Subido por Amer Kamal

Circuitos Electricos I tema 3

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Universidad de Carabobo
Facultad de Ingeniería
Escuela de Ingeniería Eléctrica
Departamento de Circuitos y Mediciones
Cátedra de Circuitos Eléctricos I
RÉGIMEN PERMANENTE SINUSOIDAL
PROF. JÓSE NIETO
Digitalizado por Amer Kamal
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PROF. JÓSE NIETO
Con los conocimientos previos adquiridos, analizaremos un circuito simple RL
con un generador sinusoidal
R
+
Vo sin(wt)
−
L
Aplicando LVK
V (t) − Vr (t) − Vl (t) = 0
V (t) − Ri(t) − L di(t)
dt
V (t) = Ri(t) + L di(t)
dt
Aplicando un despeje
V (t)
L
=
Ri(t)
L
−
di(t)
dt
Obténiendose una ecuación diferencial de segundo orden, teniéndose una solución
dos partes, el régimen transitorio (homogénea) y el régimen permanente el cual esta
fundamentada este curso.
Para Obtener el Régimen permanente, aplicaremos la solución de coecientes
indeterminados. Para una función sinusoidal se plantea la solución:
i(t) = A sin(wt) + B cos(wt)
Sustituyendo la solución en la ecuación diferencial:
wA cos(wt) − wB sin(wt) +
R
L (A sin(wt)
+ B cos(wt)) =
Obteniéndose así
− RB
L
−BW
Aw
AR
L
sin(wt)
0
=
cos(wt)
0
Resolviendo la matriz, se hallan los coeciente A y B:
A=
Vo R
L2 w2 +R2
i(t) =
B = − L2Vwo2Lw
+R2
Vo R
L2 w2 +R2
sin(wt) −
Vo Lw
L2 w2 +R2
cos(wt)
Conociendo la propiedad de suma de ángulos:
Im sin(wt − φ) = Im[sin(wt) cos(φ) − sin(φ) cos(wt)]
donde en nuestro problema cos(φ) = A y sin(φ) = B
Vo sin(wt))
L
RÉGIMEN PERMANENTE SINUSOIDAL
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sin(φ)
eso implica que: φ = tan−1 ( cos(φ)
) = tan−1 ( wL
R )
y Im =
√
A2 + B 2 = √
vo
(wl)2 +R2
Finalmente obteniendo la solución de la corriente del circuito como:
i(t) = √
vo
(wl)2 +R2
sin(wt − tan−1 ( wL
R ))[A]
Representación de las Ondas Sinusoidales como un vector
giratorio
f (t) = A sin(wt)yf2 (t) = B sin(wt + φ)
Donde:
|A| > |B| Donde |A|y|B| son el modulo del vector respectivamente
φ es el ángulo de fase
w es la frecuencia angular (velocidad de giro del vector)
Fasor: Es la representación gráca para un número complejo, como un vector
giratorio detenido en el tiempo, y su módulo será el valor RMS de la señal.
Vrms =
Vo
√
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*Ejm: f (t) = 100 sin(100t + π6 )
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Formas para representar este vector
Forma polar f = |f | ∠φ
Forma cartesiana f = |f | cos(φ) + j |f | sin(φ)
Forma euler f = ejφ
Impedancia: Es el índice de oposición al paso de una corriente sinusoidal,
a través de un elemento circuital
Z=
V
I
Z=
v∠φv
i∠φi
OJO: NO ES UN FASOR
Aplicación de fuentes sinusoidales a elementos circuitales
pasivos
1.
Resistencia:
+
V (t)
−
R
v(t) = vp sin(wt)[v] Convirtiendo al dominio de la frecuencia V =
Por denicion sabemos que:
i( r) =
Vr (t)
R
Convirtiendo al dominio de la frecuencia:
i=
Vr
R
=
vp
√ ∠0o
R 2
v
√p ∠0o
2
RÉGIMEN PERMANENTE SINUSOIDAL
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Como se observa en el resistor, su voltaje y corriente están en "fase"
Z = R (netamente resistivo)
2.
Capacitor:
+
V (t)
−
C
v(t) = vp sin(wt)[v] Convirtiendo al dominio de la frecuencia V =
v
√p ∠0o
2
Por denición sabemos que:
c (t)
ic = C dVdt
= wCvp cos(wt) = wCvp sin(wt + π2 )
Transformando al dominio de la frecuencia : ic =
la corriente adelanta a su voltaje 90o
Z = Xc =
vp
√
2
wCvp
√
2
∠0o
∠90o
=
1
∠
wc
wCvp
√
∠90o
2
Como se observa
1
− 90o = −j wc
Esta impedancia es netamente reactiva, llamada reactancia capacitiva, representándola:
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3.
Inductor:
+
V (t)
−
L
v(t) = vp sin(wt)[v] Convirtiendo al dominio de la frecuencia V =
v
√p ∠0o
2
Por denición sabemos que:
il =
1
L
R
v
p
(V )dt = − wL
cos(wt) = /f racvp wL sin(wt −
π
)
2
Transformando al dominio de la frecuencia:
il = /f racvp wL∠(−90o )
se observa en el inductor, que su corriente atrasa a su voltaje 90o
Z = Xl =
vp
√
2
vp
√
2wL
∠0o
∠(−90o )
= wL∠90o = jwL
Esta impedancia es netamente reactiva, llamada reactancia inductiva, representándola:
RÉGIMEN PERMANENTE SINUSOIDAL
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Para reforzar los conocimientos adquiridos, resolveremos el circuito RL
transformando al dominio de la frecuencia.
R
+
V (t)
−
L
Transformando al dominio de la frecuencia:
R
+
V
−
jwL
cuyas impedancias se suman, y puede ser representando el circuito de la siguiente
manera:
+
V
−
R + jwL
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i=
v
√p
2
R+jwL
|i| =
√
√
=
v
√p R−jwL
2 R2 +(wL)2
vp
R2 +(wL)2
2
) + σ σ : angulo de correción, debido al plano en que se
cuyo ángulo φ = tan−1 ( wL
R
encuentre.
i = |i| ∠(φ) =
√
√
2
vp
R2 +(wL)2
∠(φ)
Regresando su transformación al dominio del tiempo:
i(t) = √
vo
(wl)2 +R2
sin(wt − tan−1 ( wL
))[A]
R
Observando que de manera más rápida se obtuvo la misma respuesta que con la resolución dal inicio del curso.
Diagrama Fasorial
Los diagramas fasoriales son usados para representar en el plano complejo las relaciones
existentes entre voltajes y corrientes fasoriales de un determinado circuito. los diagramas
fasoriales es la representación en el dominio del tiempo al dominio la frecuencia, es decir
que sobre un plano se pueden representar las magnitudes (corriente, voltaje, y el angulo
de desfasaje).
Instrumentos de medición:
Amperímetro: Es un instrumento de medición que permite determinar el mdulo
de la corriente RMS que circula por el. Se coloca en serie con el nodo del cual se
quiere averiguar la corriente.
Idealmente el amperimetro se comporta de tal manera que no afecta el circuito
≡
En la realidad, este se considera conectado con una resistencia en serie de valor
muy pequeño
RÉGIMEN PERMANENTE SINUSOIDAL
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Voltimetro: Es un instrumento de medición que permite determinar el módulo de la
diferencia de potencial RMS existente entre los terminales a los cuales se conecta,
se conecta en paralelo al elemento que se desea medir el diferencial de potencial.
≡
En la realidad, este se considera con una resistencia en paralelo de valor muy
alto (idealmente ∞)
Resolución de circuitos usando diagramas fasoriales:
1. LLevar al dominio de la frecuencia (todos las fuentes deben tener la misma frecuencia)
2. Selecciono fasor de referencia
3. Construir diagrama fasorial usando las leyes de kircho y/o relaciones Volt/Amp
4. Se resuelve el circuito en interacción con el diagrama fasorial y con el uso de la
trignometría
Si necesito resultados en el dominio del tiempo debo corregir el angulo del diagrama
fasorial.
Resonancia: La impedancia vista de la fuente que está en resonancia eso signica que
es resistiva pura; por ende, el voltaje y la corriente de dicha fuente estaran en resonancia.
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Ejercicio Resuelto
1. Determine √
R, L, C, Vr (t); Amp = 2[A] V olt = 10[v]
i(t) = 4 2 sin(103 t − 35◦ )[A] El circuito esta resonancia.
a
) LLevamos la dominio de la frecuencia
a
R
o
4∠−35 (A) +
+
Vi
+
vx L
jwL
1
vx C −j wC
− ix L
−
− ix C
b
) Observamos las relaciones que hay.
1) El circuito esta en resonancia, eso quiere decir que la corriente y tension
de la fuente de corriente estan en fase.
2) La diferencia de potencial del la fuente de corriente esta en paralelo con
el capacitor, es implica que tienen el mismo diferencial de potencial, y (1)
sabemos el ángulo de la fuente de tension, solo necesitariamos su modulo.
3) Conociendo la ubicacion de la diferencia de potencial del capacitor, por
denicion sabemos que su corriente adelanta 90o a su diferencia de potencial.
4) Por los datos del ejercicio, conocemos por el amperimetro el modulo de
la corriente del capacitor.
Dibujamos nuestro primer Diagrama fasorial:
RÉGIMEN PERMANENTE SINUSOIDAL
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Podemos observar que tenemos tanto el modulo y el angulo de la corriente
del capacitor.
5) Conocemos que la corriente del inductor es la misma corriente del resistor,
Realizando una Ley de corriente de kircho
en el nodo a.
√
ixL = i − ixC = 4∠−35o − 2∠55o = 2 5∠−61,56o
Por lo tanto conocemos el angulo de la diferencia de potencial del inductor,
ya que por denición la corriente del inductor atrasa a su diferencia de
potencial 90o Por lo tanto ya tenemos todos nuestros datos necesarios
para terminar el ejercicio, es necesario aun el modulo de la diferencia de
potencial del capacitor.
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6) Realizamos una ley de voltaje de kircho
vx L = vr + vx C
Por la graca anterior sabemos que entre Vr y VxC hay un angulo de 90o
y entre VxL y VxC hay un angulo de 26,56o
sin 26,56o =
|VxL |
|VxC |
=
10
|VxC |
√
|Vx C| = 10 5
√
y |Vx C|2 = |Vx L|2 + |Vr |2 = 102 + |Vr |2 = (10 5)2
|Vr | = 20[V ]
Ya tenemos todo lo necesario para obtener todo lo que pide el ejercicio.
|Vr |
|Ir |
=R
R=
20
√
2 5
= 4,47Ω
RÉGIMEN PERMANENTE SINUSOIDAL
|VxC |
|IxC |
C=
|VxL |
|IxL |
L=
= xc =
5
√ 1
51000
1
1/wC
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(w:frecuencia de la fuente de corriente)
= 89,44µF
= xl = wL
5√
1000 5
= 2,23mH
Solo nos falta transformar vr del dominio de la frecuencia al tiempo.
Conocemos tanto su modulo (valor RMS) como su angulo ya rotado (en
caso de haber realizado el ejercicio tomando una referencia no rotada, se
debe corregir el angulo de rotacion).
√
V r(t) = 20 2 sin(103 t − 61,56o )
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