Funciones hiperbólicas inversas. a) Argumento seno hiperbólico. y −y y = arg shx =⇒ x = senh y = e −2 e =⇒ 2x = ey − e−y . Multiplicando por ey , 2xey = e2y − 1 =⇒ e2y − 2xey − 1 = 0, √ de donde ey = x ± x2 + 1, es decir ³ ´ √ y = ln x + x2 + 1 , x ∈ (−∞, ∞) Nota 1: La función no existe para el signo − delante de la raı́z. b) Argumento coseno hiperbólico. y −y y = arg chx =⇒ x = cosh y = e +2 e =⇒ 2x = ey + e−y . Multiplicando por ey , 2xey = e2y + 1 =⇒ e2y − 2xey + 1 = 0, √ de donde ey = x ± x2 − 1, es decir ³ ´ √ y = ln x + x2 − 1 , x ∈ [1, ∞) Nota 2: El logaritmo existe para ambos signos, si x ∈ [1, ∞). Pero tomamos uno sólo (el positivo) por tratarse de una función. c) Argumento tangente hiperbólica. y −y 2y y = arg thx =⇒ x = tanh y = ey − e−y = e2y − 1 . e +e e +1 + x , es decir Entonces x (e2y + 1) = e2y − 1 =⇒ e2y = 11 − x r µ ¶ 1 1+x 1+x y = ln = ln , x ∈ (−1, 1) 2 1−x 1−x Ejercicio: Razónense los campos de existencia indicados. d) Derivadas de las funciones hiperbólicas inversas. ³ ´0 √ 2+1 x + x √ £ ¡ ¢¤0 √ (arg shx)0 = ln x + x2 + 1 = = √ 21 . 2 x+ x +1 x +1 ³ ´0 √ 2−1 x + x √ £ ¡ ¢¤ 0 √ = √ 21 . (arg chx)0 = ln x + x2 − 1 = x + x2 − 1 x −1 h ³ ´i ³ ´ ³ ´ +x 0 = 1 1+x 0 : 1+x = 1 . (arg thx)0 = 21 ln 11 − x 2 1−x 1−x 1 − x2