pauta guiaestudio5 parcial2 aplicacionrazoncambio diferencial905 v1f

Cálculo I Diferencial c/Geometría Analítica (MAT104), Secc.905
2do Trimestre, 1er Semestre 2015; 2doParcial – 5taGuíaEstudio
Elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363
5ta Guía de Estudio – 2do Parcial
Aplicaciones de la Derivada
Razón de Cambio
(SOLUCIONARIO Guía No.5 – 2do Parcial)
Comentarios Generales
Ésta guía cumple única y exclusivamente la función de repaso o complemento de los temas que posiblemente
serán evaluados en el segundo examen parcial, además, se establece que en ningún momento ésta guía de
estudio pretende reemplazar el libro de texto y mucho menos, proporcionar un formato de los ejercicios que
podrían ser evaluados en un examen; se hace ésta aclaración para evitar especulaciones y conjeturas
desacertadas entre los estudiantes de ésta y las otras secciones de Cálculo I Diferencial, dado que ésta
herramienta ha sido elaborada tomando como referencia diferentes textos de Cálculo y guías de universidades
extranjeras, que a criterio del catedrático, genera un valor agregado en el conocimiento de los futuros
profesionales de la ingeniería.
Se le recuerda la importancia de trabajar con disciplina, perseverancia y honestidad cada ejercicio, dado que Ud.
es el único responsable de su éxito o fracaso, el catedrático no es más que un facilitador del conocimiento, por lo
tanto, ante cualquier inquietud no dude en consultarlo.
Instrucciones Específicas:
Para que el trabajo grupal sea aceptado y revisado por la totalidad del puntaje, el documento deberá cumplir las
siguientes condiciones:
a) Desarrollo en hojas blancas o rayadas (sin espiral) tamaño carta utilizando ambas caras de la hoja.
b) Formato de presentación conforme a lo estipulado en el silabo de curso (portada y todos los demás
elementos que apliquen según sea el caso).
c) Los ejercicios deberán estar listados en el orden numérico correlativo de la guía.
d) Todas las páginas que conformen el trabajo (excepto la portada) deberán estar etiquetadas con su respectivo
número de página en la esquina inferior derecha de las mismas y el formato será:
“X de Y”, donde: X = página cualquiera; Y = número total de páginas que forman el trabajo.
e) Ser entregado en la fecha estipulada en el calendario del aula virtual.
1.-) La figura presentada a continuación se muestra un papelote en el aire a una altitud de 400 ft. El aire
empuja horizontalmente al papelote a una tasa de 10 ft/s alejándolo de la persona que sostiene la cuerda
en el nivel del suelo. ¿A qué tasa se está soltando cuando ya se han tendido 500 ft de ella?
Datos :
y  400 ft; como es cons tan te  dy
x
500 2  400 2  dx
dt
 10 ft
dt
0
s
z  500 ft  dz
 ¿?
dt

500 ft
z
z2  x 2  y 2
y
2z dz dt   2 x dx dt   2 y  dy dt 
dz
dt


2 x  dx
2z 

dt 

x  dx



dt  300  10   6 ft
s
z 
500 
SOLUCIONARIO Guía Complementaria No.5: Razón de Cambio
x
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2.-) Dos carreteras se cruzan formando un ángulo de 60º. Si en el instante to dos automóviles, Ricardo
en su Enzo Ferrari y Javier en su McLaren F1 distan del cruce 500 km y 780 km, respectivamente,
Ricardo se aleja con una rapidez de 280 km/hr y Javier se aleja con una rapidez de 260 km/hr.
Determine la rapidez a la cual se separan los automóviles en el instante to.
Datos :
A  500 km  A '  dA
B  780 km  B '  dB
C  ¿?  C '  dC
dt
dt
 280 km
 260 km
hr
60º
hr
500 km
 ¿?
280 km/hr
dt

780 km
B 260 km/hr
A
C 2  A 2  B 2  2 AB cos  
2C  C'  2 A  A '2B  B '2A ' B  AB ' cos 60 
C' 
C' 
2 A  A '2B  B '2A ' B  AB '  cos 60 
2C
2  500  280  2  780  260  2280  780  500  260  cos 60 
2 500  780  2  500  780 cos 60 
2
2
C
 246 .35 km
hr
-------------------------------------------------------------------------------------------------------3.-) Josselyn en su Porsche Carrera GT corre hacia el este a 200 mi/hr, pasa por la gasolinera “Patito on
Fire” a las 2:00pm, Jerson en su Lamborghini Murciélago LP-640 corre hacia el norte a 300 mi/hr y
pasa 1.5 horas después por la misma gasolinera.
¿Qué tan rápido cambia la distancia entre los dos corredores cuando han transcurrido 210
minutos desde que Jerson pasó por la gasolinera?
Datos :
A  V  t  300  3.5  1,050 mi  A '  dA
B  V  t  200  5  1,000 mi  B '  dB
C
dt
dt
 300 mi
 200 mi
A 2  B 2  1,450mi  C'  dC
2
hr
hr
 ¿?
dt

2
Norte
7pm
A recorrió 3.5 hr
A
C
2
C  A B
2C  C'  2 A  A '2B  B '
2 A  A '2B  B ' 2A  A 'B  B ' A  A 'B  B '


2C
2C
C
1,050  300  1,000  200
 355 .17 mi
C' 
hr
1,450
300 mi/hr
C' 
3:30pm
Gasolinera
2pm
7pm
B
200 km/hr
Este
B recorrió 5 hr
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4.-) El radio de la base de un cono aumenta a razón de 3cm/hr y la altura inclinada aumenta a razón de
4cm/hr.
Determine la rapidez con que varía el área superficial del cono, cuando el radio mide 7cm y la
altura inclinada 24cm.
Datos :
r  7cm  r '  dr 
 3 cm
dt
hr
g  24 cm  g'  dg  4 cm
dt
hr


d
A
 ¿?
A  ¿?  A ' 
dt



A    r 2    r  g   r 2  r  g
A '  2r  r '  r 'g  r  g'
A '  2  7  3  3  24  7  4   142  cm
2
hr
-------------------------------------------------------------------------------------------------------5.-) Una escalera de 20 pies de longitud, está apoyada contra la pared de un edificio, la base de la
escalera de desliza horizontalmente a razón de 2 pies/seg.
¿Con que rapidez resbala el otro extremo de la escalera cuando se encuentra a 12 pies del suelo?
Datos :
A  12pies  A '  dA 
dt
 ¿? pies
s
B  20 2  12 2  16pies  B '  dB   2 pies
dt
s


d
C
C  20pies  C ' 
 0 la escalera no cambia 
dt

¿? pies/s
C2  A2  B2
2
2
A  C B
A
C
2
2 A  A '  2C  C'2B  B '
2C  C '2B  B ' 2C  C'B  B ' C  C 'B  B '
A' 


2A
2A
A
20  0  16  2
A' 
  8 pies
3
s
12
B
2 pies/s
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
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6.-) Se deja caer una piedra en un lago en calma, lo que provoca ondas y círculos. El radio r del circulo
exterior está creciendo a un ritmo constante de 1 pie/seg. Cuando el radio es de 4 pies;
¿A qué ritmo está cambiando el área A de la región circular perturbada?
Datos :
r  4pies  A '  dA   1 pie
dt
s
2
A    r 2  16  pies 2  A '  dA   ¿? pies
dt
s

A    r2
A '    2r  r '
A '    2  4  1  8  pies
2
s
-------------------------------------------------------------------------------------------------------7.-) Inti vuela en su jet supersónico “Torbellino de Arena”, paralelo al suelo a una distancia de 2 km
con una velocidad de 340 km/hr, en su viaje pasa sobre la Torre Financiera “Alejandra Banking
Corporation”.
¿Qué tan rápido aumenta la distancia respecto a la base de la torre financiera, 55 seg más tarde?
Datos :
A  2km  A '  dA   0 dis tan cia cons tan te 
dt
B  V  t  340  0.01528  5.19km  B '  dB   340 km
dt
hr


d
A
2
2
C  2  5.19  5.56km  C ' 
 ¿?
dt

2
2
C  A B
B recorrió 55 s
340 km/hr
B
A
C
2
2C  C'  2 A  A '2B  B '
2 A  A '2B  B ' 2A  A 'B  B '  A  A 'B  B '
C' 


2C
2C
C
2  0  5.19  340
C' 
 317 .37 km
hr
5.56
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
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8.-) Un tanque elaborado de plástico tiene la forma de un cono circular recto invertido de 4 m. de alto y
2 m. de radio en la base, al cual se le suministra malteada de vainilla a razón de 2 m3/min.
¿Con que rapidez cambia el nivel de malteada cuando la profundidad es de 3 m.?
Datos :
Es impor tan te aclarar que el cono a estudiar correspond e
al cono color azul que es el elemento cambiante
r  ¿?  r '  dr   ¿?
dt

  ¿? (lo que pide el ejercicio )
d
h
h  3m  h' 
dt
3


 2 m
V  ¿?  V '  d V
dt
min

V  1    r2  h
3
en este punto nos damos cuenta que no es útil deri var esa fórmula
porque no poseemos ninguna inf ormación del radio r , entonces
debemos aprovechar la propiedad de triángulos semejantes para buscar
una relación entre radio r  y la altura h , cuya razón es la incógnita del ejercicio

r
h
h
 r
2 4
2

reescribie ndo la fórmula del volumen , tenemos :
 
2
h
V  1   h
3
2
V 
12
 h3
V'  
 3h2  h'
12
4  V'
h' 
  h2
3
4  V '
4 2
8


 0.2829 m
h' 
2
2
min
9
 h
 3
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
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9.-) Se libera gas hidrógeno de un globo esférico a razón de 8 cm3/seg.
Determine la rapidez con que varía el área superficial del globo en el to donde el radio mide 2 m.
Datos :
V  ¿?  V '  dV 
dt
 8 cm
r  2m  200 cm  r '  dr 
A  ¿?  A '  dA 
3
dt
s
 ¿?
 ¿? parámetro que solicita el ejercicio 
dt

como el dato proporcion ado por el ejercicio correspond e al volumen ,
primero trabajarem os con dicha fórmula y luego procedemos a estudiar el área

volumen de una esfera
V  4    r3
3
V '  4  r 2  r '
V'
8
2 cm
r' 


2
2
s
4  r
4  200
200 2 

área sup erficial de una esfera
A  4  r 2
A '  4  2r  r '
 2  2 cm 2
A '  8  200   
  25
2
s
 200  
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
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10.-) Una mancha con forma de cilindro circular recto se ha formado al derramarse en el mar 100 m3 de
mezcla para panqueque, proveniente de un buque panadero.
Calcule con qué rapidez aumenta el radio de la mancha, si la altura disminuye a razón de 10
cm/hr en el instante to donde el radio tiene un valor de 50m.
Datos :
r  50m  r '  dr 
h  ¿?  h'  dh 
dt
 ¿? parámetro que solicita el ejercicio 
 10 cm  0.1 m
dt
hr
hr
V  100m3  V '  dV   0 volumen siempre es el mismo  cons tan te 
dt

V    r2  h

V '    2r  r 'h  r 2  h'
r' 

V '  r 2  h'

2r  h


0



 50 2  0.1

250   1
 125 m  196 .35 m
2 hr
hr
25

cálculo de la altura h  para incorporar la en la derivada
V    r2  h
h
V
100
1


m
2
2
25
 r
  50
-------------------------------------------------------------------------------------------------------11.-) Se está vaciando arena por una tolva (embudo) con una tasa de 10 ft3/seg. La arena forma una pila
cónica cuya altura es el doble de su radio.
¿A qué tasa aumenta el radio de la pila cuando su altura es 5 ft?
Datos :
V  ¿?  V '  dV 
 10 ft
dt
h  5 ft  2r  h'  dh 
3
s
 ¿?
dt
r  h  5 ft  r '  dr   ¿? requerimie nto del ejercicio 
2
2
dt

V  1  r 2 h  V  1  r 2 2r 
3
3
2
V
 r3
3
V '  2  3r 2  r '
r' 
V'
10

2
2  r
2  5
 2
2
 0.256 ft
s
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12.-) Se recolecta el agua de un bloque de hielo con base cuadrada. El agua se produce porque el hielo
se está derritiendo de manera que disminuye cada arista de la base del bloque a 2 in/hr, mientras que la
altura del bloque disminuye a 3 in/hr.
¿Cuál es la tasa de flujo de agua en el recipiente de recolección cuando la base tiene aristas con
longitudes de 20 in y la altura del bloque es 15 in?
Datos :
V  ¿?  V '  dV 
 ¿? requerimie nto del ejercicio 
dt
x  20in  x '  dx   2 in
dt
hr


d
y
 3 in
y  15in  y ' 
dt
hr

V  x2  y
V '  2 x  x 'y  x 2  y '
3
2
V '  220  2 15   20   3   2,400 in
hr

3
el bloque dis min uye a razón de  2,400 in
hr
3
y el recipiente aumenta a razón de  2,400 in
hr
-------------------------------------------------------------------------------------------------------13.-) Suponga que se vacía agua desde un tanque esférico de radio 10 ft. Si la profundidad del agua en
el tanque es 5 ft y disminuye a una tasa de 3 ft/seg.
¿A qué tasa disminuye el radio r de la superficie del agua?
Datos :
y  5 ft  y '  dy 
 3 ft
dt
s
h  10  y  10  5  5 ft
z  10 ft  z'  dz   0 el radio de la esfera es cons tan te 
dt
2
2
r  z  h  10 2  5 2  8.66 ft  r '  dr   ¿?
dt
parámetro requerido 

z 2  h 2  r 2  r 2  z 2  h 2
r 2  z 2  10  y 
h
z
10
2
2r  r '  2z  z'210  y   10  y '
2r  r '  2z  z'210  y    y '
y
2z  z'  210  y    y ' 2z  z'  10  y    y '  z  z'  10  y    y '


2r
2r
r
10 0   10  5   3 
r' 
 1.73 ft
s
8.66
r' 
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14.-) La figura mostrada a continuación presenta un tanque esférico de radio “a” parcialmente lleno de
agua. La profundidad máxima del agua en el tanque es V  1 y 2 3a  y  . Suponga que se drena el
3
agua de un tanque esférico con radio 5 ft a una tasa de 100 gal/min. Encuentre la tasa a la que
disminuye la profundidad del agua cuando y = 7ft. (1 galón ≈ 0.1337 ft3)
Datos :
V '  dV 
dt
 100 gal
y  7  y '  dy 
dt
min
 13 .37 ft
3
min
 ¿?
ra5

V  1 y 2 3 5   y 
3
V  5y 2  1 y 3
3
V '  10  y  y '    3 y 2  y '


V '  y ' 10 y   y 2
V'
 13 .37
y' 

 0.2027 ft
2
2
min
10 y   y
10  7    7 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------15.-) Una piscina tiene 50 ft de largo y 20 ft de ancho. Su profundidad varía de manera uniforme desde
2 ft en su parte menos profunda hasta 12 ft en lo más hondo (ver figura anexa). Suponga que se llena a
una tasa de 1000 gal/min. ¿A qué tasa está aumentando la profundidad en la parte honda cuando la
profundidad ahí es 6 ft? (1 galón ≈ 0.1337 ft3)
Datos :
la sec ción transversa l de la piscina es triangular y su volumen


estará dado por V  área sec ción ancho   1 bh 20   10bh
2
en tér min os de las var iables " x " , " y " ; finalmente la fórmula sería
V  10 x y

para dejar una sola var iable en la formula usamos
semejanza de triángulos 
V  10 5 y  y
V  50 y
x
y

 x  5y
50 10
x
2
V '  100  y  y '
V'
1,000  0.1337

 0.2228 ft
y' 
min
100 y
100  6
10ft
SOLUCIONARIO Guía Complementaria No.5: Razón de Cambio
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Cálculo I Diferencial c/Geometría Analítica (MAT104), Secc.905
2do Trimestre, 1er Semestre 2015; 2doParcial – 5taGuíaEstudio
Elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363
Bibliografía Utilizada en la Selección de los Ejercicios Propuestos en ésta Guía de Estudio
1. Purcell, E. (2009). Cálculo 1, 1ª ed. México. Pearson Educación.
2. López, I.; Wisniewski, P. (2006). Cálculo I Diferencial de una Variable con Aplicaciones, 1ª ed. México. Thomson
Editores
3. Stewart, J. (2002). Cálculo, Trascendentes Tempranas, 4ª ed. México. Thomson Editores.
4. Zill, D. (1994). Cálculo con Geometría Analítica, 1ª ed. México. Grupo Editorial Iberoamericana.
5. Stewart, J. (2008). Cálculo de una Variable, Trascendentes Tempranas, 6ª ed. México. Cengage Learning Editores.
6. Edwards, H.; Penney, D. (2008). Cálculo con Trascendentes Tempranas, 7ª ed. México. Pearson Educación.
7. Cálculo Diferencial e Integral. Ingeniería Matemática; Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas. Universidad de
Chile. Santiago de Chile.
8. Guía Complementarias #2; La Derivada. Departamento de Matemáticas. Universidad Nacional Autónoma de
Honduras (UNAH). Tegucigalpa, Honduras.
9. Cortes, I. (1978). Cálculo Elemental. Universidad Nacional Experimental de Táchira. Táchira, República Bolivariana
de Venezuela.
10. Ejercicios sobre Derivadas e Integrales. Departamento de Estadística e Investigación Operativa. Universidad de
Valencia. Valencia, España.
11. Rojas, D. Matemáticas II: Ingeniería Mecánica y Química. Instituto Universitario de Tecnología “José Antonio
Anzoátegui”. República Bolivariana de Venezuela.
JUCELO1209® D.R.2015
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