guÍa de estudio no 3 cÁculo diferencial 2016-1 1

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA
ÁREA DE MATEMÁTICAS
GUIA N° 3 2016-1
Dependencia: Facultad de Ciencias
Asignatura: Cálculo Diferencial
Empresariales y Económicas
1. Determine la pendiente de la tangente a las gráficas de las funciones
siguientes en los puntos indicados. Encuentre la ecuación de la recta
tangente en cada caso.
a. y = 3x 2 − 4 en x = 2
b. y = x 2 − 4 en x = −2
1
en x = 3
x
1
d. f(x) =
en x = 2
x−1
c. f(x) =
e. y = x 2 + x , en el punto a) (1, 2)
f. y =
b) (−1,0)
1 3
x 2 en el punto (4,2)
4
g. y = 1 − x 2 en el punto (2, −3)
2. Calcule la derivada de las siguientes funciones
a. f(x) = x17
b. f(x) = 5x − 4
5
c. f(x) = √x 4
d. f(x) = x17
e. f(x) =
5
3
√x 2
3. Utilice el álgebra de derivada para calcular la derivada de las siguientes
funciones
4
a. y = √x 3 + 5x 4
b. y = (6x 4 + 4x 3 )(x 2 − 5x)
c. y =
x5
2x + 3
3
d. y = √x(x 3 + 2x))
e. f(x) = x 9 − 5x 8 + x + 12
1 1
1
f. y = + 2 −
t t
√t
1
3
g. y = √x + 3
√x
3
x2 2
1
x
h. y = −
+ − x2 + 2 +
16 x
3x
3
2
2
1
x2
x+2
i. y = − 2 + x 3 +
+ + √5 +
x
3
2 √x 4
5
2
x − 4x
j. y =
x3
1 5
1
(x − 2x 3 + 1) (x − )
3
x
2
1
l. f(x) = 2 (2x 2 − 2 ) (2 − x)(2 + x)
2x
x5
m. f(x) = 2
(x + 1)(x 3 + 4)
k. y =
4. Utilice la regla de la cadena para calcular la derivada de las siguientes
funciones
a. y = (4x − 5)3
b. y = (x 3 + 3x)5
c. y = √3x − 2
d. y =
e. y =
1
(2x − 6)4
(x 2
2
+ 6x − 3)5
5. Encuentre la derivada de las siguientes funciones exponenciales y
logarítmicas
a. y = e2x−1
b. y = ex
2 +3x
c. y = x 3 + e3x+2
d. y = x 3 ex
2
e. y = ln(x 2 − 5x)
f. y = ln(5x 3 )
g. y = ln(4x 3 + 2x)
h. y = ln(e2x − 1)
i. y = √3x − 2
j. y = ln(3x − 1) + e5x
k. y = 2e(x
l. y = e√x
2 +1)3
2 −9
6. Calcule las derivadas primera y de orden superior de las siguientes
funciones con respecto a la variable independiente correspondiente.
a. y = 5x 4 − 2x 3 − x 2
b. y = −2x 3 − 4x
c. Encuentre y ′′ si y =
4x 3
x2 − 3
d. Encuentre y ′′ si y = lnx
e. Encuentre y ′′′ si y = xlnx
f. Encuentre y (4) si y = xex
g. Encuentre y (4) si y = x (4) + e2x
7. Halle la derivada y’ implícitamente
a. x 2 y 2 + 2y = 2x
b. 3x y 3 − 5x = 8y 2
c. √xy − 2y 2 = −3x
d.
x−5
= 2x − 3y 2
y
e. e2y + 3lnx = 2xy
8. Resuelva los siguientes problemas
a. El productor de ciertos artículos de consumo estima que el costo total de
producir 𝑥 cantidad de artículos se expresa por C(x) = 1.000 + 8x + 0,3x 2
(miles de peso). Determine:
a. La función costo promedio
b. El costo promedio de producir 50 artículos. Interprete el resultado
c. El costo marginal al producir 70 artículos
b. La función precio de vender x cantidad de artículos producidos por un
fabricante viene dada por p = 10 − 0,3x. Determine
a. La función ingreso
b. El ingreso marginal al producir el artículo 150 Interprete el resultado
c. La ecuación de demanda de cierto artículo es p = 120 − 0,7x y la función
costo es
C(x) = 2.000 + 15x. Calcule la utilidad marginal cuando se producen y
venden 150 unidades.
d. El ingreso per cápita es la razón entre el producto nacional bruto (PNB) de un
país y el tamaño de la población del mismo. El PNB de cierto país está
aumentando con el tiempo de acuerdo con la fórmula I = 100 + t (Miles de
millones de dólares) y la población en el instante t es p = 75 + 2t (millones).
Calcule la tasa de cambia percápita en el instante t.
e. El ingreso per cápita promedio en cierto país al tiempo t es igual a w = 600 +
500t + 10t 2 (w en dólares y t en años). El tamaño de la población en el instante
t (en millones) es p = 10 + 0,2t + 0,001t 2 . Calcule la tasa de cambio del PNB
en el instante t.
f. La demanda de x cientos de unidades de un producto está dada por
98
x=
−1
√2p + 1
, donde p es el precio unitario en dólares. Encuentre la tasa de cambio de la
demanda con respecto al precio cuando p = 24
g. Suponga que el volumen de venta semanal, y (en miles de unidades vendidas),
depende del precio unitario del producto de acuerdo con
32
y=
,p > 0
(3p + 1)2/5
, donde p se da en dólares. ¿Cuál es la tasa de cambio en el volumen de venta
cuando el precio es de $21? Interprete el resultado.
h. Se introduce un producto al mercado y t meses después, su precio unitario es
p(t) cientos de dólares, donde
Ln(t + 1)
p=
+5
t+1
Calcular la tasa de variación del precio al 5 mes de haberse introducido al
mercado
i. El ahorro S de un país (en miles de millones de dólares) está relacionado con
el ingreso nacional I (en miles de millones de dólares) mediante la ecuación
5
S = ln [
]
3 + e−I
a. Halle la propensión marginal del ahorro (S´) al consumo respecto al ingreso.
b. Calcule e interprete la propensión marginal si I=1.
j.
El volumen de ventas de una marca de detergente disminuye después de una
campaña publicitaria de acuerdo con la formula
v = 750 × 1.3−t
, donde t es el tiempo en meses. Calcula e interpretar la tasa de variación del
volumen de ventas a sexto mes de culminar la campaña.
BIBLIOGRAFIA
1. ERNEST F. HAEUSSLER, JR. RICHARD S. PAUL. Matemáticas para
Administración, Economía, Ciencias Sociales y la vida. Prentice Hall. México
2. HOFFMANN, L. Cálculo aplicado. McGraw Hill. México 1985.
3. JAGDISH C. ARYA y ROBIN W. LARDNER. Matemáticas aplicadas a la
Administración y a la Economía. Prentice Hall. México.
4. LEITHOLD, LOUIS. Cálculo. Harla. México
5. PIOTR MARIAN WISNIEWSKI y otros. Problemario de Cálculo diferencial de
una variable. Internacional Thomson Editores. México, 2001
6. SOLER F., FRANCISCO y otros. Fundamentos de cálculo con aplicación a
ciencias económicas y empresariales. Ecoe Edición
7. SMITH R, ROLAND M: Cálculo tomo 1: Mc Graw Hill. 2004