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Análisis Matemático II – Recuperatorio 2doparcial – 04/12/06
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Tema A
Apellido y Nombre:
JUSTIFIQUE SUS RESPUESTAS
x 2  y 2  2x
1. Sea f ( x , y ) 
sen ( x ) x  1  y
a) Halle su dominio D y grafíquelo.
b) Exprese ac(D ) y decida si D es cerrado. Si no, muestre un punto como justificación.
Exprese D 0 y decida si D es abierto. Si no, muestre un punto como justificación.
f
( 3,0)
y
Plano tangente a G f en
(1 / 2 , 3 / 2 , 0)
lim
( x , y )  (  2, 0 )
2. Sean f ( x , y ) 
c) Sin hacer cuentas y siendo G f la gráfica de f , ¿de
cuáles de las siguientes no tiene sentido hablar? ¿Porqué?
f
( 3,0)
x
f ( x, y )
 f ( x  1, y ) y 4
( x  1) y 2
;
g
(
x
,
y
)


( x  1) 2  2 y 6
A

a) Analice la existencia del
lim
( x , y )  (1, 0 )
si ( x , y )  (0,0)
si ( x , y )  (0,0)
f ( x, y )
b) ¿Existe algún valor de la constante A de modo que g resulte continua en (0 , 0) ?
3. Dada f ( x , y ) 
e2y
e x y  e2y
a) Determine dominio e imagen y caracterice las curvas de nivel.

b) Demuestre que f es perpendicular a la curva de nivel f ( x , y )  1
2
2
c) Halle las direcciones  tales que g ' (1 , 1)  3 siendo g ( x , y ) 
1
f ( x, y)
4. Sea S : z  x y 2 Halle los puntos (a , b, c )  S donde el plano tangente es paralelo al plano
 : 4 x  12 y  z  k . Escriba una ecuación del plano tangente a S en alguno de ellos.
5. Sea w  F ( x , y, z )  ln( y  x )  xz 3 e y
a) Si x  g (z ) e y  h(z ) y se define la composición H ( z )  F ( g( z ), h( z ), z ) , exprese H ' ( z )
dw
b) Si x  x (t ) , y  y(t ) , z  z (t ) , exprese
dt
6.
a) Defina el concepto de diferenciabilidad de f ( x , y ) en Po ( x o , y o ) . Ejemplifique luego la def. para
f ( x , y )  x 2 y en Po (1 , 1) . Finalmente compruebe la diferenciabilidad de alguna otra forma.
b) Sea g( x , y )  e f ( x , y ) Se sabe que en el punto ( 0 , 1) la máxima derivada direccional de f vale 6 y
ocurre en la dirección   30 0 . Además f (0 , 1)  2 ¿Cuánto vale la máxima derivada direccional de g en
( 0 , 1) y en qué dirección ocurre?