UNQ/Dip.CyT/Análisis Matemático II/Comisiones A y B/Segundo Parcial – 14/11/07 APELLIDO+NOMBRE: 1. Sea f ( x , y ) 2 x2 y2 x TEMA A a) Halle D Dom( f ) . Grafique. b) Exprese D 0 y D ' Justifique si D es abierto/cerrado/conexo. x 2 ( y 1) a) Halle, si existe, el L R para ( x , y ) (0,1) x 4 ( y 1) 2 b) ¿Puede definir f en ( 0,1) de modo que resulte continua en dicho punto? Justifique. 2. Sea f ( x , y ) 3. Sea g ( x , y ) diferenciable en el origen y tal que g (0,0) 1 , g' x (0,0) 3 , g ' y (0,0) 3 . Se define f ( x, y) ln g( x, y) a) Determine las direcciones tales que f ' (0,0) 6 b) ¿Existe alguna dirección * tal que f ' * (0,0) 4 ? Justifique. 4. a) Sea f ( x , y ) cos ( x 2 y 2 ) Justifique que: i) f C 1 ( R 2 ) . ii) f es diferenciable en ( 0,0) , utilizando la definición. b) Hallar los puntos de la superficie S : z x 2 y 3 donde el plano tangente sea paralelo al plano : 8 x 3 y z 0 . Determinar las ecuaciones de tales planos. 5. Sea g ( x , y ) 2 xy Razonando con gradientes, encuentre una función f ( x , y ) tal que f (0,0) 0 y las curvas de nivel de f sean perpendiculares a las curvas de nivel de g , cada vez que dichas curvas de nivel se corten. UNQ/Dip.CyT/Análisis Matemático II/Comisiones A y B/Segundo Parcial – 14/11/07 APELLIDO+NOMBRE: 2. Sea f ( x , y ) 2 x2 y2 y TEMA B a) Halle D Dom( f ) . Grafique. b) Exprese D 0 y D ' Justifique si D es abierto/cerrado/conexo. y ( x 1) 2 a) Halle, si existe, el L R para ( x , y ) (1,0) ( x 1) 4 y 2 b) ¿Puede definir f en (1,0 ) de modo que resulte continua en dicho punto? Justifique. 2. Sea f ( x , y ) 3. Sea g ( x , y ) diferenciable en el origen y tal que g(0,0) 0 , g' x (0,0) 3 , g ' y (0,0) 3 . Se define f ( x , y ) e g( x, y ) a) Determine las direcciones tales que f ' (0,0) 6 b) ¿Existe alguna dirección * tal que f ' * (0,0) 4 ? Justifique. 4. a) Sea f ( x , y ) ln ( 1 x 2 y 2 ) Justifique que: i) f C 1 ( R 2 ) . ii) f es diferenciable en ( 0,0) , utilizando la definición. b) Halle los puntos de la superficie S : z x 3 y 2 donde el plano tangente sea paralelo al plano : 3 x 8 y z 0 . Determine las ecuaciones de tales planos. 5. Sea g ( x , y ) 2 xy Razonando con gradientes, encuentre una función f ( x , y ) tal que f (0,0) 0 y las curvas de nivel de f sean perpendiculares a las curvas de nivel de g , cada vez que dichas curvas de nivel se corten.