Supervisión y Control de Procesos Bloque Temático I: Introducción al Control de Procesos Tema 4: Respuesta frecuencial de sistemas de Control Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010 1 Idea intuitiva de respuesta en frecuencia • La respuesta de un sistema ante entradas variantes en el tiempo depende de la velocidad de variación de dicha entrada – Dicha respuesta está intrínsecamente relacionada con la respuesta temporal del sistema ref. velocidad 1 1 0.5 0.5 (m/s) (m/s) ref. velocidad 0 -0.5 -0.5 -1 -1 0 0 2 4 6 8 0 10 2 4 1 0.5 0.5 (m/s) (m/s) 1 0 8 10 6 8 10 0 -0.5 -0.5 -1 0 6 tiempo (s) velocidad tiempo (s) velocidad 2 4 6 8 10 tiempo (s) Fref = 0.1 Hz Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010 -1 0 2 4 tiempo (s) Fref = 1 Hz 2 Respuesta ante una entrada sinusoidal (I) • La respuesta ante entradas del tipo sinusoidal permite obtener la respuesta en frecuencia del sistema • Una función sinusoidal puede ser expresada en forma de términos exponenciales complejos la respuesta puede obtenerse aplicando la integral de convolución para una entrada exponencial Fórmula de euler 1 1 0.5 0.5 0 0 -0.5 -0.5 jωt -jωt A cos(ωt) = A/2 (e + e) -1 -0.5 Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010 -1 0 0.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 3 Respuesta ante una entrada sinusoidal (II) • La respuesta puede obtenerse aplicando la integral de convolución para una entrada exponencial ∞ ∞ s(t- ζ) y(t) = U0·e h(ζ)dζ -∞ = U0 ·e st -sζ ·e h(ζ)dζ = H(s) st ·e -∞ jωt -jωt s = jω jωt + y(t) = H(jω) e s = -jω -jωt y(t) = H(-jω) e y(t) = A cos(ωt) = A/2 (e + e) Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010 4 Respuesta ante una entrada sinusoidal (III) • La respuesta en frecuencia se puede calcular entonces como la evaluación de la función de transferencia en los puntos del plano complejo: s = jω puntos del eje imaginario jω σ + jω jω σ notación polar: (módulo, argumento) σ + jω = ϕ Me plano complejo Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010 5 Respuesta ante una entrada sinusoidal (IV) • Utilizando la notación polar se calcula la forma de la respuesta del sistema ante una entrada sinusoidal: jωt y(t) = A/2(H(jω) e -jωt + H(-jω) e ϕ H(jω) = M e ) y(t) = A M cos(ωt + ϕ) • Para un sistema lineal e invariante, la respuesta ante una señal sinusoidal de magnitud A y frecuencia ω es una señal también sinusoidal de la misma frecuencia y cuya magnitud y fase depende únicamente de la función de transferencia evaluada en los puntos s = jω Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010 6