LA DERIVADA La tasa de cambio promedio de una función y=f(x

LA DERIVADA
La derivada de una función se puede utilizar para determinar la tasa de cambio de la
variable dependiente con respecto a la variable independiente. A través de la derivada
se puede obtener la ganancia, el costo y el ingreso marginal, dadas las respectivas
funciones de ganancia, costo total e ingreso total, además de otras tasas de cambio
como de la tasas de cambio de las poblaciones y de la velocidad. También se puede
utilizar para hallar la pendiente de una tangente a una curva en un punto sobre la
curva. Además la derivada es utilizada para minimizar el costo promedio, maximizar
el ingreso total maximizar la ganancia y determinar la elasticidad en la demanda.
La tasa de cambio promedio de una función y=f(x) de x=a a x=b está definida por:
y
(x+h ,f (x+h ))
f (x+h )
(x,f (x))
f (x)
h
x
x+h
x
Según la figura la tasa de cambio promedio es igual a la pendiente del segmento (x, f(x))
y ((x + h), f( x +h)) así
, es decir
Ejercicio 22
Suponga que el costo total en dólares de una compañía por producir x unidades esta
dado por C(x)= 0.01x2+25x+1500. Encuentre la tasa de cambio del costo total para:
Las primeras 100 unidades producidas (x=0 a x= 100)
Las segundas 100 unidades producidas
Tasa de cambio instantánea Suponga que un objeto que se mueve en línea recta
tiene su posición y en un momento x dado por y=f(x). Entonces, la velocidad del
objeto en el momento x es:
, si este límite existe
Ejercicio 23
Suponga que se lanza directamente hacia arriba una pelota de modo que su altura f(x)
(en pies) se obtiene mediante la ecuación
f(x)=96+64x-16x2
Encuentre la velocidad promedio de x=1 a x=1+h
Pendiente de la Tangente A la gráfica y=f(x) en el punto A(x1,f(x1) es
Si ese límite existe. ES decir, m=f´(x), la derivada en x=x1.
Ejercicio 24
Encuentre la pendiente de y=f(x)=x2 en el punto (2,4)
DERIVADA Si f es una función definida por y=f(x), entonces la derivada de f(x) para
cualquier valor de x, denotada f`(x), es
Si este límite existe. Si f`(c) existe, decimos que f es diferenciable en c.
Si y= f(x) la derivada de y con respecto a x se denota y´ o
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o
o Dxy o Dx[f(x)]
Ejercicio 25
Encuentre la derivada de cada función
f(x) = 2x
f(x) = x2
f(x) = x3+1
f(x) = 3x2-2x+1
Problema 14
La función ingreso total de un producto está dada por R=R(x), donde x es el número de
unidades vendidas. Entonces el ingreso marginal para x unidades es:
Suponga que el ingreso de una compañía petrolera (en miles de dólares) está dado por
Donde x es el número de miles de barriles de petróleo que se venden diariamente.
 Encuentre la función que da el ingreso marginal para cualquier valor de x.
 Encuentre el ingreso marginal cuando se venden 20 000 barriles, es decir x=20.
Remplazando
Como x=20
Si se incrementa la producción en 21 mil barriles el ingreso se incrementa en 60 mil
dólares
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Fórmulas de la Derivada Si f, g y h son funciones definidas en x y k ЄR
Tipo
Constante
Función
Derivada
f(x)=k
f´(x)=0
Ejemplos
 Si f(x)=5, f´(x)=0
 Si f(x)=-2, f´(x)=0
Múltiplo
constante
f(x)=kx
Potencia
f(x)=xn
Múltiplo
Potencia
Suma
Multiplicación
f´(x)=k
 Si f(x)=3x, f´(x)=3
 Si f(x)=-0.5x, f´(x)=-0.5x
f´(x)=nxn-1
y f(x)=kxn
f´(x)=k.nxn-1

Si f(x)=x4, f´(x)=4x3

Si f(x)=x-3, f´(x)=-3x-4
 Si f(x)=5x4,f´(x)=20x3
 Si f(x)=-6x5,f´(x)=-30x4
f(x) = [g(x) ± f´(x)=g´(x) ± h´(x)
h(x)]
 Si f(x)= x3+4x2-3x+2, f´(x)=3x2+8x-3
f(x)
[g(x).h(x)]
 f(x)=(x2+2)(3x-1)
= f´(x)=g´(x) ± h´(x)

-
,
-
-
-
f´(x)=2x(3x-1)+(x2+2)3 = 6x2-2x+3x2+6 = 9x2+2x+6
 f(x)=x3/2(3x2-x-1)
f´(x)=
-
=
Cociente
k


Cociente


,
-
-
-
-
-
-
-
Ejercicios 26
Derivar cada una de las siguientes funciones
f(x) = - 4
f(x) = 0.25
f(x)=21x
f(x)=
f(x)=x5
f(x)=
f(x)=4x3
f(x)=
f(x)=(x2+1)2
f(x)=4x2
+ 5x + 3
f(x)= 6 –
f(x)=
f(x)=
x-2
+
x1/2
(x3-
f(x)=
1)(5x2+6x)
f(x)= -
x
f(x)=
Problemas 15
1. El costo (en dólares) de producir x unidades de cierto artículo es
C(x)=5000 + 10x + 0.05x2.
Halle el costo marginal (Es decir la razón de cambio de C con respecto a x, cuando
x=100.
El costo, en dólares, para producir x pares de jeans es
2.
C(x)=200 + 3x + 0.01x2+0.0002x3
a.
b.
c.
d.
3.
Encuentre la función costo marginal.
Halle C`(100) y explique su significado. ¿Qué pronostica?
Calcule C(101) – C(100)
Compare los resultados de los encisos b y c. ¿Qué encuentra?
La función costo de un artículo es C(x)=84000 + 0.16x – 0.6x2 + 0.003x3
a. Encuentre la función costo marginal.
b. Halle C`(100) y explique su significado. ¿Qué pronostica?
c. Calcule C(101) – C(100)
2. Compare los resultados de los encisos b y c. ¿Qué encuentra?
4. El costo, en dólares, para producir x pares de jeans es
C(x)=920 + 2x – 0.02x2+0.00007x3
a. Encuentre la función costo marginal.
b. Halle C`(100) y explique su significado. ¿Qué pronostica?
c. Calcule C(101) – C(100)
d. Compare los resultados de los encisos b y c. ¿Qué encuentra?
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Problemas 16
1.
El ingreso total (en dólares) obtenido por la venta de x de libreros es
, determine:
a. La función ingreso marginal (R´(x))
b. Calculo el ingreso marginal si las ventas se incrementan en 300 unidades
2.
El volumen de ventas de un disco fonográfico particular está dado como una
función del tiempo t por la fórmula
S(t)=10 000 + 2 000t -200t2
, donde t se mide en semanas y S es el número de discos vendidos por semana
determine la tasa de cambio cuando
a. t=4 y ¿qué significa?
b. t=8 y ¿qué significa?
c. Compare los resultados ¿qué encuentra?
3. El costo en miles de pesos de la elaboración de x miles de CD en cierta productora
de discos, esta dado por C(x)=1 500 - 3x + x3,
a. Encuentre la tasa de cambio del costo con respecto a la cantidad.
b. Calcule C´(100), ¿qué significa?
4. Suponga que un mayorista espera que su ingreso mensual por la venta de
televisores pequeños sea
, donde x es el número de unidades vendidas. Encuentre su ingreso marginal e
interprételo cuando la cantidad vendida es 300, 500 y 600
5. Suponga que el ingreso de una compañía petrolera (en miles de dólares) está dado
por la ecuación
R(x) = 100x – x2
, donde x es el número de miles de barriles de petróleo que se venden
diariamente. Encuentre el ingreso marginal cuando se vende 20 000 barriles
(es decir x=20)
6. Suponga que el fabricante de un producto sabe que dada la demanda de este
producto, su ingreso esta dado por
R(x) = 1 500x – 0.02x2 c n
, donde x es el número de unidades vendidas y R(x) está en dólares. Encuentre el
ingreso marginal en x=500, interprete el resultado.
7. La producción semanal de cierto producto es
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Q(x)= 200x + 6x2
, donde x es el número d trabajadores en la línea de ensamble. En la actualidad hay
60 trabajadores en la línea. Encuentre Q`(x) y calcule el cambio en la producción
ocasionada por la suma de un trabajador, interprete el resultado
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