Para manejar productos escalares y vectoriales con mayor facilidad

Para manejar productos escalares y vectoriales con mayor facilidad, es
habitual introducir los siguientes símbolos:
• delta (tensor) de Kronecker:
δij =
• tensor (cíclico y

 +1 si
−1 si
ijk =

0 si
1 si i = j
0 si i 6= j
(1)
antisimétrico) de Levi-Civitá:
ijk es una permutación cíclica de 123 (123, 231, 312)
ijk es una permutación anticíclica 123 (132, 213, 321)
alguno de los índices está repetido
(2)
Utilizando los anteriores símbolos, podemos reexpresar el producto escalar
y el vectorial de dos vectores
~ = A1 ı̂ + A2 ̂ + A3 k̂
A
~ = B1 ı̂ + B2 ̂ + B3 k̂
B
(3)
como sigue:
• producto escalar:
~·B
~ = A1 B1 + A2 B2 + A3 B3 =
A
=
=
3
X
Ai Bi =
i=1
3 X
3
X
δij Ai Bj
(4)
i=1 j=1
• producto vectorial:
ı̂
̂
k̂
~×B
~ = A 1 A2 A3 =
A
B1 B2 B3 = (A2 B3 − A3 B2 ) ı̂ + (A3 B1 − A1 B3 ) ̂ + (A1 B2 − A2 B1 ) k̂ =
=
3 X
3 X
3
X
ijk Ai Bj êk
i=1 j=1 k=1
1
(5)
Los símbolos de Levi-Civitá presentan la siguiente propiedad de suma:
3
X
ijk ipq = δjp δkq − δjq δkp
(6)
i=1
Nótese que para aplicar esta expresión el índice sobre el que sumamos ha de
ocupar la misma posición en los dos símbolos (si no aparece un signo en
función de la permutación que hemos de aplicar para reordenarlos convenientemente).
La anterior expresión nos permite simplificar expresiones complicadas en
las que aparecen productos vectoriales:
a) Ejemplo 1:
~ × (B
~ × C)
~ =
A
X
~ × C)
~ j êk =
ijk Ai (B
i,j,k
!
=
X
X
ijk Ai
=
XXX
p,q
i,k
pqj Bp Cq
êk =
p,q
i,j,k
(−jik )(jpq ) Ai Bp Cq êk =
j
=−
XX
=−
X
(δip δkq − δiq δkp ) Ai Bp Cq êk =
p,q
i,k
(Bi Ck − Ci Bk ) Ai êk =
i,k
~ · B)
~ C
~ − (C
~ · A)
~ B]
~ =
= −[(A
~ (A
~ · C)
~ −C
~ (A
~ · B)
~
=B
(7)
b) Ejemplo 2:
!
~ × B)
~ · (C
~ × D)
~ =
(A
X
ijk Ai Bj êk
=
·
p,q,r Cp Dq êr
=
p,q,r
i,j,k
XX
!
X
ijk Ai Bj pqr Cp Dq δkr =
i,j,k p,q,r
=
XXX
i,j
=
p,q
XX
i,j
ijk pqk Ai Bj Cp Dq =
k
(δip δjq − δiq δjp ) Ai Bj Cp Dq =
p,q
~ · C)(
~ B
~ · D)
~ − (A
~ · D)(
~ B
~ · C)
~
= (A
2
(8)