑐𝑐J , 𝑧𝑧− K ,𝑑𝑑 tan 𝜃𝜃 '[ * I 3𝑏𝑏 − 4 2𝑑𝑑I 𝑧𝑧'Z = 𝑐𝑐* − 𝑑𝑑I −3𝑏𝑏 − 2𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃 4 tan 𝜃𝜃 𝑧𝑧'\ = 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐* + 𝑏𝑏 −42𝑑𝑑I 𝑧𝑧'[ = 𝑐𝑐* − 𝑑𝑑I −𝑏𝑏 − 2𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃 4 tan 𝜃𝜃 𝑧𝑧6^ = 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐* + 3𝑏𝑏 − 4 2𝑑𝑑I 𝑧𝑧'\ = 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐* + tan 𝜃𝜃 4 𝑧𝑧Z2𝑑𝑑 , 𝑧𝑧[I 𝑧𝑧'Z , 𝑧𝑧'[ , 𝑧𝑧'\ , 𝑧𝑧6^ 𝑧𝑧' , 𝑧𝑧6 , 𝑧𝑧J , 𝑧𝑧K , 𝑧𝑧X , 𝑧𝑧𝑏𝑏Y , − 𝑧𝑧6^ = ℎ𝑑𝑑+−2𝑑𝑑 𝑐𝑐*I+ tan 𝜃𝜃 − 𝑐𝑐* 4+ 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃 𝑧𝑧6' = 4 3ℎ + 2𝑑𝑑 , 𝑧𝑧 , 𝑧𝑧 𝑧𝑧 , 𝑧𝑧 , 𝑧𝑧 , 𝑧𝑧 𝑧𝑧𝑧𝑧' , 𝑧𝑧= 6 , 𝑧𝑧J , 𝑧𝑧K , 𝑧𝑧X ,I𝑧𝑧− Y 𝑐𝑐 Z +[(𝑏𝑏'Z '\ 6^ − 𝑑𝑑'[ 66 * I ) tan 𝜃𝜃 ℎ + 42𝑑𝑑I 𝑧𝑧6' = ℎ + 2𝑑𝑑I − 𝑐𝑐* + 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃 4 𝑧𝑧6J = − 𝑐𝑐 + 𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃 3ℎ + 4 2𝑑𝑑I * 𝑧𝑧66 = 3ℎ + 2𝑑𝑑I − 𝑐𝑐* + (𝑏𝑏 − 𝑑𝑑I ) tan 𝜃𝜃 4 𝑧𝑧6K = − 𝑐𝑐* + 𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃 ℎ + 42𝑑𝑑I 𝑧𝑧6J = − 𝑐𝑐* + 𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃 4 𝑀𝑀)*I 3ℎ &'+ 2𝑑𝑑 𝜆𝜆 = tan 𝑧𝑧6K = − 𝑐𝑐* + 𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃 4𝑀𝑀)+ 𝑧𝑧'Z = 𝑐𝑐* − 𝑑𝑑I − Columnas a flexo compresión... 𝑧𝑧' , 𝑧𝑧6 , 𝑧𝑧J , 𝑧𝑧K , 𝑧𝑧X , 𝑧𝑧Y , 𝑧𝑧'J , 𝑧𝑧'K , 𝑧𝑧'X , 𝑧𝑧'Y 3𝑏𝑏 − 2𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃 𝑧𝑧'Z = 𝑐𝑐* − 𝑑𝑑I − 4 𝑏𝑏 − 2𝑑𝑑I 𝑧𝑧'[ = 𝑐𝑐* − 𝑑𝑑I − tan 𝜃𝜃 4 3𝑏𝑏 − 2𝑑𝑑I 𝑧𝑧'\ = 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐* + tan 𝜃𝜃 4 𝑏𝑏 − 2𝑑𝑑I 𝑧𝑧6^ = 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐* + tan 𝜃𝜃 4 𝑧𝑧' , 𝑧𝑧6 , 𝑧𝑧J , 𝑧𝑧K , 𝑧𝑧X , 𝑧𝑧Y , 𝑧𝑧Z , 𝑧𝑧[ 𝑧𝑧'Z , 𝑧𝑧'[ , 𝑧𝑧'\ , 𝑧𝑧6^ ℎ + 2𝑑𝑑I − 𝑐𝑐* + 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃 𝑧𝑧6' = 𝑃𝑃) , 𝑀𝑀)+ ,&' 𝑀𝑀 𝑀𝑀)* 4 𝜆𝜆 = tan )* 3ℎ + 2𝑑𝑑I 𝑀𝑀)+ 𝑧𝑧66 = − 𝑐𝑐* + (𝑏𝑏 − 𝑑𝑑I ) tan 𝜃𝜃 𝑀𝑀 4 &' )* 𝜆𝜆 = tan ≈ 𝜆𝜆 ℎ + 2𝑑𝑑I 𝑃𝑃)' , 𝑀𝑀)+ , 𝑀𝑀)*𝑀𝑀)+ 𝑧𝑧6J = − 𝑐𝑐* + 𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃 4 3ℎ + 2𝑑𝑑I 𝑀𝑀)* 𝑧𝑧'6K, 𝑧𝑧= 𝑧𝑧*'J+ , 𝑧𝑧𝑑𝑑 tan 6 , 𝑧𝑧J , 𝑧𝑧K , 𝑧𝑧X , 𝑧𝑧− Y , 𝑐𝑐 'KI, 𝑧𝑧 'X , 𝑧𝑧𝜃𝜃'Y 𝜆𝜆' = tan&' ≈ 𝜆𝜆 4 𝑀𝑀)+ 3𝑏𝑏 − 2𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃 𝑧𝑧'Z = 𝑐𝑐* − 𝑑𝑑I − 4 𝑀𝑀 aS aQ 𝑀𝑀 &' )* 𝑏𝑏 − 2𝑑𝑑I )* 𝑀𝑀 𝑀𝑀)+carga 𝜆𝜆 = tan Variación del coeficiente φ para distintos valores = tan&'+axial. )* ≈ 𝜆𝜆 ≤ 1 𝜆𝜆' de 𝑧𝑧'[ = 𝑐𝑐* −𝑀𝑀𝑑𝑑)+ 𝜃𝜃 I − Figura 8.tan 𝑀𝑀)+ 4 𝑀𝑀)=+ 𝑀𝑀)=* 𝑧𝑧' , 𝑧𝑧6 , 𝑧𝑧J , 𝑧𝑧K , 𝑧𝑧X , 𝑧𝑧3𝑏𝑏 𝑧𝑧'KI , 𝑧𝑧'X , 𝑧𝑧'Y Y , 𝑧𝑧− 'J ,2𝑑𝑑 𝑧𝑧4.)'\, 𝑀𝑀 = 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐 + tan 𝜃𝜃 * 𝑃𝑃 , 𝑀𝑀 REFLEXIONES SOBRE depende únicamente a de la relación P /P . La PCA propone 3𝑏𝑏 4 − 2𝑑𝑑I LA APLICACIÓN DEL a )+ )* n o aQ 𝑀𝑀)* a S 𝑀𝑀 tan 𝜃𝜃 DE CARGA DEL PCA = 𝑐𝑐* − 𝑑𝑑I DEL −𝑏𝑏 −CONTORNO 𝑧𝑧'Z MÉTODO 𝑀𝑀 𝑀𝑀)+ )* )+ para 2𝑑𝑑 ábacos los de β, que dependen de las di+ obtener ≤1valores 1 4I + ≤ 𝑀𝑀 𝑀𝑀)=* 𝑧𝑧6^ = 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐𝑀𝑀 + 𝑏𝑏 − 2𝑑𝑑 tan 𝜃𝜃 * )* 𝑀𝑀)=+ I )=+ )=* mensiones de𝑀𝑀la sección, la cuantía mecánica y la resistencia 𝜆𝜆 𝑧𝑧'[ =tan 𝑐𝑐*&' − 𝑑𝑑I −≈ 𝜆𝜆4 tan 𝜃𝜃 ' = 𝑀𝑀 4 )+ El Método del Contorno de Carga de Bresler se basa en del acero. a 9 se exponen algunos de estos gráficos. a En la figura 𝑀𝑀)+𝑀𝑀)+ − 2𝑑𝑑I 'Z , 𝑧𝑧'[ , 𝑧𝑧'\ , 𝑧𝑧6^ 𝑀𝑀 𝑧𝑧' , 𝑧𝑧6 , 𝑧𝑧J , 𝑧𝑧K , 𝑧𝑧X , 𝑧𝑧3𝑏𝑏 Y , 𝑧𝑧Z , 𝑧𝑧[ 𝑧𝑧 una superficie de aproximada a la real, Y relacionando += )* α≤y1β para las condiciones descritas se 𝑧𝑧generar 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐* + tancontorno 𝜃𝜃 𝛽𝛽 = '\ = ℎ + 2𝑑𝑑 𝑀𝑀I)* 𝑀𝑀)=+ 4 𝑀𝑀)=+ 𝑀𝑀)=* 𝜃𝜃 𝑧𝑧para responda la siguiente expresión geneobtiene: tan&'Pn, y−que 𝜆𝜆 6' 𝑏𝑏≈𝑐𝑐*−𝜆𝜆+ 2𝑑𝑑I𝑏𝑏 − 𝑑𝑑I atan ' ==cada 4 𝑀𝑀 𝑧𝑧ral: 𝑑𝑑 −+𝑐𝑐2𝑑𝑑 + 1981) tan 𝜃𝜃 6^ = * )+ (BRESLER 3ℎ 4 I 𝑀𝑀)+0,5 𝑀𝑀)* log 𝑧𝑧66 = − 𝑐𝑐*a+ (𝑏𝑏 − 𝑑𝑑I ) tan 𝜃𝜃 = 𝛽𝛽 = 𝛼𝛼 aQ 4 S 𝑀𝑀 𝑀𝑀)=* 𝑀𝑀 𝑀𝑀 log )=+𝛽𝛽 ℎJ+ , 𝑧𝑧+ , 𝑧𝑧IX , 𝑧𝑧)* 𝑧𝑧' , 𝑧𝑧)+ 6 , 𝑧𝑧 K2𝑑𝑑 Y , 𝑧𝑧Z , 𝑧𝑧[≤𝑧𝑧'Z 1 , 𝑧𝑧'[ , 𝑧𝑧'\ , 𝑧𝑧6^ [6] 𝑧𝑧6J = ℎ + 2𝑑𝑑 𝑀𝑀−)=* 𝑐𝑐* + 𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃 𝑀𝑀)=+ 4 I − 𝑐𝑐 + 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑 tan 𝜃𝜃 ijk ^,X Por lo que la ecuación 7 para la comprobación de la relogijk 0,5^,X 𝑧𝑧6' = 3ℎ + I 2𝑑𝑑I * ijk l ijk l 𝛼𝛼 = 4 𝑀𝑀 𝑀𝑀 )* )+ Donde sistencia quedará como: a + 𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃 𝑧𝑧6K = − 𝑐𝑐 a log 𝛽𝛽 * + ≤1 𝑀𝑀 3ℎ +4 2𝑑𝑑𝑀𝑀I )* 𝑀𝑀)=+ 𝑀𝑀)=* 𝑧𝑧66 )+ = nx y+ − 𝑐𝑐los (𝑏𝑏 𝜃𝜃 M M Son nominales en los ejes x e y. ≤momentos 1 − 𝑑𝑑I ) tan *+ ny 4 𝑀𝑀)=* 𝑀𝑀)=+ ijk ^,X ijk ^,X Ambos son elI equivalente vectorial del momento Mn, mos ℎ &' + 2𝑑𝑑)* 𝑀𝑀 l ^,X 𝑀𝑀)* ijk ijk 𝑀𝑀)+ ijk ijkl^,X 𝑧𝑧𝜆𝜆6J= = − 𝑐𝑐* + 𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃 tan trado𝑀𝑀en la [8] 4𝑀𝑀figura 𝜙𝜙𝑀𝑀)+ ijk l+ 𝑀𝑀 𝜙𝜙𝜙𝜙)* ijk≤l 1 𝑀𝑀)* 1. )+ )+ 𝑀𝑀 )=+ + )=* ≤1 =2𝑑𝑑I 𝛽𝛽 = 3ℎ + Momento nominal uniaxial sobre el eje x, para 𝜙𝜙𝜙𝜙 𝜙𝜙𝑀𝑀 𝑧𝑧6K M =𝑀𝑀nox − 𝑐𝑐 + 𝑑𝑑 tan 𝜃𝜃 𝑀𝑀 )=+ )=* I )=+ 4 )=* * 𝑃𝑃 M =)+0, 𝑀𝑀)* ) , 𝑀𝑀 ny M Momento nominal uniaxial sobre el eje y, para log noy0,5 𝑀𝑀)* 𝑀𝑀)* 𝛼𝛼 == 𝜆𝜆 tan M'= 0&'&' log 𝛽𝛽 𝑀𝑀)+ ≈ 𝜆𝜆 𝜆𝜆 = tan nx 𝑀𝑀)+ Los coeficientes α1 y α2 dependen de la rectangulariijk ^,X ijk ^,X dad la𝑀𝑀)* sección, las resistencias del hormigón y el acero y 𝑃𝑃 , 𝑀𝑀de )𝑀𝑀 )+ , ijk ijk l 𝑀𝑀 )+ &'l )* 𝑀𝑀)* = tan ≈ 𝜆𝜆 𝜆𝜆 de y distribución + ≤ 1 de este. Bresler considera ' la continuidad 𝑀𝑀)+ 𝑀𝑀)=* 𝑀𝑀)=+ 𝑀𝑀)* razonable hacer α = α1 = α2, planteando que este varía en𝜆𝜆' = tan&' ≈ 𝜆𝜆 aS =1,5 𝑀𝑀 tre𝑀𝑀1,15ayQijk 1,55 y que )+ ijkes ^,Xun valor apropiado para sec^,X 𝑀𝑀)* α )+ ijk l 𝜙𝜙𝜙𝜙 + ≤cuadradas 1 ijk l 𝜙𝜙𝑀𝑀 ciones con refuerzo distribuido. )+rectangulares o)* 𝑀𝑀)=+ ≤1 𝑀𝑀 𝑀𝑀+)=* &' )* Entonces puede plantearse: 𝜙𝜙𝑀𝑀 )=+ )=* = tan ≈ 𝜆𝜆 𝜆𝜆𝜙𝜙𝜙𝜙 ' 𝑀𝑀)+ a 𝑀𝑀)* 𝑀𝑀)+ a ijk ^,X ijk+^,X [7] aS≤ 1 aijk ijk l Q l 𝑀𝑀 𝑀𝑀 𝑀𝑀)=+ 𝑀𝑀 n* 𝑀𝑀 n+ 𝑀𝑀 )=* )+ + )* ≤1 + ≤ 1 𝑀𝑀 𝑀𝑀 𝑀𝑀n=+ 𝑀𝑀interpretación )=+ )=*n=* Como y extensión del procedimien𝑀𝑀)* 𝑀𝑀)+ una =en el que se basa, la PCA parte de definir, para 𝛽𝛽 to=anterior, a 𝑃𝑃n)=+ 𝑀𝑀 𝑀𝑀 a 𝑀𝑀)=* 𝑀𝑀)+ )* 𝑃𝑃 ) = un punto ≤ 1 de carga común de Bresler, la re𝜙𝜙 +en el contorno 𝑀𝑀 𝑀𝑀 )=+ )=* lación: log(PCA 0,5 2011) 𝛼𝛼 = 𝑃𝑃 n 𝛽𝛽 600 log = 666,67𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑃𝑃) = 𝑀𝑀)+= 𝑀𝑀)* 𝛽𝛽 = 𝜙𝜙 =0,9 𝑀𝑀)=+ 𝑀𝑀 )=* ijk ^,X ijk ^,X ijk l ijk l 𝑀𝑀 𝑀𝑀 )* )+ 𝑃𝑃) Al666,67 + 0,098 ≤1 generarse múltiples contornos de cargas adimensio= = log 0,5 𝑀𝑀=)=+6814 𝑀𝑀)=* 𝑃𝑃 𝛼𝛼 = nales log para P /P entre 0 y 1 se crea una superficie de falla que n o 𝛽𝛽 representa connotación del término β, que ^,X ijkcon ^,X claridad laijk ijk l 𝜙𝜙𝜙𝜙)* 𝜙𝜙𝑀𝑀)+ ijkijk ijk ^,X ^,Xl + 𝑀𝑀)* ijk l ≤1 ijk l 𝑀𝑀 )+ 𝜙𝜙𝜙𝜙 𝜙𝜙𝑀𝑀 84 | Ingeniería Civil+189/2018 )=* )=+ ≤1 𝑀𝑀)=+ 𝑀𝑀)=* ijk ^,X ijk ^,X ijk ^,X ijk ^,X ijk l ijk ^,X 𝜙𝜙𝑀𝑀 El)+proceso cálculo, comprobación de la resistencia ijkijk ^,Xl de 𝜙𝜙𝜙𝜙 )* + 𝑀𝑀n* ijk l ≤1 ijk l 𝑀𝑀 n+ para las cargas de 𝜙𝜙𝜙𝜙)=+ 𝜙𝜙𝑀𝑀)=* + y momentos ≤ 1cálculo (Pu, Mux y Muy), con𝑀𝑀n=+ entonces en: 𝑀𝑀n=* sistirá ijk ^,X ijk ^,X 𝑀𝑀n* ijk l 𝑀𝑀n+𝑃𝑃n ijk l + la sección de ≤1 la columna. 𝑃𝑃) =1. Establecer 𝑀𝑀n=+𝜙𝜙 𝑀𝑀n=* 2. Calcular los valores de Po, Mnox, Mnoy y β. Obtenidos flexo-compresión recta. 600 𝑃𝑃nconsiderando = = 666,67𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑃𝑃) =3. Comprobar para la combinación de cargas actuante 0,9 𝜙𝜙 el cumplimiento de la ecuación 8. 666,67 𝑃𝑃) 𝑃𝑃 600 n 0,098 = == 666,67𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑃𝑃) = 𝑃𝑃= En𝜙𝜙6814 la aplicación de este procedimiento uno de los as0,9 pectos más complicados está en la estimación del coefi- 666,67 𝑃𝑃 ) ciente = de seguridad = 0,098f, que permita establecer las relaciones: 𝑃𝑃= 6814 Pu =f Pn Mux =f Mnx Muy =f Mny Antes de las modificaciones impuestas por la versión del código del ACI 318 en el 2002, el problema se resolvía con sencillez pues era posible plantear que (NILSON 1999): 3ℎ + 2𝑑𝑑I 𝑧𝑧6K = &' 𝑀𝑀)* − 𝑐𝑐* + 𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃 𝜆𝜆 = tan 4 𝑀𝑀)+ 𝑀𝑀 &' )* 𝜆𝜆)= 𝑃𝑃 , 𝑀𝑀tan )+ , 𝑀𝑀)* 𝑀𝑀)+ I 𝑧𝑧'[ = 𝑐𝑐* − 𝑑𝑑I − tan 𝜃𝜃 4 3𝑏𝑏 − 2𝑑𝑑I 𝑧𝑧'\ = 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐* + tan 𝜃𝜃 4 𝑏𝑏 − 2𝑑𝑑I 𝑧𝑧6^ = 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐* + tan 𝜃𝜃 4 𝑧𝑧'\ = 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐* + 𝑧𝑧6^ tan 𝜃𝜃 4 𝑏𝑏 − 2𝑑𝑑I = 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐* + tan 𝜃𝜃 4 Columnas a flexo compresión... 𝑧𝑧' , 𝑧𝑧6 , 𝑧𝑧J , 𝑧𝑧K , 𝑧𝑧X , 𝑧𝑧Y , 𝑧𝑧Z , 𝑧𝑧[ 𝑧𝑧'Z , 𝑧𝑧'[ , 𝑧𝑧'\ , 𝑧𝑧6^ ℎ + 2𝑑𝑑I − 𝑐𝑐* + 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃 𝑧𝑧6' = 𝑀𝑀)* &' 𝑃𝑃 , 𝑀𝑀 , 𝑀𝑀 4 𝜆𝜆)' = )+ tan )* ≈ 𝜆𝜆 , 𝑧𝑧 , 𝑧𝑧 , 𝑧𝑧 , 𝑧𝑧 , 𝑧𝑧 , 𝑧𝑧 , 𝑧𝑧 𝑧𝑧 , 𝑧𝑧 , 𝑧𝑧 , 𝑧𝑧 𝑧𝑧 ' 6 J K X Y Z [ 'Z '[ '\ 6^ 𝑀𝑀)+ 3ℎ + 2𝑑𝑑I ℎ + 2𝑑𝑑I 𝑧𝑧66 = − 𝑐𝑐* + (𝑏𝑏 − 𝑑𝑑I ) tan 𝜃𝜃 𝑀𝑀 4 = − 𝑐𝑐 + 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑 tan 𝜃𝜃 𝑧𝑧 )* 6' * I &' 𝑀𝑀 4 𝜆𝜆' = tan ℎ + 2𝑑𝑑I )* ≈ 𝜆𝜆 3ℎ + 2𝑑𝑑I 𝜆𝜆' = tan&' 𝑀𝑀)+ ≈ 𝜆𝜆 𝑧𝑧6J = − 𝑐𝑐* + 𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃 𝑀𝑀)+ 4 𝑧𝑧66 = − 𝑐𝑐* + (𝑏𝑏 − 𝑑𝑑I ) tan 𝜃𝜃 4 3ℎ + 2𝑑𝑑I 𝑧𝑧' , 𝑧𝑧6 , 𝑧𝑧J , 𝑧𝑧K , 𝑧𝑧X , 𝑧𝑧Y , 𝑧𝑧'J , 𝑧𝑧'K , 𝑧𝑧'X , 𝑧𝑧'Y 𝑀𝑀)* ℎ + 2𝑑𝑑I 𝑧𝑧6K = − 𝑐𝑐* + 𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃 aS 3𝑏𝑏 − 𝑑𝑑2𝑑𝑑 Q ≈ 𝜆𝜆 𝜆𝜆'𝑀𝑀=)+tana&' 4 I 𝑧𝑧 = − 𝑐𝑐 + tan 𝜃𝜃 𝑀𝑀 6J * I )* tan = 𝑐𝑐 − 𝑑𝑑 − 𝜃𝜃 𝑧𝑧 𝑀𝑀 'Z *4 I + )+ ≤1 4 3ℎ + 2𝑑𝑑I 𝑀𝑀)=+ 𝑀𝑀)=* 𝑀𝑀)* 𝑏𝑏 − 2𝑑𝑑 tan 𝜃𝜃 𝑧𝑧 = aS 6K = 𝑐𝑐 − 𝑑𝑑 −− 𝑐𝑐* + 𝑑𝑑IItan aQ 𝑧𝑧 𝜃𝜃 𝜆𝜆 = tan&' '[ * 4 I 𝑀𝑀)* 𝑀𝑀)+ 𝑀𝑀)+ 4 a ≤ 1 a + 𝑀𝑀)* 𝑀𝑀)=+ 3𝑏𝑏 − 2𝑑𝑑I )+ 𝑀𝑀 + 𝑀𝑀)=* ≤ 1 𝑧𝑧'\ = 𝑑𝑑&' −𝑀𝑀 𝑐𝑐*)*+ tan 𝜃𝜃 𝑀𝑀)=+ 𝑀𝑀)=* 𝜆𝜆 = tan 𝑃𝑃) , 𝑀𝑀)+ , 𝑀𝑀)* 4 𝑀𝑀)+ 𝑏𝑏 − 2𝑑𝑑I a 𝑀𝑀)* 𝑀𝑀)+ a 𝑧𝑧6^ = 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐* + tan 𝜃𝜃 ≤1 𝑀𝑀)+ + 𝑀𝑀)* 4 𝑀𝑀)* 𝑃𝑃) , 𝑀𝑀)+ , 𝑀𝑀)* = 𝑀𝑀)=* 𝛽𝛽𝑀𝑀=)=+ 𝜆𝜆' = tan&' ≈ 𝜆𝜆 𝑀𝑀)=+ 𝑀𝑀)=* 𝑀𝑀)+ 𝑧𝑧' , 𝑧𝑧6 , 𝑧𝑧J , 𝑧𝑧K , 𝑧𝑧X , 𝑧𝑧Y , 𝑧𝑧Z , 𝑧𝑧[ 𝑧𝑧'Z , 𝑧𝑧'[ , 𝑧𝑧'\ , 𝑧𝑧6^ 𝑀𝑀)* 𝑀𝑀)+ 𝑀𝑀 ℎ+ &'2𝑑𝑑I)* 𝛽𝛽 = log 0,5= 𝑀𝑀)* −≈𝑐𝑐 𝜆𝜆+ 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃 𝑧𝑧𝜆𝜆6' ' ==tan ≈ 𝜆𝜆 𝜆𝜆' = tan&' 𝛼𝛼 = 𝑀𝑀)=+ 𝑀𝑀)=* 4 𝑀𝑀)+ * 𝑀𝑀)+ log 𝛽𝛽 3ℎ + 2𝑑𝑑I 𝑧𝑧66 = log 0,5 𝑀𝑀 − 𝑐𝑐* + (𝑏𝑏 − 𝑑𝑑I ) tan 𝜃𝜃 a &'4 )* ijk ^,X ijk ^,X 𝛼𝛼 = ≈ 𝜆𝜆 𝜆𝜆' = tan 𝑀𝑀)* S 𝑀𝑀)+ aQ ℎ + 2𝑑𝑑 𝛽𝛽 l 𝑀𝑀I)+− 𝑐𝑐 + 𝑑𝑑 tan 𝜃𝜃 𝑀𝑀)* ijk l 𝑀𝑀)+logijk + ≤1 𝑧𝑧 = 6J I + ≤1 𝑀𝑀)=+ 𝑀𝑀)=* 4 2002).* Figura 9. Constante β para secciones a flexo-compresión biaxial. (PCA 𝑀𝑀)=+ 𝑀𝑀)=* ijk 3ℎ aS ^,X a + 2𝑑𝑑I ijk ^,X 𝑀𝑀− 𝑀𝑀)+ 𝑧𝑧6K = Q )*𝑐𝑐* + 𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃 𝑀𝑀)* ijk l a 𝑀𝑀)+ ijk l + ≤1 4 𝑀𝑀)* 𝑀𝑀)+ a ijk ≤ ^,X1 + ijk ^,X 𝑀𝑀)=+ 𝑀𝑀)=* La columna es prefabricada y está situada en una + ≤zona 1 𝑀𝑀 𝑀𝑀 ijk l )=+ )=* 𝜙𝜙𝜙𝜙)* 𝜙𝜙𝑀𝑀 )+ ijk l 𝑀𝑀el)=+ 𝑀𝑀)=* efecti𝑀𝑀 de agresividad por lo que recubrimiento + ≤1 &' )* media, a 𝜆𝜆 𝑀𝑀 = tana 𝜙𝜙𝜙𝜙)=+ 𝜙𝜙𝑀𝑀)=* ijk ^,X ijk ^,X 𝑀𝑀)+ )+ 3,5cm y𝑀𝑀el)*mecánico de las barras d´=𝑀𝑀ds = 5,73cm. vo es + ≤1 𝑀𝑀)+ ijk l )* ijk l 𝜙𝜙𝜙𝜙 𝜙𝜙𝑀𝑀 )* 𝑀𝑀)=+ 𝑀𝑀)=* = 𝛽𝛽 = Y)+como f era prácticamente en toda la secijk ^,X ≤ constante 1 ijk ^,X + 𝑀𝑀 𝑀𝑀 )=+ )=* 𝜙𝜙𝜙𝜙 𝜙𝜙𝑀𝑀 𝑃𝑃) , 𝑀𝑀 , 𝑀𝑀)* de M y M considerando flexo – compreijk l se simplificaba a: ijk l 𝑀𝑀n+)=+ ción entonces la 𝑀𝑀 expresión 1.)+Cálculo n* )=* nox noy + ≤1 𝑀𝑀 )+ sión recta = 𝑀𝑀)* 𝑀𝑀n=+ 𝑀𝑀n=* ijk ^,X 𝛽𝛽 = log 0,5 ijk ^,X 𝑀𝑀)* &' 𝑀𝑀 𝛼𝛼 = )=+ )=* ijk l 𝑀𝑀n* ijk l 𝜆𝜆' =𝑀𝑀 tan ≈ 𝜆𝜆 𝑀𝑀n+ log 𝛽𝛽 𝑀𝑀)+ + ≤1 𝑃𝑃n A continuación se obtendrán los valores de Mnox y Mnoy 𝑀𝑀n=* 𝑃𝑃)𝑀𝑀= n=+ log 0,5 𝜙𝜙 ^,X permitiráijk para de cálculo Pu = 600kN, loijkque te-^,X 𝛼𝛼 = la carga log &' 𝛽𝛽 𝑀𝑀)* ≈ 𝜆𝜆 ijk l 𝑀𝑀)* ijk l 𝑀𝑀 )+ = tan 𝜆𝜆 𝑃𝑃 ' Como, a partir de ACI 318-2002, f es variable en funner una clara f para ≤ 1 n + 𝑀𝑀)+apreciación del valor del coeficiente 𝑃𝑃) = 𝑃𝑃n 600 𝑀𝑀)=+ 𝑀𝑀)=* 𝜙𝜙 = ción la deformación del acero mas traccionado, ha quecada caso, pues puedeijk ocurrir que difieran entre si y so= 666,67𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑃𝑃 ^,X ) = de ijk ^,X 𝜙𝜙 0,9 aS ijk l y menor para la combinación l aijk 𝑀𝑀 Q que dado demostrado en el acápite anterior y expuesto en las bre todo sea𝑀𝑀diferente )* 𝑀𝑀)+ )+ ijk ^,X ijk ^,X +𝑀𝑀)* ≤1 𝑃𝑃 600 + n 𝑀𝑀 𝑀𝑀 figuras 7=y 8, que para cargas menores que la balanceada la de M y Muy 𝑀𝑀)=*)=* ≤ 1 𝜙𝜙𝜙𝜙)* ijk l 𝜙𝜙𝑀𝑀)+ ijk l = 666,67𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑃𝑃 𝑀𝑀)=+ ) = 666,67 )=+ux + ≤1 0,9= 0,098 = 𝜙𝜙 simplificación expuesta no puede aplicarse pues este coe𝜙𝜙𝜙𝜙)=+ 𝜙𝜙𝑀𝑀)=* 𝑃𝑃= 6814 ijk ^,X ijk ^,X a a ficiente es diferente para la sección bajo flexo-compresión a) Para el𝑀𝑀 cálculo de Mijk b = 40cm y h = 60cm 𝑀𝑀)+ nox l 𝜙𝜙𝑀𝑀 666,67 𝑃𝑃 )+ ijk l )* 𝜙𝜙𝜙𝜙)* ) + ≤1 ijk ^,X + ≤1 ijk ^,X = cuando = actúan 0,098 Muox y Muoy, a cuando se presenta la recta, 𝑀𝑀 𝑀𝑀 𝜙𝜙𝜙𝜙 𝑃𝑃= 6814 )=+ )=* 𝜙𝜙𝑀𝑀)=* 𝑀𝑀n* ijk l )=+ 𝑀𝑀n+ ijk l flexo-compresión esviada y actúan Mux y Muy. Se construye un Diagrama de Interacción+consideran- ≤ 1 𝑀𝑀n=+ 𝑀𝑀n=* en la 2 Sin embargo en los Manuales del ACI para el diseño de do refuerzo A^,X = 40,8cm , que se muestra 𝑀𝑀)* ijk 𝑀𝑀)+ ijk ^,X perimetral st 𝛽𝛽 𝑀𝑀 =n+ ijk= ijk l 𝑀𝑀n* columnas, SP-17-09-07 (EVERARD 2007) se sugiere que figura 10a l 𝑀𝑀 𝑀𝑀)=+ +)=* ≤1 𝑃𝑃n 𝑀𝑀 𝑀𝑀 “Para el diseño, si cada término de la ecuación (7) se mulEntonces para n=* Pu = 600kN y 𝑃𝑃) = n=+ 𝜙𝜙 log 0,5 tiplica por f la ecuación no cambiará. Entonces Mux, Muy, 𝛼𝛼 = 𝑃𝑃n log 𝛽𝛽 apreciarse que la sección está Muox y Muoy pueden hacerse corresponder a fMnx, fMny, contro𝑃𝑃nen tracción 600 𝑃𝑃) =Puede = = 666,67𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑃𝑃) = fMnox y fMnoy respectivamente y puede ser empleados prelada y𝜙𝜙f = 0,9, por lo que: 𝜙𝜙 0,9 ijk ^,X ijk ^,X feriblemente en la expresión original”. Esta afirmación conl 𝑀𝑀)* ijk l 𝑀𝑀)+𝑃𝑃n ijk 600 = + = 666,67𝑘𝑘𝑘𝑘 ≤ 1 𝑃𝑃) 666,67 𝑃𝑃) = duce a una respuesta semejante a la aplicada antes del 2002, 𝑀𝑀)=+𝜙𝜙 = = 0,098 0,9 𝑀𝑀)=* 𝑃𝑃= 6814 lo que puede generar confusión, pues se ha demostrado que subestimar la variación del coeficiente f para la ocurrencia de momentos biaxiales provoca soluciones inseguras. La significación de esta problemática y su implicación en los procedimientos se ilustran en los siguientes ejercicios: Ejercicio 1 Compruebe si una sección rectangular de 40 x 60cm2, fc´= 25MPa y armada con 8 barras No. 25 y G – 60 distribuidas en el perímetro de la sección resiste las siguientes cargas: Pu = 600kN Mux = 300kN.m Muy = 160kN.m ijkde ^,XInteracción se obtiene, como ijk ^,Xdel Diagrama 666,67 𝑃𝑃) Entonces ijk l = )+ ijk l= 0,098 𝜙𝜙𝜙𝜙 𝜙𝜙𝑀𝑀 )* muestra la figura = 569kN.m 𝑃𝑃= 6814 + 10a, que Mnox ≤ 1 𝜙𝜙𝜙𝜙)=+ 𝜙𝜙𝑀𝑀)=* b) Para el cálculo de Mnoy b = 60cm y h = 40cm ijk ^,X ijk ^,X 𝑀𝑀n* ijk l 𝑀𝑀n+ ijk l + un DI considerando ≤1 Se construye refuerzo perimetral 𝑀𝑀n=+ 𝑀𝑀n=* Ast = 40,8cm2, que se muestra en la figura 10b y se obtiene con P𝑃𝑃nn= 666,67kN Mnoy = 344kN.m 𝑃𝑃) = 𝜙𝜙 2. Cálculo de β 𝑃𝑃n 600 = = 666,67𝑘𝑘𝑘𝑘 𝜙𝜙 0,9 P = 6814kN en el DI, puede calcularse: Obteniendo 𝑃𝑃) = o 𝑃𝑃) 666,67 = = 0,098 𝑃𝑃= 6814 Ingeniería Civil 189/2018 | 85 Columnas a flexo compresión... 𝐴𝐴Iu 𝑓𝑓* 40,8 ∙ 420 = = 0,286 𝑏𝑏ℎ𝑓𝑓 ′ 40 ∙ 60 ∙ 25 𝐴𝐴Iu 𝑓𝑓3* 40,8 ∙ 420 = = 0,286 𝜔𝜔u = 𝑏𝑏ℎ𝑓𝑓3 ′ 40 ∙ 60 ∙ 25 𝜔𝜔u = ijk ^,X ijk ^,X 𝑀𝑀)* ijk l 𝑀𝑀)+ ijk l ijk ^,X ≤ 1 ijk ^,X + 𝑀𝑀 𝑀𝑀 𝑀𝑀)=* 𝑓𝑓*l 40,8 𝑀𝑀)=+ ∙ 420ijk l )* )+𝐴𝐴Iuijk ≤1 =+ = 0,286 𝜔𝜔u = 40,8 ∙ 420 𝑀𝑀)=+𝐴𝐴 𝑀𝑀 𝑏𝑏ℎ𝑓𝑓 40 ∙ 60 ∙ 25 Iu 𝑓𝑓 )=* 3*′ = 0,286 𝜔𝜔u =log 0,5 = ∙ 60 ∙ 25 1,475 𝛽𝛽 = 𝑏𝑏ℎ𝑓𝑓3 ′ = 40 ijk ^,X logijk 𝛽𝛽^,X log 0,5 ijk l 𝑀𝑀)* ijk 𝛽𝛽 𝑀𝑀 =)+ ijk l= 1,475 ^,X ijk ^,X log 𝛽𝛽 + ≤1 ijk l 𝑀𝑀 300 ijk l 𝑀𝑀 𝑀𝑀)=+ 𝑀𝑀 𝑀𝑀 n+ )* )+ )=* =+ = 333,33𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑀𝑀)+ = ≤ 1∙ 𝑚𝑚 0,9𝑀𝑀)=* 𝑀𝑀)=+ 𝑀𝑀𝜙𝜙n+ 300 = 0,5 = = 333,33𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚 𝑀𝑀)+ log 0,9 𝛽𝛽 = 𝑀𝑀𝜙𝜙 = 1,475 log log0,5 𝛽𝛽n* 160 = 1,475= 177,78𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚 𝑀𝑀 𝛽𝛽 )* = = 𝜙𝜙 = 0,9 log𝑀𝑀𝛽𝛽n* 160 𝑀𝑀)* = 𝑀𝑀n+ = 300 = 177,78𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚 = 0,9 = 333,33𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚 𝑀𝑀)+ = 𝜙𝜙',KZX 𝑀𝑀𝜙𝜙n+ 300 0,9177,78 ',KZX 333,33 Figura 10. Diagramas de Interacción para flexo-compresión recta. Ejercicios. = + = 333,33𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑀𝑀)+ = ',KZX =∙ 𝑚𝑚 0,832 < 1 0,9177,78 569 𝜙𝜙 344 ',KZX 333,33 𝑀𝑀n* + 160 = 0,832 < 1 Y además: = = = 177,78𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚 𝑀𝑀)* 569 344 𝑀𝑀𝜙𝜙n+ 350 160 0,9 n* = = = 388,89𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑀𝑀 177,78𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚 )+ )* 𝐴𝐴Iu 𝑓𝑓* 40,8 ∙ 420 0,9 𝑀𝑀𝜙𝜙n+ 350 𝜔𝜔u = = = 0,286 ',KZX ',KZX ∙ 𝑚𝑚 = = 388,89𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑀𝑀333,33 )+ = 177,78 𝑏𝑏ℎ𝑓𝑓3 ′ 40 ∙ 60 ∙ 25 𝜙𝜙',KZX +0,9se ',KZX = 0,832 < 1 Y finalmente comprueba: 388,89 177,78 333,33 569 344 0,948 < 1 ijk ^,X + = 0,832 Y enijkla^,X figura 9 para el G-60, se obtiene β = 0,625 569 ',KZX 344 ',KZX 388,89 177,78 𝑀𝑀)* ijk l 𝑀𝑀)+ ijk l 𝑀𝑀 350 + = 0,948 < 1 n+ + ≤1 = = = 388,89𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚 𝑀𝑀)+ 569 344 𝑀𝑀)=+ 𝑀𝑀)=* por el Método de Contorno de Carga 𝑀𝑀𝜙𝜙𝑓𝑓n+ 350 350 3. Comprobación 0,9 ∙ 420 𝐴𝐴Iu 40,8 * = 388,89𝑘𝑘𝑘𝑘 538,46𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑚𝑚 = = = ∙∙𝑚𝑚 𝑀𝑀 = = 0,286 𝜔𝜔u)+= del PCA Resultado que haría que la sección resiste lo que 0,65 0,9∙ 60 𝑀𝑀𝜙𝜙n+ 350 𝑏𝑏ℎ𝑓𝑓 ′ 40 ∙ 25pensar 3',KZX ',KZX log 0,5 = = = 538,46𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚 f = 0,9. Una solución 𝑀𝑀 )+ 177,78 es388,89 falso, pues se tomó erróneamente 40,8 ∙ 420 𝛽𝛽 = 𝐴𝐴Iu 𝑓𝑓* = 1,475 𝜙𝜙 0,65 + = 0,948 <1 = 0,286 𝜔𝜔u = log 𝛽𝛽 = ',KZX ',KZX 538,46 ijk ^,X 388,89 569 ser 344 ijk ^,X Debe podría tomar 177,78 conservadoramente f = 0,65. Para lo que: 𝑏𝑏ℎ𝑓𝑓 40 ∙ 60 ∙ 25 𝐴𝐴 40,8 ∙ que: 420 3cumplirse Iu 𝑓𝑓 *′ ijk l 1,532 >1 + = 0,948 < ijk l 𝑀𝑀 𝑀𝑀 ',KZX )* )+ = = 0,286 𝜔𝜔u = 569 344 ',KZX≤ 1 538,46 +350177,78 𝑏𝑏ℎ𝑓𝑓 40 𝑀𝑀n+ 300∙ 60 ∙ 25 3′ 𝑀𝑀 + = 1,532 >1 ijk ^,X 𝑀𝑀 𝑀𝑀 n+ )=+ )=* = 333,33𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚 𝑀𝑀)+ = ijk ^,X= = = = 538,46𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚 𝑀𝑀)+ 569 344 ijk l 𝜙𝜙𝑓𝑓 l 40,8 0,9𝑀𝑀)* 𝑀𝑀)+𝐴𝐴 ijk 𝑃𝑃 1380 𝑀𝑀 350 𝜙𝜙 0,65 n ∙ 420ijk ^,X ≤ 1 Iu *^,X + 𝑃𝑃))+= = =n+ = = 2123𝑘𝑘𝑘𝑘 = 538,46𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚 𝑀𝑀 = 𝜔𝜔𝑀𝑀 = ijk log u )=+ ijk=l 0,286 𝜙𝜙n 0,5 0,650,65 ijk′l 40 𝑀𝑀 𝑀𝑀60 𝑀𝑀 𝜙𝜙 1380 )=* )* )+𝐴𝐴 𝑏𝑏ℎ𝑓𝑓 ∙ ∙ 25 𝑓𝑓 40,8 ∙ 420 3 = 1,475 𝛽𝛽)== 𝑀𝑀 Y 𝑃𝑃finalmente se2123𝑘𝑘𝑘𝑘 comprueba: Iu n* * +160 ',KZX ≤ 1 𝑃𝑃 = = 538,46 177,78 ',KZX = = 0,286 𝜔𝜔 == log = 𝑀𝑀)=* = 177,78𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚 𝑀𝑀𝑀𝑀 u)* 𝜙𝜙 𝛽𝛽 0,65 )=+ 𝑏𝑏ℎ𝑓𝑓 40 ∙ 60 ∙ 25 Donde: = 1,532 > 1 𝜙𝜙 0,9 3′ ',KZX + 𝑃𝑃 log 0,5 ijk ^,X ) ijk ^,X 538,46 177,78 569 344 ',KZX 𝛽𝛽 𝑀𝑀 = ijk l= 1,475 𝑀𝑀)* ijk l + = 1,532 > 1 𝑀𝑀 300 )+ 𝑃𝑃 n+ log 𝛽𝛽 logijk 0,5 ijk',KZX ^,X ≤ 1 569 344 ',KZX ^,X = = = 333,33𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚 𝑀𝑀)=)+ 177,78 𝛽𝛽333,33 =)=+ ijk l=+1,475 𝑃𝑃n 𝜙𝜙 1380 ijk l 𝑀𝑀 𝑀𝑀 0,9 𝑀𝑀 𝑀𝑀 )=* 𝑃𝑃 )+log 𝛽𝛽 + )* 𝑃𝑃 = = 2123𝑘𝑘𝑘𝑘 ≤=1 0,832 < 1 2029,4 𝑃𝑃))= = Que 569 𝑀𝑀n+ +300 344 𝑃𝑃𝜙𝜙n como 1380 0,65se esperaba también se aleja de la realidad 𝑀𝑀 = = 0,297 )=+ )=* = = = 333,33𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚 𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑃𝑃 = = = 2123𝑘𝑘𝑘𝑘aunque seguro. )+ log 0,5 𝑀𝑀n*0,65160 𝑃𝑃))= conservadoramente, Si se𝑀𝑀𝜙𝜙 considera pero 0,9 que bajo la combinación de Mux y Muy la 2029,4 𝜙𝜙6814 300 n+ = 1,475 = = = 177,78𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚 𝑀𝑀 𝛽𝛽 = 𝑀𝑀 350 )* = = 0,297 n+ = = 333,33𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚 controlada se calcula: 𝑀𝑀 =logestará 𝑃𝑃) 𝜙𝜙 0,9 𝛽𝛽 sección en tracción = 0,5 = también ∙ 𝑚𝑚 𝑀𝑀)+ 𝑃𝑃= 6814 𝜙𝜙 0,9 = 388,89𝑘𝑘𝑘𝑘 )+ log 𝑃𝑃 𝜙𝜙 0,9 𝑀𝑀 160 𝛽𝛽 = 𝑃𝑃))= Ejercicio 2 n* = 1,475 ≤ 0,3 ',KZX log 𝛽𝛽 = = 177,78𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚 𝑀𝑀)* = 𝑀𝑀 300 𝑃𝑃 𝜙𝜙n+ 0,9 177,78 ',KZX 𝑀𝑀 𝑃𝑃)==333,33 160 n* ',KZX ',KZX = = = 333,33𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚 𝑀𝑀 ≤ 2029,4 0,3 + = 0,832 < 1 )+ = = = 177,78𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚 𝑀𝑀388,89 177,78 𝑃𝑃 )* ) 0,9 𝑃𝑃= 569 𝑀𝑀𝜙𝜙 300 𝜙𝜙n+ + 0,9 Compruebe la 344 sección anterior si las cargas actuantes 0,948 < 1 = = 0,297 ',KZX =∙ 𝑚𝑚 𝑃𝑃 = ',KZX = = 333,33𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑀𝑀333,33 𝑃𝑃))= 2029,4 569 344 6814 )+ 177,78 𝜙𝜙 son:= 𝑀𝑀 =350 0,297 +0,9 = 0,832 < 1 𝑀𝑀n* ',KZX 160 344 ',KZX 𝑃𝑃)== n+ 6814 569 177,78 = = = 177,78𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚 𝑀𝑀333,33 = = 388,89𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚 𝑀𝑀 𝑀𝑀𝜙𝜙n+ + 350 )* )+ = 𝑃𝑃 ) <1 0,9 = 538,46𝑘𝑘𝑘𝑘=∙ 0,832 0,9 𝑃𝑃= ≤ 0,3𝜙𝜙 = 𝑀𝑀n* = 160 𝑚𝑚 𝑀𝑀)+ 569 344 P𝑃𝑃 1890,4 𝑃𝑃))=u = 1380kN 𝑀𝑀)* = 𝑀𝑀𝜙𝜙n+ = 350 0,65 = 177,78𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚 𝜙𝜙',KZX = = 0,277 = 0,9se=comprueba: 388,89𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑀𝑀)+Y=finalmente ≤=0,3 ',KZX ∙ 𝑚𝑚 ',KZX M 300kN.m 6814 1890,4 𝑃𝑃 0,9 = 333,33𝑀𝑀𝜙𝜙n+ 177,78 ux 388,89 177,78 ',KZX ) 350 = ',KZX + ',KZX = 0,832 < 1 = = 0,277 + = 0,948 < 1 𝑃𝑃 = = = 388,89𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚 𝑀𝑀538,46 177,78 M = 130kN.m )+ 𝑃𝑃)=uy569 6814 569 𝜙𝜙',KZX +0,9177,78 344 ',KZX = 1,532 > 1 344 333,33 ',KZX + ',KZX = 0,832 < 1 log 0,5 𝑃𝑃 569 344 388,89 177,78 = 1,272 𝛽𝛽)= = 569 𝑀𝑀 + 344 ',KZX = 0,948 < 1 log 𝛽𝛽 𝑀𝑀0,5 350 los mismos pasos que en el ejercicio anlog ',KZX 350 344 𝑃𝑃= Desarrollando n+ n+ 569 388,89 177,78 = = 388,89𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚 𝑀𝑀)+ = = 𝑀𝑀 = 1,272= 538,46𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚 𝛽𝛽 = 𝑃𝑃n 𝜙𝜙 1380 )+ 1890,4 𝑃𝑃 ) + = 0,948 < 1 0,9 𝜙𝜙 0,65 Respuesta que refleja que la sección resiste holgadaterior se 𝛽𝛽obtienen los siguientes resultados, que se reflejan 𝑀𝑀=n+ 350 𝑃𝑃) 569 = = 2123𝑘𝑘𝑘𝑘 = log 0,277 344 𝑀𝑀n+ =300 = 350 = 388,89𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚 Pero si se compara este 𝑀𝑀)+ =𝜙𝜙las 0,65 1890,4 𝑃𝑃)= la figura 6814 𝑀𝑀n+solicitaciones mente actuantes. en 10: == 0,277 = 451,58𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚 𝑀𝑀)+= = = 0,9 = 538,46𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚 𝑀𝑀)+ = 𝜙𝜙',KZX ',KZX ',KZX 0,65 ',KZX 𝑀𝑀𝜙𝜙n+ 300177,78 𝑃𝑃=538,46 6814 388,89𝑀𝑀𝜙𝜙n+con 0,65 177,78 350 resultado lo reflejado en la figura 7, donde se realizó Considerando que la sección compresión con= = = 451,58𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑚𝑚está en 𝑀𝑀 𝑃𝑃 =∙ 0,948 <1 + =∙ 1,532 >1 )+ log 0,5 =+ = 538,46𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑚𝑚 𝑀𝑀))+ = ',KZX ',KZX 𝜙𝜙f = 0,65 por 569 344 se concluye que este último falsea 569 𝑀𝑀 344 lo que: = 0,65, 1,272 𝛽𝛽 = 𝜙𝜙',KZX 0,65 388,89 177,78 un cálculo más preciso, trolada y 130 ',KZX 𝑃𝑃= log log0,5 𝛽𝛽n* + 177,78 = 0,948 < 1 = 1,272= 200𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚 𝑀𝑀 𝛽𝛽 )* = = 𝜙𝜙 = la538,46 resistencia de la sección, lo que se debe 569 𝑀𝑀 344 + = 1,532 > 1a que bajo las car0,65 𝑀𝑀 350 𝑃𝑃 130 log 𝛽𝛽n*1380 ',KZX ',KZX n+ n 569 344 538,46 177,78 = = = 538,46𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚 𝑀𝑀 𝑃𝑃 = = = 2123𝑘𝑘𝑘𝑘 = = 300 = 200𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚 𝑀𝑀 gas 2029,4 el valor de f es menor que el de 0,9 asumido. 𝑃𝑃))+actuantes 𝑀𝑀 ))* n+ = 1,532 > 1 𝜙𝜙n+ =+ 0,65 𝜙𝜙 0,65 𝜙𝜙 0,65 = 0,297 𝑀𝑀 350 = = = 451,58𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚 𝑀𝑀 )+ ',6Z6 569 344 Realmente es menor, f =∙ 𝑚𝑚 0,787. 𝑃𝑃=)+ = 300200 ',6Z6 = mucho = 538,46𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑀𝑀 451,58𝑀𝑀𝜙𝜙n+ 0,65 𝑃𝑃6814 n 𝜙𝜙 1380 0,65 = ',6Z6 = + se = 451,58𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚 la 𝑀𝑀)+Sin < sección 1 𝑃𝑃) = = =se2123𝑘𝑘𝑘𝑘 ',KZX Más evidente hace ',KZX esta contradicción resolviendo el comprueba que está realmen',6Z6 = 0,999 𝑃𝑃)451,58 𝜙𝜙 0,65428 673 embargo 0,65 177,78 538,46 200 𝑃𝑃𝜙𝜙n 1380 𝑃𝑃 𝑀𝑀 130 ) + = 1,532 > 1 + = 0,999 < 1f > 0,65. Después de n* ejercicio M = 350kN.m, que como se ilustra en la fite en la zona de transición y por tanto 𝑃𝑃) ≤ = 0,3=para = 2123𝑘𝑘𝑘𝑘 ',KZX ',KZX 𝑃𝑃 ux = = = 200𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚 𝑀𝑀=)* 569𝜙𝜙 344 673 428 0,65 177,78 𝑃𝑃)=538,46 𝑀𝑀𝜙𝜙n* 130 0,65 n+ 𝑃𝑃 gura 7a conduce de la sección. Si se sigue el varios tanteos se obtiene que: + al agotamiento = 1,532 >1 𝑀𝑀)* = = 200𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚 )+ = 569 344 0,65 𝑃𝑃) 2029,4 𝑀𝑀𝜙𝜙 0,65 procedimiento 𝑃𝑃)= = 𝑃𝑃n = 1380descrito: ',6Z6= 0,297 ',6Z6 = = n+ 𝑃𝑃 = 2123𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑀𝑀451,58 ) )+ 𝑃𝑃= 6814 0,65 0,65 + 200 𝑃𝑃𝜙𝜙n 1380 𝑃𝑃 = 0,999 < 1 ',6Z6 𝑃𝑃)== = 2029,4 𝑃𝑃 = = 2123𝑘𝑘𝑘𝑘 451,58 200 673 428 ',6Z6 86 | = Ingeniería Civil 𝜙𝜙 0,65 =189/2018 0,297 + = 0,999 < 1 𝑃𝑃) 673 𝑃𝑃) 6814 428 𝑃𝑃 ≤ 0,3𝑀𝑀n+ 1890,4 = 0,297 𝑃𝑃))= = 2029,4 𝑃𝑃 𝑃𝑃)== = 6814 = 0,277 𝑀𝑀=)+ = = = = 388,89𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚 𝑀𝑀∙)+𝑚𝑚 = ',KZX = = 538,46𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑀𝑀569 344 )+ 569 344 𝑀𝑀n+ ',KZX 350 𝜙𝜙 0,9 𝜙𝜙',KZX 0,65177,78 388,89 = = 388,89𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚 𝑀𝑀)+ = 𝜙𝜙 ',KZX 0,9 = 0,948 < 1 𝑀𝑀n+ 350 + 538,46 177,78 ',KZX ',KZX = = = 388,89𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚 𝑀𝑀)+ 569 350 344 𝜙𝜙 𝑀𝑀n+ 0,9 + =388,89 1,532 >+ 1177,78 = 0,948 < 1 ',KZX ',KZX177,78 388,89 569 344 = ',KZX = = 538,46𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 569 𝑚𝑚',KZX = 0,948 <3441 𝑀𝑀538,46 177,78 )+ + ',KZX𝜙𝜙 ',KZX 569 0,65 344 388,89 𝑀𝑀 177,78 + = 1,532 1 350 344 𝑀𝑀n+ >350 n+ + = 0,948 < 1 569 = = = 538,46𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚 𝑀𝑀∙)+𝑚𝑚 344 = = 538,46𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑀𝑀569 𝑃𝑃n 1380 )+ = 𝑀𝑀n+ 350 𝜙𝜙 0,65 𝜙𝜙 0,65 = = = 538,46𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚 𝑀𝑀 𝑃𝑃)538,46 =𝑀𝑀 =',KZX = 2123𝑘𝑘𝑘𝑘 ',KZX )+ 𝜙𝜙 0,65 350 177,78 n+ 0,65 sobre el eje=x:538,46 f =',KZX 0,73 Mnox',KZX = 673kN.m 𝑃𝑃𝜙𝜙 1380 = 538,46𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚 𝑀𝑀)+ =Para n =el momento + = 2123𝑘𝑘𝑘𝑘 1,532 >+ 1y177,78 = 1,532 > 1 𝑃𝑃) 569 = 𝜙𝜙 =0,65 ',KZX ',KZX ',KZX ',KZX 344 538,46 177,78 569 344 Para el momento sobre el eje y: f = 0,68 y M = 428kN.m 𝜙𝜙 0,65 538,46 177,78 + = 1,532 > 1 noy ',KZX ',KZX 569 344 𝑃𝑃538,46 177,78 ) + = 1,532 >1 𝑃𝑃n 1380 = 1,532 > 1 𝑃𝑃) = = = 2123𝑘𝑘𝑘𝑘 569 344 344 𝑃𝑃n + 1380 𝑃𝑃n 1380 𝜙𝜙 0,65 𝑃𝑃)=569 𝑃𝑃 = = = 2123𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑃𝑃 = = = 2123𝑘𝑘𝑘𝑘 ) Para calcular β surge la disyuntiva de que valor de f es) 𝑃𝑃 𝜙𝜙 0,65 1380 0,65 n 𝜙𝜙 𝑃𝑃 2123𝑘𝑘𝑘𝑘 1380 𝑃𝑃) = =𝑃𝑃para n0,65 = coger la relación 𝑃𝑃𝑃𝑃)= , si se toma el menor: 𝑃𝑃)= =𝜙𝜙 2029,4 = obtener =𝑃𝑃)2123𝑘𝑘𝑘𝑘 = 0,297 𝑃𝑃= 𝑃𝑃 = 𝜙𝜙68140,65 𝑃𝑃 𝑃𝑃) 2029,4 𝑃𝑃))= 2029,4 = = 0,297 𝑃𝑃=) = 0,297 𝑃𝑃) 2029,4 𝑃𝑃= 6814 𝑃𝑃= = = = 0,297 𝑃𝑃 6814 ) 𝑃𝑃= 6814 𝑃𝑃 𝑃𝑃))== 2029,4 = 0,297 𝑃𝑃) ≤ 0,3 𝑃𝑃== ≤6814 𝑃𝑃 0,3 𝑃𝑃 𝑃𝑃)de la figura 9 𝑃𝑃= puede apreciarse que para Y 2029,4 en el gráfico 𝑃𝑃))= = ≤ 0,3 = 0,297 𝑃𝑃= 𝑃𝑃) ≤ 0,3 𝑃𝑃=≤ 0,32029,4 6814 𝑃𝑃) tanto más desfavorable es el valor de β mayor y por 𝑃𝑃 𝑃𝑃 =) = 𝑃𝑃) 𝑃𝑃= 𝑃𝑃 = = 0,297 ) que relación 𝑃𝑃= sea lo menor posible, por lo que se to𝑃𝑃)= esta 6814 𝑃𝑃 𝑃𝑃 ) 𝑃𝑃) 1890,4 𝑃𝑃=)= ≤ 0,3 mará entonces: 𝑃𝑃 1890,4 = = 0,277 𝑃𝑃 𝑃𝑃= 6814 ) 𝑃𝑃= = = 0,277 𝑃𝑃 𝑃𝑃= 6814 = 1890,4 𝑃𝑃)) 𝑃𝑃)=≤ 1890,4 0,3= 0,277 log 0,5 = 1,272 = 𝑃𝑃 𝑃𝑃== =6814 = 0,277log 0,5 y β = 𝛽𝛽0,58 log 𝛽𝛽 𝑃𝑃 6814 = 1,272 𝛽𝛽 = 1890,4 𝑃𝑃))= log 0,5 log 𝛽𝛽 𝑀𝑀n+ 300 𝑃𝑃== = = 1,272 = 0,277 𝛽𝛽 𝑃𝑃 = = 451,58𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚 𝑀𝑀)+ = 𝛽𝛽6814 ) = log 𝑀𝑀n+ final 300 puede 𝜙𝜙 presumirse 0,65 En con sulogla 0,5comprobación = = 451,58𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚 𝑀𝑀)+ = 𝜙𝜙 0,65 𝑃𝑃 300= 1,272 𝛽𝛽 n+ 𝑃𝑃)=)+== 𝑀𝑀1890,4 𝑀𝑀n* 130 ficiente certeza que biaxial =𝛽𝛽 = 451,58𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚 para la flexo-compresión 𝑀𝑀 log = = 200𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚 𝑀𝑀)* = 𝜙𝜙 0,5 0,65 = 0,277 =log 𝑀𝑀n* 130 𝜙𝜙 0,65 𝑃𝑃===0,65, 6814 f𝛽𝛽 por=lo1,272 que se plantean como: = cálculos = = 200𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚 𝑀𝑀)*los 1890,4 𝑃𝑃 𝜙𝜙 0,65 130 ) 𝑀𝑀log n* 𝛽𝛽 = = n+ = ∙ 𝑚𝑚 𝑀𝑀)* = 𝑀𝑀 300 =200𝑘𝑘𝑘𝑘 0,277 451,58 ',6Z6 200 ',6Z6 0,65 + = 0,999 < 1 ',6Z6 𝑃𝑃=)+ log =𝜙𝜙6814 = = 451,58𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑚𝑚 𝑀𝑀 451,58 200 ∙',6Z6 673 428 0,5 𝜙𝜙 0,65 + = 0,999 < 1 𝑀𝑀n+ 200 300 ',6Z6 = 1,272 𝛽𝛽451,58 = ',6Z6 673 428 451,58𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚 𝑀𝑀n+ 𝑀𝑀)+ =log 𝛽𝛽+ = == 0,999 <1 𝑀𝑀)+ = 673 log 0,5 𝜙𝜙 428 0,65 𝑀𝑀n+ 0,65 130𝑀𝑀)+ = 0,65 𝛽𝛽 = 𝑀𝑀n* = 1,272 𝑀𝑀 log n+ 𝛽𝛽 = = = 200𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚 𝑀𝑀 𝑀𝑀n+ 300 𝑀𝑀)+)* = 130 = 451,58𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚 = 𝑀𝑀𝜙𝜙n* = 0,65 𝑀𝑀 0,65 = 200𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚 𝑀𝑀)+ )* = 𝑀𝑀𝜙𝜙 = 0,65 300 𝜙𝜙n+ 0,65 ',6Z6 ',6Z6 = = 451,58𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚 𝑀𝑀451,58 )+ = 200 0,65 𝑀𝑀𝜙𝜙n* 130 + = 0,999 < 1 ',6Z6 ',6Z6 673 428 = = 200𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚 𝑀𝑀451,58 200 )* = 0,65 = 0,999 < 1 𝑀𝑀𝜙𝜙n* + 130428 673 = 200𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚 𝑀𝑀)* = 𝑀𝑀n+ = 𝜙𝜙 0,65 𝑀𝑀451,58 ',6Z6 ',6Z6 )+Y= finalmente comprueba: 200 0,65 𝑀𝑀n+ + se = 0,999 < 1 𝑀𝑀)+ = ',6Z6 673 0,65 428 451,58 200 ',6Z6 + = 0,999 < 1 673 𝑀𝑀n+ 428 𝑀𝑀)+ = 0,65 Resultado 𝑀𝑀n+ que se corresponde con lo logrado a través 𝑀𝑀)+ = de las hojas 0,65 de cálculo y que se refleja en la figura 7c. 5. CONCLUSIONES 1. Las hojas de cálculo en MathCAD son un recurso ventajoso para la solución de problemas de flexo-compresión biaxial pues combinan su sencillez y asequibilidad con un riguroso procedimiento para los cálculos, ofreciendo una respuesta racional y confiable. 2. La variación del factor de reducción de la capacidad resistente de la sección f, en las secciones bajo la flexo-compresión axial añade un nuevo elemento a la compleja solución de este tipo de problema. Esta situación se hace muy significativo para cargas menores que la balanceada cuando el valor de resulta 𝑃𝑃= = 𝛽𝛽 = 6814 = 0,277 log 0,5 = 1,272 log 𝛽𝛽 Columnas a flexo compresión... mayor para momentos 𝑀𝑀n+ 300 uniaxiales, Mnx o Mny =0, que = = = 451,58𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚 𝑀𝑀)+ para biaxiales. 𝜙𝜙 0,65 3. En la aplicación del Método del Contorno de Carga 𝑀𝑀n*en cuenta: 130 debe tomarse 𝑀𝑀)* = 𝜙𝜙 = 0,65 = 200𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚 a) Si bajo la acción de momentos uniaxiales, Mnox y ',6Z6 200 ',6Z6 M451,58 , la sección trabaja en la ZONA DE TRANSInoy + = 0,999 < 1 673 debe calcularse: 428 CIÓN, 𝑀𝑀n* 𝑀𝑀)* = 𝑀𝑀n* 𝑀𝑀)* = 0,65 0,65 b) Si bajo la acción de momentos uniaxiales, Mnox 𝑀𝑀n+ 𝑀𝑀)+ = 𝑀𝑀n+ 𝑀𝑀 n*sección trabaja y M , la en TRACCIÓN CON0,75 noy = 𝑀𝑀 𝑀𝑀)* = )+ 0,75 0,65 debe calcularse: TROLADA, 𝑀𝑀n* 𝑀𝑀)* = 𝑀𝑀n* 𝑀𝑀n+ 0,75 𝑀𝑀)* = 𝑀𝑀)+ = 0,75 0,75 𝑀𝑀)+ = 𝑀𝑀n+ 0,65 Es una propuesta 𝑀𝑀n* segura y no muy conservadora. = 4. Los𝑀𝑀)* métodos 0,75 aproximados deben emplearse con reservas y solo para soluciones preliminares, sobre todo ante cargas axiales menores que la balanceada. 6. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS American Concrete Institute (2014). Requisitos del Reglamento para Concreto Estructural (ACI 318S-14) y Comentario (ACI 318SR-14). Detroit, MI (EE UU): American Concrete Institute (ACI). Bresler, B. (1981). Concreto Reforzado en Ingeniería. México DF: Ed. LIMUSA. Ehsani, M. (1986). CAD for columns. Concrete International, vol. 8, nº 9, pp. 43-47. Everard, N.J., e Issa, M. (2007). Chapter 3: Short Column Design SP-17-09-07, en ACI Design Handbook. Farmington Hills, MI (EE UU): American Concrete Institute (ACI). Jiménez Montoya y otros (2000). Hormigón Armado. Barcelona: Editorial Gustavo Gili, S.L. Nilson, H.A., y Darwin, D. (1999). Diseño de Estructuras de Concreto. 11ª edición. Ed. McGraw Hill. Nilson, H.A., y Darwin, D. (2004). Design of Concrete Structures. 13ª edición. Ed. McGraw Hill. Park, R., y Paulay, T. (1979). Estructuras de Concreto Reforzado. México DF: Ed. LIMUSA. Portland Cement Association (2013). Notes on ACI 318-11 Building Code Requirements for Structural Concrete with Design Applications. Ingeniería Civil 189/2018 | 87 Puertos y Costas Líneas de actividad Planificación y gestión de la costa y del mar Estudio de actuaciones de la costa y en el mar Monitorización costera y marina Medio ambiente Fields of Activity Planning and Management for Coastal Zones and Sea Waters Studies of Actions on Coastal Zones and Sea Waters Coastal and Maritime Monitoring Environment Centro de Estudios y Experimentación de Obras Públicas http://www.cedex.es
