Subido por Arnaldo Navarrete Morerira Biblioteca

Flexocompresión biaxial

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Columnas a flexo compresión biaxial. Métodos simplificados y
ayudas de cálculo
Columns Subjected to Biaxial Flexo-Compression. Simplified Methods
and Calculation Aids
Juan José Hernández Santana1*, Claudia Sotolongo Pérez2
Resumen
Es conocido que la mayor parte de las columnas están sometidas a flexo-compresión biaxial. Durante muchos años esta problemática
se ha eludido, pues eran predominantes los análisis planos de las estructuras y por otra parte los cálculos de la flexo-compresión biaxial son
complejos y las ayudas de cálculo disponibles, exigían del proyectista un dominio del tema muy poco frecuente.
El desarrollo de los programas computacionales para el análisis de estructuras ha eliminado la primera justificación pues facilitan un
análisis espacial de los edificios mucho más realista y racional. Entonces se hace más importante contar con procedimientos que faciliten
el análisis de las columnas bajo solicitaciones de flexo-compresión biaxial. En este sentido se desarrolla este trabajo que aborda este tema
desde dos ángulos: en primer lugar analizar la influencia de la variación del factor de reducción de la capacidad resistente de la sección, f,
en función de la inclinación de la carga y la repercusión que esta problemática tiene al utilizar los procedimiento simplificados basados en
el Método del Contorno de Carga de Bressler. En segundo orden el desarrollo de Hojas de Cálculo en MathCAD, basadas en la solución detallada de las principales ecuaciones que rigen el comportamiento de la sección y que permiten un análisis más profundo, seguro, confiable
y sencillo. Ofreciendo por tanto la posibilidad de la evaluación de diversas soluciones de diseño en corto plazo y contar con una amplia información sobre las características del comportamiento de la sección.
Palabras clave: hormigón armado, flexo-compresión biaxial, columnas.
Abstract
It is known that most columns are subjected to biaxial flexo-compression. For many years this problem has been avoided, for the flat
analyzes of the structures were predominant. Moreover, the biaxial flexo-compression calculations are complex and the available design aids
required from the designer to master an uncommon subject.
The development of computer programs for the analysis of structures has eliminated the first justification because they facilitate a spatial
analysis of buildings much more realistic and rational. In this sense, it becomes more important to have procedures that facilitate the analysis
of the columns under biaxial flexo-compression loads. This work approaches the problem from two perspectives. First, it analyzes the influence
of the variation of the reduction factor of the resistant capacity of the section, f, depending on the inclination of the load and the repercussion
that this problem has in the use of simplifications based on the Bressler Load Contour Method. And second, it also explains the development of
calculations aids in MathCAD, based on the detailed solution of the main equations that govern the behavior of the section and allow a deeper,
safer, reliable and simple analysis. Thus offering the possibility of evaluating several design solutions in the short term, and having extensive
information on the characteristics of the behavior of the section.
Keywords: reinforced concrete, biaxial flexure-compression, columns.
1. INTRODUCCIÓN
Históricamente se ha evitado el diseño de secciones
bajo cargas de flexo-compresión biaxial ya que por lo general solían prevalecer los análisis bidimensionales de las
estructuras. Conjuntamente con lo planteado anteriormente los procedimientos mediante los cuales es explicada
*
Autor de contacto: jjhernandez@uclv.edu.cu
Ingeniero Civil. Doctor en Ciencias Técnicas y Profesor Titular. Departamento de
1
Ingeniería Civil. Facultad de Construcciones. Universidad Central “Marta Abreu”
de Las Villas. Santa Clara. Cuba.
Ingeniera Civil. Departamento de Ingeniería Civil. Facultad de Construcciones.
2
Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas. Santa Clara. Cuba.
la misma son complejos a causa de las múltiples formas
que puede adoptar el bloque comprimido de hormigón y
las diversas distribuciones de refuerzo, lo cual provoca que
cada una de estas variantes evolucione en una solución diferente.
En el pasado siglo las ayudas de cálculo disponibles,
gráficas o semi-gráficas en su mayoría, requerían del proyectista un dominio del tema muy poco frecuente y por
otra parte acarreaban las imprecisiones que acompañan a
este tipo de procedimiento.
El amplio despliegue que se ha desarrollado en los
últimos tiempos en cuanto a softwares computacionales relacionados con el análisis y diseño de estructuras
ha erradicado la primera de las razones mencionadas ya
que estos permiten un análisis en tres dimensiones de las
Ingeniería Civil 189/2018 | 77
Columnas a flexo compresión...
edificaciones con mayor racionalidad y realismo. Estas herramientas contribuyen a introducir mediante mecanismos de fácil manejo y compresión las acciones de carga de
viento y sísmicas de forma más completa y rigurosa.
Por otra parte la introducción de un nuevo enfoque de
la seguridad estructural por la ACI 318-2002, sobre todo
en la evaluación del Factor de Reducción de la Resistencia,
f, obliga a una nueva lectura en el empleo del Método del
Contorno de Carga de Bresler, propuesto por la propia normativa. (ACI 318-11)
En resumen, este trabajo aborda el tema desde dos ángulos.
El diagrama obtenido para el caso recoge todas las
combinaciones de carga y momentos flectores en ambos
ejes que limitan la resistencia de la sección. También se destaca en la figura una superficie resistente para una carga Pn
dada, conocida como Contorno de Carga. Son dos formas
de plantearse las zonas de resistencia de la sección.
La comprobación de una sección de forma cualquiera,
con cualquier número y distribución de armaduras, sometida a una solicitación normal (P, Mx, My), o, lo que es lo
mismo, a una resultante normal P actuando con excentricidades ex=My /P, ey=Mx/P, referidas a los ejes de la sección,
exige determinar la posición del eje neutro y la deformación máxima de la sección. Para ello se usarán las ecuaciones de compatibilidad y equilibrio. Estas ecuaciones no
pueden expresarse de forma simple en función de las incógnitas del problema, por lo que este no admite solución
analítica exacta y hay que recurrir a métodos aproximados.
Tales métodos, tanto si son numéricos como si son gráficos, exigen el tanteo de distintas posiciones del eje neutro,
siendo el cálculo laborioso resultado conveniente, por ello,
su tratamiento mediante ordenador (JIMÉNEZ MONTOYA
2000).
Desde el punto de vista analítico el problema fundamental radica en determinar cuál es la inclinación de la
línea neutra θ, ya que no puede obtenerse una relación entre λ y θ, pues como regla no son iguales, ni se relacionan,
como se muestra en la figura 2 (PARK 1979).
El procedimiento se basa en determinar por separado
el aporte del
hormigón𝑃𝑃
y del acero. Las
𝑀𝑀
𝑒𝑒𝑒𝑒* ecuaciones de equi𝑀𝑀)*
𝑃𝑃) 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒**
&'
&'
&'
&' 𝑀𝑀)*
&' 𝑃𝑃)
&' 𝑒𝑒*
)* = tan
) * =
*
𝜆𝜆
= tan
tan
&'
&'
&'
𝜆𝜆
librio,
acuerdo
a la
figura
son:
𝜆𝜆 =
= tan
tande
= tan
tan
=2,tan
tan
𝑀𝑀)+ =
𝑃𝑃) 𝑒𝑒+ =
𝑒𝑒+
1. Desarrollo de Hojas de Cálculo en MATHCAD, basadas en la solución detallada de las principales ecuaciones que rigen el comportamiento de la sección y que
permiten un análisis más profundo, seguro, confiable y
sencillo. Ofreciendo por tanto la posibilidad de la evaluación de diversas soluciones de diseño en corto plazo
y contar con una amplia información sobre las características del comportamiento de la sección.
2. Analizar la influencia de la variación del factor de reducción de la capacidad resistente de la sección, f, en
función de la inclinación de la carga y la repercusión
que esta problemática tiene al utilizar los procedimiento simplificados propuestos por la PCA y basados en el Método del Contorno de Carga de Bressler.
2. AYUDAS DE CÁLCULO PARA LA FLEXO-COMPRESIÓN
BIAXIAL
El análisis de la Flexión Compuesta
se 𝑒𝑒
𝑀𝑀)* biaxial
𝑃𝑃o𝑒𝑒esviada &'
*
&' ) *
𝜆𝜆 = tan
=está
tansometida
= atan
ilustra en la figura 1, donde
la &'
sección
una
𝑀𝑀)+
𝑃𝑃) 𝑒𝑒+
𝑒𝑒+
carga descentrada tanto en el eje x como en el y; siendo
las excentricidades ex y Σ𝐹𝐹
ey respectivamente.
En dicha figura
=0
se destacan los diagramas de interacción obtenidos para la
𝐶𝐶3 + 𝑆𝑆'ejes
+ 𝑆𝑆6y +esviada
⋯ 𝑆𝑆) =que
0 ocuflexo-compresión recta𝑃𝑃en
) =ambos
rre esta última para ángulo λ respecto al eje x, este ángulo
Σ𝑀𝑀)* = 0
puede determinarse por:
𝜆𝜆 = tan&'
𝑀𝑀)*
𝑃𝑃) 𝑒𝑒+
𝑏𝑏 𝑒𝑒
𝑏𝑏
&' +
[1]𝑆𝑆6
= tan&' 𝑀𝑀)* = 𝐶𝐶
tan
− 𝑧𝑧 + 𝑆𝑆'
− 𝑑𝑑= +
3
𝑀𝑀)+
𝑃𝑃) 𝑒𝑒*
2 𝑒𝑒* +
2
Σ𝑀𝑀)+ = 0
𝑀𝑀)+ = 𝐶𝐶3
ℎ
ℎ
− 𝑧𝑧* + 𝑆𝑆'
− 𝑑𝑑´ + 𝑆𝑆6
2
2
𝐶𝐶3 = 0,85𝑓𝑓3 ´𝐴𝐴′
𝜀𝜀3 ´ 𝜀𝜀I' 𝜀𝜀I6 𝜀𝜀IJ 𝜀𝜀IK
=
=
=
=
𝑐𝑐*
𝑧𝑧'
𝑧𝑧6
𝑧𝑧J
𝑧𝑧K
𝑧𝑧' = 𝑐𝑐* − 𝑑𝑑´ − 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑= 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑧𝑧6 = 𝑐𝑐* − 𝑑𝑑´ − 𝑑𝑑= 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑧𝑧J = 𝑐𝑐* − 𝑑𝑑 + 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑= 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
Σ𝐹𝐹
=0
Σ𝐹𝐹
Σ𝐹𝐹 =
=0
0
𝑀𝑀
)+
𝑀𝑀)+
)+
𝑃𝑃
𝑃𝑃))) 𝑒𝑒𝑒𝑒+++
= 𝐶𝐶
=0
𝑃𝑃
+ 𝑆𝑆
+ 𝑆𝑆
+⋯
𝑆𝑆)) =
𝑃𝑃
𝑃𝑃))) =
= 𝐶𝐶
𝐶𝐶333 +
+ 𝑆𝑆
𝑆𝑆''' +
+ 𝑆𝑆
𝑆𝑆666 +
+⋯
⋯ 𝑆𝑆
𝑆𝑆) = 0
0
[2]
=
Σ𝑀𝑀
Σ𝑀𝑀)*
=0
0
)*
Σ𝑀𝑀
)* = 0 (respecto al eje y)
𝑏𝑏
𝑏𝑏
𝑏𝑏 −
=
𝑀𝑀
𝐶𝐶
𝑧𝑧 + 𝑆𝑆
)*
3
𝑀𝑀
=
𝐶𝐶
−
)*
3
𝑀𝑀)* = 𝐶𝐶3 2
− 𝑧𝑧𝑧𝑧+++ +
+ 𝑆𝑆
𝑆𝑆'''
2
2
𝑏𝑏
𝑏𝑏
− 𝑑𝑑Σ𝑀𝑀
+. =
. . .0. 𝑆𝑆)
− 𝑑𝑑=
= )+
)+ =
=0
0
Σ𝑀𝑀
2 Σ𝑀𝑀
2
)+
ℎ
ℎ
ℎ−
=
𝑀𝑀
𝐶𝐶
𝑧𝑧 + 𝑆𝑆
)+
3
𝑀𝑀
=
𝐶𝐶
−
)+
3
𝑀𝑀)+ = 𝐶𝐶3 2
− 𝑧𝑧𝑧𝑧*** +
+ 𝑆𝑆
𝑆𝑆'''
2
2
ℎ
ℎ
= 0,85𝑓𝑓
− 𝑑𝑑´𝐶𝐶
+.
. . . . 𝑆𝑆 ´𝐴𝐴′ − 𝑑𝑑´
𝐶𝐶
= 0,85𝑓𝑓
0,85𝑓𝑓)333 ´𝐴𝐴′
´𝐴𝐴′
𝐶𝐶333 =
2
2
𝑏𝑏
𝑏𝑏
𝑏𝑏 −
𝑑𝑑== +
𝑆𝑆66
−
− 𝑑𝑑
𝑑𝑑= +
+ 𝑆𝑆
𝑆𝑆6
2
2
2
𝑏𝑏
𝑏𝑏
𝑏𝑏 −
𝑑𝑑== +.
. . . . 𝑆𝑆))
−
− 𝑑𝑑
𝑑𝑑= +.
+. .. .. .. .. 𝑆𝑆
𝑆𝑆)
2
2
2
ℎ
ℎ
ℎ−
𝑑𝑑´ +
𝑆𝑆66
−
− 𝑑𝑑´
𝑑𝑑´ +
+ 𝑆𝑆
𝑆𝑆6
2
2
2
ℎ
ℎ
ℎ−
𝑑𝑑´ +.
. . . . 𝑆𝑆))
−
− 𝑑𝑑´
𝑑𝑑´ +.
+. .. .. .. .. 𝑆𝑆
𝑆𝑆)
2
2
2
𝜀𝜀𝜀𝜀33 ´´ 𝜀𝜀𝜀𝜀I'
𝜀𝜀I6
𝜀𝜀IJ
𝜀𝜀IK
I' = 𝜀𝜀
I6 = 𝜀𝜀
IJ = 𝜀𝜀
IK
𝜀𝜀3 ´ =
𝜀𝜀I'
𝜀𝜀I6
𝜀𝜀IJ
𝜀𝜀IK
= 𝑧𝑧𝑧𝑧' =
= 𝑧𝑧𝑧𝑧6 =
= 𝑧𝑧𝑧𝑧J =
= 𝑧𝑧𝑧𝑧K
𝑐𝑐𝑐𝑐** =
𝑐𝑐*
𝑧𝑧''
𝑧𝑧66
𝑧𝑧JJ
𝑧𝑧KK
= 𝑐𝑐 − 𝑑𝑑´
𝑏𝑏 − 𝑑𝑑
𝑧𝑧𝑧𝑧'' =
− 𝑏𝑏
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑧𝑧' = 𝑐𝑐𝑐𝑐*** −
− 𝑑𝑑´
𝑑𝑑´ −
− 𝑏𝑏 −
− 𝑑𝑑
𝑑𝑑=== 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
PQ
𝜀𝜀I' = 𝑧𝑧𝜀𝜀3=
´ 𝑐𝑐 − 𝑑𝑑´ − 𝑑𝑑 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
3R𝑧𝑧
𝑧𝑧666 =
= 𝑐𝑐𝑐𝑐*** −
− 𝑑𝑑´
𝑑𝑑´ −
− 𝑑𝑑
𝑑𝑑=== 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
PS
𝜀𝜀I6 = 𝑧𝑧𝑧𝑧J𝜀𝜀3=
´ 𝑐𝑐𝑐𝑐* −
− 𝑑𝑑
𝑑𝑑 +
+ 𝑏𝑏
𝑏𝑏 −
− 𝑑𝑑
𝑑𝑑= 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
3R𝑧𝑧J =
J = 𝑐𝑐*
* − 𝑑𝑑 + 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑=
= 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
PT
𝜀𝜀IJ = 𝑧𝑧K𝜀𝜀3=
´
= 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐** −
− 𝑑𝑑
𝑑𝑑 +
+ 𝑑𝑑
𝑑𝑑= 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
3R𝑧𝑧
𝑧𝑧KK =
* − 𝑑𝑑 + 𝑑𝑑=
= 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
P
𝜀𝜀IK = U𝑧𝑧𝑧𝑧'𝜀𝜀3=
´ 𝑐𝑐 − 𝑑𝑑
− 𝑏𝑏
− 𝑑𝑑
tan (𝜃𝜃)
3R𝑧𝑧'
' =
= 𝑐𝑐𝑐𝑐*** −
− 𝑑𝑑
𝑑𝑑III −
− 𝑏𝑏
𝑏𝑏 −
− 𝑑𝑑
𝑑𝑑III tan
tan (𝜃𝜃)
(𝜃𝜃)
𝑧𝑧𝑧𝑧6 =
𝑐𝑐𝑐𝑐* −
𝑑𝑑
−
𝑑𝑑
tan
(𝜃𝜃)
I
I
=
−
𝑑𝑑
−
𝑑𝑑
tan
(𝜃𝜃)
𝑧𝑧66 = 𝑐𝑐** − 𝑑𝑑II − 𝑑𝑑II tan (𝜃𝜃)
𝑧𝑧𝑧𝑧J =
𝑑𝑑 −
𝑐𝑐 + 𝑏𝑏
− 𝑑𝑑
tan 𝜃𝜃
𝑧𝑧' = 𝑐𝑐* − 𝑑𝑑I − 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑I tan (𝜃𝜃)
𝑧𝑧JJ =
= 𝑑𝑑
𝑑𝑑 −
− 𝑐𝑐𝑐𝑐*** +
+ 𝑏𝑏
𝑏𝑏 −
− 𝑑𝑑
𝑑𝑑III tan
tan 𝜃𝜃
𝜃𝜃
𝑧𝑧
=
𝑑𝑑
−
𝑐𝑐
+
𝑑𝑑
tan
𝜃𝜃
𝑧𝑧6 = 𝑐𝑐* − 𝑑𝑑I − 𝑑𝑑I tan (𝜃𝜃)
*
I
𝑧𝑧𝑧𝑧KK =
𝑑𝑑
−
𝑐𝑐
+
𝑑𝑑
tan
𝜃𝜃
*
I
K = 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐* + 𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃
𝑧𝑧𝑧𝑧'' ,, 𝑧𝑧𝑧𝑧66 ,, 𝑧𝑧𝑧𝑧JJ ,, 𝑧𝑧𝑧𝑧KK
Figura 1.𝑧𝑧JDiagrama
en flexo
= 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐*de+interacción
𝑏𝑏 − 𝑑𝑑I tan
𝜃𝜃 compresión biaxial.
𝑧𝑧' , 𝑧𝑧6 , 𝑧𝑧J , 𝑧𝑧K
𝑏𝑏
𝑏𝑏
𝑧𝑧K = 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐* + 𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃
𝑏𝑏 tan
𝑐𝑐𝑐𝑐* −
𝑑𝑑
𝜃𝜃
𝑧𝑧𝑧𝑧X =
II −
𝑑𝑑
−
tan
X =
*−
=
𝑐𝑐
−
𝑑𝑑
−
tan 𝜃𝜃
𝜃𝜃
𝑧𝑧
2
X
*
I
78 | Ingeniería Civil 189/2018
2
𝑧𝑧' , 𝑧𝑧6 , 𝑧𝑧J , 𝑧𝑧K
2
𝑏𝑏
𝑏𝑏
𝑏𝑏
𝑏𝑏
𝑧𝑧𝑧𝑧Y =
𝑑𝑑
−
𝑐𝑐
+
tan
𝜃𝜃
tan 𝜃𝜃
𝑧𝑧X = 𝑐𝑐* − 𝑑𝑑I − tan 𝜃𝜃
𝑧𝑧YY =
= 𝑑𝑑
𝑑𝑑 −
− 𝑐𝑐𝑐𝑐*** +
+2
2 tan 𝜃𝜃
2
2
𝑧𝑧K = 𝑐𝑐* − 𝑑𝑑 + 𝑑𝑑= 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑒𝑒𝑒𝑒++
+
P
PQ
𝜀𝜀𝜀𝜀I'
= PPQQQ 𝜀𝜀𝜀𝜀33 ´´
I' =
𝜀𝜀I'
= 33RRR 𝜀𝜀3 ´
3R
P
P
S
S
P
𝜀𝜀𝜀𝜀I6 =
PS 𝜀𝜀 ´
I6 =
𝜀𝜀I6
= 33RRRS 𝜀𝜀𝜀𝜀333 ´´
3R
P
P
PTT
𝜀𝜀𝜀𝜀IJ
=
= PRRTT 𝜀𝜀𝜀𝜀𝜀𝜀33 ´´´
𝜀𝜀IJ
3R 3
IJ = 3
3R
P
P
PUU
=
𝜀𝜀𝜀𝜀IK
= PRRUU 𝜀𝜀𝜀𝜀𝜀𝜀33 ´´´
𝜀𝜀IK
3R 3
IK = 3
3R
𝑏𝑏
𝑏𝑏
𝑏𝑏 −
𝑑𝑑==
−
− 𝑑𝑑
𝑑𝑑=
2
2
2
[3]
ℎ
ℎ
ℎ−
𝑑𝑑´
−
− 𝑑𝑑´
𝑑𝑑´
2
2
2
Columnas a flexo compresión...
𝜆𝜆 = tan&'
= tan&'
Σ𝐹𝐹 = 0
𝑀𝑀
𝑃𝑃 𝑒𝑒𝑒𝑒*
𝑒𝑒
&' 𝑀𝑀)*
&' 𝑃𝑃)
&' 𝑒𝑒*
)*
) *
*
𝜆𝜆
𝜆𝜆 =
= tan
tan&' 𝑀𝑀 =
= tan
tan&' 𝑃𝑃 𝑒𝑒 =
= tan
tan&' 𝑒𝑒
𝑀𝑀)+
𝑃𝑃)) 𝑒𝑒++
𝑒𝑒++
)+
𝑒𝑒*
𝑒𝑒+
𝑃𝑃) = 𝐶𝐶3 + 𝑆𝑆' + 𝑆𝑆6 + ⋯ 𝑆𝑆) = 0
Σ𝑀𝑀)* = 0
Σ𝐹𝐹
Σ𝐹𝐹 =
=0
0
𝑀𝑀)* = 𝐶𝐶3
𝑃𝑃
𝑃𝑃)) =
= 𝐶𝐶
𝐶𝐶33 +
+ 𝑆𝑆
𝑆𝑆'' +
+ 𝑆𝑆
𝑆𝑆66 +
+⋯
⋯ 𝑆𝑆
𝑆𝑆)) =
=0
0
Σ𝑀𝑀
=0
Σ𝑀𝑀)*
)* = 0
𝑑𝑑= + 𝑆𝑆6
𝑑𝑑´ + 𝑆𝑆6
Σ𝑀𝑀)+ = 0
ℎ
𝑀𝑀
= 𝐶𝐶 ℎ −
− 𝑧𝑧𝑧𝑧* +
𝑆𝑆
𝑀𝑀)+
)+ = 𝐶𝐶3
3 2
* + 𝑆𝑆'
'
2
ℎ
ℎ
− 𝐶𝐶
𝑑𝑑´ =+.0,85𝑓𝑓
. . . . 𝑆𝑆 ´𝐴𝐴′ − 𝑑𝑑´
2 𝐶𝐶33 = 0,85𝑓𝑓33)´𝐴𝐴′2
ℎ
ℎ − 𝑑𝑑´ + 𝑆𝑆
− 𝑑𝑑´ + 𝑆𝑆66
2
2
ℎ
ℎ − 𝑑𝑑´ +. . . . . 𝑆𝑆
− 𝑑𝑑´ +. . . . . 𝑆𝑆))
2
2
ℎ
ℎ − 𝑑𝑑´
− 𝑑𝑑´
2
2
[4]
𝜀𝜀𝜀𝜀3 ´´ Donde
𝜀𝜀
𝜀𝜀 y z 𝜀𝜀𝜀𝜀son
𝜀𝜀𝜀𝜀IK proyecciones sobre los ejes del
3 = 𝜀𝜀I'
I' = z𝜀𝜀xI6
I6 =y IJ
IJ = las
IK
=
=
=
=
𝑐𝑐
𝑧𝑧
𝑧𝑧
𝑧𝑧
𝑧𝑧𝑧𝑧K hormigón C .
brazo
' la resultante
𝑐𝑐*
𝑧𝑧en
𝑧𝑧6
𝑧𝑧J del
'
6
J
K
c
Empleando el diagrama rectangular – Pequivalente en la
PQQ 𝜀𝜀 ´
𝑧𝑧𝑧𝑧' =
𝑐𝑐 2 −
−
𝑑𝑑
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
𝜀𝜀𝜀𝜀I' =
figura
se𝑑𝑑´
muestra
dentro
𝑑𝑑´
− 𝑏𝑏
𝑏𝑏 −
− el
𝑑𝑑==aporte
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 del hormigón
𝜀𝜀33 ´ de la sec' = 𝑐𝑐*
*−
I' = 3
3R
R
ción y como a partir del bloque comprimido puede obtePQ
P
𝜀𝜀I' = nerse
𝜀𝜀3 ´ 𝑐𝑐C − 𝑑𝑑´ − 𝑑𝑑 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
PS
𝜀𝜀𝜀𝜀I6 =
3𝑧𝑧
𝑧𝑧R6 =
= 𝑐𝑐* c− 𝑑𝑑´ − 𝑑𝑑= 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
= S 𝜀𝜀𝜀𝜀3 ´´
6
PS
*
=
𝜀𝜀I6 = 𝑧𝑧 𝜀𝜀=
3 ´ 𝑐𝑐* − 𝑑𝑑 + 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑= 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
3𝑧𝑧RJ =
𝑐𝑐* − 𝑑𝑑 + 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑= 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
J
𝜀𝜀IJ
) tan 𝜃𝜃
𝜃𝜃
tan 𝜃𝜃
𝑏𝑏
𝑏𝑏
𝑏𝑏
𝑏𝑏
− 𝑧𝑧+ + 𝑆𝑆'
− 𝑑𝑑= + 𝑆𝑆6
− 𝑑𝑑= +. . . . . 𝑆𝑆)
− 𝑑𝑑=
2
2
2
2
𝑏𝑏
𝑏𝑏
𝑏𝑏
ℎ
ℎ
ℎ
ℎ
𝑏𝑏 − 𝑑𝑑 +. . . . . 𝑆𝑆 𝑏𝑏
𝑏𝑏 𝑑𝑑
𝑀𝑀
= 𝐶𝐶 𝑏𝑏 −
𝑧𝑧+ +
𝑆𝑆 2. 𝑏𝑏Diagrama
− 𝑑𝑑 +
𝑆𝑆
=
𝑀𝑀)+
= 𝐶𝐶compresión
− 𝑧𝑧* +
𝑆𝑆'
− 𝑑𝑑´ + 𝑆𝑆6
− 𝑑𝑑´ +. . . . . 𝑆𝑆)
− 𝑑𝑑´
𝑀𝑀)*
𝑆𝑆66deformaciones,
− 𝑑𝑑== +. . . .esfuerzos
. 𝑆𝑆)) 2 −
− y𝑑𝑑fuerzas.
3
Flexo
biaxial.
)* = 𝐶𝐶3
3 2 − 𝑧𝑧Figura
+ + 𝑆𝑆'
' 2 − 𝑑𝑑=
= +de
=
2
2
2
2
2
2
2
2
2
𝑏𝑏
𝑏𝑏
− Σ𝑀𝑀
𝑑𝑑= )++.=
. .0. . 𝑆𝑆)
− 𝑑𝑑=al eje y)
𝐶𝐶3 = 0,85𝑓𝑓3 ´𝐴𝐴′
2 Σ𝑀𝑀
2
)+ = 0 (respecto
*
𝜃𝜃)
𝑀𝑀)*
𝑃𝑃) 𝑒𝑒*
𝑒𝑒*
= tan&'
= tan&'
𝑀𝑀)+
𝑃𝑃) 𝑒𝑒+
𝑒𝑒+
𝜀𝜀IK
I6
3
3
3R
R
P
PTT 𝜀𝜀 ´
𝜀𝜀𝜀𝜀IJ =
IJ = 3R 𝜀𝜀3
3´
𝜀𝜀3 ´ 𝜀𝜀I' 𝜀𝜀I6 𝜀𝜀IJ 𝜀𝜀IK
Donde
comprimida del hormigón, que
=
= A' es
= el área
=
𝑐𝑐*
𝑧𝑧presentarse
𝑧𝑧6
𝑧𝑧en
𝑧𝑧K
'
J 4 formas
puede
en función de la magnitud y
posición de la carga, y todo se trata de obtener
el área comP
𝑧𝑧' = 𝑐𝑐* − 𝑑𝑑´ − 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑= 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
= Q 𝜀𝜀3 ´
3Rproblemática se
primida
y la posición del centroide.𝜀𝜀I'Esta
ilustra en la figura 3.
P
𝑧𝑧6 =En
𝑐𝑐*la
− figura
𝑑𝑑´ − 𝑑𝑑=4,𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
𝜀𝜀I6 = Sde
𝜀𝜀 ´
se muestra el diagrama
3R 3 deformaciones para una sección sometida a la flexión esviada, apoyo
P
importante
para
𝑧𝑧J = 𝑐𝑐* − 𝑑𝑑 +
𝑏𝑏 −determinar
𝑑𝑑= 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 el esfuerzo
𝜀𝜀IJ = aT que
𝜀𝜀 ´ está some3R 3
tido cada acero (fsi). Aunque se ejemplifica para 4 barras
PU es válido para
situadas en las esquinas, el procedimiento
𝑧𝑧K = 𝑐𝑐* − 𝑑𝑑 + 𝑑𝑑= 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑧𝑧' = 𝑐𝑐* − 𝑑𝑑I − 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑I tan (𝜃𝜃)
𝑧𝑧
6 = 𝑐𝑐* − 𝑑𝑑I − 𝑑𝑑I tan (𝜃𝜃)
P
P
= 𝑧𝑧T 𝜀𝜀=
´ 𝑐𝑐 − 𝑑𝑑 + 𝑑𝑑 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
PUU 𝜀𝜀 ´
3
𝑧𝑧
𝜀𝜀
=
J = 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐* + 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃
3𝑧𝑧RK = 𝑐𝑐* − 𝑑𝑑 + 𝑑𝑑= 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
𝜀𝜀IK
𝜀𝜀33 ´
K
*
=
IK = 3
3R
R
𝑧𝑧K = 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐* + 𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃
P
𝑧𝑧' , 𝑧𝑧6 , 𝑧𝑧J , 𝑧𝑧K
= 𝑧𝑧U'𝜀𝜀=
3 ´ 𝑐𝑐* − 𝑑𝑑I − 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑I tan (𝜃𝜃)
3𝑧𝑧R' =
𝑐𝑐* − 𝑑𝑑I − 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑I tan (𝜃𝜃)
𝑏𝑏
𝑧𝑧𝑧𝑧6 =
𝑐𝑐 −
𝑑𝑑 − 𝑑𝑑 tan (𝜃𝜃)
𝑧𝑧X = 𝑐𝑐* − 𝑑𝑑I − tan 𝜃𝜃
6 = 𝑐𝑐*
* − 𝑑𝑑II − 𝑑𝑑II tan (𝜃𝜃)
2
𝑧𝑧𝑧𝑧J =
𝑑𝑑 − 𝑐𝑐 +
𝑏𝑏 − 𝑑𝑑 tan 𝜃𝜃
𝑏𝑏
J = 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐*
* + 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑II tan 𝜃𝜃
𝑧𝑧
=
𝑑𝑑
−
𝑐𝑐
+
tan 𝜃𝜃
Y
*
𝑧𝑧𝑧𝑧K =
𝑑𝑑 − 𝑐𝑐 +
𝑑𝑑 tan 𝜃𝜃
2
K = 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐*
* + 𝑑𝑑II tan 𝜃𝜃
𝑧𝑧𝑧𝑧' ,, 𝑧𝑧𝑧𝑧6 ,, 𝑧𝑧𝑧𝑧J ,, 𝑧𝑧𝑧𝑧K
𝑧𝑧' , 𝑧𝑧6 , 𝑧𝑧J , 𝑧𝑧K , 𝑧𝑧X , 𝑧𝑧Y
' 6 J K
𝑏𝑏
ℎ
𝑏𝑏
𝑐𝑐 −
𝑑𝑑 − Figura
tan 𝜃𝜃 3. Áreas comprimidas del hormigón en la flexo compresión
𝑧𝑧𝑧𝑧X =
𝑧𝑧Z = − 𝑐𝑐biaxial.
* + 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃
X = 𝑐𝑐*
* − 𝑑𝑑II − 2 tan 𝜃𝜃
2
2
𝑏𝑏
ℎ
𝑏𝑏 tan 𝜃𝜃
𝑧𝑧𝑧𝑧Y =
𝑑𝑑 − 𝑐𝑐 +
𝑧𝑧[ = − 𝑐𝑐* + 𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃
Y = 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐*
* + 2 tan 𝜃𝜃
2
2
𝑧𝑧𝑧𝑧' ,, 𝑧𝑧𝑧𝑧6 ,, 𝑧𝑧𝑧𝑧J ,, 𝑧𝑧𝑧𝑧K ,, 𝑧𝑧𝑧𝑧X ,, 𝑧𝑧𝑧𝑧Y
,
𝑧𝑧
,
𝑧𝑧J , 𝑧𝑧K , 𝑧𝑧Z , 𝑧𝑧[
𝑧𝑧
'
6
' 6 J K X Y
ℎ
2𝑏𝑏 − 𝑑𝑑I
ℎ − 𝑐𝑐 + 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑 tan 𝜃𝜃
𝑧𝑧𝑧𝑧Z =
tan 𝜃𝜃
𝑧𝑧\ = 𝑐𝑐* − 𝑑𝑑I −
Z = 2 − 𝑐𝑐*
* + 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑II tan 𝜃𝜃
3
2
ℎ
𝑏𝑏
+
𝑑𝑑
I
ℎ − 𝑐𝑐 + 𝑑𝑑 tan 𝜃𝜃
𝑧𝑧𝑧𝑧[ =
𝑧𝑧'^ = 𝑐𝑐* − 𝑑𝑑I −
tan 𝜃𝜃
[ = 2 − 𝑐𝑐*
* + 𝑑𝑑II tan 𝜃𝜃
3
2
𝑧𝑧𝑧𝑧' ,, 𝑧𝑧𝑧𝑧6 ,, 𝑧𝑧𝑧𝑧J ,, 𝑧𝑧𝑧𝑧K ,, 𝑧𝑧𝑧𝑧Z ,, 𝑧𝑧𝑧𝑧[
2𝑏𝑏 − 𝑑𝑑I
' 6 J K Z [
𝑧𝑧'' = 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐* +
tan 𝜃𝜃
2𝑏𝑏
2𝑏𝑏 −
− 𝑑𝑑
𝑑𝑑II tan 𝜃𝜃
3
𝑐𝑐𝑐𝑐* −
𝑑𝑑
−
𝑧𝑧𝑧𝑧\ =
I
=
−
𝑑𝑑
−
tan
𝜃𝜃
𝑏𝑏
+
𝑑𝑑
\
*
I
3
I
3
𝑧𝑧'6 = 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐* +
tan 𝜃𝜃
𝑏𝑏
𝑏𝑏 +
+ 𝑑𝑑
𝑑𝑑II tan 𝜃𝜃
3
𝑧𝑧𝑧𝑧'^ =
𝑐𝑐
−
𝑑𝑑
−
*
I
=
𝑐𝑐
−
𝑑𝑑
−
tan
𝜃𝜃
𝑧𝑧' , 𝑧𝑧6 , 𝑧𝑧J , 𝑧𝑧K , 𝑧𝑧\ , 𝑧𝑧'^ , 𝑧𝑧'' , 𝑧𝑧'6
'^
*
I
3
3 𝑑𝑑
2𝑏𝑏
−
𝑑𝑑 + 2𝑑𝑑I
II
2𝑏𝑏
−
𝑑𝑑
𝑧𝑧𝑧𝑧'' =
𝑑𝑑 − 𝑐𝑐 +
tan
− 𝑐𝑐* + (𝑏𝑏 − 𝑑𝑑I ) tan 𝜃𝜃
𝑧𝑧'J =
tan 𝜃𝜃
𝜃𝜃
'' = 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐*
*+
3
3
3
𝑏𝑏
+
𝑑𝑑
2𝑑𝑑
+
𝑑𝑑
I
I
𝑏𝑏 + 𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃
𝑧𝑧𝑧𝑧'6 =
𝑑𝑑 − 𝑐𝑐 +
𝑧𝑧'K =
− 𝑐𝑐* + 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃
tan 𝜃𝜃
'6 = 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐*
*+
3
3
3
𝑧𝑧𝑧𝑧' ,, 𝑧𝑧𝑧𝑧6 ,, 𝑧𝑧𝑧𝑧J ,, 𝑧𝑧𝑧𝑧K ,, 𝑧𝑧𝑧𝑧\ ,, 𝑧𝑧𝑧𝑧'^ ,, 𝑧𝑧𝑧𝑧'' ,, 𝑧𝑧𝑧𝑧'6
𝑑𝑑 + 2𝑑𝑑I
' 6 J K \ '^ '' '6
𝑧𝑧'X =
− 𝑐𝑐* + 𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃
𝑑𝑑
𝑑𝑑 +
+ 2𝑑𝑑
2𝑑𝑑II − 𝑐𝑐 + (𝑏𝑏 − 𝑑𝑑 ) tan 𝜃𝜃
3
𝑧𝑧𝑧𝑧'J =
*
I
=
−
𝑐𝑐
+
(𝑏𝑏
−
𝑑𝑑
)
tan
𝜃𝜃
2𝑑𝑑 + 𝑑𝑑I
'J
*
I
3
3
𝑧𝑧'Y =
− 𝑐𝑐* + 𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃
2𝑑𝑑
+
𝑑𝑑
II
2𝑑𝑑
+
𝑑𝑑
3
=
− 𝑐𝑐𝑐𝑐* +
+ 𝑏𝑏
𝑏𝑏 −
− 𝑑𝑑
𝑑𝑑I tan
tan 𝜃𝜃
𝜃𝜃
𝑧𝑧𝑧𝑧'K
=
−
'K
*
I
3
32𝑑𝑑
Figura 4. Diagrama de deformaciones.
𝑑𝑑
+
II
𝑑𝑑
+
2𝑑𝑑
𝑧𝑧𝑧𝑧'X =
−
− 𝑐𝑐𝑐𝑐** +
+ 𝑑𝑑
𝑑𝑑II tan
tan 𝜃𝜃
𝜃𝜃
'X =
3
3
2𝑑𝑑
+
𝑑𝑑
I
2𝑑𝑑
+
𝑑𝑑
I
𝑧𝑧𝑧𝑧'Y =
−
− 𝑐𝑐𝑐𝑐** +
+ 𝑑𝑑
𝑑𝑑II tan
tan 𝜃𝜃
𝜃𝜃
'Y =
3
3
𝜀𝜀IK =
𝜀𝜀 ´
3R 3
3R
Ingeniería Civil 189/2018 | 79
= 𝜀𝜀I' =3 𝜀𝜀I6 = 𝜀𝜀IJ = 𝜀𝜀IK
𝜀𝜀𝑐𝑐33´ =
𝑧𝑧' =3 ´𝐴𝐴′
𝑧𝑧6 = 𝑧𝑧J = 𝑧𝑧K
𝐶𝐶
*
3 = 0,85𝑓𝑓
𝑧𝑧𝜀𝜀𝑐𝑐'*´= 𝑐𝑐𝜀𝜀𝑧𝑧*'− 𝑑𝑑´𝜀𝜀𝑧𝑧−
−
𝑧𝑧IJ
6 𝑏𝑏 𝜀𝜀
J𝑑𝑑= 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
K
𝜀𝜀𝑧𝑧IK
3
I'
I6
=
= 𝜀𝜀 = 𝜀𝜀 = 𝜀𝜀
I6
IJ
IK
𝑧𝑧𝜀𝜀𝑐𝑐'3*´== 𝑐𝑐𝜀𝜀𝑧𝑧*I'
−
𝑑𝑑´
−
𝑏𝑏
−
𝑑𝑑
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑧𝑧
𝑧𝑧
𝑧𝑧
=
K
Columnas a flexo compresión...' = 6 = J =
𝑧𝑧𝑧𝑧𝑐𝑐'* =
𝑏𝑏 −
𝑧𝑧J𝑑𝑑= 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑧𝑧K
6 𝑑𝑑 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
= 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑧𝑧*'−
− 𝑑𝑑´
𝑑𝑑´𝑧𝑧−
−
𝜀𝜀I' =
𝜀𝜀I'
𝜀𝜀I'
𝜀𝜀
6
*
=
I6
𝑧𝑧𝑧𝑧' =
𝑐𝑐𝑐𝑐* −
𝑑𝑑´
−
𝑏𝑏 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
− 𝑑𝑑= 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
𝜀𝜀I'
=
−
𝑑𝑑´
−
𝑑𝑑
𝜀𝜀
Tabla 1. Aporte del
para diferentes
distribucionesI6
6 refuerzo
*
=
𝑧𝑧𝑧𝑧' =
𝑐𝑐 − 𝑑𝑑´
− 𝑏𝑏 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
− 𝑑𝑑= 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
𝜀𝜀𝜀𝜀𝜀𝜀I'
I6
𝑧𝑧6J =
= 𝑐𝑐𝑐𝑐*** −
− 𝑑𝑑´
𝑑𝑑 +− 𝑑𝑑𝑏𝑏=−
𝑑𝑑= 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
IJ
𝑧𝑧
=
𝑐𝑐
−
𝑑𝑑´
−
𝑑𝑑
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
𝜀𝜀
=−las
Variantes de 𝑧𝑧6J = 𝑐𝑐*
− 𝑑𝑑 + 𝑏𝑏de
𝑑𝑑=barras
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡respecto a 𝜀𝜀I6
*z (posición
IJ
𝑐𝑐 − 𝑑𝑑´
− 𝑑𝑑𝑏𝑏=−
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
𝜀𝜀IJ
𝑧𝑧𝑧𝑧6J =
=
+
𝑑𝑑= 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 x, y)
distribución 𝑧𝑧
cartesianos
= 𝑐𝑐𝑐𝑐** −
− 𝑑𝑑
𝑑𝑑los
+ ejes
𝑑𝑑 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
𝜀𝜀𝜀𝜀I6
4barras
6barras
8barras
10barras
12barras
14barras
16barras
K
𝑧𝑧𝑧𝑧J
K
𝑧𝑧𝑧𝑧J
𝑧𝑧'K
*
=
=
− 𝑑𝑑= 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
= 𝑐𝑐𝑐𝑐** −
− 𝑑𝑑
𝑑𝑑 +
+ 𝑑𝑑𝑏𝑏= 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
=
𝑐𝑐𝑐𝑐* −
𝑑𝑑
+
𝑏𝑏 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
− 𝑑𝑑 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
=
−
𝑑𝑑
+
𝑑𝑑
*
=
= 𝑐𝑐* − 𝑑𝑑I − 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑=I tan (𝜃𝜃)
IK
𝜀𝜀𝜀𝜀IJ
IK
𝜀𝜀𝜀𝜀IJ
IK
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
PQ
𝜀𝜀 ´
3R 3
PQ
𝜀𝜀3 ´
3P
PRSQ 𝜀𝜀 ´
𝜀𝜀
´
3R 3
3PRQ 3
PS 𝜀𝜀 ´
3
3P
R
Q 𝜀𝜀3 ´
3P
PRST 𝜀𝜀
𝜀𝜀𝜀𝜀33 ´´´
3
R
3R 3
3
PRS
PT 𝜀𝜀 ´
𝜀𝜀3 ´
3P
R
S 3
3P
𝜀𝜀3 ´´
PRTU 𝜀𝜀
3R 𝜀𝜀3
3
3´
3PR
R
PTU 𝜀𝜀 ´
3
3P
T 𝜀𝜀3 ´
3PR
U 𝜀𝜀 ´
R
3´
𝜀𝜀
3
R 3
3R
PU
𝜀𝜀 ´
3P 3
Direcciones de trabajo de los aceros
(en contra de las manecillas -, a favor de las manecillas +)
Mx
𝑧𝑧𝑧𝑧K6 =
= 𝑐𝑐𝑐𝑐* −
− 𝑑𝑑
𝑑𝑑I+−
−𝑑𝑑𝑑𝑑=𝑏𝑏I𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
tan𝑑𝑑 (𝜃𝜃)tan (𝜃𝜃)
𝜀𝜀IK =
−
'
*
I
I
1, 2, -3, -4.
+
𝑑𝑑
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
𝜀𝜀IK = RU 𝜀𝜀3 ´
𝑧𝑧𝑧𝑧'KJ =
𝑑𝑑
−
𝑐𝑐
𝑏𝑏
−
𝑑𝑑𝑑𝑑II(𝜃𝜃)
tan
𝜃𝜃
𝑐𝑐
−
𝑑𝑑
−
𝑏𝑏
−
tan (𝜃𝜃)
= tan
*I − 𝑑𝑑
*
=
𝑐𝑐
−
𝑑𝑑
3R
6
*
I
I
= 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑑𝑑
−𝑐𝑐𝑐𝑐𝑑𝑑
𝑑𝑑**I+
−𝑑𝑑𝑑𝑑
tan
𝑧𝑧𝑧𝑧'6KJ =
𝑑𝑑**−
−−
𝑏𝑏I𝑏𝑏Itan
−−
𝑑𝑑𝑑𝑑I𝜃𝜃I(𝜃𝜃)
tan
𝜃𝜃
−
tan (𝜃𝜃)
I+
𝑧𝑧
,
𝑧𝑧
,
𝑧𝑧
𝑧𝑧𝑧𝑧''J, =
𝑑𝑑
−
𝑐𝑐
+
𝑏𝑏
−
𝑑𝑑
tan
𝜃𝜃
6 𝑐𝑐
J
K
−
𝑑𝑑
−
𝑏𝑏
−
𝑑𝑑
tan
(𝜃𝜃)
*
I𝜃𝜃
𝑑𝑑
−
𝑐𝑐
+
𝑑𝑑
tan
*
I
I
=
𝑐𝑐
−
𝑑𝑑
−
𝑑𝑑
tan
(𝜃𝜃)
K
*
I
6
*
I
I
tan
𝜃𝜃(𝜃𝜃)
−
𝑑𝑑**I+
−𝑑𝑑𝑏𝑏
𝑑𝑑
𝑧𝑧6 ,𝑑𝑑
, 𝑧𝑧𝑐𝑐𝑐𝑐K𝑑𝑑
𝑧𝑧𝑧𝑧'6JKX, =
=
𝑑𝑑
−−
𝑏𝑏IItan
−tan
𝑑𝑑I𝜃𝜃
tan 𝜃𝜃
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑧𝑧**J−
−
I+
2
𝑧𝑧
,
𝑧𝑧
,
𝑧𝑧
𝑏𝑏
𝑧𝑧𝑧𝑧'JK, =
𝑑𝑑
−
𝑐𝑐
+
−
𝑑𝑑
6 𝑑𝑑 J
K* + 𝑑𝑑 tan I𝜃𝜃 tan 𝜃𝜃
=
−
𝑐𝑐
*
I
𝑧𝑧 = 𝑐𝑐* − 𝑑𝑑I −𝑏𝑏𝑏𝑏 tan 𝜃𝜃
1, 2, -3, -4, 5, -6.
𝑧𝑧𝑧𝑧'KYX, =
tan𝜃𝜃𝜃𝜃
2tan
𝑧𝑧 ,𝑑𝑑𝑧𝑧−, 𝑧𝑧𝑐𝑐* + 𝑑𝑑
X =6 𝑐𝑐*J− K𝑑𝑑I −𝑏𝑏
22I tan 𝜃𝜃
𝑧𝑧𝑧𝑧' ,, =
𝑧𝑧𝑧𝑧6 ,,𝑑𝑑𝑧𝑧𝑧𝑧J−,, 𝑧𝑧𝑧𝑧𝑐𝑐K , 𝑧𝑧+ , 𝑧𝑧𝑏𝑏
tan
X 𝑏𝑏 Y
tan 𝜃𝜃𝜃𝜃
𝑧𝑧'Y =6 𝑐𝑐*J− K𝑑𝑑*I −
𝑧𝑧𝑧𝑧XY =
𝑑𝑑
−−𝑐𝑐𝑑𝑑* +−2𝑏𝑏
𝜃𝜃
ℎ
2tan
=
𝑐𝑐
𝑧𝑧6 , 𝑧𝑧*−
2𝑧𝑧𝑏𝑏
+X ,𝑏𝑏
− 𝑑𝑑I𝜃𝜃 tan 𝜃𝜃
𝑧𝑧'XZ, =
J , 𝑧𝑧𝑐𝑐K*,I𝑧𝑧
Ytan
2
2𝑧𝑧J−, 𝑧𝑧𝑐𝑐K*, 𝑧𝑧+X , 𝑧𝑧Ytan 𝜃𝜃
𝑧𝑧6 ,𝑑𝑑
𝑧𝑧'Y, =
ℎ
𝑏𝑏
ℎ
2𝑏𝑏tan
=ℎ
−
+
− 𝑑𝑑𝜃𝜃I tan 𝜃𝜃
𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧YZ =
=
𝑑𝑑
− 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐** +
+ 𝑑𝑑
2𝑧𝑧−
𝑧𝑧6 ,2
,
𝑧𝑧
,
2𝑧𝑧𝑏𝑏IYtan
−
+
− 𝑑𝑑I𝜃𝜃 tan 𝜃𝜃
𝑧𝑧'[Z, =
J , 𝑧𝑧𝑐𝑐K*
X
*
ℎ
2𝑧𝑧J , 𝑧𝑧K , 𝑧𝑧X , 𝑧𝑧Y
𝑧𝑧𝑧𝑧6 ,,ℎ
1, 2, -3, -4, 5, -6, 7(0), 8(0).
𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧''[,, =
=
−
+Z ,𝑑𝑑𝑧𝑧𝑏𝑏I[tan
6 ℎ𝑧𝑧−
J , 𝑧𝑧𝑐𝑐K , 𝑧𝑧
− 𝑑𝑑I𝜃𝜃 tan 𝜃𝜃
2 − 𝑐𝑐𝑐𝑐** +
ℎ
𝑧𝑧𝑧𝑧Z[ =
+
𝑑𝑑
tan
𝜃𝜃
2𝑏𝑏
−
𝑑𝑑
2
* + 𝑏𝑏
I
I
=
𝑧𝑧6 ,𝑐𝑐ℎ
𝑧𝑧−, 𝑧𝑧𝑐𝑐K𝑑𝑑
2
*,I𝑧𝑧−
tan 𝜃𝜃𝜃𝜃
𝑧𝑧'Z\ , =
Z , 𝑧𝑧[ − 𝑑𝑑I tan
2𝑧𝑧*J−
3 𝑑𝑑𝜃𝜃I
𝑧𝑧6 ,ℎ
𝑧𝑧'[, =
−
+Z ,𝑑𝑑𝑧𝑧2𝑏𝑏
−
J , 𝑧𝑧𝑐𝑐K*, 𝑧𝑧
I[tan
𝑏𝑏 +
𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃
𝑐𝑐2*−−𝑐𝑐𝑑𝑑I+−𝑑𝑑2𝑏𝑏
𝑧𝑧𝑧𝑧\ =
−
[, =
*𝑑𝑑
−I tan
3 𝑑𝑑𝜃𝜃I tan
𝑧𝑧=,2𝑧𝑧𝑐𝑐*J*−
,−
𝑧𝑧K𝑑𝑑
,I𝑧𝑧I−
tan 𝜃𝜃𝜃𝜃
𝑧𝑧𝑧𝑧''^
Z , 𝑧𝑧[ 3
\ =6 𝑐𝑐
𝑏𝑏 +
𝑑𝑑𝑑𝑑I
3
2𝑏𝑏
−
,
𝑧𝑧
,
𝑧𝑧
,
𝑧𝑧
𝑧𝑧𝑧𝑧' , 𝑧𝑧=
I
6 , 𝑧𝑧
J
K
Z
[
− 𝑑𝑑𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃
𝑐𝑐*−−𝑑𝑑𝑑𝑑I−−2𝑏𝑏
'^
𝑏𝑏 +
\ ==𝑐𝑐𝑑𝑑
𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧''
−−𝑐𝑐𝑑𝑑*I +−2𝑏𝑏
tan 𝜃𝜃
𝜃𝜃
3 𝑑𝑑I tan
−
=𝑐𝑐𝑐𝑐**−
I− 2𝑏𝑏 3
33 𝑑𝑑II tan
=
𝑑𝑑
tan 𝜃𝜃𝜃𝜃
𝑧𝑧'^
−
\
*
I
𝑏𝑏
+
𝑑𝑑
𝑏𝑏 +3
𝑧𝑧𝑧𝑧'' =
= 𝑐𝑐𝑑𝑑 −−𝑐𝑐𝑑𝑑* +−2𝑏𝑏
tan 𝜃𝜃𝜃𝜃
I I tan
−𝑑𝑑𝑑𝑑
I
*− 𝑐𝑐* I+ 𝑏𝑏 +
𝑑𝑑
'6 =
𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧'^
𝑑𝑑
−−𝑐𝑐𝑑𝑑* +− 333 𝑑𝑑Itan
tan𝜃𝜃𝜃𝜃𝜃𝜃
1, 2, -3, -4, 5, -6, 7(0), 8(0), 9, 10, -11, -12.
'' =
=
𝑐𝑐
tan
𝑏𝑏
+
𝑑𝑑
33 𝑑𝑑
'^
*
I 2𝑏𝑏 −
II
,
𝑧𝑧
,
𝑧𝑧
,
𝑧𝑧
,
𝑧𝑧
,
𝑧𝑧
𝑧𝑧𝑧𝑧''6, 𝑧𝑧=
=
𝑑𝑑
−
𝑐𝑐
+
tan
𝜃𝜃
6 , 𝑧𝑧
J
K
\
'^
''
'6
𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃
𝑑𝑑 − 𝑐𝑐** + 𝑏𝑏
''
2𝑏𝑏+3−
=
𝑑𝑑
𝑐𝑐2𝑑𝑑
𝜃𝜃
3 𝑑𝑑Itan
+
𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧'6
=
𝑑𝑑J−
−
𝑐𝑐,**𝑧𝑧I+
+
,
𝑧𝑧
,
𝑧𝑧
,
𝑧𝑧
,
𝑧𝑧
,
𝑧𝑧
, 𝑧𝑧tan
''
3
=
−
𝑐𝑐
+
− 𝑑𝑑𝜃𝜃I ) tan 𝜃𝜃
'
6
K
\
'^
''
𝑏𝑏
+
'J
*3𝑑𝑑
I (𝑏𝑏'6
, 𝑧𝑧3K𝑐𝑐2𝑑𝑑
,*𝑧𝑧I+
, 𝑧𝑧'' ,tan
𝑧𝑧'6 𝜃𝜃
𝑧𝑧''6, 𝑧𝑧=
𝑑𝑑J−
+
6 , 𝑧𝑧
\ , 𝑧𝑧𝑏𝑏'^+
2𝑑𝑑+
= 𝑑𝑑
− 𝑐𝑐*3 𝑑𝑑
+I (𝑏𝑏
− 𝜃𝜃𝑑𝑑I ) tan 𝜃𝜃
'J =
2𝑑𝑑
𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧'6
−+
𝑐𝑐*𝑑𝑑II+−
tan
=
𝑐𝑐
+
𝑏𝑏
− 𝑑𝑑
𝑑𝑑I ) tan
tan 𝜃𝜃𝜃𝜃
3
, 𝑧𝑧6 , 𝑧𝑧J , 𝑧𝑧K , 𝑧𝑧\ ,−
𝑧𝑧'^
, 𝑧𝑧'6
𝑐𝑐**3, 𝑧𝑧+
−
𝑧𝑧''K
''(𝑏𝑏
'J =
I
3
2𝑑𝑑
+
𝑑𝑑
3
II , 𝑧𝑧 , 𝑧𝑧 , 𝑧𝑧
𝑑𝑑
+
2𝑑𝑑
,
𝑧𝑧
,
𝑧𝑧
,
𝑧𝑧
𝑧𝑧𝑧𝑧' , 𝑧𝑧=
6 J+ K2𝑑𝑑I\ −'^
'' 𝑏𝑏'6
+
− 𝑑𝑑
𝑑𝑑I ) tan
tan 𝜃𝜃𝜃𝜃
'K = 𝑑𝑑
𝑑𝑑I −
− 𝑐𝑐𝑐𝑐** +
𝑧𝑧'X
= 2𝑑𝑑
+(𝑏𝑏
𝑑𝑑𝑏𝑏I −
32𝑑𝑑
𝑑𝑑 ++
I − 𝑐𝑐𝑐𝑐*
𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧'J
−tan
𝑑𝑑II )𝜃𝜃tan
tan 𝜃𝜃𝜃𝜃
3
'K =
*+
3
=
−
𝑐𝑐
+
(𝑏𝑏
−
𝑑𝑑
𝑑𝑑
+
2𝑑𝑑
'J
*
I
3
𝑑𝑑
32𝑑𝑑
2𝑑𝑑++
+
𝑑𝑑III − 𝑐𝑐* + 𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃
𝑧𝑧'X =
= 2𝑑𝑑
𝑑𝑑I 𝜃𝜃 tan 𝜃𝜃
𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧'K
= 𝑑𝑑
− 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐** +
+
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑏𝑏I −
tan
3 𝑑𝑑II −
2𝑑𝑑
+
'Y =
−
+
tan
𝜃𝜃
3
3
𝑧𝑧'X
2𝑑𝑑 +
𝑑𝑑I − 𝑐𝑐** + 𝑏𝑏I − 𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃
3
'K = 𝑑𝑑
I − 𝑐𝑐 + 𝑑𝑑 tan 𝜃𝜃
32𝑑𝑑
𝑧𝑧𝑧𝑧'Y =
= 2𝑑𝑑++
1, 2, -3, -4, 9, 10, -11, -12, 13, -14, 15, -16.
𝑑𝑑I − 𝑐𝑐** + 𝑑𝑑II tan 𝜃𝜃
32𝑑𝑑
𝑑𝑑 +3
I − 𝑐𝑐* + 𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃
𝑧𝑧𝑧𝑧'X
'Y =
− 𝑐𝑐* + 𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃
'X = 2𝑑𝑑 +
3
3 𝑑𝑑I
𝑧𝑧'Y = 2𝑑𝑑 + 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐* + 𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃
I
3
𝑧𝑧'Y =
− 𝑐𝑐* + 𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃
3
𝑧𝑧'J
𝑧𝑧'K
𝑧𝑧'X
𝑧𝑧'Y
𝑧𝑧'𝑧𝑧,'𝑧𝑧,6𝑧𝑧,6𝑧𝑧,J𝑧𝑧,J𝑧𝑧,K𝑧𝑧,K𝑧𝑧,X𝑧𝑧,X𝑧𝑧,Y𝑧𝑧,Y𝑧𝑧,'J
, 𝑧𝑧,'K
, 𝑧𝑧,'X
, 𝑧𝑧,'Y
3𝑏𝑏3𝑏𝑏−−2𝑑𝑑2𝑑𝑑
I I
tan𝜃𝜃 𝜃𝜃
𝑧𝑧'Z==𝑐𝑐*𝑐𝑐*−−𝑑𝑑I𝑑𝑑−
tan
𝑧𝑧'Z
I−
44
𝑏𝑏
−
2𝑑𝑑
𝑏𝑏 − 2𝑑𝑑I I
𝑧𝑧'[==𝑐𝑐*𝑐𝑐*−−𝑑𝑑I𝑑𝑑−
tan𝜃𝜃 𝜃𝜃
𝑧𝑧'[
tan
I−
44
3𝑏𝑏3𝑏𝑏−−2𝑑𝑑2𝑑𝑑
I I
𝑧𝑧'\==𝑑𝑑 𝑑𝑑−−𝑐𝑐*𝑐𝑐*++
tan𝜃𝜃 𝜃𝜃
𝑧𝑧'\
tan
44
𝑏𝑏 𝑏𝑏−−2𝑑𝑑2𝑑𝑑
I I
𝑧𝑧6^==𝑑𝑑 𝑑𝑑−−𝑐𝑐*𝑐𝑐*++
tan𝜃𝜃 𝜃𝜃
𝑧𝑧6^
tan
44
𝑧𝑧'Z
𝑧𝑧'[
𝑧𝑧'\
𝑧𝑧6^
, 𝑧𝑧,'[
, 𝑧𝑧,'\
, 𝑧𝑧,6^
𝑧𝑧'𝑧𝑧,'𝑧𝑧,6𝑧𝑧,6𝑧𝑧,J𝑧𝑧,J𝑧𝑧,K𝑧𝑧,K𝑧𝑧,X𝑧𝑧,X𝑧𝑧,Y𝑧𝑧,Y𝑧𝑧,Z𝑧𝑧,Z𝑧𝑧,[𝑧𝑧[𝑧𝑧'Z
ℎ ℎ++2𝑑𝑑2𝑑𝑑
I I
tan𝜃𝜃 𝜃𝜃
𝑧𝑧6'==
−−𝑐𝑐*𝑐𝑐*++𝑏𝑏 𝑏𝑏−−𝑑𝑑I𝑑𝑑Itan
𝑧𝑧6'
44
3ℎ3ℎ++2𝑑𝑑2𝑑𝑑
I I
𝑧𝑧66==
tan𝜃𝜃 𝜃𝜃
𝑧𝑧66
−−𝑐𝑐*𝑐𝑐*++(𝑏𝑏(𝑏𝑏−−𝑑𝑑I𝑑𝑑)I )tan
44
ℎ ℎ++2𝑑𝑑2𝑑𝑑
I I
𝑧𝑧6J==
tan𝜃𝜃 𝜃𝜃
𝑧𝑧6J
−−𝑐𝑐*𝑐𝑐*++𝑑𝑑I𝑑𝑑Itan
44
3ℎ3ℎ++2𝑑𝑑2𝑑𝑑
I I
𝑧𝑧6K==
tan𝜃𝜃 𝜃𝜃
𝑧𝑧6K
−−𝑐𝑐*𝑐𝑐*++𝑑𝑑I𝑑𝑑Itan
44
𝑀𝑀𝑀𝑀
&'&' )*)*
tan
𝜆𝜆 𝜆𝜆==tan
𝑀𝑀𝑀𝑀
)+)+
, 𝑀𝑀
, 𝑀𝑀
𝑃𝑃)𝑃𝑃,)𝑀𝑀
, 𝑀𝑀
)+)+
)*)*
𝑀𝑀𝑀𝑀
&'&' )*)* ≈ 𝜆𝜆
tan
𝜆𝜆'𝜆𝜆'==tan
≈ 𝜆𝜆
𝑀𝑀𝑀𝑀
)+)+
𝑀𝑀𝑀𝑀
&'&' )*)* ≈ 𝜆𝜆
tan
≈ 𝜆𝜆
𝜆𝜆'𝜆𝜆'==tan
𝑀𝑀𝑀𝑀
)+)+
80 | Ingeniería Civil 189/2018
My
-1, 2, -3, 4.
-1, 2, -3, 4, 5(0), 6(0).
-1, 2, -3, 4, 5(0), 6(0), -7, 8.
-1, 2, -3, 4, 5(0), 6(0), -7, 8, -9, 10, -11, 12.
-1, 2, -3, 4, -9, 10, -11, 12, -13, -14, 15, 16.
1, 2, -3, -4, 5, -6, 13, -14, 15, -16, 17, 18,
-19, -20.
-1, 2, -3, 4, 5(0), 6(0), -13, -14, 15, 16, -17,
18, -19, 20.
1, 2, -3, -4, 5, -6, 7(0), 8(0) , 17, 18, -19, -20,
21, -22, 23, -24.
-1, 2, -3, 4, 5(0), 6(0), -7, 8, -17, 18, -19, 20,
-21, -22, 23, 24.
𝑀𝑀)* = 𝐶𝐶3 𝑏𝑏
− 𝑧𝑧 + 𝑆𝑆 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑= + 𝑆𝑆6 𝑏𝑏
− 𝑑𝑑 +. . . . . 𝑆𝑆 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑=
𝑏𝑏
2 − 𝑧𝑧++ + 𝑆𝑆'' 𝑏𝑏
2 − 𝑑𝑑= + 𝑆𝑆6 𝑏𝑏
2 − 𝑑𝑑== +. . . . . 𝑆𝑆)) 𝑏𝑏
2 𝑑𝑑=
𝑏𝑏
𝑏𝑏
𝑏𝑏
𝑀𝑀
=
𝐶𝐶
)*
3
𝑏𝑏
𝑏𝑏
𝑏𝑏
𝑏𝑏 −
𝑀𝑀
=
𝐶𝐶
−
𝑧𝑧
+
𝑆𝑆
−
𝑑𝑑
+
𝑆𝑆
−
𝑑𝑑= +.
. . . . 𝑆𝑆) 𝑏𝑏
−
𝑑𝑑=
)* = 𝐶𝐶3
+
'
=
6
𝑀𝑀
−
−
−
3 2−
2
2
2
𝑀𝑀)*
− 𝑧𝑧𝑧𝑧++ +
+ 𝑆𝑆
𝑆𝑆'' 2
− 𝑑𝑑
𝑑𝑑== +
+ 𝑆𝑆
𝑆𝑆66 2
− 𝑑𝑑
𝑑𝑑== +.
+. .. .. .. .. 𝑆𝑆
𝑆𝑆)) 2
− 𝑑𝑑
𝑑𝑑==
)* = 𝐶𝐶3 2
2
2
2
2
2
2
2
2
Σ𝑀𝑀)+ = 0
=0
Σ𝑀𝑀
)+
Σ𝑀𝑀
)+ =
=0
0
Σ𝑀𝑀
Σ𝑀𝑀)+
)+ = 0 ℎ
ℎ
ℎ
ℎ
𝑀𝑀)+ = 𝐶𝐶3 ℎ
− 𝑧𝑧* + 𝑆𝑆' ℎ
− 𝑑𝑑´ + 𝑆𝑆6 ℎ
− 𝑑𝑑´ +. . . . . 𝑆𝑆) ℎ
− 𝑑𝑑´
ℎ
ℎ
ℎ
ℎ
mayor
número
de +
barras
situadas
bordeando
el. perímetro
2
2
2
2 − 𝑑𝑑´
ℎ
ℎ
ℎ
ℎ
𝑀𝑀
=
𝐶𝐶
−
𝑧𝑧
𝑆𝑆
−
𝑑𝑑´
+
𝑆𝑆
−
𝑑𝑑´
+.
.
.
.
𝑆𝑆
)+
3
*
'
6
)
ℎ
ℎ
ℎ
ℎ
𝑀𝑀
=
𝐶𝐶
−
𝑧𝑧
+
𝑆𝑆
−
𝑑𝑑´
+
𝑆𝑆
−
𝑑𝑑´
+.
.
.
.
.
𝑆𝑆
−
𝑑𝑑´
)+ = 𝐶𝐶3
3
*
'
6
)
𝑀𝑀
−
−
−
−
de
la=sección.
2
2
2
2
𝑀𝑀)+
𝐶𝐶3 2
− 𝑧𝑧𝑧𝑧** +
+ 𝑆𝑆
𝑆𝑆'' 2
− 𝑑𝑑´
𝑑𝑑´ +
+ 𝑆𝑆
𝑆𝑆66 2
− 𝑑𝑑´
𝑑𝑑´ +.
+. .. .. .. .. 𝑆𝑆
𝑆𝑆)) 2
− 𝑑𝑑´
𝑑𝑑´
)+
2
2
2
2
2
2
2
2
0,85𝑓𝑓3 ´𝐴𝐴′
𝐶𝐶3 =Considerando
la
proyección
sobre
el
eje
y
= 0,85𝑓𝑓
´𝐴𝐴′
𝐶𝐶
3
0,85𝑓𝑓
𝐶𝐶
3 =
=
0,85𝑓𝑓333 ´𝐴𝐴′
´𝐴𝐴′
𝐶𝐶
𝐶𝐶
𝜀𝜀333´ = 0,85𝑓𝑓
𝜀𝜀I' 3 ´𝐴𝐴′
𝜀𝜀I6 𝜀𝜀IJ 𝜀𝜀IK
=
=
[5]
𝜀𝜀𝜀𝜀3 ´´ 𝜀𝜀𝜀𝜀I' 𝜀𝜀𝜀𝜀I6 = 𝜀𝜀𝜀𝜀IJ = 𝜀𝜀𝜀𝜀IK
𝑧𝑧
𝑧𝑧IJ
𝑧𝑧IK
I'
𝜀𝜀𝜀𝜀𝑐𝑐33*´´ =
𝜀𝜀
'
6 = 𝜀𝜀
J = 𝜀𝜀
K
= 𝜀𝜀I' =
= 𝜀𝜀𝑧𝑧I6
I6
𝜀𝜀𝑧𝑧IJ
𝜀𝜀𝑧𝑧IK
I' = 𝜀𝜀𝑧𝑧I6 =
IJ =
IK
=
=
𝑐𝑐𝑐𝑐3* =
𝑧𝑧
'
6
J
K
𝑐𝑐𝑐𝑐** =
𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧'' = 𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧66 = 𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧JJ = 𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧KK
P
Donde:
6
K
𝑧𝑧'* = 𝑐𝑐*'− 𝑑𝑑´ −
𝑏𝑏 −J𝑑𝑑= 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
𝜀𝜀I' = PQQ 𝜀𝜀3 ´
3PRQ
𝑧𝑧𝑧𝑧' =
𝜀𝜀𝜀𝜀I' =
= 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐** −
− 𝑑𝑑´
𝑑𝑑´ −
− 𝑏𝑏
𝑏𝑏 −
− 𝑑𝑑
𝑑𝑑= 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
= 3PPRQQ 𝜀𝜀𝜀𝜀𝜀𝜀33 ´´´
𝑧𝑧𝑧𝑧'' =
𝜀𝜀𝜀𝜀I'
3R 𝜀𝜀3 ´
* − 𝑑𝑑´ − 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑=
= 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
I' =
' = 𝑐𝑐* − 𝑑𝑑´ − 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑= 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
I' = 3
3PR 3
𝑧𝑧6 = 𝑐𝑐* − 𝑑𝑑´ − 𝑑𝑑= 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
𝜀𝜀I6 = PRSS 𝜀𝜀3 ´
3PR
𝑧𝑧𝑧𝑧6 =
𝑐𝑐 − 𝑑𝑑´
− 𝑑𝑑
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
𝜀𝜀𝜀𝜀I6 =
= 3PPRSSS 𝜀𝜀𝜀𝜀𝜀𝜀33 ´´´
𝑧𝑧𝑧𝑧66 =
= 𝑐𝑐𝑐𝑐*** −
− 𝑑𝑑´
𝑑𝑑´ −
− 𝑑𝑑
𝑑𝑑=== 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
𝜀𝜀𝜀𝜀I6
3R 𝜀𝜀3 ´
I6 =
6 = 𝑐𝑐* − 𝑑𝑑´ − 𝑑𝑑= 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
I6 = 3
3PR 3
𝑧𝑧J = 𝑐𝑐* − 𝑑𝑑 + 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑= 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
𝜀𝜀IJ = PRTT 𝜀𝜀3 ´
3PRT
𝑧𝑧𝑧𝑧J =
𝑐𝑐 − 𝑑𝑑
+ 𝑏𝑏
− 𝑑𝑑
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
𝜀𝜀𝜀𝜀IJ =
P 𝜀𝜀 ´
IJ =
𝑧𝑧𝑧𝑧JJ =
= 𝑐𝑐𝑐𝑐*** −
− 𝑑𝑑
𝑑𝑑 +
+ 𝑏𝑏
𝑏𝑏 −
− 𝑑𝑑
𝑑𝑑=== 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
𝜀𝜀𝜀𝜀IJ
= 33PRRTT 𝜀𝜀𝜀𝜀𝜀𝜀333 ´´´
J = 𝑐𝑐* − 𝑑𝑑 + 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑= 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
IJ = 3
3PR 3
𝑧𝑧K = 𝑐𝑐* − 𝑑𝑑 + 𝑑𝑑= 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
𝜀𝜀IK = PRUU 𝜀𝜀3 ´
3PRU
𝑧𝑧𝑧𝑧K =
𝑐𝑐𝑐𝑐* −
𝑑𝑑
+
𝑑𝑑
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
𝜀𝜀𝜀𝜀IK =
P 𝜀𝜀 ´´
=
−
𝑑𝑑
+
𝑑𝑑
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
=
3PU 𝜀𝜀3
*
=
IK
3
𝑧𝑧𝑧𝑧KK =
=
𝑐𝑐
−
𝑑𝑑
+
𝑑𝑑
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
𝜀𝜀
=
*
=
IK
𝜀𝜀IK = 33RRRU 𝜀𝜀𝜀𝜀33 ´´
K = 𝑐𝑐* − 𝑑𝑑 + 𝑑𝑑= 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
3R
𝑧𝑧' = 𝑐𝑐* − 𝑑𝑑I − 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑I tan (𝜃𝜃)
En
tabla
se−
ilustran
las ecuaciones de las distancias
𝑐𝑐𝑐𝑐*la−
𝑑𝑑
tan
𝑧𝑧𝑧𝑧' =
II −
II(𝜃𝜃)
𝑑𝑑
−1
𝑏𝑏
−
𝑑𝑑
tan (𝜃𝜃)
(𝜃𝜃)
𝑑𝑑𝑏𝑏
tan𝑑𝑑
=
𝑐𝑐𝑐𝑐** −
−
𝑑𝑑
𝑏𝑏
−
𝑑𝑑
𝑧𝑧'6 =
I−
=
−
𝑑𝑑
𝑏𝑏II distribuciones
−
𝑑𝑑II(𝜃𝜃)tan
tan (𝜃𝜃)
(𝜃𝜃) de barras. En las columnas
z𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧''6para
II −
=
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑑𝑑**diferentes
−
𝑑𝑑
−
𝑑𝑑
tan
=
−
𝑑𝑑
−
𝑑𝑑
tan
(𝜃𝜃)
𝑐𝑐*II+− 𝑑𝑑
𝑏𝑏II−tan
𝑑𝑑I (𝜃𝜃)
tan 𝜃𝜃
𝑧𝑧6J = 𝑐𝑐𝑐𝑐**−−
−𝑐𝑐a𝑑𝑑
𝑑𝑑I+−derecha
𝑑𝑑
tan
(𝜃𝜃)
ubicadas
ofrecen
los signos de los momen*−
I−
𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧6J6 =
= 𝑑𝑑
𝑏𝑏
𝑑𝑑
tan
𝜃𝜃
II𝜃𝜃 se
𝑑𝑑
−
𝑐𝑐𝑐𝑐**la
+
𝑏𝑏
−
𝑑𝑑
tan
𝜃𝜃
𝑑𝑑
tan
I
𝑧𝑧𝑧𝑧JKJ =
=
𝑑𝑑
−
+
𝑏𝑏
−
𝑑𝑑
tan
𝑑𝑑
−
𝑐𝑐𝑐𝑐*** +
𝑏𝑏I tan
−para
𝑑𝑑II𝜃𝜃 cada
tan 𝜃𝜃
𝜃𝜃barra asumiendo los ejes coortos
en
ambos
ejes
𝑧𝑧𝑧𝑧JK, =
=
𝑑𝑑
−
+
𝑑𝑑
=
𝑑𝑑
−
𝑐𝑐
+
𝑑𝑑
tan
𝜃𝜃
𝑧𝑧
,
𝑧𝑧
,
𝑧𝑧
6 𝑑𝑑 J
𝑧𝑧𝑧𝑧'KK =
− 𝑐𝑐K** +
𝑑𝑑II tan
𝜃𝜃
*+
I tan 𝜃𝜃 de la sección. También se especifica
𝑧𝑧𝑧𝑧'K,, =
𝑧𝑧𝑧𝑧6 ,,𝑑𝑑𝑧𝑧𝑧𝑧J−,, 𝑧𝑧𝑧𝑧𝑐𝑐en
denados
el𝑑𝑑centro
𝑧𝑧𝑧𝑧''X,, =
𝑧𝑧𝑧𝑧66 ,,𝑐𝑐𝑧𝑧𝑧𝑧*JJ−
,, 𝑧𝑧𝑧𝑧KKK𝑑𝑑I − 𝑏𝑏
tan
𝜃𝜃
𝑏𝑏
' 6la simbología
J K
con
𝑏𝑏
2 tan(0)𝜃𝜃 en aquellos casos en los que debido
= 𝑐𝑐𝑐𝑐* −
− 𝑑𝑑
𝑑𝑑I −
− 𝑏𝑏
𝑏𝑏
tan
𝜃𝜃
𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧XX =
*
I
𝑏𝑏
=
𝑐𝑐
−
𝑑𝑑
−
tan
𝜃𝜃
2
X
*
I
a𝑧𝑧𝑧𝑧Xla=
posición
de
las
y a la de los ejes coordenados no
2
𝑐𝑐
−
𝑑𝑑
−
tanbarras
𝜃𝜃
*
I
2tan
𝜃𝜃
Y = 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐* + 𝑏𝑏
2
𝑏𝑏
2
𝑏𝑏
se
= 𝑑𝑑
𝑑𝑑 −
− 𝑐𝑐𝑐𝑐momento
+ 𝑏𝑏 tan
tan 𝜃𝜃
𝜃𝜃resistente respecto a uno u otro de los
*
𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧YY, genera
=
+
*, 𝑧𝑧
+
tan
𝑧𝑧6 ,𝑑𝑑
Y
2𝑧𝑧de
𝑧𝑧'Y =
=
𝑑𝑑𝑧𝑧J−
−, 𝑧𝑧𝑐𝑐𝑐𝑐K**falta
+X ,2
tan 𝜃𝜃
𝜃𝜃
ejes
,,ℎ𝑧𝑧𝑧𝑧J ,,la
𝑧𝑧𝑧𝑧K ,, 𝑧𝑧𝑧𝑧X ,,2
𝑧𝑧𝑧𝑧'Y,, 𝑧𝑧𝑧𝑧6por
2𝑧𝑧𝑧𝑧YY brazo.
'
6
J
K
X
𝑧𝑧𝑧𝑧Desarrollando
,
𝑧𝑧
,
𝑧𝑧
,
𝑧𝑧
𝑧𝑧𝑧𝑧'Z,, =
6 ,,ℎ𝑧𝑧
J
K
X
Y
−
𝑐𝑐
+
𝑏𝑏
−
𝑑𝑑
𝜃𝜃
ecuaciones
generales se crean hojas
𝑧𝑧J , 𝑧𝑧K*, 𝑧𝑧X , 𝑧𝑧Y esas
I tan
' 6ℎ
2−
ℎ
𝑐𝑐𝑐𝑐* +
𝑏𝑏
−
𝑑𝑑
tan
𝜃𝜃
𝑧𝑧𝑧𝑧Z =
I
ℎ
=
−
+
𝑏𝑏
−
𝑑𝑑
tan
𝜃𝜃
de
cálculo
en
MathCAD
parten
de la siguiente filoso*
II tanque
ℎ
−
𝑐𝑐
+
𝑏𝑏
−
𝑑𝑑
𝜃𝜃
𝑧𝑧𝑧𝑧ZZ =
2
*
2−
=ℎ
− 𝑐𝑐𝑐𝑐* +
+ 𝑑𝑑𝑏𝑏 tan
− 𝑑𝑑I𝜃𝜃 tan 𝜃𝜃
2
𝑧𝑧Z[ =
I
2
fía:
(ESHANI
ℎ
2 − 𝑐𝑐** + 𝑑𝑑1986)
ℎ
𝑧𝑧𝑧𝑧[ =
tan
𝜃𝜃
−, 𝑧𝑧𝑐𝑐𝑐𝑐*, 𝑧𝑧+
𝑑𝑑𝑧𝑧II tan
𝜃𝜃
=
2
𝑧𝑧6 ,ℎ
𝑧𝑧𝑧𝑧'[[, =
J 𝑐𝑐K* +
2𝑧𝑧−
=
−
+Z ,𝑑𝑑
𝑑𝑑II[tan
tan 𝜃𝜃
𝜃𝜃
𝑧𝑧𝑧𝑧J ,, 𝑧𝑧𝑧𝑧K*,, 𝑧𝑧𝑧𝑧Z ,, 𝑧𝑧𝑧𝑧2𝑏𝑏
𝑧𝑧𝑧𝑧'[,, 𝑧𝑧𝑧𝑧6 ,,2
2
−
𝑑𝑑
[
Ila confección de Diagramas de Inte6
J
K
Z
[
La
base
está
en
𝑧𝑧𝑧𝑧1.
,
𝑧𝑧
,
𝑧𝑧
,
𝑧𝑧
𝑧𝑧𝑧𝑧''\ ,, =
6 ,,𝑐𝑐𝑧𝑧
J
K
Z
[
−
𝑑𝑑
−
tan 𝜃𝜃
2𝑏𝑏
𝑑𝑑
*J , 𝑧𝑧K ,I𝑧𝑧Z , 𝑧𝑧
' 6 𝑧𝑧
[ −
II
2𝑏𝑏
−
𝑑𝑑
3
2𝑏𝑏
−
𝑑𝑑
𝑐𝑐
−
𝑑𝑑
−
𝜃𝜃
𝑧𝑧𝑧𝑧\ =
I tan
racción
Superficies
de Contorno de Carga.
*
II − o
2𝑏𝑏
−
𝑑𝑑
=
𝑐𝑐
−
𝑑𝑑
𝜃𝜃
I
\
*
𝑏𝑏 +
𝑐𝑐𝑐𝑐* −
𝑑𝑑
tan
𝜃𝜃
𝑧𝑧𝑧𝑧\ =
3 𝑑𝑑I tan
I−
3
−
𝑑𝑑
−
tan
𝜃𝜃
\ =
*
I
3
𝑧𝑧'^
=
𝑐𝑐
−
𝑑𝑑
−
tan
𝜃𝜃
2. Se
de la sección ante la
𝑏𝑏 +
+
𝑑𝑑I la resistencia
* comprueba
I
3
𝑏𝑏
𝑑𝑑
3 𝑑𝑑II tan 𝜃𝜃
𝑏𝑏
𝑧𝑧𝑧𝑧'^ =
−
𝑑𝑑
*
II −
𝑏𝑏 +
+
𝑑𝑑de
= 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐combinación
−
𝑑𝑑
−
𝜃𝜃
carga
a
que
esta
está sometida.
II tan
*
2𝑏𝑏
−
𝑑𝑑
𝑧𝑧𝑧𝑧'^
−
𝑑𝑑
−
tan
𝜃𝜃
3
'^ =
*
I
3 tan
= 𝑐𝑐*−−𝑐𝑐𝑑𝑑I+−2𝑏𝑏 −
3
𝑧𝑧'^
tan 𝜃𝜃𝜃𝜃alternativas de: dimensiones de
'' = 𝑑𝑑
*de probar
3 𝑑𝑑
Parte
2𝑏𝑏 −
−
𝑑𝑑IIvarias
3
2𝑏𝑏
𝑑𝑑
𝑧𝑧𝑧𝑧'' 3.
=
𝑑𝑑
−
𝑐𝑐
+
tan
𝜃𝜃
2𝑏𝑏 −
𝑑𝑑I tan
= 𝑑𝑑
− 𝑐𝑐𝑐𝑐** +
𝜃𝜃
𝑧𝑧𝑧𝑧''
tan
𝜃𝜃
3
'' =
calidades
3𝑑𝑑I Itan
= 𝑑𝑑
𝑑𝑑la−
−sección,
𝑐𝑐* +
+ 𝑏𝑏 +
tan𝜃𝜃de
𝜃𝜃 los materiales, cantidad y dis3
𝑧𝑧''
+
𝑑𝑑
'6 = 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐*
* + 𝑏𝑏
3
I
𝑏𝑏
+
𝑑𝑑
3
I
𝑏𝑏
+
𝑑𝑑
refuerzo,
= 𝑑𝑑
𝑑𝑑tribución
− 𝑐𝑐𝑐𝑐* +
+ 𝑏𝑏 del
tan 𝜃𝜃
𝜃𝜃 hasta comprobar que la comI tan
+
𝑑𝑑
𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧'6
=
−
'6
𝑑𝑑
, 𝑧𝑧K𝑐𝑐𝑐𝑐,**𝑧𝑧+
, 𝑧𝑧''I ,tan
𝑧𝑧'6 𝜃𝜃
' , 𝑧𝑧=
6 , 𝑧𝑧
J−
\ , 𝑧𝑧'^3
3
𝑧𝑧'6
=
𝑑𝑑binación
−
+
tan
𝜃𝜃
3, carga
,, 𝑧𝑧𝑧𝑧K2𝑑𝑑
,,*𝑧𝑧𝑧𝑧I\ ,, 𝑧𝑧𝑧𝑧de
𝑧𝑧𝑧𝑧'' ,, 𝑧𝑧𝑧𝑧'6escogida esté dentro del Diagramas
𝑧𝑧𝑧𝑧'6
𝑑𝑑
' ,, 𝑧𝑧
6 ,, 𝑧𝑧
J+
'^3
𝑧𝑧
𝑧𝑧
,
'
6
J
K
\
'^
''
'6
,
𝑧𝑧
,
𝑧𝑧
,
𝑧𝑧
,
𝑧𝑧
,
𝑧𝑧
6 ,, 𝑧𝑧
J
K
\
'^
''
'6
−
𝑐𝑐
+
(𝑏𝑏
−
𝑧𝑧𝑧𝑧'''J,, 𝑧𝑧𝑧𝑧=
, 𝑧𝑧K2𝑑𝑑
, 𝑧𝑧 , 𝑧𝑧 *, 𝑧𝑧'' , 𝑧𝑧'6 𝑑𝑑I ) tan 𝜃𝜃
𝑑𝑑J+
+
2𝑑𝑑
6 𝑧𝑧
𝑑𝑑
32𝑑𝑑III\ −'^
𝑑𝑑
+
−
𝑑𝑑
𝜃𝜃
𝑧𝑧𝑧𝑧'J =
II )
𝑑𝑑
+
2𝑑𝑑
=
− 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐** +
+ (𝑏𝑏
(𝑏𝑏
−
𝑑𝑑
) tan
tan
𝜃𝜃
+
(𝑏𝑏
−
𝑑𝑑
tan
𝜃𝜃
𝑧𝑧'J
3
'J =
*+
I)
3 𝑑𝑑II −
= 2𝑑𝑑
−
𝑐𝑐
+
(𝑏𝑏
−
𝑑𝑑
)
tan
𝜃𝜃𝜃𝜃
*
I
3
𝑧𝑧𝑧𝑧'J
=
−
𝑐𝑐
+
𝑏𝑏
−
𝑑𝑑
tan
2𝑑𝑑
+
𝑑𝑑
'K
*
I
3
I
2𝑑𝑑
+
𝑑𝑑
3
I
2𝑑𝑑
+
𝑑𝑑
= 2𝑑𝑑 + 𝑑𝑑I −
− 𝑐𝑐𝑐𝑐* +
+ 𝑏𝑏
𝑏𝑏 −
− 𝑑𝑑
𝑑𝑑I tan
tan 𝜃𝜃
𝜃𝜃
𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧'K
=
'K = 𝑑𝑑 +32𝑑𝑑II − 𝑐𝑐*
I
𝑏𝑏
𝑑𝑑
𝑧𝑧𝑧𝑧'K
= +3
𝑐𝑐𝑐𝑐** +
+
𝑏𝑏 −
−tan
𝑑𝑑II 𝜃𝜃tan
tan 𝜃𝜃
𝜃𝜃
'K
32𝑑𝑑I −
−
+
𝑑𝑑
'X = 𝑑𝑑
*
I
3
+
32𝑑𝑑
II − 𝑐𝑐 + 𝑑𝑑 tan 𝜃𝜃
𝑑𝑑
+
2𝑑𝑑
= 𝑑𝑑
*
I
𝑑𝑑
+
2𝑑𝑑
𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧'X
=
−
𝑐𝑐
+
𝑑𝑑
tan
𝜃𝜃
'X
I tan 𝜃𝜃
𝑑𝑑II −
𝑐𝑐** +
3
'X =
3
= 2𝑑𝑑 +
−
+𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑II tan
tan 𝜃𝜃𝜃𝜃
3
𝑧𝑧𝑧𝑧'X
− 𝑐𝑐𝑐𝑐** +
+
𝑑𝑑
'Y = 2𝑑𝑑
I
3
I
2𝑑𝑑
+
𝑑𝑑
3
I
2𝑑𝑑
+
𝑑𝑑
𝑧𝑧𝑧𝑧'Y =
−
𝑐𝑐
+
𝑑𝑑
tan
I
*
I
2𝑑𝑑
+
𝑑𝑑
=
− 𝑐𝑐𝑐𝑐* +
+ 𝑑𝑑I tan
tan 𝜃𝜃
𝜃𝜃
I−
𝑧𝑧𝑧𝑧'Y
3
'Y =
3
− 𝑐𝑐** + 𝑑𝑑
𝑑𝑑II tan 𝜃𝜃
𝜃𝜃
'Y =
3
3
Figura 5. Hoja de cálculo empleando el diagrama de interacción.
Columnas a flexo compresión...
de Interacción o de la Superficies de Contorno de
Carga, garantizándose así la resistencia de la sección.
𝑧𝑧' , 𝑧𝑧6 , 𝑧𝑧J , 𝑧𝑧K , 𝑧𝑧X , 𝑧𝑧Y , 𝑧𝑧'J , 𝑧𝑧'K , 𝑧𝑧'X , 𝑧𝑧'Y
Siguiendo las superficies de3𝑏𝑏
falla
antes
enunciadas, se
− 2𝑑𝑑
I
tan
=solución
𝑐𝑐* − 𝑑𝑑I −
𝜃𝜃
emplean dos vías
del problema:
𝑧𝑧'𝑧𝑧,'Z
𝑧𝑧de
𝑧𝑧'K , 𝑧𝑧'X
, 𝑧𝑧'Y
6 , 𝑧𝑧J , 𝑧𝑧K , 𝑧𝑧X , 𝑧𝑧Y , 𝑧𝑧'J , 4
𝑏𝑏
−
2𝑑𝑑
3𝑏𝑏
1era vía: a través de la construcción
I de Diagramas de
tan 𝜃𝜃
𝑧𝑧 𝑧𝑧 ==𝑐𝑐 𝑐𝑐 −−𝑑𝑑𝑑𝑑 −−
Interacción. 'Z'[ * * I I
44
3𝑏𝑏−−2𝑑𝑑2𝑑𝑑
𝑏𝑏
, 𝑧𝑧6 , 𝑧𝑧J , 𝑧𝑧K , 𝑧𝑧X , 𝑧𝑧para
I 𝑧𝑧I'Contorno
Y , 𝑧𝑧'J , 𝑧𝑧
'K , 𝑧𝑧'X , 𝑧𝑧'Y
2da vía: graficando
Superficie
de
una
𝑧𝑧'\==𝑐𝑐*𝑑𝑑 la
− 𝑑𝑑
𝑐𝑐I* −
+
tan
𝑧𝑧'[
−
tan
𝜃𝜃 𝜃𝜃
3𝑏𝑏 − 2𝑑𝑑I
4
4
tan 𝜃𝜃
=
𝑐𝑐
−
𝑑𝑑
−
𝑧𝑧
'Z
*
I
carga dada.
4
𝑏𝑏 − 2𝑑𝑑I
3𝑏𝑏
𝑏𝑏
−
2𝑑𝑑
I
𝑧𝑧
=
𝑑𝑑
−
𝑐𝑐
+
𝑧𝑧
=
𝑑𝑑
−
𝑐𝑐
+
tan
𝜃𝜃
En la elaboración
de los
de Interacción se
'\6^
* * Diagramas
44 𝑧𝑧'[ = 𝑐𝑐* − 𝑑𝑑I − 4 tan 𝜃𝜃
sigue el procedimiento convencional,
3𝑏𝑏 − 2𝑑𝑑I
𝑏𝑏 − 2𝑑𝑑I solo que se requerirá
𝑧𝑧'\ =𝜃𝜃 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐* +
tan 𝜃𝜃
𝑧𝑧6^
tan
,=
𝑧𝑧6tanteos
,𝑑𝑑𝑧𝑧J−, 𝑧𝑧𝑐𝑐K*, 𝑧𝑧+
𝑧𝑧determinar
, 𝑧𝑧'\
, 𝑧𝑧6^ 4
𝑧𝑧'de
de la realización
para
inclinación
X , 𝑧𝑧Y , 4
Z , 𝑧𝑧[ 𝑧𝑧'Z , 𝑧𝑧'[la
𝑏𝑏 − 2𝑑𝑑I
+ 2𝑑𝑑I
𝑧𝑧6^ =la
𝑑𝑑 − 𝑐𝑐* +
tan 𝜃𝜃
de la línea neutra
θ=
. Elℎ elemento
−, 𝑐𝑐𝑧𝑧*base
+
𝑏𝑏será
−, 𝑧𝑧𝑑𝑑I , relación
tan, 𝑧𝑧𝜃𝜃 4entre
𝑧𝑧,6'
𝑧𝑧
,
𝑧𝑧
,
𝑧𝑧
,
𝑧𝑧
,
𝑧𝑧
,
𝑧𝑧
𝑧𝑧
𝑧𝑧
𝑧𝑧
4
'
6
J
K
X
Y
Z
[
'Z
'[
'\
6^
los momentos flectores en ambos ejes,𝑧𝑧es, 𝑧𝑧 decir
el ángulo λ
+ 2𝑑𝑑I
ℎ3ℎ
+ 2𝑑𝑑
' 6 , 𝑧𝑧J , 𝑧𝑧K , 𝑧𝑧X , 𝑧𝑧Y , 𝑧𝑧Z , 𝑧𝑧[ 𝑧𝑧'Z , 𝑧𝑧'[ , 𝑧𝑧'\ , 𝑧𝑧6^
definido en la 𝑧𝑧figura
la 𝑐𝑐−
ecuación
1.
𝑧𝑧66==1 y porI −
−I 𝑑𝑑ℎtan
tan
+* +𝑏𝑏 (𝑏𝑏
− 𝑑𝑑
𝜃𝜃I 𝜃𝜃
I+) 2𝑑𝑑
6'
* 𝑐𝑐
− 𝑐𝑐* + 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃
𝑧𝑧6' =
44
4
Entonces los pasos
ℎ a+seguir
2𝑑𝑑I son:
3ℎ
3ℎ + 2𝑑𝑑
𝑧𝑧6J==
𝑧𝑧66
− 𝑐𝑐* + 𝑑𝑑
tan
=
(𝑏𝑏I𝑧𝑧66
−
𝑑𝑑I )𝜃𝜃 tan I𝜃𝜃− 𝑐𝑐* + (𝑏𝑏 − 𝑑𝑑I ) tan
4
44
ℎ + 2𝑑𝑑I
+ 2𝑑𝑑
ℎ3ℎ
+ 2𝑑𝑑
1. Definir las dimensiones
I I de la sección
𝑧𝑧6J = y las−resisten𝑐𝑐* + 𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃
𝑧𝑧6K==
𝑧𝑧6J
− 𝑐𝑐−* 𝑐𝑐+* 𝑑𝑑+I 𝑑𝑑tan
𝜃𝜃 𝜃𝜃4
I tan
3ℎ + 2𝑑𝑑I
44
cias de los
materiales.
𝑧𝑧6K =
− 𝑐𝑐* + 𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃
3ℎ + 2𝑑𝑑I
4
𝑧𝑧6K =
− 𝑐𝑐* + 𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃
𝑀𝑀
)*
𝑀𝑀)*
2. Calcular 𝜆𝜆 = tan&'4
𝜆𝜆 = tan&'
𝑀𝑀)+
𝑀𝑀)+
𝑀𝑀
&' )*
𝜆𝜆
=
tan
3. Fijar un valor
la
posición de𝑃𝑃)la
línea
, 𝑀𝑀)+
, 𝑀𝑀)* neutra c y
𝑃𝑃) , 𝑀𝑀)+de
, 𝑀𝑀𝑀𝑀
)+
)*
asumir la inclinación de esta θ.
𝑀𝑀)*
𝜆𝜆' = tan&'
≈ 𝜆𝜆 . si no
4. Calcular 𝑃𝑃) , 𝑀𝑀)+ , 𝑀𝑀&'
𝑀𝑀comprobar
)*
)* y
𝑀𝑀)+
𝜆𝜆' = tan
≈ 𝜆𝜆
se cumple se modifica𝑀𝑀y)+
se retoman los pasos anteriores.
𝑀𝑀)*
𝑀𝑀)* otras c hasta
5. Repetir el
proceso
tan&'
≈ el
𝜆𝜆 Dia𝜆𝜆' =completar
&'para
𝜆𝜆' = tan
≈ 𝜆𝜆
𝑀𝑀)+
𝑀𝑀)*
grama de𝜆𝜆Interacción.
&'𝑀𝑀)+
= tan
≈ 𝜆𝜆
'
a
𝑀𝑀)+
𝑀𝑀)* S
𝑀𝑀)+ aQ
+
≤1
𝑀𝑀
)*
𝑀𝑀)=+
𝑀𝑀)=*
&'
En la figura𝜆𝜆'5=setan
muestra
un
ejemplo
de
diseño
para
re≈
𝜆𝜆
a
𝑀𝑀)+ 𝑀𝑀)* S
𝑀𝑀)+ aQ de:
a
solver una combinación
+
≤ 𝑀𝑀
1)+ a + 𝑀𝑀)* ≤ 1
𝑀𝑀)=+
𝑀𝑀)=* a
𝑀𝑀)=+
𝑀𝑀)=*
𝑀𝑀)* S
𝑀𝑀)+ aQ
Pu = 600kN
Maux
+ = 160kN.m
≤ 1 𝑀𝑀Mux =𝑀𝑀100kN.m
a
)*
)+
𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑀𝑀𝑀𝑀)=*
)=+
=
𝛽𝛽 =
)*
)+
+
≤ 1 𝑀𝑀)=+ 𝑀𝑀)=*
2
𝑀𝑀)=+
𝑀𝑀)=*
Se utilizará una
sección de
40x40cm
, fc´= 25MPa y rea
𝑀𝑀)*
𝑀𝑀)+ a
log 0,5
fuerzo G-60. La solución
+ se alcanza≤con
1𝛼𝛼 =8 barras Nº 25 colog 𝛽𝛽
𝑀𝑀)=+ 𝑀𝑀)+ 𝑀𝑀𝑀𝑀
)*
)=*
locadas en todo𝛽𝛽el=perímetro
= de la sección.
ijk ^,X
𝑀𝑀)=+ 𝑀𝑀)=*
ijk ^,X
𝑀𝑀)* ijk l
𝑀𝑀)+ ijk l
𝑀𝑀)*
𝑀𝑀)+
+
≤1
=
𝛽𝛽 =
𝑀𝑀)=+
𝑀𝑀)=*
𝑀𝑀log
)=+0,5 𝑀𝑀)=*
𝛼𝛼 =
ijk ^,X
ijk ^,X
log 𝛽𝛽
𝜙𝜙𝜙𝜙)* ijk l
𝜙𝜙𝑀𝑀)+ ijk l
log 0,5
+
≤1
𝜙𝜙𝜙𝜙)=+
𝜙𝜙𝑀𝑀)=*
𝛼𝛼 =
ijk ^,X
log ijk
𝛽𝛽 ^,X
𝑀𝑀)* ijk l ijk ^,X
𝑀𝑀)+ ijk l
ijk ^,X
+
ijk1
l
𝑀𝑀n* ijk l
𝑀𝑀n+ ≤
𝑀𝑀)=+ijk ^,X
𝑀𝑀)=* ijk ^,X
+
≤1
𝑀𝑀n=*
𝑀𝑀)* ijk𝑀𝑀ln=+
𝑀𝑀)+ ijk l
+
≤1
ijk
ijk ^,X 𝑀𝑀)=*
𝑀𝑀)=+
𝑃𝑃n^,X
l
𝜙𝜙𝜙𝜙)*𝑃𝑃) =ijk
𝜙𝜙𝑀𝑀)+ ijk l
𝜙𝜙
+
≤1
𝜙𝜙𝜙𝜙)=+ijk ^,X
𝜙𝜙𝑀𝑀)=* ijk ^,X
𝑃𝑃nl 600
𝜙𝜙𝜙𝜙)* 𝑃𝑃 ijk
𝜙𝜙𝑀𝑀)+ ijk l
=
) =
+
1 = 666,67𝑘𝑘𝑘𝑘
𝜙𝜙 ≤0,9
𝜙𝜙𝜙𝜙)=+ ijk ^,X
𝜙𝜙𝑀𝑀)=*ijk ^,X
l
𝑀𝑀n* 𝑃𝑃ijk
𝑀𝑀n+ ijk l
666,67
)
+
= ≤ 1 = 0,098
𝑀𝑀n=+ijk ^,X
𝑀𝑀n=* ijk𝑃𝑃=^,X 6814
𝑀𝑀n* ijk l
𝑀𝑀n+ ijk l
+
≤1
𝑀𝑀n=+ 𝑃𝑃n
𝑀𝑀n=*
𝑃𝑃) =
𝜙𝜙
𝑃𝑃n
𝑃𝑃) =
𝜙𝜙𝑃𝑃n 600
=
= 666,67𝑘𝑘𝑘𝑘
𝑃𝑃) =
𝜙𝜙
0,9
𝑃𝑃n 600
=
= 666,67𝑘𝑘𝑘𝑘
𝑃𝑃) =
𝑃𝑃) 𝜙𝜙666,67
0,9
=
= 0,098
𝑃𝑃=
6814
𝑃𝑃) 666,67
=
= 0,098
𝑃𝑃=
6814
Ingeniería Civil 189/2018 | 81
𝜃𝜃
Columnas a flexo compresión...
𝑧𝑧' , 𝑧𝑧6 , 𝑧𝑧J , 𝑧𝑧K , 𝑧𝑧X , 𝑧𝑧Y , 𝑧𝑧'J , 𝑧𝑧'K , 𝑧𝑧'X , 𝑧𝑧'Y
3𝑏𝑏 − 2𝑑𝑑I
tan 𝜃𝜃
4
𝑏𝑏 − 2𝑑𝑑I
𝑧𝑧'[ = 𝑐𝑐* − 𝑑𝑑I −
tan 𝜃𝜃
4
3𝑏𝑏 − 2𝑑𝑑I
𝑧𝑧'\ = 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐* +
tan 𝜃𝜃
4
𝑏𝑏 − 2𝑑𝑑I
𝑧𝑧6^ = 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐* +
tan 𝜃𝜃
4
𝑧𝑧'Z = 𝑐𝑐* − 𝑑𝑑I −
𝑧𝑧' , 𝑧𝑧6 , 𝑧𝑧J , 𝑧𝑧K , 𝑧𝑧X , 𝑧𝑧Y , 𝑧𝑧Z , 𝑧𝑧[ 𝑧𝑧'Z , 𝑧𝑧'[ , 𝑧𝑧'\ , 𝑧𝑧6^
ℎ + 2𝑑𝑑I
− 𝑐𝑐* + 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃
4
3ℎ
+
2𝑑𝑑
I
Figura 6.
de cálculo
𝑧𝑧66Hoja
=
− 𝑐𝑐* + empleando
(𝑏𝑏 − 𝑑𝑑I ) tan 𝜃𝜃 la superficie de contorno de carga.
4
ℎ + 2𝑑𝑑I
𝑧𝑧6J =
− 𝑐𝑐* + 𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃
4
En la obtención
de las Superficies de Contorno de Car3ℎ + 2𝑑𝑑I
𝑧𝑧6K =
− 𝑐𝑐* + 𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃
ga el elemento
es la carga de cálculo Pu,
4 caracterizador
𝑧𝑧6' =
como lo indica
𝑀𝑀)*su nombre. Estas superficies de contorno
𝜆𝜆 = tan&'
se construyen𝑀𝑀para
valores de λ entre 0 y π/2. El procedi)+
miento𝑃𝑃)se
completa
con:
, 𝑀𝑀)+
, 𝑀𝑀)*
𝑀𝑀
&' )*
𝜆𝜆' = tan
≈ 𝜆𝜆 de la posición de la línea neutra c e ir
1. Fijar
un
valor
𝑀𝑀)+
variando la inclinación de esta θ y comprobar que
𝜆𝜆' = tan&'
𝑀𝑀)*
≈ 𝜆𝜆
𝑀𝑀)+
2. Calcular Pn y comprobar
que fPn ≈ Pu. Si no se cuma
𝑀𝑀)*
𝑀𝑀)+ a
ple
se modifica
c≤y1se retoman los pasos anteriores.
+
𝑀𝑀)=+
𝑀𝑀)=*
3. Calcular Mnx, Mny, f, Mux y Muy
a
a
𝑀𝑀)+
)*
4. Repetir
el 𝑀𝑀proceso
para otras valores de l hasta com+
≤1
𝑀𝑀)=+
𝑀𝑀)=*
pletar la Superficie de Contorno.
Q
𝛽𝛽 =
S
𝑀𝑀)*
𝑀𝑀)+
=
𝑀𝑀)=+ 𝑀𝑀)=*
La figura 6 expone la solución dada al ejemplo anterior siguiendo
log 0,5 el procedimiento de construir la Superficie
𝛼𝛼 =
log 𝛽𝛽de Carga
de Contorno
ijk desarrollada
^,X
En resumen
en la explotación de
ijk ^,X la labor
𝑀𝑀)* ijk l
𝑀𝑀)+ ijk l
+
≤plantear
1
las hojas𝑀𝑀)=+
de cálculo𝑀𝑀permite
que:
)=*
ijk ^,X
ijk ^,X
l
l
• Las
HCijkresuelven
de la FCB a través de
𝜙𝜙𝜙𝜙)* elijkproblema
𝜙𝜙𝑀𝑀)+
+
≤1
𝜙𝜙𝜙𝜙
𝜙𝜙𝑀𝑀
)=+
)=*
la solución de las ecuaciones físicas, de compatibiijk ^,X
lidad ijky ^,Xequilibrio,
por lo que ofrecen un referente
𝑀𝑀n* ijk l
𝑀𝑀n+ ijk l
+
≤1
conceptual
a
los
estudiosos
del tema. Dada las po𝑀𝑀n=+
𝑀𝑀n=*
tencialidades antes expresadas las HC pueden con𝑃𝑃n
vertirse
en un valioso instrumento en manos de
𝑃𝑃) =
𝜙𝜙
estudiantes y proyectistas.
𝑃𝑃n 600
• La
de los resultados obtenidos en las hojas
=
= 666,67𝑘𝑘𝑘𝑘
𝑃𝑃) =validación
𝜙𝜙
0,9
de MathCAD mediante programas computacionales
𝑃𝑃) 666,67
de
tales como el MIDAS nos permite ofre=vanguardia
= 0,098
𝑃𝑃=
6814
cer a los usuarios docentes y profesionales una herramienta de diseño de columnas a FCB de fácil empleo
ya que presenta una interfaz muy sencilla y accesible.
• Se recomienda como herramienta de cálculo para el
diseño y comprobación de secciones de hormigón
armado de columnas sometidas a FCB las hojas de
82 | Ingeniería Civil 189/2018
cálculo que contienen los diagramas de interacción
antes que la superficies de contorno, dado principalmente por el gasto computacional.
3. RESISTENCIA NOMINAL Y RESISTENCIA ÚLTIMA
La resistencia última según la ACI 318 se plantea como:
(ACI 318-14)
Pu = f Pn
Mux = f Mnx
Muy = f Mny
El coeficiente f depende del valor de la deformación del
acero más traccionado, que es el situado en el lado opuesto a la fibra más comprimida, como se ilustra en la figura
2. La forma trapezoidal de la zona comprimida del hormigón la hace menos eficiente que una rectangular, pues requiere de un valor mayor de a =β1c para un mismo valor
de Cc = 0,85fc´A´, o para el mismo valor de A´. Entonces
si la carga está esviada, para un mismo valor de Pu, el valor
de c será mayor que si actuara en flexo-compresión recta,
por consiguiente la deformación del acero más traccionado et será menor. Esta realidad provoca que este acero alcance antes la fluencia, para una carga balanceada menor
en la flexo-compresión biaxial que en la uniaxial. Lo mismo ocurrirá en la frontera entre la tracción controlada y la
zona de transición con et =0,005.
En los gráficos de la figura 7 se exponen los resultados
de someter a una sección rectangular de 40 x 60cm2, fc´= 25MPa
y armada con 8 barras No. 25 y G – 60 a diferentes combinaciones de carga y que permiten destacar como el coeficiente f es variable en función del ángulo l.
El 1er caso es una sección donde para los momentos
Mnox y Mnoy, en flexo-compresión recta, está en tracción
controlada y f = 0,9. Sin embargo cuando ocurre la flexo-compresión biaxial el comportamiento de la sección
pasa a la zona de transición y f < 0,9. Note que el valor menor de f se presenta para l = π/4.
Columnas a flexo compresión...
Figura 7. Influencia de la flexo-compresión biaxial en el coeficiente f.
Tabla 2. Superficies de contorno. Para sección rectangular de 40 x 60cm2, fc'= 25MPa y armada con 8 barras No. 25 y G – 60
Momentos flectores (kN.m) para Pu=600kN
Momentos flectores (kN.m) para Pu=1100kN
l
Mnx
Mny
Mux
Muy
f
Mnx
Mny
Mux
Muy
f
0
565.79
0
509.21
0
0.9
631.28
0
555.61
0
0.88
0,393
435.73
182.74
343.25
143.95
0.788
474.61
197.47
329.22
136.98
0.694
0,785
273.38
280.24
214.81
220.20
0.786
294.65
306.86
204.11
212.57
0.693
1,178
127.72
327.30
109.18
279.79
0.855
151.85
370.98
108.19
264.32
0.713
1,571
0
349.24
0
314.31
0.9
0
396.64
0
314.32
0.792
Momentos flectores (kN.m) para Pu=1380kN
l
Momentos flectores (kN.m) para Pu=2000kN
0
674.06
0
490.24
0
0.727
635.52
0
413.08
0
0.65
0,393
483.30
203.82
314.14
132.48
0.65
463.49
195.22
301.27
126.90
0.65
0,785
304.21
312.87
197.74
203.37
0.65
294.84
298.79
191.65
194.22
0.65
1,178
155.25
378.51
100.91
246.03
0.65
145.81
358.94
94.78
233.31
0.65
1,571
0
429.70
0
288.97
0.673
0
396.98
0
258.03
0.65
En el 2do caso todas las secciones están en la zona de
transición, pero de la misma forma el coeficiente disminuye
para la flexo-compresión esviada. Una situación semejante
se presenta para el 3er caso donde para flexo-compresión
recta la sección se comporta en la zona de transición y en
el resto en compresión controlada, con f = 0,65. En la tabla 2
se exponen los valores que caracterizan las superficies de
contorno para las cargas evaluadas.
Si se analiza detenidamente la variación de f ante la
actuación de momentos biaxiales, como se destaca en la
figura 8, puede concluirse que la diferencia entre los valores para Mnox y Mnoy y la obtenida para cuando Mnx = Mny,
λ =π/4, puede alcanzar un valor de 0,9/0,786=1,15, para
cuando P u = 600kN y 0,792/0,993=1,14, para cuando
P u = 1100kN, siempre que se tome el menor valor de f para
los momentos uniaxiales; pudiendo ser mayor para secciones con mayor rectangularidad.
Ingeniería Civil 189/2018 | 83
3𝑏𝑏 − 2𝑑𝑑I
tan 𝜃𝜃
4
𝑏𝑏
−
2𝑑𝑑
I , 𝑧𝑧'X , 𝑧𝑧'Y
𝑧𝑧𝑧𝑧' , 𝑧𝑧=
𝑧𝑧X ,−
𝑧𝑧Y , 𝑧𝑧'J , 𝑧𝑧'K
6 , 𝑧𝑧𝑐𝑐J , 𝑧𝑧−
K ,𝑑𝑑
tan 𝜃𝜃
'[
*
I
3𝑏𝑏 −
4 2𝑑𝑑I
𝑧𝑧'Z = 𝑐𝑐* − 𝑑𝑑I −3𝑏𝑏 − 2𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃
4 tan 𝜃𝜃
𝑧𝑧'\ = 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐* +
𝑏𝑏 −42𝑑𝑑I
𝑧𝑧'[ = 𝑐𝑐* − 𝑑𝑑I −𝑏𝑏 − 2𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃
4 tan 𝜃𝜃
𝑧𝑧6^ = 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐* +
3𝑏𝑏 −
4 2𝑑𝑑I
𝑧𝑧'\ = 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐* +
tan 𝜃𝜃
4
𝑧𝑧Z2𝑑𝑑
, 𝑧𝑧[I 𝑧𝑧'Z , 𝑧𝑧'[ , 𝑧𝑧'\ , 𝑧𝑧6^
𝑧𝑧' , 𝑧𝑧6 , 𝑧𝑧J , 𝑧𝑧K , 𝑧𝑧X , 𝑧𝑧𝑏𝑏Y , −
𝑧𝑧6^ = ℎ𝑑𝑑+−2𝑑𝑑
𝑐𝑐*I+
tan 𝜃𝜃
− 𝑐𝑐* 4+ 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃
𝑧𝑧6' =
4
3ℎ + 2𝑑𝑑 , 𝑧𝑧 , 𝑧𝑧 𝑧𝑧 , 𝑧𝑧 , 𝑧𝑧 , 𝑧𝑧
𝑧𝑧𝑧𝑧' , 𝑧𝑧=
6 , 𝑧𝑧J , 𝑧𝑧K , 𝑧𝑧X ,I𝑧𝑧−
Y 𝑐𝑐 Z +[(𝑏𝑏'Z
'\ 6^
− 𝑑𝑑'[
66
*
I ) tan 𝜃𝜃
ℎ + 42𝑑𝑑I
𝑧𝑧6' = ℎ + 2𝑑𝑑I − 𝑐𝑐* + 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃
4
𝑧𝑧6J =
− 𝑐𝑐 + 𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃
3ℎ +
4 2𝑑𝑑I *
𝑧𝑧66 = 3ℎ + 2𝑑𝑑I − 𝑐𝑐* + (𝑏𝑏 − 𝑑𝑑I ) tan 𝜃𝜃
4
𝑧𝑧6K =
− 𝑐𝑐* + 𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃
ℎ + 42𝑑𝑑I
𝑧𝑧6J =
− 𝑐𝑐* + 𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃
4
𝑀𝑀)*I
3ℎ
&'+ 2𝑑𝑑
𝜆𝜆
=
tan
𝑧𝑧6K =
− 𝑐𝑐* + 𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃
4𝑀𝑀)+
𝑧𝑧'Z = 𝑐𝑐* − 𝑑𝑑I −
Columnas a flexo compresión...
𝑧𝑧' , 𝑧𝑧6 , 𝑧𝑧J , 𝑧𝑧K , 𝑧𝑧X , 𝑧𝑧Y , 𝑧𝑧'J , 𝑧𝑧'K , 𝑧𝑧'X , 𝑧𝑧'Y
3𝑏𝑏 − 2𝑑𝑑I
tan 𝜃𝜃
𝑧𝑧'Z = 𝑐𝑐* − 𝑑𝑑I −
4
𝑏𝑏 − 2𝑑𝑑I
𝑧𝑧'[ = 𝑐𝑐* − 𝑑𝑑I −
tan 𝜃𝜃
4
3𝑏𝑏 − 2𝑑𝑑I
𝑧𝑧'\ = 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐* +
tan 𝜃𝜃
4
𝑏𝑏 − 2𝑑𝑑I
𝑧𝑧6^ = 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐* +
tan 𝜃𝜃
4
𝑧𝑧' , 𝑧𝑧6 , 𝑧𝑧J , 𝑧𝑧K , 𝑧𝑧X , 𝑧𝑧Y , 𝑧𝑧Z , 𝑧𝑧[ 𝑧𝑧'Z , 𝑧𝑧'[ , 𝑧𝑧'\ , 𝑧𝑧6^
ℎ + 2𝑑𝑑I
− 𝑐𝑐* + 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃
𝑧𝑧6' =
𝑃𝑃) , 𝑀𝑀)+ ,&'
𝑀𝑀 𝑀𝑀)*
4
𝜆𝜆 = tan )*
3ℎ + 2𝑑𝑑I
𝑀𝑀)+
𝑧𝑧66 =
− 𝑐𝑐* + (𝑏𝑏 − 𝑑𝑑I ) tan 𝜃𝜃
𝑀𝑀
4
&' )*
𝜆𝜆 = tan
≈ 𝜆𝜆
ℎ + 2𝑑𝑑I
𝑃𝑃)' , 𝑀𝑀)+ , 𝑀𝑀)*𝑀𝑀)+
𝑧𝑧6J =
− 𝑐𝑐* + 𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃
4
3ℎ + 2𝑑𝑑I
𝑀𝑀)*
𝑧𝑧'6K, 𝑧𝑧=
𝑧𝑧*'J+
, 𝑧𝑧𝑑𝑑
tan
6 , 𝑧𝑧J , 𝑧𝑧K , 𝑧𝑧X , 𝑧𝑧−
Y , 𝑐𝑐
'KI, 𝑧𝑧
'X , 𝑧𝑧𝜃𝜃'Y
𝜆𝜆' = tan&'
≈ 𝜆𝜆
4
𝑀𝑀)+
3𝑏𝑏 − 2𝑑𝑑I
tan 𝜃𝜃
𝑧𝑧'Z = 𝑐𝑐* − 𝑑𝑑I −
4
𝑀𝑀
aS
aQ 𝑀𝑀
&' )* 𝑏𝑏 − 2𝑑𝑑I
)*
𝑀𝑀
𝑀𝑀)+carga
𝜆𝜆 = tan
Variación
del coeficiente φ para distintos valores
= tan&'+axial. )*
≈ 𝜆𝜆 ≤ 1
𝜆𝜆' de
𝑧𝑧'[ = 𝑐𝑐* −𝑀𝑀𝑑𝑑)+
𝜃𝜃
I − Figura 8.tan
𝑀𝑀)+
4
𝑀𝑀)=+
𝑀𝑀)=*
𝑧𝑧' , 𝑧𝑧6 , 𝑧𝑧J , 𝑧𝑧K , 𝑧𝑧X , 𝑧𝑧3𝑏𝑏
𝑧𝑧'KI , 𝑧𝑧'X , 𝑧𝑧'Y
Y , 𝑧𝑧−
'J ,2𝑑𝑑
𝑧𝑧4.)'\, 𝑀𝑀
=
𝑑𝑑
−
𝑐𝑐
+
tan
𝜃𝜃
*
𝑃𝑃
,
𝑀𝑀
REFLEXIONES
SOBRE
depende
únicamente
a de la relación P /P . La PCA propone
3𝑏𝑏 4
− 2𝑑𝑑I LA APLICACIÓN DEL
a
)+
)*
n o
aQ
𝑀𝑀)* a S
𝑀𝑀
tan 𝜃𝜃 DE CARGA DEL PCA
= 𝑐𝑐* − 𝑑𝑑I DEL
−𝑏𝑏 −CONTORNO
𝑧𝑧'Z MÉTODO
𝑀𝑀
𝑀𝑀)+
)*
)+ para
2𝑑𝑑
ábacos
los
de β, que dependen de las di+ obtener
≤1valores
1
4I
+
≤
𝑀𝑀
𝑀𝑀)=*
𝑧𝑧6^ = 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐𝑀𝑀
+ 𝑏𝑏 − 2𝑑𝑑 tan 𝜃𝜃
* )*
𝑀𝑀)=+
I
)=+
)=*
mensiones
de𝑀𝑀la
sección, la cuantía mecánica y la resistencia
𝜆𝜆
𝑧𝑧'[
=tan
𝑐𝑐*&'
− 𝑑𝑑I −≈ 𝜆𝜆4
tan 𝜃𝜃
' =
𝑀𝑀
4
)+
El Método del Contorno de Carga de Bresler se basa en
del acero.
a 9 se exponen algunos de estos gráficos.
a En la figura
𝑀𝑀)+𝑀𝑀)+
− 2𝑑𝑑I 'Z , 𝑧𝑧'[ , 𝑧𝑧'\ , 𝑧𝑧6^
𝑀𝑀
𝑧𝑧' , 𝑧𝑧6 , 𝑧𝑧J , 𝑧𝑧K , 𝑧𝑧X , 𝑧𝑧3𝑏𝑏
Y , 𝑧𝑧Z , 𝑧𝑧[ 𝑧𝑧
una
superficie
de
aproximada a la real,
Y relacionando
+= )* α≤y1β para las condiciones descritas se
𝑧𝑧generar
𝑑𝑑 −
𝑐𝑐* +
tancontorno
𝜃𝜃
𝛽𝛽
=
'\ = ℎ
+ 2𝑑𝑑
𝑀𝑀I)*
𝑀𝑀)=+
4
𝑀𝑀)=+ 𝑀𝑀)=*
𝜃𝜃
𝑧𝑧para
responda
la siguiente
expresión geneobtiene:
tan&'Pn, y−que
𝜆𝜆
6'
𝑏𝑏≈𝑐𝑐*−𝜆𝜆+
2𝑑𝑑I𝑏𝑏 − 𝑑𝑑I atan
' ==cada
4
𝑀𝑀
𝑧𝑧ral:
𝑑𝑑 −+𝑐𝑐2𝑑𝑑
+ 1981) tan 𝜃𝜃
6^ =
* )+
(BRESLER
3ℎ
4
I
𝑀𝑀)+0,5 𝑀𝑀)*
log
𝑧𝑧66 =
− 𝑐𝑐*a+ (𝑏𝑏 − 𝑑𝑑I ) tan 𝜃𝜃
=
𝛽𝛽 =
𝛼𝛼
aQ 4
S
𝑀𝑀
𝑀𝑀)=*
𝑀𝑀
𝑀𝑀
log
)=+𝛽𝛽
ℎJ+
, 𝑧𝑧+
, 𝑧𝑧IX , 𝑧𝑧)*
𝑧𝑧' , 𝑧𝑧)+
6 , 𝑧𝑧
K2𝑑𝑑
Y , 𝑧𝑧Z , 𝑧𝑧[≤𝑧𝑧'Z
1 , 𝑧𝑧'[ , 𝑧𝑧'\ , 𝑧𝑧6^
[6]
𝑧𝑧6J
= ℎ + 2𝑑𝑑 𝑀𝑀−)=*
𝑐𝑐* + 𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃
𝑀𝑀)=+
4 I − 𝑐𝑐 + 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑 tan 𝜃𝜃
ijk ^,X
Por
lo
que la ecuación
7 para la comprobación de la relogijk
0,5^,X
𝑧𝑧6' = 3ℎ +
I
2𝑑𝑑I *
ijk l
ijk l
𝛼𝛼
=
4
𝑀𝑀
𝑀𝑀
)*
)+
Donde
sistencia
quedará
como:
a + 𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃
𝑧𝑧6K
=
−
𝑐𝑐
a
log
𝛽𝛽
*
+
≤1
𝑀𝑀 3ℎ +4 2𝑑𝑑𝑀𝑀I )*
𝑀𝑀)=+
𝑀𝑀)=*
𝑧𝑧66 )+
= nx y+
− 𝑐𝑐los
(𝑏𝑏
𝜃𝜃
M
M
Son
nominales
en
los
ejes
x
e
y.
≤momentos
1 − 𝑑𝑑I ) tan
*+
ny
4 𝑀𝑀)=*
𝑀𝑀)=+
ijk ^,X
ijk ^,X
Ambos
son
elI equivalente vectorial del momento Mn, mos
ℎ &'
+
2𝑑𝑑)*
𝑀𝑀
l ^,X
𝑀𝑀)* ijk ijk
𝑀𝑀)+ ijk
ijkl^,X
𝑧𝑧𝜆𝜆6J= =
− 𝑐𝑐* + 𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃
tan
trado𝑀𝑀en la
[8]
4𝑀𝑀figura
𝜙𝜙𝑀𝑀)+ ijk l+ 𝑀𝑀 𝜙𝜙𝜙𝜙)* ijk≤l 1
𝑀𝑀)* 1.
)+
)+
𝑀𝑀
)=+
+ )=*
≤1
=2𝑑𝑑I
𝛽𝛽 = 3ℎ +
Momento
nominal
uniaxial
sobre
el
eje
x,
para
𝜙𝜙𝜙𝜙
𝜙𝜙𝑀𝑀
𝑧𝑧6K M
=𝑀𝑀nox
−
𝑐𝑐
+
𝑑𝑑
tan
𝜃𝜃
𝑀𝑀
)=+
)=*
I
)=+
4 )=* *
𝑃𝑃
M
=)+0, 𝑀𝑀)*
) , 𝑀𝑀
ny
M
Momento
nominal uniaxial sobre el eje y, para
log
noy0,5
𝑀𝑀)*
𝑀𝑀)*
𝛼𝛼
==
𝜆𝜆
tan
M'=
0&'&'
log
𝛽𝛽 𝑀𝑀)+ ≈ 𝜆𝜆
𝜆𝜆
= tan
nx
𝑀𝑀)+
Los coeficientes
α1 y α2 dependen de la rectangulariijk ^,X
ijk
^,X
dad
la𝑀𝑀)*
sección,
las
resistencias
del hormigón y el acero y
𝑃𝑃
, 𝑀𝑀de
)𝑀𝑀
)+ , ijk
ijk l
𝑀𝑀
)+
&'l )* 𝑀𝑀)*
=
tan
≈
𝜆𝜆
𝜆𝜆
de
y distribución
+
≤ 1 de este. Bresler considera
' la continuidad
𝑀𝑀)+ 𝑀𝑀)=*
𝑀𝑀)=+
𝑀𝑀)*
razonable
hacer
α = α1 = α2, planteando que este varía en𝜆𝜆' = tan&'
≈ 𝜆𝜆
aS =1,5
𝑀𝑀
tre𝑀𝑀1,15ayQijk
1,55
y
que
)+
ijkes
^,Xun valor apropiado para sec^,X
𝑀𝑀)* α
)+
ijk
l
𝜙𝜙𝜙𝜙
+
≤cuadradas
1 ijk l
𝜙𝜙𝑀𝑀
ciones
con refuerzo distribuido.
)+rectangulares o)*
𝑀𝑀)=+
≤1
𝑀𝑀 𝑀𝑀+)=*
&' )*
Entonces
puede
plantearse:
𝜙𝜙𝑀𝑀
)=+
)=*
=
tan
≈
𝜆𝜆
𝜆𝜆𝜙𝜙𝜙𝜙
'
𝑀𝑀)+
a
𝑀𝑀)*
𝑀𝑀)+ a
ijk ^,X
ijk+^,X
[7]
aS≤ 1
aijk
ijk l
Q l 𝑀𝑀
𝑀𝑀
𝑀𝑀)=+
𝑀𝑀
n*
𝑀𝑀
n+
𝑀𝑀
)=*
)+
+ )*
≤1
+
≤
1
𝑀𝑀
𝑀𝑀
𝑀𝑀n=+
𝑀𝑀interpretación
)=+
)=*n=*
Como
y extensión del procedimien𝑀𝑀)*
𝑀𝑀)+ una
=en el que se basa, la PCA parte de definir, para
𝛽𝛽
to=anterior,
a
𝑃𝑃n)=+
𝑀𝑀
𝑀𝑀
a
𝑀𝑀)=*
𝑀𝑀)+
)*
𝑃𝑃
) =
un
punto
≤ 1 de carga común de Bresler, la re𝜙𝜙 +en el contorno
𝑀𝑀
𝑀𝑀
)=+
)=*
lación:
log(PCA
0,5 2011)
𝛼𝛼 = 𝑃𝑃
n 𝛽𝛽 600
log
= 666,67𝑘𝑘𝑘𝑘
𝑃𝑃) = 𝑀𝑀)+= 𝑀𝑀)*
𝛽𝛽 = 𝜙𝜙 =0,9
𝑀𝑀)=+
𝑀𝑀
)=*
ijk ^,X
ijk ^,X
ijk l
ijk l
𝑀𝑀
𝑀𝑀
)*
)+
𝑃𝑃) Al666,67
+ 0,098
≤1
generarse
múltiples contornos
de cargas adimensio=
=
log
0,5
𝑀𝑀=)=+6814
𝑀𝑀)=*
𝑃𝑃
𝛼𝛼
=
nales log
para
P
/P
entre
0
y
1
se
crea
una
superficie de falla que
n
o
𝛽𝛽
representa
connotación
del término β, que
^,X
ijkcon
^,X claridad laijk
ijk l
𝜙𝜙𝜙𝜙)*
𝜙𝜙𝑀𝑀)+ ijkijk
ijk ^,X
^,Xl
+ 𝑀𝑀)* ijk l
≤1
ijk l
𝑀𝑀
)+
𝜙𝜙𝜙𝜙
𝜙𝜙𝑀𝑀
84 | Ingeniería
Civil+189/2018 )=*
)=+
≤1
𝑀𝑀)=+
𝑀𝑀)=*
ijk ^,X
ijk ^,X
ijk ^,X
ijk ^,X
ijk
l
ijk ^,X
𝜙𝜙𝑀𝑀
El)+proceso
cálculo,
comprobación
de la resistencia
ijkijk
^,Xl de 𝜙𝜙𝜙𝜙
)*
+ 𝑀𝑀n* ijk l
≤1
ijk l
𝑀𝑀
n+
para
las cargas
de
𝜙𝜙𝜙𝜙)=+
𝜙𝜙𝑀𝑀)=*
+ y momentos
≤ 1cálculo (Pu, Mux y Muy), con𝑀𝑀n=+ entonces en:
𝑀𝑀n=*
sistirá
ijk ^,X
ijk ^,X
𝑀𝑀n* ijk l
𝑀𝑀n+𝑃𝑃n ijk l
+ la sección de
≤1
la columna.
𝑃𝑃) =1. Establecer
𝑀𝑀n=+𝜙𝜙
𝑀𝑀n=*
2. Calcular los valores de Po, Mnox, Mnoy y β. Obtenidos
flexo-compresión recta.
600
𝑃𝑃nconsiderando
=
= 666,67𝑘𝑘𝑘𝑘
𝑃𝑃) =3. Comprobar
para la combinación de cargas actuante
0,9
𝜙𝜙
el cumplimiento de la ecuación 8.
666,67
𝑃𝑃) 𝑃𝑃
600
n
0,098
= ==
666,67𝑘𝑘𝑘𝑘
𝑃𝑃) =
𝑃𝑃= En𝜙𝜙6814
la aplicación
de este procedimiento uno de los as0,9
pectos más complicados está en la estimación del coefi-
666,67
𝑃𝑃
)
ciente
= de seguridad
= 0,098f, que permita establecer las relaciones:
𝑃𝑃=
6814
Pu =f Pn
Mux =f Mnx
Muy =f Mny
Antes de las modificaciones impuestas por la versión
del código del ACI 318 en el 2002, el problema se resolvía con sencillez pues era posible plantear que (NILSON
1999):
3ℎ + 2𝑑𝑑I
𝑧𝑧6K = &' 𝑀𝑀)* − 𝑐𝑐* + 𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃
𝜆𝜆 = tan 4
𝑀𝑀)+
𝑀𝑀
&' )*
𝜆𝜆)=
𝑃𝑃
, 𝑀𝑀tan
)+ , 𝑀𝑀)*
𝑀𝑀)+
I
𝑧𝑧'[ = 𝑐𝑐* − 𝑑𝑑I −
tan 𝜃𝜃
4
3𝑏𝑏 − 2𝑑𝑑I
𝑧𝑧'\ = 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐* +
tan 𝜃𝜃
4
𝑏𝑏 − 2𝑑𝑑I
𝑧𝑧6^ = 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐* +
tan 𝜃𝜃
4
𝑧𝑧'\ = 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐* +
𝑧𝑧6^
tan 𝜃𝜃
4
𝑏𝑏 − 2𝑑𝑑I
= 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐* +
tan 𝜃𝜃
4
Columnas a flexo compresión...
𝑧𝑧' , 𝑧𝑧6 , 𝑧𝑧J , 𝑧𝑧K , 𝑧𝑧X , 𝑧𝑧Y , 𝑧𝑧Z , 𝑧𝑧[ 𝑧𝑧'Z , 𝑧𝑧'[ , 𝑧𝑧'\ , 𝑧𝑧6^
ℎ + 2𝑑𝑑I
− 𝑐𝑐* + 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃
𝑧𝑧6' =
𝑀𝑀)*
&'
𝑃𝑃
,
𝑀𝑀
,
𝑀𝑀
4
𝜆𝜆)' = )+
tan )*
≈ 𝜆𝜆
,
𝑧𝑧
,
𝑧𝑧
,
𝑧𝑧
,
𝑧𝑧
,
𝑧𝑧
,
𝑧𝑧
,
𝑧𝑧
𝑧𝑧
,
𝑧𝑧
,
𝑧𝑧
,
𝑧𝑧
𝑧𝑧
'
6
J
K
X
Y
Z
[
'Z
'[
'\
6^
𝑀𝑀)+
3ℎ + 2𝑑𝑑I
ℎ + 2𝑑𝑑I
𝑧𝑧66 =
− 𝑐𝑐* + (𝑏𝑏 − 𝑑𝑑I ) tan 𝜃𝜃
𝑀𝑀
4
=
−
𝑐𝑐
+
𝑏𝑏
−
𝑑𝑑
tan
𝜃𝜃
𝑧𝑧
)*
6'
*
I
&' 𝑀𝑀
4
𝜆𝜆' = tan
ℎ + 2𝑑𝑑I
)* ≈ 𝜆𝜆
3ℎ + 2𝑑𝑑I
𝜆𝜆' = tan&' 𝑀𝑀)+ ≈ 𝜆𝜆
𝑧𝑧6J =
− 𝑐𝑐* + 𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃
𝑀𝑀)+
4
𝑧𝑧66 =
− 𝑐𝑐* + (𝑏𝑏 − 𝑑𝑑I ) tan 𝜃𝜃
4
3ℎ + 2𝑑𝑑I
𝑧𝑧' , 𝑧𝑧6 , 𝑧𝑧J , 𝑧𝑧K , 𝑧𝑧X , 𝑧𝑧Y , 𝑧𝑧'J , 𝑧𝑧'K , 𝑧𝑧'X , 𝑧𝑧'Y
𝑀𝑀)*
ℎ + 2𝑑𝑑I
𝑧𝑧6K =
− 𝑐𝑐* + 𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃
aS
3𝑏𝑏
− 𝑑𝑑2𝑑𝑑
Q
≈
𝜆𝜆
𝜆𝜆'𝑀𝑀=)+tana&'
4
I
𝑧𝑧
=
−
𝑐𝑐
+
tan
𝜃𝜃
𝑀𝑀
6J
*
I
)*
tan
=
𝑐𝑐
−
𝑑𝑑
−
𝜃𝜃
𝑧𝑧
𝑀𝑀
'Z
*4 I
+ )+
≤1
4
3ℎ + 2𝑑𝑑I
𝑀𝑀)=+
𝑀𝑀)=*
𝑀𝑀)*
𝑏𝑏 − 2𝑑𝑑 tan 𝜃𝜃
𝑧𝑧
=
aS
6K = 𝑐𝑐 − 𝑑𝑑 −− 𝑐𝑐* + 𝑑𝑑IItan
aQ
𝑧𝑧
𝜃𝜃 𝜆𝜆 = tan&'
'[
* 4 I
𝑀𝑀)*
𝑀𝑀)+
𝑀𝑀)+
4
a ≤ 1
a +
𝑀𝑀)*
𝑀𝑀)=+
3𝑏𝑏 − 2𝑑𝑑I
)+
𝑀𝑀
+ 𝑀𝑀)=* ≤ 1
𝑧𝑧'\ = 𝑑𝑑&'
−𝑀𝑀
𝑐𝑐*)*+
tan 𝜃𝜃
𝑀𝑀)=+
𝑀𝑀)=*
𝜆𝜆 = tan
𝑃𝑃) , 𝑀𝑀)+ , 𝑀𝑀)*
4
𝑀𝑀)+ 𝑏𝑏 − 2𝑑𝑑I
a
𝑀𝑀)*
𝑀𝑀)+ a
𝑧𝑧6^ = 𝑑𝑑 − 𝑐𝑐* +
tan 𝜃𝜃
≤1
𝑀𝑀)+ + 𝑀𝑀)*
4
𝑀𝑀)*
𝑃𝑃) , 𝑀𝑀)+ , 𝑀𝑀)*
= 𝑀𝑀)=*
𝛽𝛽𝑀𝑀=)=+
𝜆𝜆' = tan&'
≈ 𝜆𝜆
𝑀𝑀)=+ 𝑀𝑀)=*
𝑀𝑀)+
𝑧𝑧' , 𝑧𝑧6 , 𝑧𝑧J , 𝑧𝑧K , 𝑧𝑧X , 𝑧𝑧Y , 𝑧𝑧Z , 𝑧𝑧[ 𝑧𝑧'Z , 𝑧𝑧'[ , 𝑧𝑧'\ , 𝑧𝑧6^
𝑀𝑀)*
𝑀𝑀)+
𝑀𝑀
ℎ+
&'2𝑑𝑑I)*
𝛽𝛽 = log 0,5=
𝑀𝑀)*
−≈𝑐𝑐 𝜆𝜆+ 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃
𝑧𝑧𝜆𝜆6'
' ==tan
≈ 𝜆𝜆
𝜆𝜆' = tan&'
𝛼𝛼 = 𝑀𝑀)=+ 𝑀𝑀)=*
4 𝑀𝑀)+ *
𝑀𝑀)+
log 𝛽𝛽
3ℎ + 2𝑑𝑑I
𝑧𝑧66 =
log 0,5
𝑀𝑀 − 𝑐𝑐* + (𝑏𝑏 − 𝑑𝑑I ) tan 𝜃𝜃
a
&'4 )*
ijk ^,X
ijk ^,X
𝛼𝛼 =
≈ 𝜆𝜆
𝜆𝜆' = tan
𝑀𝑀)* S
𝑀𝑀)+ aQ
ℎ
+
2𝑑𝑑
𝛽𝛽 l
𝑀𝑀I)+− 𝑐𝑐 + 𝑑𝑑 tan 𝜃𝜃
𝑀𝑀)* ijk l
𝑀𝑀)+logijk
+
≤1
𝑧𝑧
=
6J
I
+
≤1
𝑀𝑀)=+
𝑀𝑀)=*
4 2002).*
Figura
9. Constante β para secciones a flexo-compresión biaxial.
(PCA
𝑀𝑀)=+
𝑀𝑀)=* ijk
3ℎ
aS
^,X
a + 2𝑑𝑑I
ijk ^,X
𝑀𝑀−
𝑀𝑀)+
𝑧𝑧6K
= Q
)*𝑐𝑐* + 𝑑𝑑I tan 𝜃𝜃
𝑀𝑀)* ijk l
a
𝑀𝑀)+ ijk l
+
≤1
4
𝑀𝑀)*
𝑀𝑀)+ a
ijk ≤
^,X1
+
ijk ^,X
𝑀𝑀)=+
𝑀𝑀)=*
La
columna
es
prefabricada
y
está
situada
en
una
+
≤zona
1
𝑀𝑀
𝑀𝑀
ijk
l
)=+
)=*
𝜙𝜙𝜙𝜙)*
𝜙𝜙𝑀𝑀
)+ ijk l
𝑀𝑀el)=+
𝑀𝑀)=* efecti𝑀𝑀
de agresividad
por
lo
que
recubrimiento
+
≤1
&' )* media,
a
𝜆𝜆 𝑀𝑀
= tana
𝜙𝜙𝜙𝜙)=+
𝜙𝜙𝑀𝑀)=* ijk ^,X
ijk ^,X
𝑀𝑀)+
)+ 3,5cm
y𝑀𝑀el)*mecánico
de las barras
d´=𝑀𝑀ds = 5,73cm.
vo es
+
≤1
𝑀𝑀)+
ijk l
)*
ijk
l
𝜙𝜙𝜙𝜙
𝜙𝜙𝑀𝑀
)*
𝑀𝑀)=+
𝑀𝑀)=*
=
𝛽𝛽 =
Y)+como
f era prácticamente
en toda la secijk ^,X
≤ constante
1
ijk ^,X +
𝑀𝑀
𝑀𝑀
)=+
)=*
𝜙𝜙𝜙𝜙
𝜙𝜙𝑀𝑀
𝑃𝑃) , 𝑀𝑀
, 𝑀𝑀)* de M y M considerando flexo – compreijk l se simplificaba a:
ijk l
𝑀𝑀n+)=+
ción
entonces
la 𝑀𝑀
expresión
1.)+Cálculo
n* )=*
nox
noy
+
≤1
𝑀𝑀
)+
sión
recta = 𝑀𝑀)*
𝑀𝑀n=+
𝑀𝑀n=* ijk ^,X
𝛽𝛽
=
log 0,5
ijk ^,X
𝑀𝑀)*
&' 𝑀𝑀
𝛼𝛼 =
)=+
)=*
ijk l
𝑀𝑀n* ijk l
𝜆𝜆' =𝑀𝑀
tan
≈ 𝜆𝜆
𝑀𝑀n+
log 𝛽𝛽
𝑀𝑀)+
+
≤1
𝑃𝑃n
A continuación
se obtendrán los valores de Mnox y Mnoy
𝑀𝑀n=*
𝑃𝑃)𝑀𝑀=
n=+
log
0,5
𝜙𝜙
^,X permitiráijk
para
de cálculo Pu = 600kN, loijkque
te-^,X
𝛼𝛼
= la carga
log &'
𝛽𝛽 𝑀𝑀)* ≈ 𝜆𝜆
ijk l
𝑀𝑀)* ijk l
𝑀𝑀
)+
=
tan
𝜆𝜆
𝑃𝑃
'
Como,
a partir de ACI 318-2002, f es variable en funner una clara
f para ≤ 1
n
+
𝑀𝑀)+apreciación del valor del coeficiente
𝑃𝑃) = 𝑃𝑃n 600
𝑀𝑀)=+
𝑀𝑀)=*
𝜙𝜙 =
ción
la deformación
del acero mas traccionado, ha quecada caso,
pues puedeijk
ocurrir
que
difieran entre
si y so= 666,67𝑘𝑘𝑘𝑘
𝑃𝑃
^,X
) = de
ijk ^,X
𝜙𝜙
0,9
aS ijk l y menor para la combinación
l
aijk
𝑀𝑀
Q que
dado demostrado en el acápite anterior y expuesto en las
bre
todo
sea𝑀𝑀diferente
)*
𝑀𝑀)+
)+
ijk ^,X
ijk ^,X
+𝑀𝑀)*
≤1
𝑃𝑃
600
+
n
𝑀𝑀
𝑀𝑀
figuras
7=y 8, que
para cargas menores que la balanceada la
de
M y Muy 𝑀𝑀)=*)=* ≤ 1
𝜙𝜙𝜙𝜙)* ijk l
𝜙𝜙𝑀𝑀)+ ijk l
= 666,67𝑘𝑘𝑘𝑘
𝑃𝑃
𝑀𝑀)=+
) = 666,67
)=+ux
+
≤1
0,9= 0,098
= 𝜙𝜙
simplificación
expuesta no puede aplicarse pues este coe𝜙𝜙𝜙𝜙)=+
𝜙𝜙𝑀𝑀)=*
𝑃𝑃=
6814
ijk ^,X
ijk ^,X
a
a
ficiente
es diferente para la sección bajo flexo-compresión
a) Para
el𝑀𝑀
cálculo de Mijk
b = 40cm y h = 60cm
𝑀𝑀)+
nox l
𝜙𝜙𝑀𝑀
666,67
𝑃𝑃
)+ ijk l )* 𝜙𝜙𝜙𝜙)*
)
+
≤1
ijk ^,X
+
≤1
ijk ^,X
= cuando
= actúan
0,098 Muox y Muoy, a cuando se presenta la
recta,
𝑀𝑀
𝑀𝑀
𝜙𝜙𝜙𝜙
𝑃𝑃=
6814
)=+
)=* 𝜙𝜙𝑀𝑀)=*
𝑀𝑀n* ijk l
)=+
𝑀𝑀n+ ijk l
flexo-compresión esviada y actúan Mux y Muy.
Se construye un Diagrama de Interacción+consideran- ≤ 1
𝑀𝑀n=+
𝑀𝑀n=* en la
2
Sin embargo en los Manuales del ACI para el diseño de
do refuerzo
A^,X
= 40,8cm
, que se muestra
𝑀𝑀)*
ijk
𝑀𝑀)+
ijk ^,X perimetral
st
𝛽𝛽 𝑀𝑀
=n+ ijk=
ijk
l
𝑀𝑀n*
columnas, SP-17-09-07 (EVERARD 2007) se sugiere que
figura
10a l 𝑀𝑀
𝑀𝑀)=+
+)=*
≤1
𝑃𝑃n
𝑀𝑀
𝑀𝑀
“Para el diseño, si cada término de la ecuación (7) se mulEntonces para n=*
Pu = 600kN y 𝑃𝑃) =
n=+
𝜙𝜙
log 0,5
tiplica por f la ecuación no cambiará. Entonces Mux, Muy,
𝛼𝛼 = 𝑃𝑃n
log 𝛽𝛽 apreciarse que la sección está
Muox y Muoy pueden hacerse corresponder a fMnx, fMny,
contro𝑃𝑃nen tracción
600
𝑃𝑃) =Puede
=
= 666,67𝑘𝑘𝑘𝑘
𝑃𝑃) =
fMnox y fMnoy respectivamente y puede ser empleados prelada y𝜙𝜙f = 0,9, por lo que:
𝜙𝜙
0,9
ijk ^,X
ijk ^,X
feriblemente en la expresión original”. Esta afirmación conl
𝑀𝑀)* ijk l
𝑀𝑀)+𝑃𝑃n ijk 600
= + = 666,67𝑘𝑘𝑘𝑘 ≤ 1 𝑃𝑃) 666,67
𝑃𝑃) =
duce a una respuesta semejante a la aplicada antes del 2002,
𝑀𝑀)=+𝜙𝜙
=
= 0,098
0,9 𝑀𝑀)=*
𝑃𝑃=
6814
lo que puede generar confusión, pues se ha demostrado que
subestimar la variación del coeficiente f para la ocurrencia
de momentos biaxiales provoca soluciones inseguras.
La significación de esta problemática y su implicación
en los procedimientos se ilustran en los siguientes ejercicios:
Ejercicio 1
Compruebe si una sección rectangular de 40 x 60cm2,
fc´= 25MPa y armada con 8 barras No. 25 y G – 60 distribuidas en el perímetro de la sección resiste las siguientes
cargas:
Pu = 600kN Mux = 300kN.m Muy = 160kN.m
ijkde
^,XInteracción se obtiene, como
ijk ^,Xdel Diagrama
666,67
𝑃𝑃) Entonces
ijk l
= )+ ijk l= 0,098
𝜙𝜙𝜙𝜙
𝜙𝜙𝑀𝑀
)*
muestra
la figura
= 569kN.m
𝑃𝑃=
6814
+ 10a, que Mnox ≤
1
𝜙𝜙𝜙𝜙)=+
𝜙𝜙𝑀𝑀)=*
b) Para el cálculo de
Mnoy b = 60cm y h = 40cm
ijk ^,X
ijk ^,X
𝑀𝑀n* ijk l
𝑀𝑀n+ ijk l
+ un DI considerando
≤1
Se construye
refuerzo perimetral
𝑀𝑀n=+
𝑀𝑀n=*
Ast = 40,8cm2, que se muestra en la figura 10b y se obtiene
con P𝑃𝑃nn= 666,67kN Mnoy = 344kN.m
𝑃𝑃) =
𝜙𝜙
2. Cálculo de β
𝑃𝑃n 600
=
= 666,67𝑘𝑘𝑘𝑘
𝜙𝜙
0,9 P = 6814kN en el DI, puede calcularse:
Obteniendo
𝑃𝑃) =
o
𝑃𝑃) 666,67
=
= 0,098
𝑃𝑃=
6814
Ingeniería Civil 189/2018 | 85
Columnas a flexo compresión...
𝐴𝐴Iu 𝑓𝑓*
40,8 ∙ 420
=
= 0,286
𝑏𝑏ℎ𝑓𝑓
′
40
∙ 60
∙ 25
𝐴𝐴Iu 𝑓𝑓3*
40,8
∙ 420
=
= 0,286
𝜔𝜔u =
𝑏𝑏ℎ𝑓𝑓3 ′ 40 ∙ 60 ∙ 25
𝜔𝜔u =
ijk ^,X
ijk ^,X
𝑀𝑀)* ijk l
𝑀𝑀)+ ijk l
ijk ^,X ≤ 1
ijk ^,X +
𝑀𝑀
𝑀𝑀
𝑀𝑀)=*
𝑓𝑓*l 40,8
𝑀𝑀)=+
∙ 420ijk l
)*
)+𝐴𝐴Iuijk
≤1
=+
= 0,286
𝜔𝜔u =
40,8
∙ 420
𝑀𝑀)=+𝐴𝐴
𝑀𝑀
𝑏𝑏ℎ𝑓𝑓
40
∙ 60
∙ 25
Iu 𝑓𝑓
)=*
3*′
= 0,286
𝜔𝜔u =log 0,5 =
∙ 60 ∙ 25
1,475
𝛽𝛽 = 𝑏𝑏ℎ𝑓𝑓3 ′ = 40
ijk ^,X
logijk
𝛽𝛽^,X
log
0,5
ijk l
𝑀𝑀)* ijk
𝛽𝛽 𝑀𝑀
=)+ ijk l= 1,475
^,X
ijk
^,X
log 𝛽𝛽 +
≤1
ijk l
𝑀𝑀
300
ijk
l
𝑀𝑀
𝑀𝑀)=+
𝑀𝑀
𝑀𝑀
n+
)*
)+
)=*
=+
= 333,33𝑘𝑘𝑘𝑘
𝑀𝑀)+ =
≤ 1∙ 𝑚𝑚
0,9𝑀𝑀)=*
𝑀𝑀)=+ 𝑀𝑀𝜙𝜙n+ 300
= 0,5 =
= 333,33𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚
𝑀𝑀)+ log
0,9
𝛽𝛽 = 𝑀𝑀𝜙𝜙 = 1,475
log
log0,5
𝛽𝛽n* 160
= 1,475= 177,78𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚
𝑀𝑀
𝛽𝛽 )*
= = 𝜙𝜙 =
0,9
log𝑀𝑀𝛽𝛽n* 160
𝑀𝑀)* = 𝑀𝑀n+ = 300 = 177,78𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚
= 0,9 = 333,33𝑘𝑘𝑘𝑘
∙ 𝑚𝑚
𝑀𝑀)+ = 𝜙𝜙',KZX
𝑀𝑀𝜙𝜙n+
300
0,9177,78 ',KZX
333,33
Figura 10. Diagramas de Interacción para flexo-compresión
recta.
Ejercicios.
= + = 333,33𝑘𝑘𝑘𝑘
𝑀𝑀)+ = ',KZX
=∙ 𝑚𝑚
0,832 < 1
0,9177,78
569 𝜙𝜙
344 ',KZX
333,33
𝑀𝑀n* +
160
= 0,832 < 1
Y además:
=
=
=
177,78𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚
𝑀𝑀)*
569
344
𝑀𝑀𝜙𝜙n+
350
160
0,9
n*
=
=
=
388,89𝑘𝑘𝑘𝑘
𝑀𝑀
177,78𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚
)+
)*
𝐴𝐴Iu 𝑓𝑓*
40,8 ∙ 420
0,9
𝑀𝑀𝜙𝜙n+ 350
𝜔𝜔u =
=
= 0,286
',KZX
',KZX ∙ 𝑚𝑚
=
= 388,89𝑘𝑘𝑘𝑘
𝑀𝑀333,33
)+ =
177,78
𝑏𝑏ℎ𝑓𝑓3 ′ 40 ∙ 60 ∙ 25
𝜙𝜙',KZX +0,9se
',KZX = 0,832 < 1
Y finalmente
comprueba:
388,89
177,78
333,33
569
344
0,948 < 1
ijk
^,X
+
= 0,832
Y enijkla^,X
figura 9 para el G-60, se obtiene β = 0,625
569 ',KZX
344 ',KZX
388,89
177,78
𝑀𝑀)* ijk l
𝑀𝑀)+ ijk l
𝑀𝑀
350
+
= 0,948 < 1
n+
+
≤1
=
=
=
388,89𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚
𝑀𝑀)+
569
344
𝑀𝑀)=+
𝑀𝑀)=* por el Método de Contorno de Carga
𝑀𝑀𝜙𝜙𝑓𝑓n+ 350
350
3. Comprobación
0,9 ∙ 420
𝐴𝐴Iu
40,8
*
= 388,89𝑘𝑘𝑘𝑘
538,46𝑘𝑘𝑘𝑘
𝑚𝑚
=
=
=
∙∙𝑚𝑚
𝑀𝑀
=
= 0,286
𝜔𝜔u)+=
del PCA
Resultado
que
haría
que la sección resiste lo que
0,65
0,9∙ 60
𝑀𝑀𝜙𝜙n+
350
𝑏𝑏ℎ𝑓𝑓
′ 40
∙ 25pensar
3',KZX
',KZX
log 0,5
=
=
=
538,46𝑘𝑘𝑘𝑘
∙
𝑚𝑚 f = 0,9. Una solución
𝑀𝑀
)+
177,78
es388,89
falso, pues
se
tomó
erróneamente
40,8 ∙ 420
𝛽𝛽 = 𝐴𝐴Iu 𝑓𝑓* = 1,475
𝜙𝜙
0,65
+
=
0,948
<1
= 0,286
𝜔𝜔u = log 𝛽𝛽 =
',KZX
',KZX
538,46
ijk ^,X
388,89
569 ser
344 ijk ^,X
Debe
podría
tomar 177,78
conservadoramente
f = 0,65. Para lo que:
𝑏𝑏ℎ𝑓𝑓
40
∙ 60
∙ 25
𝐴𝐴
40,8
∙ que:
420
3cumplirse
Iu 𝑓𝑓
*′
ijk
l
1,532
>1
+
=
0,948
<
ijk
l
𝑀𝑀
𝑀𝑀
',KZX
)*
)+
=
= 0,286
𝜔𝜔u =
569
344 ',KZX≤ 1
538,46
+350177,78
𝑏𝑏ℎ𝑓𝑓
40
𝑀𝑀n+
300∙ 60 ∙ 25
3′
𝑀𝑀
+
=
1,532
>1
ijk
^,X
𝑀𝑀
𝑀𝑀
n+
)=+
)=*
= 333,33𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚
𝑀𝑀)+ = ijk ^,X=
=
=
= 538,46𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚
𝑀𝑀)+
569
344
ijk l
𝜙𝜙𝑓𝑓 l 40,8
0,9𝑀𝑀)*
𝑀𝑀)+𝐴𝐴 ijk
𝑃𝑃
1380
𝑀𝑀
350
𝜙𝜙
0,65
n
∙ 420ijk ^,X ≤ 1
Iu *^,X +
𝑃𝑃))+= = =n+ = = 2123𝑘𝑘𝑘𝑘
= 538,46𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚
𝑀𝑀
=
𝜔𝜔𝑀𝑀
= ijk
log
u )=+
ijk=l 0,286
𝜙𝜙n 0,5
0,650,65
ijk′l 40 𝑀𝑀
𝑀𝑀60
𝑀𝑀
𝜙𝜙 1380
)=*
)*
)+𝐴𝐴
𝑏𝑏ℎ𝑓𝑓
∙
∙
25
𝑓𝑓
40,8
∙
420
3
= 1,475
𝛽𝛽)==
𝑀𝑀
Y 𝑃𝑃finalmente
se2123𝑘𝑘𝑘𝑘
comprueba:
Iu n*
* +160
',KZX
≤
1
𝑃𝑃
=
=
538,46
177,78 ',KZX
=
= 0,286
𝜔𝜔
==
log
= 𝑀𝑀)=*
= 177,78𝑘𝑘𝑘𝑘
∙ 𝑚𝑚
𝑀𝑀𝑀𝑀
u)*
𝜙𝜙 𝛽𝛽 0,65
)=+
𝑏𝑏ℎ𝑓𝑓
40
∙ 60 ∙ 25
Donde:
= 1,532 > 1
𝜙𝜙
0,9
3′
',KZX +
𝑃𝑃
log
0,5
ijk
^,X
)
ijk ^,X
538,46
177,78
569
344 ',KZX
𝛽𝛽 𝑀𝑀
=
ijk l= 1,475
𝑀𝑀)* ijk l
+
= 1,532 > 1
𝑀𝑀
300
)+
𝑃𝑃
n+
log
𝛽𝛽
logijk
0,5
ijk',KZX
^,X ≤ 1
569
344
',KZX
^,X
=
=
=
333,33𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚
𝑀𝑀)=)+
177,78
𝛽𝛽333,33
=)=+ ijk l=+1,475
𝑃𝑃n 𝜙𝜙 1380
ijk l
𝑀𝑀
𝑀𝑀
0,9
𝑀𝑀
𝑀𝑀
)=*
𝑃𝑃
)+log 𝛽𝛽
+ )*
𝑃𝑃
=
= 2123𝑘𝑘𝑘𝑘
≤=1 0,832 < 1
2029,4
𝑃𝑃))= =
Que
569 𝑀𝑀n+ +300
344
𝑃𝑃𝜙𝜙n como
1380
0,65se esperaba también se aleja de la realidad
𝑀𝑀
=
=
0,297
)=+
)=*
=
=
=
333,33𝑘𝑘𝑘𝑘
∙
𝑚𝑚
𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑃𝑃
=
=
= 2123𝑘𝑘𝑘𝑘aunque seguro.
)+ log 0,5
𝑀𝑀n*0,65160
𝑃𝑃))= conservadoramente,
Si se𝑀𝑀𝜙𝜙
considera
pero
0,9 que bajo la combinación de Mux y Muy la
2029,4
𝜙𝜙6814
300
n+ = 1,475
=
=
= 177,78𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚
𝑀𝑀
𝛽𝛽
=
𝑀𝑀
350
)*
=
=
0,297
n+ =
= 333,33𝑘𝑘𝑘𝑘
∙ 𝑚𝑚 controlada se calcula:
𝑀𝑀 =logestará
𝑃𝑃)
𝜙𝜙
0,9
𝛽𝛽
sección
en tracción
= 0,5
= también
∙ 𝑚𝑚
𝑀𝑀)+
𝑃𝑃=
6814
𝜙𝜙
0,9 = 388,89𝑘𝑘𝑘𝑘
)+ log
𝑃𝑃
𝜙𝜙
0,9
𝑀𝑀
160
𝛽𝛽 =
𝑃𝑃))= Ejercicio 2
n* = 1,475
≤ 0,3 ',KZX
log 𝛽𝛽 =
= 177,78𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚
𝑀𝑀)* =
𝑀𝑀
300
𝑃𝑃
𝜙𝜙n+
0,9
177,78 ',KZX
𝑀𝑀
𝑃𝑃)==333,33
160
n*
',KZX
',KZX
=
=
=
333,33𝑘𝑘𝑘𝑘
∙
𝑚𝑚
𝑀𝑀
≤ 2029,4
0,3
+
= 0,832 < 1
)+ =
=
=
177,78𝑘𝑘𝑘𝑘
∙
𝑚𝑚
𝑀𝑀388,89
177,78
𝑃𝑃
)*
)
0,9
𝑃𝑃= 569
𝑀𝑀𝜙𝜙
300
𝜙𝜙n+ +
0,9
Compruebe
la 344
sección anterior si las cargas actuantes
0,948 < 1
=
= 0,297
',KZX =∙ 𝑚𝑚
𝑃𝑃
= ',KZX
=
=
333,33𝑘𝑘𝑘𝑘
𝑀𝑀333,33
𝑃𝑃))= 2029,4
569
344
6814
)+
177,78
𝜙𝜙
son:= 𝑀𝑀 =350
0,297
+0,9
= 0,832 < 1
𝑀𝑀n*
',KZX 160 344
',KZX
𝑃𝑃)==
n+
6814
569
177,78
=
=
= 177,78𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚
𝑀𝑀333,33
=
= 388,89𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚
𝑀𝑀
𝑀𝑀𝜙𝜙n+ +
350
)*
)+ =
𝑃𝑃
)
<1
0,9 = 538,46𝑘𝑘𝑘𝑘=∙ 0,832
0,9
𝑃𝑃= ≤ 0,3𝜙𝜙
= 𝑀𝑀n* = 160
𝑚𝑚
𝑀𝑀)+
569
344
P𝑃𝑃
1890,4
𝑃𝑃))=u = 1380kN
𝑀𝑀)* = 𝑀𝑀𝜙𝜙n+ = 350
0,65 = 177,78𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚
𝜙𝜙',KZX
=
= 0,277
= 0,9se=comprueba:
388,89𝑘𝑘𝑘𝑘
𝑀𝑀)+Y=finalmente
≤=0,3
',KZX ∙ 𝑚𝑚
',KZX
M
300kN.m
6814
1890,4
𝑃𝑃
0,9
=
333,33𝑀𝑀𝜙𝜙n+
177,78
ux
388,89
177,78 ',KZX
)
350
=
',KZX +
',KZX = 0,832 < 1
=
=
0,277
+
= 0,948 < 1
𝑃𝑃
=
=
=
388,89𝑘𝑘𝑘𝑘
∙
𝑚𝑚
𝑀𝑀538,46
177,78
M
= 130kN.m
)+
𝑃𝑃)=uy569
6814
569 𝜙𝜙',KZX +0,9177,78
344 ',KZX = 1,532 > 1
344
333,33
',KZX +
',KZX = 0,832 < 1
log
0,5
𝑃𝑃
569
344
388,89
177,78
= 1,272
𝛽𝛽)= =
569 𝑀𝑀
+ 344 ',KZX = 0,948 < 1
log
𝛽𝛽
𝑀𝑀0,5
350 los mismos pasos que en el ejercicio anlog
',KZX 350 344
𝑃𝑃= Desarrollando
n+
n+
569
388,89
177,78
=
= 388,89𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚
𝑀𝑀)+ =
=
𝑀𝑀
= 1,272= 538,46𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚
𝛽𝛽
=
𝑃𝑃n 𝜙𝜙 1380
)+
1890,4
𝑃𝑃
)
+
=
0,948
<
1
0,9
𝜙𝜙
0,65
Respuesta
que
refleja que la sección resiste holgadaterior
se 𝛽𝛽obtienen
los siguientes resultados, que se reflejan
𝑀𝑀=n+ 350
𝑃𝑃) 569
=
= 2123𝑘𝑘𝑘𝑘
= log
0,277
344
𝑀𝑀n+ =300
= 350 =
388,89𝑘𝑘𝑘𝑘
∙ 𝑚𝑚 Pero si se compara este
𝑀𝑀)+ =𝜙𝜙las
0,65
1890,4
𝑃𝑃)= la figura
6814
𝑀𝑀n+solicitaciones
mente
actuantes.
en
10:
== 0,277
= 451,58𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚
𝑀𝑀)+= =
= 0,9 = 538,46𝑘𝑘𝑘𝑘
∙
𝑚𝑚
𝑀𝑀)+ = 𝜙𝜙',KZX
',KZX
',KZX 0,65
',KZX
𝑀𝑀𝜙𝜙n+
300177,78
𝑃𝑃=538,46
6814
388,89𝑀𝑀𝜙𝜙n+con 0,65
177,78
350
resultado
lo
reflejado
en
la
figura
7,
donde
se
realizó
Considerando
que
la sección
compresión con=
=
= 451,58𝑘𝑘𝑘𝑘
𝑚𝑚está en
𝑀𝑀
𝑃𝑃
=∙ 0,948
<1
+
=∙ 1,532
>1
)+ log 0,5
=+
= 538,46𝑘𝑘𝑘𝑘
𝑚𝑚
𝑀𝑀))+ = ',KZX
',KZX
𝜙𝜙f =
0,65 por
569
344 se concluye que este último falsea
569 𝑀𝑀
344 lo que:
= 0,65,
1,272
𝛽𝛽 =
𝜙𝜙',KZX
0,65
388,89
177,78
un
cálculo
más
preciso,
trolada
y
130
',KZX
𝑃𝑃=
log
log0,5
𝛽𝛽n*
+ 177,78
= 0,948 < 1
= 1,272= 200𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚
𝑀𝑀
𝛽𝛽 )*
= = 𝜙𝜙 =
la538,46
resistencia
de
la sección,
lo que
se debe
569 𝑀𝑀
344
+
= 1,532
> 1a que bajo las car0,65
𝑀𝑀
350
𝑃𝑃
130
log
𝛽𝛽n*1380
',KZX
',KZX
n+
n
569
344
538,46
177,78
=
=
=
538,46𝑘𝑘𝑘𝑘
∙
𝑚𝑚
𝑀𝑀
𝑃𝑃
=
=
= 2123𝑘𝑘𝑘𝑘
=
= 300
= 200𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚
𝑀𝑀
gas
2029,4 el valor de f es menor que el de 0,9 asumido.
𝑃𝑃))+actuantes
𝑀𝑀
))*
n+
= 1,532 > 1
𝜙𝜙n+ =+
0,65
𝜙𝜙
0,65
𝜙𝜙
0,65
=
0,297
𝑀𝑀
350
=
=
=
451,58𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚
𝑀𝑀
)+
',6Z6
569
344
Realmente
es
menor, f =∙ 𝑚𝑚
0,787.
𝑃𝑃=)+ =
300200 ',6Z6
= mucho
= 538,46𝑘𝑘𝑘𝑘
𝑀𝑀
451,58𝑀𝑀𝜙𝜙n+ 0,65
𝑃𝑃6814
n 𝜙𝜙 1380
0,65
= ',6Z6
= + se =
451,58𝑘𝑘𝑘𝑘
∙ 𝑚𝑚 la
𝑀𝑀)+Sin
< sección
1
𝑃𝑃) =
=
=se2123𝑘𝑘𝑘𝑘
',KZX
Más
evidente
hace ',KZX
esta contradicción resolviendo el
comprueba
que
está realmen',6Z6 = 0,999
𝑃𝑃)451,58
𝜙𝜙
0,65428
673 embargo
0,65 177,78
538,46
200
𝑃𝑃𝜙𝜙n 1380
𝑃𝑃
𝑀𝑀
130
)
+
=
1,532
>
1
+
=
0,999
<
1f > 0,65. Después de
n*
ejercicio
M
=
350kN.m,
que
como
se
ilustra
en
la
fite
en
la
zona
de
transición
y
por
tanto
𝑃𝑃) ≤
= 0,3=para
=
2123𝑘𝑘𝑘𝑘
',KZX
',KZX
𝑃𝑃
ux
=
=
= 200𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚
𝑀𝑀=)*
569𝜙𝜙
344
673
428
0,65 177,78
𝑃𝑃)=538,46
𝑀𝑀𝜙𝜙n*
130
0,65
n+
𝑃𝑃
gura
7a conduce
de la sección.
Si se sigue el
varios
tanteos
se
obtiene que:
+ al agotamiento
= 1,532
>1
𝑀𝑀)*
=
= 200𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚
)+ =
569
344
0,65
𝑃𝑃) 2029,4
𝑀𝑀𝜙𝜙
0,65
procedimiento
𝑃𝑃)= = 𝑃𝑃n = 1380descrito:
',6Z6= 0,297 ',6Z6
= = n+
𝑃𝑃
= 2123𝑘𝑘𝑘𝑘
𝑀𝑀451,58
)
)+
𝑃𝑃=
6814
0,65
0,65 + 200
𝑃𝑃𝜙𝜙n 1380
𝑃𝑃
= 0,999 < 1
',6Z6
𝑃𝑃)== = 2029,4
𝑃𝑃
=
=
2123𝑘𝑘𝑘𝑘
451,58
200
673
428 ',6Z6
86 | =
Ingeniería
Civil
𝜙𝜙
0,65
=189/2018
0,297
+
= 0,999 < 1
𝑃𝑃) 673
𝑃𝑃)
6814
428
𝑃𝑃
≤ 0,3𝑀𝑀n+
1890,4 = 0,297
𝑃𝑃))= = 2029,4
𝑃𝑃
𝑃𝑃)== = 6814 = 0,277
𝑀𝑀=)+ =
=
=
= 388,89𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚
𝑀𝑀∙)+𝑚𝑚
= ',KZX
=
= 538,46𝑘𝑘𝑘𝑘
𝑀𝑀569
344
)+
569
344
𝑀𝑀n+ ',KZX
350
𝜙𝜙
0,9
𝜙𝜙',KZX 0,65177,78
388,89
=
= 388,89𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚
𝑀𝑀)+ =
𝜙𝜙 ',KZX
0,9 = 0,948 < 1
𝑀𝑀n+ 350
+
538,46
177,78
',KZX
',KZX
=
=
= 388,89𝑘𝑘𝑘𝑘
∙ 𝑚𝑚
𝑀𝑀)+ 569
350 344
𝜙𝜙 𝑀𝑀n+
0,9
+
=388,89
1,532
>+ 1177,78
= 0,948 < 1
',KZX
',KZX177,78
388,89
569
344
= ',KZX
=
= 538,46𝑘𝑘𝑘𝑘
∙ 569
𝑚𝑚',KZX = 0,948 <3441
𝑀𝑀538,46
177,78
)+
+
',KZX𝜙𝜙
',KZX 569
0,65
344
388,89 𝑀𝑀 177,78
+
= 1,532
1
350 344
𝑀𝑀n+ >350
n+
+
= 0,948 < 1
569
=
=
= 538,46𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚
𝑀𝑀∙)+𝑚𝑚
344
=
= 538,46𝑘𝑘𝑘𝑘
𝑀𝑀569
𝑃𝑃n 1380
)+ =
𝑀𝑀n+ 350
𝜙𝜙
0,65
𝜙𝜙
0,65
=
=
=
538,46𝑘𝑘𝑘𝑘
∙
𝑚𝑚
𝑀𝑀
𝑃𝑃)538,46
=𝑀𝑀 =',KZX
=
2123𝑘𝑘𝑘𝑘
',KZX
)+
𝜙𝜙
0,65
350
177,78
n+
0,65
sobre
el eje=x:538,46
f =',KZX
0,73
Mnox',KZX
= 673kN.m
𝑃𝑃𝜙𝜙
1380
= 538,46𝑘𝑘𝑘𝑘
∙ 𝑚𝑚
𝑀𝑀)+ =Para
n =el momento
+ = 2123𝑘𝑘𝑘𝑘
1,532
>+ 1y177,78
= 1,532 > 1
𝑃𝑃) 569
= 𝜙𝜙 =0,65
',KZX
',KZX
',KZX
',KZX
344
538,46
177,78
569
344
Para
el
momento
sobre
el
eje
y:
f
=
0,68
y
M
=
428kN.m
𝜙𝜙
0,65
538,46
177,78
+
=
1,532
>
1
noy
',KZX
',KZX 569
344
𝑃𝑃538,46
177,78
)
+
= 1,532
>1
𝑃𝑃n 1380
= 1,532 > 1
𝑃𝑃) =
=
= 2123𝑘𝑘𝑘𝑘
569
344
344
𝑃𝑃n + 1380
𝑃𝑃n 1380
𝜙𝜙
0,65
𝑃𝑃)=569
𝑃𝑃
=
=
=
2123𝑘𝑘𝑘𝑘
𝑃𝑃
=
=
=
2123𝑘𝑘𝑘𝑘
)
Para
calcular
β
surge
la
disyuntiva
de
que valor de f es) 𝑃𝑃
𝜙𝜙
0,65
1380
0,65
n 𝜙𝜙
𝑃𝑃
2123𝑘𝑘𝑘𝑘
1380
𝑃𝑃) = =𝑃𝑃para
n0,65 =
coger
la relación 𝑃𝑃𝑃𝑃)= , si se toma el menor:
𝑃𝑃)= =𝜙𝜙 2029,4
= obtener
=𝑃𝑃)2123𝑘𝑘𝑘𝑘
= 0,297
𝑃𝑃=
𝑃𝑃 = 𝜙𝜙68140,65
𝑃𝑃
𝑃𝑃) 2029,4
𝑃𝑃))= 2029,4
=
= 0,297
𝑃𝑃=)
= 0,297
𝑃𝑃) 2029,4
𝑃𝑃=
6814
𝑃𝑃= =
=
= 0,297
𝑃𝑃
6814
)
𝑃𝑃=
6814
𝑃𝑃
𝑃𝑃))== 2029,4 = 0,297
𝑃𝑃)
≤ 0,3
𝑃𝑃== ≤6814
𝑃𝑃
0,3
𝑃𝑃
𝑃𝑃)de la figura 9
𝑃𝑃= puede apreciarse que para
Y 2029,4
en el gráfico
𝑃𝑃))= =
≤ 0,3
=
0,297
𝑃𝑃=
𝑃𝑃) ≤ 0,3
𝑃𝑃=≤ 0,32029,4
6814
𝑃𝑃) tanto más desfavorable es
el
valor de β mayor y por
𝑃𝑃
𝑃𝑃
=)
=
𝑃𝑃)
𝑃𝑃=
𝑃𝑃
=
=
0,297
)
que
relación 𝑃𝑃= sea lo menor
posible, por lo que se to𝑃𝑃)= esta
6814
𝑃𝑃
𝑃𝑃
)
𝑃𝑃) 1890,4
𝑃𝑃=)= ≤ 0,3
mará
entonces: 𝑃𝑃 1890,4
=
= 0,277
𝑃𝑃
𝑃𝑃=
6814
)
𝑃𝑃=
=
= 0,277
𝑃𝑃
𝑃𝑃=
6814
= 1890,4
𝑃𝑃))
𝑃𝑃)=≤ 1890,4
0,3= 0,277
log 0,5
= 1,272
=
𝑃𝑃
𝑃𝑃== =6814
= 0,277log 0,5
y β = 𝛽𝛽0,58
log 𝛽𝛽
𝑃𝑃
6814
= 1,272
𝛽𝛽 =
1890,4
𝑃𝑃))= log 0,5
log 𝛽𝛽
𝑀𝑀n+ 300
𝑃𝑃== =
= 1,272 = 0,277
𝛽𝛽
𝑃𝑃
=
= 451,58𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚
𝑀𝑀)+ =
𝛽𝛽6814
)
= log
𝑀𝑀n+ final
300 puede
𝜙𝜙 presumirse
0,65
En
con sulogla
0,5comprobación
=
= 451,58𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚
𝑀𝑀)+ =
𝜙𝜙
0,65
𝑃𝑃
300= 1,272
𝛽𝛽
n+
𝑃𝑃)=)+== 𝑀𝑀1890,4
𝑀𝑀n* 130
ficiente
certeza
que
biaxial
=𝛽𝛽
= 451,58𝑘𝑘𝑘𝑘
∙ 𝑚𝑚 para la flexo-compresión
𝑀𝑀
log
=
= 200𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚
𝑀𝑀)* =
𝜙𝜙 0,5
0,65 = 0,277
=log
𝑀𝑀n* 130
𝜙𝜙
0,65
𝑃𝑃===0,65,
6814
f𝛽𝛽
por=lo1,272
que
se
plantean
como:
= cálculos
=
= 200𝑘𝑘𝑘𝑘
∙ 𝑚𝑚
𝑀𝑀)*los
1890,4
𝑃𝑃
𝜙𝜙
0,65
130
) 𝑀𝑀log
n* 𝛽𝛽
=
= n+ =
∙ 𝑚𝑚
𝑀𝑀)* =
𝑀𝑀
300
=200𝑘𝑘𝑘𝑘
0,277
451,58 ',6Z6
200 ',6Z6
0,65
+
= 0,999 < 1
',6Z6
𝑃𝑃=)+ log
=𝜙𝜙6814
=
= 451,58𝑘𝑘𝑘𝑘
𝑚𝑚
𝑀𝑀
451,58
200 ∙',6Z6
673
428
0,5
𝜙𝜙
0,65
+
=
0,999
<
1
𝑀𝑀n+ 200
300
',6Z6
= 1,272
𝛽𝛽451,58
= ',6Z6
673
428
451,58𝑘𝑘𝑘𝑘
∙ 𝑚𝑚 𝑀𝑀n+
𝑀𝑀)+ =log 𝛽𝛽+ =
==
0,999
<1
𝑀𝑀)+ =
673 log 0,5
𝜙𝜙 428 0,65
𝑀𝑀n+
0,65
130𝑀𝑀)+ = 0,65
𝛽𝛽 = 𝑀𝑀n* = 1,272
𝑀𝑀
log
n+ 𝛽𝛽
=
=
=
200𝑘𝑘𝑘𝑘
∙
𝑚𝑚
𝑀𝑀
𝑀𝑀n+ 300
𝑀𝑀)+)*
=
130 = 451,58𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚
= 𝑀𝑀𝜙𝜙n* = 0,65
𝑀𝑀 0,65
= 200𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚
𝑀𝑀)+
)* = 𝑀𝑀𝜙𝜙 = 0,65
300
𝜙𝜙n+
0,65
',6Z6
',6Z6
=
= 451,58𝑘𝑘𝑘𝑘
∙ 𝑚𝑚
𝑀𝑀451,58
)+ =
200
0,65
𝑀𝑀𝜙𝜙n*
130
+
= 0,999 < 1
',6Z6
',6Z6
673
428
=
= 200𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚
𝑀𝑀451,58
200
)* =
0,65
= 0,999 < 1
𝑀𝑀𝜙𝜙n* +
130428
673
= 200𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚
𝑀𝑀)* = 𝑀𝑀n+ =
𝜙𝜙
0,65
𝑀𝑀451,58
',6Z6
',6Z6
)+Y=
finalmente
comprueba:
200
0,65
𝑀𝑀n+ + se
= 0,999 < 1
𝑀𝑀)+
=
',6Z6
673 0,65
428
451,58
200 ',6Z6
+
= 0,999 < 1
673 𝑀𝑀n+
428
𝑀𝑀)+ =
0,65
Resultado
𝑀𝑀n+ que se corresponde con lo logrado a través
𝑀𝑀)+ =
de las hojas
0,65 de cálculo y que se refleja en la figura 7c.
5. CONCLUSIONES
1. Las hojas de cálculo en MathCAD son un recurso ventajoso para la solución de problemas de flexo-compresión biaxial pues combinan su sencillez y
asequibilidad con un riguroso procedimiento para
los cálculos, ofreciendo una respuesta racional y
confiable.
2. La variación del factor de reducción de la capacidad
resistente de la sección f, en las secciones bajo la flexo-compresión axial añade un nuevo elemento a la
compleja solución de este tipo de problema. Esta situación se hace muy significativo para cargas menores que la balanceada cuando el valor de resulta
𝑃𝑃=
=
𝛽𝛽 =
6814
= 0,277
log 0,5
= 1,272
log 𝛽𝛽
Columnas a flexo compresión...
mayor para
momentos
𝑀𝑀n+
300 uniaxiales, Mnx o Mny =0, que
=
=
= 451,58𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚
𝑀𝑀)+
para
biaxiales.
𝜙𝜙
0,65
3. En la aplicación del Método del Contorno de Carga
𝑀𝑀n*en cuenta:
130
debe tomarse
𝑀𝑀)* =
𝜙𝜙
=
0,65
= 200𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚
a) Si bajo la acción de momentos uniaxiales, Mnox y
',6Z6
200 ',6Z6
M451,58
, la sección trabaja
en la ZONA DE TRANSInoy
+
= 0,999 < 1
673 debe calcularse:
428
CIÓN,
𝑀𝑀n*
𝑀𝑀)* = 𝑀𝑀n*
𝑀𝑀)* = 0,65
0,65
b) Si bajo la acción de momentos
uniaxiales, Mnox
𝑀𝑀n+
𝑀𝑀)+ = 𝑀𝑀n+
𝑀𝑀
n*sección trabaja
y
M
,
la
en
TRACCIÓN
CON0,75
noy
=
𝑀𝑀
𝑀𝑀)* =
)+
0,75
0,65 debe calcularse:
TROLADA,
𝑀𝑀n*
𝑀𝑀)* = 𝑀𝑀n*
𝑀𝑀n+
0,75
𝑀𝑀)* =
𝑀𝑀)+ =
0,75
0,75
𝑀𝑀)+ =
𝑀𝑀n+
0,65
Es una propuesta
𝑀𝑀n* segura y no muy conservadora.
=
4. Los𝑀𝑀)*
métodos
0,75 aproximados deben emplearse con
reservas y solo para soluciones preliminares, sobre todo ante cargas axiales menores que la balanceada.
6. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
American Concrete Institute (2014). Requisitos del Reglamento para Concreto Estructural (ACI 318S-14) y Comentario (ACI
318SR-14). Detroit, MI (EE UU): American Concrete Institute
(ACI).
Bresler, B. (1981). Concreto Reforzado en Ingeniería. México
DF: Ed. LIMUSA.
Ehsani, M. (1986). CAD for columns. Concrete International,
vol. 8, nº 9, pp. 43-47.
Everard, N.J., e Issa, M. (2007). Chapter 3: Short Column Design SP-17-09-07, en ACI Design Handbook. Farmington Hills, MI
(EE UU): American Concrete Institute (ACI).
Jiménez Montoya y otros (2000). Hormigón Armado. Barcelona: Editorial Gustavo Gili, S.L.
Nilson, H.A., y Darwin, D. (1999). Diseño de Estructuras de
Concreto. 11ª edición. Ed. McGraw Hill.
Nilson, H.A., y Darwin, D. (2004). Design of Concrete Structures. 13ª edición. Ed. McGraw Hill.
Park, R., y Paulay, T. (1979). Estructuras de Concreto Reforzado. México DF: Ed. LIMUSA.
Portland Cement Association (2013). Notes on ACI 318-11
Building Code Requirements for Structural Concrete with Design
Applications.
Ingeniería Civil 189/2018 | 87
Puertos y Costas
Líneas de actividad
Planificación y gestión de
la costa y del mar
Estudio de actuaciones de
la costa y en el mar
Monitorización costera y
marina
Medio ambiente
Fields of Activity
Planning and
Management for Coastal
Zones and Sea Waters
Studies of Actions on
Coastal Zones and Sea
Waters
Coastal and Maritime
Monitoring
Environment
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de Obras Públicas
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