EII-450 Investigación de Operaciones II

Pontificia Universidad Católica de Valparaíso
Escuela de Ingeniería Industrial
EII-450 Investigación de Operaciones II
Pauta Control #2
1)
04 de Septiembre de 2007
Formule y explique en detalle el Problema de Flujo a Mínimo Costo (18P).
Parámetros y Conjuntos y Variables (8P)
A = conjunto de arcos existentes.
N = conjunto de nodos de la red
Cij = costo unitario de transporte del flujo en el arco (i, j).
bi = oferta o (-) demanda en el nodo i.
Xij = flujo que circula en el arco (i, j).
Modelo Matemático (10P) (incluidas las explicaciones)
min

( i , j ) A
Función objetivo: minimizar el costo total de transporte
incurrido por los flujos asignados a los arcos (i, j) de la red.
Cij  X ij
Restricciones
s.a :

X il 

X ij  0
l /  i , l  A
( i , j ) A
2)

l /  l , i  A
X li  bi
Equilibrio de flujos o balance de masa. Todo lo que sale
menos lo que entra es igual a la oferta o (-) la demanda.
Asegurar que los flujos entre los nodos sean positivos o
nulos.
Utilice la formulación anterior, para establecer un modelo que entregue las rutas más cortas entre uno nodo origen X
y otros tres nodos Y, Z y W, para una red G(N,A). ¿qué analogía práctica justifica o motiva dicha formulación?
(12P).
R: En este caso, se debe considerar una oferta de 3 unidades en el nodo X y una demanda de 1 (oferta de –1) en cada nodo
Y, Z y W. Otra diferencia es que en vez de los costos Cij ahora deben considerarse las distancias dij (distancia en cada arco
i,j). Esto, para minimizar las distancias (rutas más cortas, no mas baratas) (4P).
De este modo el modelo es el siguiente (4P):
min

( i , j ) A
dij  X ij
s.a :
3

X il   X li  1

l /  i , l  A
l /  l , i  A
0


( i , j ) A
3)
iX
i  Y , Z ,W
La analogía consiste en lo siguiente: Encontrar las
rutas mas cortas o mas baratas entre un origen y un
conjunto de destinos, equivale a buscar la manera
más barata de enviar un vehículo o una unidad de
carga desde el origen a cada uno de los destinos
requeridos (4P).
e.o.c.
X ij  0
Responda las siguientes preguntas (30P).
a)
¿Porqué, y bajo que condiciones Simplex de Redes entrega automáticamente soluciones enteras? ¿cómo abordaría un
caso que no cumple(n) la(s) condición(es) requerid(as) para que lo anterior ocurra?
R: Dado que la matriz asociada a las restricciones del PFMC ( A,en el sistema AX  b ), es la matriz de incidencia nodo
arco, es posible demostrar que cualquier matriz básica B (submatriz de la matriz de incidencia nodo arco), es unimodular
con determinante 1, 0, ó –1. De este modo, cualquier solución básica del simplex, calculada como X B  B1b , sólo
implicará sumas, restas, jamás divisiones (2P). Luego, si b está compuesto sólo de valores enteros, las soluciones básicas
XB serán automáticamente enteras (1,5P). En caso que b no sea entero, siempre será posible amplificar b (y naturalmente los
flujos), por una constante tal que lo transforme en entero (1,5P).
b)
Describa las principales semejanzas y diferencias entre el PFMC y el AMEM.
R: En ambos casos las soluciones representan árboles generadores (sin ciclos y conectan a todos los nodos de la red). En el
segundo caso (AMEM), es más bien por definición pues es el Árbol Generador de mínima extensión o largo. En el primer
caso (PFMC), a diferencia del AMEM, las soluciones son árboles generadores en la medida que se utilice simplex para
resolverlo, si se usa otro método podrían no ser árboles. Otra, diferencia importante es que en el AMEM, cada arco será
considerado en la función de costos sólo una vez, y en caso que se utilice (cada arco pertenece o no al AMEM), mientras
que en el PFMC cada arco se considerará en la función de costos, tantas veces como unidades circulen por él. Se recalca que
el AMEM considera como F.O. la suma de los costos de los arcos considerados, mientras que en el PFMC, se considera el
costo total de las unidades que circulan por cada uno de los arcos de la red.
¿Qué representan las variables  en el método de Simplex de Redes? ¿qué dimensión posee dicho vector? ¿porqué?
c)
R: Las variables  representan las variables del problema dual asociado al PFMC, donde cada i del problema dual estará
asociado a cada restricción del problema primal, es decir de balance de masa de cada nodo i. De este modo existirá tantos
valores i como nodos en la red G(N,A), es decir |N|. Un problema dual poseerá tantas variables como restricciones existan
en el problema primal.
d)
Explique qué elemento del método simplex tradicional permite:

Determinar los valores de las variables 
R: En cada iteración del simplex, se debe realizar operaciones fila en el Tableaux de modo de dejar en cero los costos
(reducidos) de las variables básicas. La operaciones fila requeridas para ello son equivalentes a determinar el set de
valores  que hacen 0 los costos reducidos de las variables básicas.

Determinar el arco no básico que debe entrar a la base.
R: Una vez determinadas las operaciones filas requeridas en el Tableaux para anular los costos reducidos de las variables
o arcos básicos, que como se comentó es equivalente a calcular los valores , se disponen de los costos reducidos de las
variables no-básicas. Así, aquellas variables básicas con un costo reducido negativo serán candidatas a ingresara la base.
e)
¿Qué estructura posee una solución básica del método de Simplex de Redes? ¿qué justifica lo anterior?
R: Toda solución básica factible del PFMC, basados en el uso de simplex, consistirá en un árbol generador (N-1 arcos sin
considerar ciclos y conectando a todos los nodos de la red). Lo anterior se debe a que toda solución básica factible del
simplex posee tantas variables básicas como restricciones o filas existan. En el PFMC existen N restricciones (una de
balance para cada nodo). Sin embargo, dado que la suma de los elementos de cada una de las columnas y del lado derecho
es 0, sobra una restricción (son linealmente dependientes). De este modo, en realidad solo existirán N-1 variables básicas,
conformando un árbol generador.
f)
¿Qué inconveniente aparece en una solución básica cuando se ingresa una variable no básica a ella? ¿cómo se
resuelve el problema anterior?
R: Dado que toda solución básica es un árbol generador, agregar una variable básica creará ineludiblemente un ciclo. De
este modo, se deberá eliminar un arco de los básicos que forman parte del ciclo que apareció, de modo de recuperar
nuevamente un árbol generador.