MÓDULO DE MATEMÁTICA_11º_I.P.T.V.

REPÚBLICA DE PANAMÁ
MINISTERIO DE EDUCACIÓN
DIRECCIÓN NACIONAL DE EDUCACIÓN MEDIA PROFESIONAL Y
TÉCNICA
DIRECCIÓN REGIONAL DE EDUCACIÓN DE VERAGUAS
INSTITUTO PROFESIONAL Y TÉCNICO DE VERAGUAS
AÑO LECTIVO 2011
SANTIAGO, VERAGUAS, PANAMÁ
MÓDULO DE MATEMÁTICA
ESTUDIANTE: ____________________
PROFESOR: ALEXIS J. MONTALVO G.
ASIGNATURA: MATEMÁTICA
NIVEL: XIº
GRUPO: QUINTO
SECCIÓN: BACHILLERATOS INDUSTRIALES Y GESTIÓN FAMILIAR E
INSTITUCIONAL
PRÓLOGO
El aprendizaje de las matemáticas está considerado como una prueba evidente de la capacidad intelectual
y el aprovechamiento de un estudiante. Otros saberes o disciplinas no han alcanzado el prestigio
académico que se concede a las matemáticas. Probablemente no es sólo porque requiere el manejo de
nociones abstractas, sino porque está en la base de otros aprendizajes y especialmente en el estudio de
las materias científico-técnicas. A menudo el alumno que encuentra dificultades en esta asignatura tiende
a renunciar: la frase yo no sirvo para las matemáticas suele ser la expresión de esta renuncia.
Sin embargo, las matemáticas están tan al alcance de los estudiantes como pueda estarlo cualquier otra
materia. Estamos hablando de los estudiantes que estudian, naturalmente, porque, pese a que hay quien
defiende que no hay que estudiarlas, porque basta con entenderlas, lo cierto es que el fracaso escolar en
matemáticas no provienen casi nunca de la falta de capacidad (o por lo menos no en mayor grado que en
otras materias), sino de la falta de estudio y de un método de aprendizaje adecuado.
¿Cómo deben estudiarse las matemáticas? ¿Cuál es el método más adecuado?
La verdad es que no hay un solo método, como no hay tampoco un solo tipo de inteligencia o un solo tipo
de estudiante. Cada persona debe encontrar su método, el más adecuado a su estilo de aprendizaje, el que
le reporta mayor eficacia. Pero, sea cual sea su método de estudio, deberá integrar los siguientes pasos o
procesos:
 La identificación del problema al que da respuesta cada aprendizaje. Porque todo cuanto el
estudiante deba aprender carecerá de valor o significado para él si no responde a un problema
planteado previamente, a algo con lo que pueda relacionar el aprendizaje que se le propone. Así,
por ejemplo, aprender qué es y cómo se calcula la raíz cuadrada es menos significativo y
motivador que aprender cómo calcular cuántos metros lineales de muro deberán construirse para
cerrar uno de los lados de un terreno cuadrado de 144 m².
 El establecimiento de relaciones lógicas que permitan, por inducción y deducción, llegar al
enunciado de reglas y principios, de modo que el estudiante a prenda a pasar del caso particular al
enunciado general. Y de éste a la resolución de todos los casos de una misma categoría. En este
proceso se hallan implicados otros procesos significativos, entre los cuales la identificación de las
variables relevantes en un problema.
 La identificación de conceptos y el uso preciso del lenguaje matemático para la descripción de
problemas y procesos, de modo que el estudiante no sólo sea capaz de utilizarlos en un contexto
de estudio de la materia, sino de aplicarlos a la designación, descripción y explicación de
situaciones, experiencias y fenómenos en su propio interno.
 El aprendizaje de los diversos procedimientos de cálculo y operativos, identificando cuáles son las
variables que intervienen, los procesos de transformación o generación de datos que se producen
y la interpretación o lectura exacta del resultado como nueva información, y reconociendo como
tales las estrategias, recursos y rutinas utilizados, sin identificarlas o confundirlas con el
procedimiento en sí mismo. Así, por ejemplo, el estudiante no sólo debe conocer con seguridad el
algoritmo de la multiplicación, sino que debe ser saber por qué en el algoritmo operativo desplaza
un lugar hacia la izquierda la escritura de cada nuevo producto para al final obtener, sumando los
productos parciales, el resultado de la operación.
 La aplicación de los conceptos y procedimientos aprendidos a la definición y resolución de
problemas de todo tipo, no sólo de índole práctica sino también de orden especulativo,
recuperando de este modo el valor de las matemáticas como conocimiento instrumental en todas
las áreas del conocimiento, equiparable al valor instrumental del lenguaje.
A todos los estudiantes del curso de Reforzamiento de Matemática se dirige este módulo, que ha sido
concebido y desarrollado con el único propósito de facilitar el aprendizaje teórico y práctico de los
contenidos matemáticos estudiados en el nivel de undécimo grado.
INTRODUCCIÓN
Desde una perspectiva pedagógica renovada y actual, la enseñanza es un proceso cuyo propósito
fundamental es apoyar y orientar el aprendizaje a través de la mediación cognitiva que debe realizar el
docente.
Este módulo de Matemática ha sido desarrollado de acuerdo al programa vigente del Ministerio de
Educación, para los estudiantes que cursan el Undécimo Grado.
En este módulo empezamos con la profundización de las Desigualdades e inecuaciones lineales y
cuadráticas. Incluye, además, las Identidades trigonométricas y Ecuaciones trigonométricas, y por último
las Funciones de ángulos compuestos.
El lenguaje empleado en el desarrollo de los temas es sencillo y adecuado al nivel, con definiciones y
ejemplos en cada tema, de la cual espero que los estudiantes logren un aprovechamiento efectivo y
duradero, ya que todos los temas han sido desarrollados de manera metódica y ordenadamente.
Al final del desarrollo de los temas, aparecen ejercicios de práctica correspondientes a cada uno, que
complementa y facilita el sistema enseñanza-aprendizaje.
Espero que mi esfuerzo sea comprendido por los alumnos y todo aquel que en una u otra forma está
relacionado con la actividad docente.
Recomiendo a todos los alumnos que hagan todas las prácticas en el cuaderno. Recuerde que el dominio
de las matemáticas sólo puede aprenderse practicando.
A mis estimados colegas, agradeciéndole que me proporcionen las recomendaciones y sugerencias
necesarias para el mejoramiento del módulo.
Profesor
Alexis J. Montalvo G.
DESIGUALDADES E INECUACIONES LINEALES Y
CUADRÁTICAS
INTRODUCCIÓN
Desde muy temprana edad utilizamos expresiones como: “mi papá es mayor que mi mamá”, “mi hermano
es de menor estatura que mi prima” y otras, que son relaciones que nos indican la no igualdad en la
situación presentada. Esto da origen a las desigualdades.
En el Cálculo, las desigualdades constituyen un elemento fundamental para su desarrollo y servirán de
base para cumplir requerimientos de cursos posteriores.
DESIGUALDAD
Toda expresión en la que aparece uno de los símbolos “<”, “≤”, “>” ó “≥” se conoce con el nombre de
desigualdad. Cualquiera de estos símbolos da origen a los dos miembros de la desigualdad, tal como
ocurre con el signo = en las ecuaciones.
Ejemplos:
1) 2𝑥 − 15 > 5
2) 𝑥 2 − 1 < 0
3)(𝑥 + 3)(𝑥 − 5) ≥ 3𝑥 2 − 2
1
2
1
4) 𝑥 + 3 ≤ 4
Clasificación atendiendo al signo
En particular, las desigualdades que presentan los símbolos < ó > se llaman estrictas (ejemplos 1 y 2) y
las que presentan los símbolos ≤ ó ≥ se llaman no estrictas (ejemplos 3 y 4).
Propiedades
Todas las desigualdades cumplen las siguientes propiedades:
i. Si a los dos miembros de una desigualdad se le suma o se le resta un mismo número, la desigualdad
continúa siendo cierta.
ii. Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o se dividen por un mismo número positivo, la
desigualdad se mantiene.
iii. Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o se dividen por un mismo número negativo, la
desigualdad cambia.
DESIGUALDAD LINEAL
Definición
Una desigualdad es lineal cuando, una vez simplificada, el mayor exponente de la cantidad desconocida es
uno.
En los ejemplos anteriores, las desigualdades 1 y 4 son lineales.
Conjunto solución
La solución de una desigualdad es el conjunto de todos los valores de la incógnita que la satisface.
Resolución
Resolver una desigualdad es hallar su conjunto solución, valiéndonos de las reglas utilizadas en la
resolución de ecuaciones y las propiedades.
Límite inferior y superior
Definimos límite inferior de una desigualdad estricta como el menor valor al cual se aproximan los
términos de su conjunto solución y límite superior, al mayor de estos valores. Cuando la desigualdad no
es estricta, el límite pertenece al conjunto solución.
Representación gráfica
Para representar gráficamente el conjunto solución de una desigualdad hacemos uso de la recta numérica
o recta real, la cual nos señala el orden en los números. Ello nos permite determinar que, dados dos
números en ella, será mayor el que aparezca a la derecha. La solución de un desigualdad lineal es el
subconjunto de la recta numérica que llamamos intervalo.
Sean 𝑎, 𝑏 números reales, tales que 𝑎 < 𝑏. Llamamos intervalo abierto al conjunto de los números de la
recta numérica comprendidos entre 𝑎 y 𝑏, sin incluir a éstos.
Simbólicamente: (𝑎, 𝑏)
Gráficamente:
Notación de conjunto: {𝑥 ∈ 𝑅: 𝑎 < 𝑥 < 𝑏}
Se llama intervalo cerrado al conjunto de los números comprendidos entre 𝑎 y 𝑏, inclusive.
Simbólicamente: [𝑎, 𝑏]
Gráficamente:
Notación de conjunto: {𝑥 ∈ 𝑅: 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏}
Llamaremos intervalo semi-abierto al conjunto de los números comprendidos entre 𝑎 y 𝑏, que incluye a
uno de éstos.
Simbólicamente: [𝑎, 𝑏) ó (𝑎, 𝑏]
Notación de conjunto: {𝑥 ∈ 𝑅: 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏}
{𝑥 ∈ 𝑅: 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏}
Los números 𝑎 y 𝑏 se llaman extremos o puntos terminales del intervalo.
Se llama intervalo con extremo infinito a aquél no limitado por alguno de sus extremos.
Simbólicamente
Gráficamente
Notación de conjunto
[𝑎, +∞)
{𝑥 ∈ 𝑅: 𝑥 ≥ 𝑎}
(𝑎, +∞)
{𝑥 ∈ 𝑅: 𝑥 > 𝑎}
(−∞, 𝑏]
{𝑥 ∈ 𝑅: 𝑥 ≤ 𝑏}
(−∞, 𝑏)
{𝑥 ∈ 𝑅: 𝑥 < 𝑏}
Observación: Destacamos que +∞ y −∞ NO son números. Nos indican cómo crecen y decrecen,
respectivamente, los términos de una sucesión numérica.
Ejercicios resueltos
1. Completar el siguiente cuadro.
Nombre del intervalo Simbología
Notación de conjunto
Abierto
(−4, −2)
{𝑥 ∈ 𝑅: −4 < 𝑥 < −2}
Semi-abierto
[0, 3)
{𝑥 ∈ 𝑅: 0 ≤ 𝑥 < 3}
Extremo infinito
[4, +∞)
{𝑥 ∈ 𝑅: 𝑥 ≥ 4}
Cerrado
[8, 12]
{𝑥 ∈ 𝑅: 8 ≤ 𝑥 ≤ 12}
Gráfica
2. Resolver y graficar las siguientes desigualdades. Determinar el límite inferior o superior según sea el
caso y expresar el conjunto solución en forma de intervalo.
2.1) 5𝑥 − 1 < 𝑥 + 7
𝑥
𝑥
1
1
𝑥
2.2) − 4 ( + ) ≤ −
3
2
4
6
2
2.3) (2𝑥 − 3)2 + (5 − 2𝑥)(2𝑥 + 1) ≥ 28
PRÁCTICA Nº1
1. Completar el siguiente cuadro.
Nombre del Intervalo
Simbología
Notación de conjunto
Gráfica
[−6, 2)
{𝑥 ∈ 𝑅: 1 ≤ 𝑥 ≤ 6}
{𝑥 ∈ 𝑅: 𝑥 ≥ −2}
(−1, 3)
1 9
( , )
2 2
{𝑥 ∈ 𝑅: 4 ≤ 𝑥 < 8}
[2, 4]
2. Resolver y graficar las siguientes desigualdades. Determinar el límite inferior o superior según sea el
caso y expresar el conjunto solución en forma de intervalo.
a) 2𝑥 − 5(𝑥 − 1) ≤ 11
b) (𝑥 − 3)2 ≥ (𝑥 − 7)(𝑥 + 9)
c) (2𝑥 − 5)2 + 3(𝑥 − 1) > 4𝑥(𝑥 − 4) + 15
1
2
1
d) 7 𝑥 − 5 𝑥 − 1 > 35
e)
f)
g)
𝑥+7
5
𝑥 2 −7
+
5
4𝑥+7
15
2
𝑥−5
+
≥
𝑥
3
2
8𝑥−3
4+3𝑥 2
−
3
3𝑥
5
<
+
15
2𝑥−4
12
7
<0
4
h) 3 (3𝑥 + 1) − 18 (𝑥 + 2) ≥ 9 (𝑥 + 5)
DESIGUALDADES SIMULTÁNEAS
Definición
Dos o más desigualdades se dice que son simultáneas si tienen soluciones comunes.
Resolución
La solución de las desigualdades simultáneas está dada por la intersección de sus conjuntos soluciones.
Ejercicios resueltos
Resolver graficar y determinar el (los) límite (s) de las siguientes desigualdades simultáneas. Expresar el
conjunto solución en forma de intervalo.
1. 𝑥(𝑥 + 4) − 3 < (𝑥 − 1)(𝑥 + 3)
y
2(3𝑥 − 1) < 𝑥 + 8
2. (𝑥 + 3)(𝑥 − 2) − 2 ≥ (𝑥 − 2)(𝑥 + 2)
3
3
1
1
3. 2 𝑥 − 4 − 𝑥 ≤ 2 − 3 𝑥
y
2(𝑥 − 1) + 3(𝑥 + 4) > 𝑥 + 6
1
y
5
5
−4𝑥 − 𝑥 < 8 − 6𝑥
PRÁCTICA Nº2
Resolver graficar y determinar el (los) límite (s) de las siguientes desigualdades simultáneas. Expresar el
conjunto solución en forma de intervalo.
1) 3𝑥 − 5 < 1
y
4 − 2𝑥 ≥ 8
2) 3𝑥(2 − 3𝑥) + 𝑥(𝑥 − 5) > 4(3 − 2𝑥 2 )
y
3) 3(𝑥 + 2)2 + (𝑥 − 4)(𝑥 + 5) < (2𝑥 + 3)2
2
3
1
4) 3 (𝑥 + 1) − 4 (𝑥 − 1) > 2
1
2
3
3
5) 2 𝑥 − 7 𝑥 − 14 ≥ 4 𝑥 − 2
1
1
4
1
y
6
1
6) 2 (𝑥 + 1) − 3 (2𝑥 − 5) > 4 (3 − 𝑥)
2
3
1
2
5
7
y
4
3
5
20
(3𝑥 + 2) − (3𝑥 + 2) > −
2
1
4
− 𝑥 +3𝑥 > 2 − 9𝑥
4
y
7) − 5 (𝑥 + 2) < 25 (−4 − 𝑥) − 10 (2𝑥 − 4)
8) 9 (𝑥 − 3) − 27 (1 + 𝑥) ≤ − 18 𝑥
(𝑥 − 7)(𝑥 + 9) − 2(𝑥 − 4)2 ≥ 6(𝑥 + 1) − (𝑥 − 1)2
y
3
y
5𝑥(𝑥 + 7) − 8(𝑥 − 3) > 𝑥(5𝑥 + 3) + 27
5
y
5
6
𝑥
3
2
10
(𝑥 2 − 5) − (𝑥 − 3) ≥
1
14
1
(𝑥 − 1)2
2
(4𝑥 + 6) > 𝑥 + (3 + 𝑥)
7
21
2
1
(𝑥 − 4) − (5𝑥 + 3) ≥ (17 − 3𝑥)
3
12
DESIGUALDADES QUE INCLUYEN VALOR ABSOLUTO
Definición de valor absoluto
Si 𝑎 es un número real (𝑎 ∈ 𝑅), el valor absoluto de 𝑎 se escribe |𝑎| y se define por:
𝑎, si 𝑎 > 0
|𝑎| = { 0, si 𝑎 = 0
−𝑎, si 𝑎 < 0
De acuerdo con esto, el valor absoluto de cualquier número real es positivo o cero. Así |5| = 5 por ser 5 >
0 y |−5| = −(−5) = 5 por ser −5 < 0.
Resolución de desigualdades que incluyen valor absoluto
Para resolver desigualdades que incluyen valor absoluto, debemos tener en cuenta que éste siempre es
positivo. Así, siendo 𝑐 > 0:
i. |𝑎𝑥 + 𝑏| < 𝑐 ↔ −𝑐 < 𝑎𝑥 + 𝑏 < 𝑐
ii. |𝑎𝑥 + 𝑏| ≤ 𝑐 ↔ −𝑐 ≤ 𝑎𝑥 + 𝑏 ≤ 𝑐
iii. |𝑎𝑥 + 𝑏| > 𝑐 ↔ 𝑐 < 𝑎𝑥 + 𝑏 < −𝑐
iv. |𝑎𝑥 + 𝑏| ≥ 𝑐 ↔ 𝑐 ≤ 𝑎𝑥 + 𝑏 ≤ −𝑐
Ejercicios resueltos
Resolver y graficar las siguientes desigualdades. Expresar el conjunto solución en forma de intervalo.
1) |4𝑥 + 6| < 4
2) |−2𝑥 − 3| ≤ 5
3
1
3) |4 − 𝑥| > 2
PRÁCTICA Nº3
Resolver y graficar las siguientes desigualdades. Expresar el conjunto solución en forma de intervalo.
1) |𝑥 + 5| ≤ 7
2) |𝑥 − 1| < 4
3) |2𝑥 − 1| > 1
4) |−3𝑥 − 7| ≥ 2
3𝑥−5
5) |
8
|≤2
1
2
6) |– 𝑥 − 10| ≤ 5
1
3
1
7) |2 − 5 𝑥| < 10
8) |7 − 4𝑥| > 1
1
3
9) |5𝑥 − 2| ≥ 2
10) |−15 − 8𝑥| > 1
DESIGUALDADES CUADRÁTICAS
La clave para resolver desigualdades cuadráticas es la factorización, ya que todo polinomio cuadrático es
factorizable si se permiten coeficientes complejos. En este módulo se exceptuarán estos casos.
Ejercicios resueltos
Resolver, graficar y expresar el conjunto solución en forma de intervalo de las siguientes desigualdades.
1) 𝑥 2 + 3𝑥 − 10 > 0
Solución:
Factorizando:
𝑥 2 + 3𝑥 − 10 > 0
(𝑥 + 5)(𝑥 − 2) > 0
Los factores (𝑥 + 5) y (𝑥 − 2) deben ser de signos iguales para que su producto resulte mayor que cero.
Se tienen los casos:
a) 𝑥 + 5 > 0
;
𝑥−2>0
𝑥 > −5
𝑥>2
De la gráfica se obtiene que los valores de 𝑥 que satisfacen la condición 𝑥 > −5 y a la vez 𝑥 > 2, están
dados por la intersección de los intervalos (−5, +∞) y (2, +∞), que dan como solución para este caso
(2, +∞).
b) 𝑥 + 5 < 0
;
𝑥−2<0
𝑥 < −5
𝑥<2
La intersección de los intervalos (−∞, −5) y (−∞, 2) es (−∞, −5).
El conjunto solución de la desigualdad 𝑥 2 + 3𝑥 − 10 > 0 es la unión de las soluciones de cada caso. Es
decir:
(−∞, −5) ∪ (2, +∞), que gráficamente es:
2) 2𝑥 2 + 7𝑥 + 3 ≤ 0
Solución: Factorizando:
2𝑥 2 + 7𝑥 + 3 ≤ 0
2
2𝑥 2 + 7𝑥 + 3 = (2𝑥 2 + 7𝑥 + 3)
2
22 𝑥 2 + 7(2𝑥) + 6
=
2
2
(2𝑥) + 7(2𝑥) + 6
=
2
(2𝑥 + 6)(2𝑥 + 1)
=
2
2(𝑥 + 3)(2𝑥 + 1)
=
2
2𝑥 2 + 7𝑥 + 3 = (𝑥 + 3)(2𝑥 + 1)
Los valores que hacen cero (raíces reales del polinomio) a cada uno de los factores son:
𝑥+3=0
y
2𝑥 + 1 = 0
𝑥 = −3
2𝑥 = −1
1
𝑥 = −2
Se localizan estos puntos sobre la recta numérica, dividiendo en tres partes que determinan los
siguientes intervalos:
Seleccionar valores de prueba 𝑘 en los intervalos para determinar el signo en cada uno de ellos.
Resumiendo en la siguiente tabla:
Intervalo
𝒌
Valor de 𝟐𝒙𝟐 + 𝟕𝒙 + 𝟑
para 𝒌
Signo de 𝟐𝒙𝟐 + 𝟕𝒙 + 𝟑
en el intervalo
(−∞, −3)
−4
2(−4)2 + 7(−4) + 3 = 7
+
−1
2(−1)2 + 7(−1) + 3 = −2
−
0
2(0)2 + 7(0) + 3 = 3
+
1
(−3, − )
2
1
(− , +∞)
2,
1
Se concluye que la solución de 2𝑥 2 + 7𝑥 + 3 < 0 está dada por el intervalo (−3, − 2).
Además, como en la desigualdad propuesta el producto de ambos factores puede ser cero, entonces se
1
1
deben incluir los valores −3 y − 2 en el conjunto solución y tendríamos [−3, − 2].
Gráficamente:
PRÁCTICA Nº4
Resolver las siguientes desigualdades y graficar el conjunto solución. Expresar en forma de intervalo
dicha solución.
1) 𝑥 2 − 5𝑥 − 14 < 0
2) 3𝑥 2 − 4𝑥 − 4 ≥ 0
3) 5𝑥 2 − 𝑥 − 6 ≤ 0
4) 9𝑥 2 − 12𝑥 − 5 > 0
5) (𝑥 + 2)2 − 2(𝑥 + 4)(𝑥 − 1) > (𝑥 + 5)2 − (𝑥 + 3)(𝑥 − 3) + 𝑥
6) 3(𝑥 + 2)3 − 2(3𝑥 − 1)2 − 3𝑥 2 (𝑥 + 4) > −38
7)
8)
𝑥(𝑥+1)
5
≤
𝑥−4
(𝑥+1)(𝑥+2)
4
1
2
25
+
𝑥
−
(𝑥+3)𝑥−2
30
(𝑥−6)(𝑥+1)
5
5
≤
𝑥 2 −𝑥−5
10
1
9) 2 + 𝑥 + 3 ≤ 6 𝑥 − 3
10)
𝑥−1
3
4
+𝑥−
3𝑥−4
5
8
4
≥ 15𝑥 + 15
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
Subcompetencias: Interpretar por su naturaleza la división de las identidades fundamentales en
Funciones Recíprocas, Relaciones que implican una razón de funciones trigonométricas y Relaciones
Pitagóricas. Demostrar que una ecuación es una identidad convirtiendo uno de los miembros de la
ecuación en la forma que tiene el otro miembro.
IDENTIDADES FUNDAMENTALES
Usaremos las definiciones de las seis funciones trigonométricas para desarrollar ocho relaciones entre las
funciones. A estas ocho relaciones se les conoce como identidades fundamentales y por su naturaleza se
dividen en tres grupos de acuerdo con la forma en que han sido deducidas. Se pueden usar para cambiar
la forma de una expresión trigonométrica. Esto es muy importante ya que algunas formas de una función
de las funciones trigonométricas se manejan más fácilmente y con mayor utilidad que otras.
FUNCIONES RECÍPROCAS
De acuerdo con las definiciones de funciones trigonométricas, se obtiene:
𝑦 𝑟
sen 𝜃 csc 𝜃 = × = 1
𝑟 𝑦
Por tanto se tiene:
𝐬𝐞𝐧 𝜽 𝐜𝐬𝐜 𝜽 = 𝟏
Análogamente, puede demostrarse que:
𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐬𝐞𝐜 𝜽 = 𝟏
𝐭𝐚𝐧 𝜽 𝐜𝐨𝐭 𝜽 = 𝟏
Despejando en cada una de las relaciones anteriores una cualquiera de las dos funciones que aparecen en
ella, se obtienen las siguientes relaciones de gran utilidad:
1
1
sen 𝜃 =
csc 𝜃 =
csc 𝜃
1
sen 𝜃
1
cos 𝜃 = sec 𝜃
sec 𝜃 = cos 𝜃
tan 𝜃 = cot 𝜃
cot 𝜃 = tan 𝜃
1
1
RELACIONES QUE IMPLICAN UNA RAZÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Nuevamente, de acuerdo con las definiciones de funciones trigonométricas, se tienen:
sen 𝜃
𝑦
𝑥
𝑦
𝑟
𝑦
cos 𝜃
𝑥
𝑦
𝑥
𝑟
𝑥
= 𝑟 ÷ 𝑟 = 𝑟 × 𝑥 = 𝑥 = tan 𝜃
y
= 𝑟 ÷ 𝑟 = 𝑟 × 𝑦 = 𝑦 = cot 𝜃
cos 𝜃
sen 𝜃
Por tanto,
𝐭𝐚𝐧 𝜽 =
𝐬𝐞𝐧 𝜽
𝐜𝐨𝐬 𝜽
𝐜𝐨𝐭 𝜽 =
𝐜𝐨𝐬 𝜽
𝐬𝐞𝐧 𝜽
y
RELACIONES PITAGÓRICAS
La relación entre la abscisa, la ordenada y el radio vector establece que 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑟 2 .
Si se dividen en ambos miembros de la igualdad por 𝑟 2 , se tiene:
𝑥 2
𝑦 2
𝑟 2
( ) +( ) =( )
𝑟
𝑟
𝑟
Pero, por definición,
𝑥
𝑟
= cos 𝜃, y
𝑦
𝑟
= sen 𝜃. Por tanto,
𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝜽 + 𝐬𝐞𝐧𝟐 𝜽 = 𝟏
Por otro lado, si los dos miembros de la igualdad 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑟 2 se dividen por 𝑥 2 se obtiene:
𝑥 2
𝑦 2
𝑟 2
( ) +( ) =( )
𝑥
𝑥
𝑥
Pero, por definición,
𝑦
𝑥
= tan 𝜃, y
𝑟
𝑥
= sec 𝜃. Por tanto,
𝟏 + 𝐭𝐚𝐧𝟐 𝜽 = 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝜽
Además, si los dos miembros de 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑟 2 se dividen por 𝑦 2 se obtiene:
𝐜𝐨𝐭 𝟐 𝜽 + 𝟏 = 𝐜𝐬𝐜 𝟐 𝜽
REDUCCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Frecuentemente se hace necesario convertir una expresión trigonométrica de una forma dada a otra
forma. Desafortunadamente no existe un mismo método para todos los casos y es frecuente tener que
intentar diferentes posibilidades antes de hallar el método a seguir. Para vencer las dificultades
inherentes a los problemas de este tipo se necesita una práctica considerable. Con frecuencia, el
procedimiento requiere la realización de las operaciones algebraicas indicadas y luego la aplicación de
una o más de las relaciones fundamentales.
Ejemplo: Convertir (sen 𝜃 + cos 𝜃)2
Solución:
a
1 + 2 sen 𝜃 cos 𝜃
Se efectúan los pasos siguientes:
(sen 𝜃 + cos 𝜃)2 = sen2 𝜃 + 2 sen 𝜃 cos 𝜃 + cos 2 𝜃 De acuerdo con la regla del binomio al cuadrado
(sen 𝜃 + cos 𝜃)2 = (sen2 𝜃 + cos 2 𝜃) + 2 sen 𝜃 cos 𝜃 Agrupando términos
(sen 𝜃 + cos 𝜃)2 = 1 + 2 sen 𝜃 cos 𝜃 Usando la relación trigonométrica 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝜽 + 𝐬𝐞𝐧𝟐 𝜽 = 𝟏
Ejemplo: Demostrar que
Solución:
tan 𝜃(1+cot2 𝜃)
1+tan2 𝜃
es igual a cot 𝜃
tan 𝜃 (1 + cot 2 𝜃) tan 𝜃 (csc 2 𝜃)
=
1 + tan2 𝜃
sec 2 𝜃
1
2𝜃
sen
= tan 𝜃 [
]
1
cos2 𝜃
cos2 𝜃
= tan 𝜃 ( 2 )
sen 𝜃
= tan 𝜃 cot 2 𝜃
= (tan 𝜃 cot 𝜃) cot 𝜃
= (1) cot 𝜃
2
(1
tan 𝜃 + cot 𝜃)
= cot 𝜃
1 + tan2 𝜃
PRÁCTICA Nº5
Reduzca la primera expresión a la segunda en los ejercicios siguientes.
1) sen 𝐴 cot 𝐴, 𝐜𝐨𝐬 𝑨
2) sec 2 𝐴 − 3, 𝐭𝐚𝐧𝟐 𝑨 − 𝟐
3) sec 𝐴 − cos 𝐴, 𝐭𝐚𝐧 𝑨 𝐬𝐞𝐧 𝑨
4) sec 2 𝐴 + csc 2 𝐴, 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝑨 𝐜𝐬𝐜 𝟐 𝑨
5) (1 − cot 𝐴)2 , 𝐜𝐬𝐜 𝟐 𝑨 − 𝟐 𝐜𝐨𝐭 𝑨
6) (1 − cos2 𝐴)(1 + cot 2 𝐴), 𝟏
sen 𝐴
7) sec2 𝐴−1, 𝐜𝐨𝐬 𝑨 𝐜𝐨𝐭 𝑨
1
1
8) 1−cos 𝐴 + 1+cos 𝐴, 𝟐 𝐜𝐬𝐜 𝟐 𝑨
1
1
9) csc 𝐴−cot 𝐴 + csc 𝐴+cot 𝐴, 𝟐 𝐜𝐬𝐜 𝑨
cos 𝐴
10) csc 𝐴 sec 𝐴 − sen 𝐴, 𝐭𝐚𝐧 𝑨
IDENTIDADES
La ecuación es un concepto fundamental y un instrumento matemático.
Una ecuación que es válida para todos los valores de la variable para los cuales cada miembro tiene un
valor definido y finito, recibe el nombre de identidad.
La ecuación (𝑥 + 3)(𝑥 − 3) = 𝑥 2 − 9 que es válida para todo valor de 𝑥, es, por tanto, una identidad.
Las ocho relaciones fundamentales son identidades y se pueden usar para deducir otras menos
fundamentales.
El método más simple para demostrar que una ecuación es una identidad, consiste en convertir uno de
los miembros de la ecuación en la forma que tiene el otro miembro.
Ejemplo: Demostrar que la ecuación siguiente es una identidad.
tan 𝜃
tan 𝜃
2
−
=
1 + sec 𝜃 1 − sec 𝜃 sen 𝜃
Solución:
Puesto que el miembro de la izquierda es el más complicado, se trabajará con él. Efectuando la
sustracción indicada, se tiene,
tan 𝜃
tan 𝜃
tan 𝜃 − tan 𝜃 sec 𝜃 − tan 𝜃 − tan 𝜃 sec 𝜃
−
=
(1 − sec 𝜃)(1 + sec 𝜃)
1 + sec 𝜃 1 − sec 𝜃
−2 tan 𝜃 sec 𝜃
=
1 − sec 2 𝜃
−2 tan 𝜃 sec 𝜃
=
−tan2 𝜃
2 tan 𝜃 sec 𝜃
=
tan2 𝜃
2 sec 𝜃
=
tan 𝜃
1
2 (cos 𝜃)
=
sen 𝜃
cos 𝜃
tan 𝜃
tan 𝜃
2
−
=
1 + sec 𝜃 1 − sec 𝜃 sen 𝜃
Ejemplo: Demostrar que
Solución:
sen 𝜃+cos 𝜃 tan 𝜃
cos 𝜃
= 2 tan 𝜃.
Puesto que el denominador del primer miembro consta de un solo término, se ensaya a escribir dicha
expresión como una suma de fracciones, y se obtiene:
sen 𝜃 + cos 𝜃 tan 𝜃 sen 𝜃 cos 𝜃 tan 𝜃
=
+
cos 𝜃
cos 𝜃
cos 𝜃
= tan 𝜃 + tan 𝜃
sen 𝜃 + cos 𝜃 tan 𝜃
= 2 tan 𝜃
cos 𝜃
cos 𝜃
Ejemplo: Demostrar que la ecuación
Solución:
cos 𝜃−sen 𝜃
=
cos 𝜃(cos 𝜃−sen 𝜃)
1−2 sen 𝜃 cos 𝜃
es una identidad.
Se puede observar que en esta ecuación el numerador del miembro de la derecha se obtiene al
multiplicar el numerador del miembro de la izquierda por cos 𝜃 − sen 𝜃. Tal observación sugiere
multiplicar el numerador y el denominador del miembro de la izquierda por dicho factor. Se obtiene así:
cos 𝜃
cos 𝜃 (cos 𝜃 − sen 𝜃)
=
cos 𝜃 − sen 𝜃 (cos 𝜃 − sen 𝜃)(cos 𝜃 − sen 𝜃)
cos 𝜃 (cos 𝜃 − sen 𝜃)
=
2
cos 𝜃 − 2 sen 𝜃 cos 𝜃 + sen2 𝜃
cos 𝜃 (cos 𝜃 − sen 𝜃)
=
2
(cos 𝜃 + sen2 𝜃) − 2 sen 𝜃 cos 𝜃
cos 𝜃
cos 𝜃 (cos 𝜃 − sen 𝜃)
=
cos 𝜃 − sen 𝜃
1 − 2 sen 𝜃 cos 𝜃
PRÁCTICA Nº6
Demuestre que cada una de las siguientes ecuaciones es una identidad
1) cos 𝐴 (sec 𝐴 − cos 𝐴) = sen2 𝐴
2) (sec 𝐴 − tan 𝐴)(sec 𝐴 + tan 𝐴) = 1
3) sec 2 𝐴 + csc 2 𝐴 = sec 2 𝐴 csc 2 𝐴
tan 𝐴
4) sec 𝐴 −
sec 𝐴−cos 𝐴
tan 𝐴
tan 𝐴
=0
sen 𝐴
5) csc 𝐴−cot 𝐴 − csc 𝐴+cot 𝐴 = sec 𝐴 + cos 𝐴
6)
7)
8)
9)
cos3 𝐴−cos 𝐴+sen 𝐴
cos 𝐴
cos 𝐴 tan 𝐴+sen 𝐴
tan 𝐴
= 2 cos 𝐴
tan 𝐴−tan2 𝐴+sec2 𝐴
sec 𝐴
= tan 𝐴 − sen2 𝐴
= sen 𝐴 + cos 𝐴
cos 𝑥(1+sen 𝑥)+1−sen 𝑥
10)
cos2 𝑥
cos 𝑥
2 cos4 𝑦+sen2 𝑦 cos2 𝑦−sen4 𝑦
3 cos2 𝑦−1
1
= 1−sen 𝑥 + 1+sen 𝑥
=1
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
DEFINICIÓN
Una ecuación trigonométrica es aquella ecuación en la que aparecen una o más funciones
trigonométricas. En las ecuaciones trigonométricas la incógnita es el ángulo común de las funciones
trigonométricas.
RESOLUCIÓN
No puede especificarse un método general que permita resolver cualquier ecuación trigonométrica; sin
embargo, un procedimiento efectivo para solucionar un gran número de éstas consiste en transformar,
usando principalmente las identidades trigonométricas, todas las funciones que aparecen allí en una sola
función (es recomendable pasarlas todas a senos o cosenos). Una vez expresada la ecuación en términos
de una sola función trigonométrica, se aplican los pasos usuales en la solución de ecuaciones algebraicas
para despejar la función; por último, se resuelve la parte trigonométrica, es decir, conociendo el valor de
la función trigonométrica de un ángulo hay que pasar a determinar cuál es ese ángulo.
Nota: en las soluciones pueden aparecer valores extraños (debido a la manipulación de las ecuaciones al
tratar de reducirlas), por ejemplo: nos puede resultar un cos 𝑥 = 2, el que debemos descartar,
obviamente, pues el codominio del coseno se limita a [−1, 1]. También, debemos verificar todas las
respuestas obtenidas y aceptar sólo aquellas que satisfacen la ecuación original.
Como las funciones trigonométricas repiten su valor y signo en dos de los cuadrantes, hay que tener
presente que siempre habrá por lo menos dos ángulos distintos en la solución de una ecuación
trigonométrica de la forma tri 𝑥 = 𝑎 (donde tri: es una de las seis funciones trigonométricas y 𝑎: número
cualquiera en el codominio de la función). Además, debido a que cuando el lado terminal de un ángulo
realiza un giro completo se genera otro ángulo equivalente, es necesario añadir a las soluciones obtenidas
un múltiplo de 360°, esto es, 𝑘360°, y 𝑘 es un entero.
Ejemplos:
1. Resolver la ecuación:
7
𝑐𝑜𝑠𝑥
Solución: Tomando como incógnita cos 𝑥 y reemplazamos tan 𝑥, en función de cos 𝑥, por lo tanto la
ecuación se transforma en:
7
3(sec 2 𝑥 − 1) + 5 =
cos𝑥
1
7
3 ( 2 − 1) + 5 =
cos 𝑥
cos𝑥
3𝑡𝑎𝑛2 𝑥 + 5 =
1 − cos2 𝑥
7
3(
)+5=
2
cos 𝑥
cos𝑥
3 − 3cos 2 𝑥
7
+5=
2
cos 𝑥
cos𝑥
3 − 3cos2 𝑥
7
cos 𝑥 (
+5 =
)
2
cos 𝑥
cos𝑥
2
3 − 3cos 2 𝑥 + 5cos2 𝑥 = 7 cos 𝑥
2cos2 𝑥 − 7 cos 𝑥 + 3 = 0
Resolviendo la ecuación 2cos2 𝑥 − 7 cos 𝑥 + 3, se tiene:
2
2cos2 𝑥 − 7 cos 𝑥 + 3 = (2cos 2 𝑥 − 7 cos 𝑥 + 3)
2
=
22 cos 2 𝑥 − 7(2 cos 𝑥) + 6
2
(2 cos 𝑥)2 − 7(2 cos 𝑥) + 6
2
(2 cos 𝑥 − 6)(2 cos 𝑥 − 1)
=
2
2(cos 𝑥 − 3)(2 cos 𝑥 − 1)
=
2
2
2cos 𝑥 − 7 cos 𝑥 + 3 = (cos 𝑥 − 3)(2 cos 𝑥 − 1)
=
Luego,
(cos 𝑥 − 3)(2 cos 𝑥 − 1) = 0
→
cos 𝑥 − 3 = 0
cos 𝑥 = 3
𝑦
2cos 𝑥 − 1 = 0
2cos 𝑥 = 1
1
cos 𝑥 = 2
1
Esta ecuación tiene como raíces 3 y 2
La primera se descarta ya que es mayor que la unidad.
1
La ecuación entonces equivale a: cos 𝑥 = 2
Esta ecuación se verifica para 𝑥 = 60°, y en consecuencia para todos los arcos comprendidos en la
fórmula:
𝜋
𝑥 = 2𝑘𝜋 ±
3
2. Resolver la ecuación: 4sen2 𝑥 tan 𝑥 − 4sen2 𝑥 − 3 tan 𝑥 + 3 = 0
Solución:
3. Resolver la ecuación: csc 𝑥 + cot 𝑥 = √3
Solución:
PRÁCTICA Nº7
Encuentre todas las soluciones (raíces) de las siguientes ecuaciones:
1) sen 𝑥 = sen 2𝑥
4
2) csc 2 𝑥 = 3
3) sec 𝑥 + tan 𝑥 = 0
4) cos 𝑥 + cos 2𝑥 + cos 3𝑥 = 0
5) 2 cos 𝑥 = 1 − sen 𝑥
6) 2 + √3 sec 𝑥 − 4 cos 𝑥 = 2√3
7) sen 𝑥 = tan 𝑥
𝑥
8) 6cos 2 (2) + cos 𝑥 + 1 = 0
9) cos 2𝑥 = sen 𝑥
10) 2sen2 𝑥 + 3 cos 𝑥 = 0
11) cos 2𝑥 + 1 = cos 𝑥
12) 2cos 2 𝑥 + 3 cos 𝑥 = 2
13) 2 tan 𝑥 − 3 cot 𝑥 − 1 = 0
14) cos 2𝑥 = 5 − 6cos2 𝑥
15) 2 sen 𝑥 + 1 = csc 𝑥
FUNCIONES DE ÁNGULOS COMPUESTOS
Objetivos:
1. Interpretar condiciones en las que es conveniente expresar las funciones de la suma o diferencia de dos
ángulos en términos de funciones de los ángulos que forman la suma o diferencia y expresar las funciones
de un múltiplo o submúltiplo de un ángulo en término de funciones de ese ángulo.
2. Evaluar funciones de ángulos compuestos.
FUNCIONES DE UN ÁNGULO COMPUESTO
Hasta ahora, hemos considerado funciones de un solo ángulo. Sin embargo existen condiciones en las que
es conveniente expresar las funciones de la suma o diferencia de dos ángulos en términos de funciones de
los ángulos que forman la suma o diferencia y expresar las funciones de un múltiplo o submúltiplo de un
ángulo en término de funciones de ese ángulo.
El coseno de la suma de dos ángulos
La fórmula para el coseno de la suma de cualquier par de ángulos A y B está dada por:
cos(A + B) = cos A cos B − sen A sen B
Coseno del doble de un ángulo
La fórmula para el coseno del doble de un ángulo cualquiera A está dada por:
cos 2A = 2cos 2 A − 1
Coseno de la mitad de un ángulo
La fórmula del coseno del doble de un ángulo cualquiera A está dada por:
1
1 + cos A
cos A = ±√
2
2
Coseno de la diferencia de dos ángulos
La fórmula para el coseno de la diferencia de cualquier par de ángulos A y B está dada por:
cos(A − B) = cos A cos B + sen A sen B
El seno de la suma de dos ángulos
La fórmula para el seno de la suma de cualquier par de ángulos A y B está dada por:
sen(A + B) = sen A cos B + cos A sen B
Seno del doble de un ángulo
La fórmula para el seno del doble de un ángulo cualquiera A está dada por:
sen 2A = 2 sen A cos A
Seno de la mitad de un ángulo
La fórmula del seno de la mitad de un ángulo cualquiera A está dada por:
1
1 − cos A
sen A = ±√
2
2
Seno de la diferencia de dos ángulos
La fórmula para el seno de la diferencia de cualquier par de ángulos A y B está dada por:
sen(A − B) = sen A cos B − cos A sen B
La tangente de la suma de dos ángulos
La fórmula para la tangente de la suma de cualquier par de ángulos A y B está dada por:
tan A + tan B
tan(A + B) =
1 − tan A tan B
Tangente del doble de un ángulo
La fórmula para la tangente del doble de un ángulo cualquiera A está dada por:
2 tan A
tan 2A =
1 − tan2 A
Tangente de la mitad de un ángulo
La fórmula de la tangente de la mitad de un ángulo cualquiera A está dada por:
1
sen A
tan A =
2
1 + cos A
Tangente de la diferencia de dos ángulos
La fórmula para la tangente de la diferencia de cualquier par de ángulos A y B está dada por:
tan A − tan B
tan(A − B) =
1 + tan A tan B
Ejemplo: Haciendo uso de los valores de las funciones de 30°, 45° y 60°, encuéntrese el valor de las
funciones de un ángulo compuesto, tratadas en esta separata, para A = 45° y B = 30°.
Solución:
𝐜𝐨𝐬(𝐀 + 𝐁) = 𝐜𝐨𝐬 𝐀 𝐜𝐨𝐬 𝐁 − 𝐬𝐞𝐧 𝐀 𝐬𝐞𝐧 𝐁
cos(45° + 30°) = cos 45° cos 30° − sen 45° sen 30°
1
1 1
√3
= ( )( ) − ( )( )
2
√2
√2 2
1
√3
=
−
2√2 2√2
√3 − 1 2√2
=
×
2√2
2√2
2√6 − 2√2
=
2
(2√2)
2(√6 − √2)
=
8
√6 − √2
cos(45° + 30°) =
4
𝐜𝐨𝐬 𝟐𝐀 = 𝟐𝐜𝐨𝐬𝟐 𝐀 − 𝟏
cos 2(45°) = 2cos2 45° − 1
= 2(cos 45°)2 − 1
1 2
= 2( ) − 1
√2
1
= 2( ) − 1
2
= 1−1
cos 2(45°) = 0
𝟏
𝟏 + 𝐜𝐨𝐬 𝐀
𝐜𝐨𝐬 𝐀 = ±√
𝟐
𝟐
1
1 + cos 45°
cos (45°) = ±√
2
2
=±
√
1
√2
2
1+
√2 + 1
√ √2
=±
2
√2 + 1
= ±√
2√2
√2 + 1 2√2
= ±√
×
2√2
2√2
4 + 2√2
= ±√
8
2 + √2
= ±√
4
√2 + √2
1
cos (45°) = ±
2
2
𝐜𝐨𝐬(𝐀 − 𝐁) = 𝐜𝐨𝐬 𝐀 𝐜𝐨𝐬 𝐁 + 𝐬𝐞𝐧 𝐀 𝐬𝐞𝐧 𝐁
cos(45° − 30°) = cos 45° cos 30° + sen 45° sen 30°
1
1 1
√3
= ( )( ) + ( )( )
2
√2
√2 2
1
√3
=
+
2√2 2√2
√3 + 1 2√2
=
×
2√2
2√2
2√6 + 2√2
=
2
(2√2)
2(√6 + √2)
=
8
√6 + √2
cos(45° − 30°) =
4
𝐬𝐞𝐧(𝐀 + 𝐁) = 𝐬𝐞𝐧 𝐀 𝐜𝐨𝐬 𝐁 + 𝐜𝐨𝐬 𝐀 𝐬𝐞𝐧 𝐁
sen(45° + 30°) = sen 45° cos 30° + cos 45° sen 30°
1
1 1
√3
sen(45° + 30°) = ( ) ( ) + ( ) ( )
2
√2
√2 2
sen(45° + 30°) =
√3
+
1
2√2 2√2
√3 + 1 2√2
=
×
2√2
2√2
2√6 + 2√2
=
2
(2√2)
2(√6 + √2)
=
8
√6 + √2
sen(45° − 30°) =
4
𝐬𝐞𝐧 𝟐𝐀 = 𝟐 𝐬𝐞𝐧 𝐀 𝐜𝐨𝐬 𝐀
sen 2(45°) = 2 sen 45° cos 45°
1
1
= 2( )( )
√2 √2
2
=
2
(√2)
2
=
2
sen 2(45°) = 1
𝟏
𝟏 − 𝐜𝐨𝐬 𝐀
𝐬𝐞𝐧 𝐀 = ±√
𝟐
𝟐
1
1 − cos 45°
sen (45°) = ±√
2
2
=±
√
1
√2
2
1−
√2 − 1
√ √2
=±
2
√2 − 1
= ±√
2√2
√2 − 1 2√2
= ±√
×
2√2
2√2
1
4 − 2√2
sen (45°) = ±√
2
8
1
2 − √2
sen (45°) = ±√
2
4
√2 − √2
1
sen (45°) = ±
2
2
𝐬𝐞𝐧(𝐀 − 𝐁) = 𝐬𝐞𝐧 𝐀 𝐜𝐨𝐬 𝐁 − 𝐜𝐨𝐬 𝐀 𝐬𝐞𝐧 𝐁
sen(45° − 30°) = sen 45° cos 30° − cos 45° sen 30°
1
1 1
√3
= ( )( ) − ( )( )
2
√2
√2 2
1
√3
=
−
2√2 2√2
√3 − 1 2√2
=
×
2√2
2√2
2√6 − 2√2
=
2
(2√2)
2(√6 − √2)
=
8
√6 − √2
sen(45° − 30°) =
4
𝐭𝐚𝐧 𝐀 + 𝐭𝐚𝐧 𝐁
𝟏 − 𝐭𝐚𝐧 𝐀 𝐭𝐚𝐧 𝐁
tan 45° + tan 30°
tan(45° + 30°) =
1 − tan 45° tan 30°
1
1+
√3
=
1
1 − (1) ( )
√3
√3 + 1
= √3
1
1−
√3
√3 + 1
= √3
√3 − 1
√3
√3 + 1
√3
=
×
√3
√3 − 1
√3 + 1 √3 + 1
=
×
√3 − 1 √3 + 1
2
2
(√3 + 1)
(√3 + 1)
tan(45° + 30°) =
=
3−1
2
𝐭𝐚𝐧(𝐀 + 𝐁) =
𝟐 𝐭𝐚𝐧 𝐀
𝟏 − 𝐭𝐚𝐧𝟐 𝐀
2 tan 45°
tan 2(45°) =
1 − (tan 45°)2
2(1)
=
1 − 12
2
=
1−1
2
=
0
tan 2(45°) = ∞
𝐭𝐚𝐧 𝟐𝐀 =
𝟏
𝐬𝐞𝐧 𝐀
𝐭𝐚𝐧 𝐀 =
𝟐
𝟏 + 𝐜𝐨𝐬 𝐀
1
sen 45°
tan (45°) =
2
1 + cos 45°
1
= √2
1
1+
√2
1
= √2
√2 + 1
√2
1
√2
=
×
√2 √2 + 1
1
√2 − 1
=
×
√2 + 1 √2 − 1
√2 − 1
=
2−1
√2 − 1
=
1
1
tan (45°) = √2 − 1
2
𝐭𝐚𝐧 𝐀 − 𝐭𝐚𝐧 𝐁
𝟏 + 𝐭𝐚𝐧 𝐀 𝐭𝐚𝐧 𝐁
tan 45° − tan 30°
tan(45° − 30°) =
1 + tan 45° tan 30°
1
1−
√3
=
1
1 + (1) ( )
√3
√3 − 1
= √3
1
1+
√3
𝐭𝐚𝐧(𝐀 − 𝐁) =
√3 − 1
= √3
√3 + 1
√3
√3 − 1
√3
=
×
√3
√3 + 1
√3 − 1 √3 − 1
=
×
√3 + 1 √3 − 1
2
2
(√3 − 1)
(√3 − 1)
tan(45° + 30°) =
=
3−1
2
PRÁCTICA Nº8
1. Haciendo uso de los valores numéricos de las funciones de 30°, 45° y 60°, encuéntrese el valor de las
funciones de un ángulo compuesto, para A = 60°, B = 45° y 𝐶 = 30°.
1
a) sen 2 A =
b) cos 2C =
c) tan(A + B) =
d) sen(𝐴 + 𝐶) =
e) cos(𝐵 − 𝐶) =
f) tan 2𝐵 =
g) sen 2𝐴 =
1
2
h) cos 𝐵 =
i) tan(𝐴 − 𝐶) =
1
j) sen 2 A + tan(𝐴 − 𝐶) =
Funciones de la suma de tres ángulos
sen(𝐴 + 𝐵 + 𝐶) = sen 𝐴 cos 𝐵 cos 𝐶 − sen 𝐴 sen 𝐵 sen 𝐶 + sen 𝐵 cos 𝐴 cos 𝐶 + sen 𝐶 cos 𝐴 cos 𝐵
cos(𝐴 + 𝐵 + 𝐶) = cos 𝐴 cos 𝐵 cos 𝐶 − sen 𝐵 sen 𝐶 cos 𝐴 − sen 𝐴 sen 𝐶 cos 𝐵 − sen 𝐴 sen 𝐵 cos 𝐶
tan(𝐴 + 𝐵 + 𝐶) =
tan 𝐴 + tan 𝐵 + tan 𝐶 − tan 𝐴 tan 𝐵 tan 𝐶
1 − tan 𝐴 tan 𝐵 − tan 𝐴 tan 𝐶 − tan 𝐵 tan 𝐶
Equivalencias de las funciones trigonométricas de los ángulos negativos
sen(−𝐴) = − sen 𝐴
cos(−𝐴) = cos 𝐴
tan(−𝐴) = − tan 𝐴
csc(−𝐴) = − csc 𝐴
sec(−𝐴) = sec 𝐴
cot(−𝐴) = − cot 𝐴
NÚMEROS COMPLEJOS
Introducción
Los Números Complejos surgen al resolver ecuaciones algebraicas en las que hay que calcular raíces
cuadradas de números negativos.
En Física e Ingeniería los números complejos se utilizan para describir circuitos eléctricos y ondas
electromagnéticas.
El número 𝑖 aparece explícitamente en la ecuación de onda de Schrödinger que es fundamental en la
Teoría Cuántica del Átomo.
El análisis complejo, que combina los números complejos y los conceptos del Cálculo, se ha aplicado a
campos tan diversos como la Teoría de Números o el diseño de alas de avión.
Cantidades imaginarias
Cantidades imaginarias son las raíces de índice par de cantidades negativas.
4
6
8
Ejemplos: √−3, √−5, √−12, √−64
Unidad imaginaria
Según la notación de Gauss:
√−1 = 𝑖
2
de donde: 𝑖 = −1
Ejemplo:
√−16 = √16 × √−1 = 4𝑖
Potencias de la unidad imaginaria
1
𝑖 1 = (√−1) = 𝑖
𝑖2
𝑖3
𝑖4
𝑖5
𝑖6
𝑖7
𝑖8
2
= (√−1) = −1
= 𝑖 2 × 𝑖 = −𝑖
= 𝑖2 × 𝑖2 = 1
= 𝑖4 × 𝑖 = 𝑖
= 𝑖 4 × 𝑖 2 = −1
= 𝑖 4 × 𝑖 3 = −𝑖
= 𝑖4 × 𝑖4 = 1
NÚMEROS COMPLEJOS
Se llama así a un número de la forma 𝑎 + 𝑏𝑖, donde 𝑎 y 𝑏 son números reales e 𝑖 es la unidad
imaginaria. El número 𝑎 se llama parte real del número complejo. El número 𝑏 se llama parte
imaginaria del número complejo.
Si 𝑏 = 0 el número complejo se reduce a un número real ya que 𝑎 + 0𝑖 = 𝑎.
Si 𝑎 = 0 el número complejo se reduce a 𝑏𝑖, y se dice que es un número imaginario puro.
Estos números se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir, y forman una estructura algebraica de las
llamadas cuerpo en matemáticas.
Complejos iguales
Son los que tienen iguales sus partes reales e iguales sus partes imaginarias.
Simbólicamente:
𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑐 + 𝑑𝑖 ↔ 𝑎 = 𝑐 y 𝑏 = 𝑑
Complejos conjugados
Son los que tienen iguales sus partes reales; e iguales, pero de signos contrarios sus partes imaginarias.
Consideremos el número complejo 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖. Su número complejo conjugado, representado con una
línea horizontal encima del mismo, es 𝑧̅ = 𝑎 − 𝑏𝑖.
Complejos opuestos
Son los que tienen iguales sus partes reales e imaginarias, pero de signos contrarios.
Consideremos 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, su número complejo opuesto es −𝑧 = −𝑎 − 𝑏𝑖.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN NÚMERO COMPLEJO
Representación Cartesiana
Y : Eje Imaginario
z = a + bi
i
O 1
X : Eje Real
Sea: 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖
Unidad sobre el eje Y: 𝑖
Unidad sobre el eje X: 1
Representación polar o trigonométrica
Módulo o radio vector
𝜌 = √𝑎2 + 𝑏 2
Argumento
𝑏
𝜃 = tan−1 (𝑎)
Y
b
O
p
a
Con apoyo en la figura, la forma polar de 𝑎 + 𝑏𝑖, se calcula así:
𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝜌 cos 𝜃 + 𝑖𝜌 sen 𝜃
𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝜌(cos 𝜃 + 𝑖 sen 𝜃)
X
Ejemplo: Expresar en forma polar: 8 + 6𝑖
Procedimiento:
Se sabe que: 8 + 6𝑖 = 𝜌(cos 𝜃 + 𝑖 sen 𝜃)
Calculo de 𝜌 y 𝜃:
𝜌 = √𝑎2 + 𝑏 2 = √82 + 62 = √64 + 36 = √100 = 10
𝑎
6
3
𝜃 = tan−1 ( ) = tan−1 ( ) = tan−1 ( ) = 37°
𝑏
8
4
Por lo tanto, 8 + 6𝑖 = 10(cos 37° + 𝑖 sen 37°)
OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS
Suma y Resta de números complejos
Dados dos números complejos 𝑧1 = 𝑎 + 𝑏𝑖 y 𝑧2 = 𝑐 + 𝑑𝑖
respectivamente, como:
𝑧1 + 𝑧2 = (𝑎 + 𝑐) + (𝑏 + 𝑑)𝑖
𝑧1 − 𝑧2 = (𝑎 − 𝑐) − (𝑏 − 𝑑)𝑖
se definen su suma y su resta,
Multiplicación de números complejos
Dados dos números complejos 𝑧1 = 𝑎 + 𝑏𝑖 y 𝑧2 = 𝑐 + 𝑑𝑖 se define su producto cartesiano como:
𝑧1 × 𝑧2 = (𝑎𝑐 − 𝑏𝑑) + (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)𝑖
En forma polar:
𝑧1 × 𝑧2 = 𝜌1 × 𝜌2 [cos(𝜃1 + 𝜃2 ) + 𝑖 sen(𝜃1 + 𝜃2 )]
División de números complejos
Dados dos números complejos 𝑧1 = 𝑎 + 𝑏𝑖 y 𝑧2 = 𝑐 + 𝑑𝑖 se define su división cartesiana como:
𝑧1
𝑎𝑐 + 𝑏𝑑
𝑏𝑐 − 𝑎𝑑
=( 2
)
+
(
)𝑖
𝑧2
𝑐 + 𝑑2
𝑐 2 + 𝑑2
En forma polar:
𝑧1 𝜌1
= [cos(𝜃1 − 𝜃2 ) + 𝑖 sen(𝜃1 − 𝜃2 )]
𝑧2 𝜌2
Potencia de un número complejo
Fórmula de Moivre
[𝜌(cos 𝜃 + 𝑖 sen 𝜃)]𝑛 = 𝜌𝑛 (cos 𝑛𝜃 + 𝑖 sen 𝑛𝜃)
Raíz de un número complejo
𝑛
√𝜌(cos 𝜃 + 𝑖 sen 𝜃) = 𝑛√𝜌 [cos (
donde 𝑘 = 0, 1, 2, 3, … , (𝑛 − 1)
𝜃 + 2𝑘𝜋
𝜃 + 2𝑘𝜋
) + 𝑖 sen (
)]
𝑛
𝑛
PRÁCTICA Nº9
1. Resolver los siguientes ejercicios de números complejos.
a) (2 + 5𝑖) + (4 − 𝑖)
b) (2 + 5𝑖) − (4 − 𝑖)
c) (2 + 5𝑖)(4 − 𝑖)
d) (2 + 5𝑖)(4 + 𝑖)
2+5𝑖
e) 4−𝑖
f)
2+5𝑖
4+𝑖
2. Representar gráficamente el punto correspondiente a cada uno de los números complejos siguientes.
Determinar la forma trigonométrica de cada número, utilizando el menor valor no negativo (positivo o
nulo) de su argumento.
a) 2
b) −2
c) 3i
d) – 𝑖
e) 2 − 2𝑖
f) −2 + 2𝑖
1
√3
𝑖
2
1
√3
−2 − 2 𝑖
g) − 2 +
h)
3. Expresar cada uno de los siguientes números en la forma 𝑎 + 𝑏𝑖.
a) 3(cos 0° + 𝑖 sen 0°)
b) 2(cos 90° + 𝑖 sen 90°)
c) cos 180° + 𝑖 sen 180°
d) 2(cos 225° + 𝑖 sen 225°)
e) 2(cos 270° + 𝑖 sen 270°)
f) 8(cos 135° + 𝑖 sen 135°)
g) 4(cos 300° + 𝑖 sen 300°)
h) 6(cos 150° + 𝑖 sen 150°)
4. Escribir cada una de las siguientes expresiones en la forma 𝑎 + 𝑏𝑖.
a) [2(cos 15° + 𝑖 sen 15°)]6
b) [3(cos 120° + 𝑖 sen 120°)]5
c) [2(cos 315° + 𝑖 sen 315°)]3
d) (cos 36° + 𝑖 sen 36°)10
𝑖
√3
5
e) (− 2 + 2)
f) (1 − 𝑖)8
g) (
1
√2
+
𝑖
)
√2
200
BIBLIOGRAFÍA
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Panamá, S. A.
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