Introducción al Control de Procesos: Control PID

Supervisión y Control de Procesos
Bloque Temático I:
Introducción al Control de Procesos
Tema 5:
Reguladores PID. Acciones de Control
Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010
1
Definición de Control
• RAE: “Regulación,
manual o
automática, sobre
un sistema”
• RAE: Regular:
“Ajustar el
funcionamiento de
un sistema a
determinados fines “
“Ajuste del funcionamiento de un sistema (1), de forma
manual o automática, para determinados fines”
(1) RAE: “Conjunto
de cosas que relacionadas entre sí ordenadamente contribuyen a
determinado objeto.”
Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010
2
Objetivos del Control
•
Anular la acción de las perturbaciones sobre la variable
controlada
•
Hacer que la variable controlada siga a la de referencia:
Servosistema o Servomecanismo
Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010
3
Pasos para el diseño de un sistema de control
• Modelado del sistema:
– Sistema lineal e invariante descrito por la función de
transferencia
• Requisitos del sistema de control:
– Error en régimen permanente frente a una perturbación
constante.
– Error en régimen permanente frente a una referencia descrita
por una señal polinomial (escalón, rampa, …)
– Sensibilidad en el sistema ante cambios en los parámetros
– Propiedades dinámicas como el tiempo de subida o
sobreoscilación ante entrada escalón, tanto en la referencia
como en la perturbación
– Estabilidad del sistema de control
Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010
4
Topologías de control
Control en cadena abierta
sistema
sistema
perturbación
referencia
(r)
D
acción
control
(u)
Control en cadena cerrada
Hp
+
salida
(y)
G
controlador
controlador
• barato (no necesita sensor)
• no introduce problemas de estabilidad “por si
mismo”
• no es posible controlar un sistema inestable
• no es posible cambiar el comportamiento
dinámico ante referencia y perturbación de
manera independiente
Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010
sistema
sistema
perturbación
referencia
(r) + error
acción
control
(u)
D
Hp
+-
G
-
controlador
controlador
• + caro (necesita sensor)
• introduce problemas de estabilidad “por si
mismo”
• es posible controlar un sistema inestable
• es posible cambiar el comportamiento
dinámico ante referencia y perturbación de
manera independiente
5
Control de velocidad de un motor de c.c. (I)
Principio de funcionamiento de un motor c.c.
Principio funcionamiento conmutador
Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010
6
Control de velocidad de un motor de c.c. (II)
Modelado del sistema:
T = kt ia
generación de par
·
e = ke θm
fuerza contra electromotriz
·
Va = Ra ia + La dia/dt + ke θm
··
·
T = Jm θm + b θm
función de transferencia
circuito eléctrico
ωm
Va
=
kt
s((Jm s + b)(La s + Ra) + kt ke)
circuito mecánico
Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010
7
Control de velocidad de un motor de c.c. (III)
Modelado del sistema con par de carga y despreciando la caída de tensión en la
inductancia:
T = kt ia
generación de par
·
e = ke θm
fuerza contra electromotriz
·
Va = Ra ia + ke θm circuito eléctrico
··
·
T + TL= Jm θm + b θm circuito mecánico
función de transferencia
ωm =
kt
Va +
(Jm Ra s + b Ra + kt ke)
Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010
Ra
TL
(Jm Ra s + b Ra + kt ke)
8
Control de velocidad de un motor de c.c. (IV)
función de transferencia
TL > 0 mismo sentido
ωm =
τ=
kt
Va +
(Jm Ra s + b Ra + kt ke)
(Jm Ra s + b Ra + kt ke)
Jm Ra
constante de tiempo
b Ra + kt ke
Ra
b Ra + kt ke
Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010
TL TL < 0 sentido
contrario par eléctrico
diagrama
diagramade
debloques
bloques
TL
B
A
kt
A=
b Ra + kt ke
B=
par eléctrico
Ra
Va
++
A
τs + 1
velocidad
(ωm)
9
Topologías de control
Control en cadena abierta
Control en cadena cerrada
motor
motor
TL
TL
referencia
(ωref)
D
motor
motor
B
A
Va
+
A
τs + 1
velocidad
(ωm)
referencia
(ωref)
+
error
D
acción
control
(Va)
-
B
A
+-
velocidad
(ωm)
A
τs + 1
controlador
controlador
Control proporcional: D = Kol
ajuste de ganancia para que en régimen
permanente (s=0) y sin par de carga
ωref = ωm
Kol = 1/A
función transferencia
A
Tol = Kol τs + 1
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controlador
controlador
función transferencia
A
Kcl τs + 1
Tcl =
A
1 + Kcl τs + 1
10
Rechazo de perturbaciones
Control en cadena abierta
Control proporcional: D = Kol
Control en cadena cerrada
Kol = 1/A
función transferencia (ωm/ ωref)
A
Kol τs + 1
función transferencia (ωm / TL )
B
τs + 1
error en régimen permanente
ωm – ωref = B TL
Control proporcional: D = Kcl
función transferencia (ωm/ ωref)
A
Kcl τs + 1
A
1 + Kcl τs + 1
función transferencia (ωm / TL )
B
τs + 1
A
1 + Kcl τs + 1
error en régimen permanente
El
Elerror
errores
esproporcional
proporcionalaalalacarga
cargayy
no
nopodemos
podemosactuar
actuarsobre
sobreélél
Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010
ωm – ωref ≈ B/(1+A Kcl)
El
Elerror
errorse
seve
vedisminuido
disminuidopor
porun
un
factor
factorsobre
sobreelelcual
cualpodemos
podemosactuar
actuar
11
Variación propiedades dinámicas en cadena cerrada
motor
motor
TL
referencia
(ωref)
+
error
D
-
acción
control
(Va)
B
A
+-
función transferencia
A
Kcl τs + 1
Tcl =
A
1 + Kcl τs + 1
velocidad
(ωm)
A
τs + 1
=
Kcl A
=
τs + 1 + Kcl A
Kcl A
1 + Kcl A
controlador
controlador
• La constante de tiempo varía con la
ganancia del controlador
• La realimentación hace el sistema más
rápido y con frecuencia menos estable
Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010
τcl =
1
τcls + 1
τ
constante de tiempo
1 + Kcl A
bucle cerrado
12
Control PID
motor
motor
TL
referencia
(ωref)
+
error
D
-
acción
control
(Va)
B
A
+-
velocidad
(ωm)
A
τs + 1
controlador
controlador
Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010
• Acción proporcional (P)
• necesita que exista un error en
régimen permanente para
mantener la acción de control.
• Acción integral (I)
• permite anular el error en
régimen permanente a costa de
empeorar el comportamiento
dinámico.
• Acción diferencial (D)
• permite mejorar la respuesta
dinámica.
13
Control PID (Acción proporcional)
motor
motor
TL
referencia
(ωref)
+
error
D
-
acción
control
(Va)
B
A
+-
velocidad
(ωm)
A
τs + 1
• Acción proporcional (P)
• necesita que exista un error en
régimen permanente para
mantener la acción de control.
función de transferencia
D = Kp
controlador
controlador
Selección de parámetros (Kp)
• Altas ganancias reducen el error en
régimen permanente:
• existen límites físicos a la hora de
implementar el controlador real.
• el sistema se puede hacer inestable
Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010
14
Control PID (Acción proporcional)
B
A
perturbación
1
1
Susbistema
eléctrico
sin dinámica
A
den(s)
referencia
velocidad
Tau_m.s+1
Controlador
velocidad
1
Selección
sistema eléctrico
(rad/s)
Ra(s)
kd.s2 +kp.s+ki
Subsistema
mecánico
0
-1
1.5
f.e.m.
ke
Kp = 30
1
(rad/s)
1
ganancia sensor
velocidad
0.5
-0.5
La.s+Ra
Susbistema
eléctrico
Kp = 3
1.5
Ht
0.5
0
-0.5
(rad/s)
1.5
1
0.5
0
Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010
Kp = 300
0
5
10
tiempo (s)
15
20
Control PID (Acción integral)
motor
motor
TL
referencia
(ωref)
+
error
D
-
acción
control
(Va)
B
A
+-
velocidad
(ωm)
A
τs + 1
• Acción integral (I)
• permite anular el error en
régimen permanente a costa de
empeorar el comportamiento
dinámico.
función de transferencia
t
u = Kp e + Ki
e(τ)dτ
D(s) = Kp + Ki/s
t0
controlador
controlador
Selección de parámetros (Kp, Ki)
• la característica principal es que en en
régimen permanente la salida del
controlador puede ser diferente de cero
aunque el error sea cero. De hecho la
acción integral sólo deja de variar cuando
la entrada es cero ωm = ωref
Permite anular el efecto de perturbaciones constantes
Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010
16
Control PID (Acción integral)
B
A
perturbación
Kp = 30, Ki = 15
1.5
Ht
1
Susbistema
eléctrico
sin dinámica
kd.s2 +kp.s+ki
A
den(s)
referencia
velocidad
Tau_m.s+1
Controlador
velocidad
1
Selección
sistema eléctrico
(rad/s)
Ra(s)
Subsistema
mecánico
1
0.5
La.s+Ra
Susbistema
eléctrico
0
f.e.m.
ke
Kp = 30, Ki = 150
1.5
ganancia sensor
velocidad
(rad/s)
1
1
0.5
0
Kp = 30, Ki = 500
2.5
(rad/s)
2
1.5
1
0.5
0
Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010
0
5
10
tiempo (s)
15
20
Control PID (Acción diferencial)
motor
motor
TL
referencia
(ωref)
+
error
D
-
acción
control
(Va)
B
A
+-
velocidad
(ωm)
A
τs + 1
• Acción diferencial (D)
• permite mejorar la respuesta
dinámica.
función de transferencia
t
e(τ)dτ + de/dt
u = Kp e + Ki
t0
D(s) = Kp + Ki/s + Kds
controlador
controlador
Selección de parámetros (Kp, Ki, Kd)
• el efecto de la acción diferencial
depende de la velocidad de cambio del
error. Como resultado el control
diferencial muestra una respuesta
“anticipada” en comparación con la
acción proporcional
Permite mejorar la respuesta dinámica
Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010
18
Control PID (Acción diferencial)
B
A
perturbación
Kp = 30, Ki = 150 , Kd = 0.3
1.5
Ht
1
Susbistema
eléctrico
sin dinámica
kd.s2 +kp.s+ki
A
den(s)
referencia
velocidad
Tau_m.s+1
Controlador
velocidad
1
Selección
sistema eléctrico
(rad/s)
Ra(s)
1
0.5
Subsistema
mecánico
La.s+Ra
Susbistema
eléctrico
0
f.e.m.
ke
1
ganancia sensor
velocidad
(rad/s)
1.5
Kp = 30, Ki = 500 , Kd = 2
1
0.5
0
Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010
0
5
10
tiempo (s)
15
20
Control de Posición
B
A
perturbación
Ht
1
Ra(s)
referencia
posición
num(s)
kd.s2 +kp.s+ki
s
den_lpf(s)
Controlador
posición
Controlador
velocidad
Susbistema
eléctrico
sin dinámica
1
A
Selección
sistema eléctrico
1
Tau_m.s+1
s
Subsistema
mecánico
Transfer Fcn
La.s+Ra
Susbistema
eléctrico
f.e.m.
ke
1
ganancia sensor
velocidad
1
ganancia sensor
posición
velocidad
5
0
-5
1.5
(rad)
(rad/s)
10
posición
1
0.5
0
5
10
tiempo (s)
15
20
Kp = 30, Ki = 150 , Kd = 0.3
Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010
0
0
Kp = 5
5
10
tiempo (s)
15
20
Control de Posición
B
A
perturbación
Ht
1
Ra(s)
referencia
posición
num(s)
kd.s2 +kp.s+ki
s
den_lpf(s)
Controlador
posición
Controlador
velocidad
Susbistema
eléctrico
sin dinámica
1
A
Selección
sistema eléctrico
1
Tau_m.s+1
s
Subsistema
mecánico
Transfer Fcn
La.s+Ra
Susbistema
eléctrico
f.e.m.
ke
1
ganancia sensor
velocidad
1
ganancia sensor
posición
posición
1
0.5
0
1.5
(rad)
(rad)
1.5
posición
1
0.5
0
5
10
tiempo (s)
15
20
Kp = 150
Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010
0
0
5
Kp = 5, Ki = 10
10
tiempo (s)
15
20
Control PID (II)
•
•
Respuesta ante un
escalón unitario
•
Representación típica
en circuitos de control
Regulador P
y(t)
X(s)
Y(s)
K
K
x(t)
y(t)
K
t
Regulador I
y(t)
X(s)
Ti
x(t)
Y(s)
1/(s·Ti)
Ti
•
y(t)
1
t
Regulador D
•
y(t)
X(s)
Y(s)
s·Td
t
Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010
El comportamiento
ideal del derivador es
imposible de reproducir
físicamente
Control PID (III)
•
•
Respuesta ante un
escalón unitario
Regulador PI
X(s)
•
Representación típica
en circuitos de control
y(t)
Y(s)
K
K·(1+1/(s·Ti))
K
1+Ti·s
Ti·s
-Ti
K
Ti
x(t)
Pendiente K/Ti
y(t)
t
Regulador PD (ideal)
•
y(t)
X(s)
Y(s)
K·(1+s·Td)
K
El comportamiento
ideal del PD es
imposible de reproducir
físicamente
t
•
Regulador PD
(real)
X(s)
K·Td/TN
Y(s)
K
x(t)
K
K·(1+s·Td)/(1+s·TN)
•
y(t)
Td>
TN
TN
Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010
t
Td
y(t)
Control PID (IV)
•
Respuesta ante un
escalón unitario
•
Representación típica
en circuitos de control
Regulador PID (ideal)
X(s)
•
y(t)
Y(s)
K(1+1/(s·Ti)+s·Td)
K
T ·T ·s + Ti ·s + 1
K d i
Ti ·s
Pendiente K/Ti
2
-Ti
•
•
El comportamiento
ideal del PID es
imposible de reproducir
físicamente
t
T i>
Td
Regulador PID (real)
X(s)
Y(s)
K·((1+s·Td)/(1+s·TN)+1/(s·Ti))
K·Td/TN
y(t)
K
x(t)
Td ·Ti ·s 2 + (Ti + TN )·s + 1
K
Ti ·s·(1 + TN ·s )
•
K
-Ti
Ti>Td>TN
Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010
Pendiente K/Ti
t
Ti Td
y(t)
Especificaciones de Diseño en el Dominio del Tiempo
•
•
•
Precisión en régimen permanente: ep, ev y ea.
•
Control de las perturbaciones.
Respuesta transitoria: Mp, tp, tr, ts.
• NOTA: Existen relaciones analíticas para los parámetros de
respuesta transitoria (Mp, tp, tr, ts) sólo para sistemas de segundo
orden sin ceros o sistemas que se puedan aproximar por sistemas
de segundo orden. Los procedimientos generales de diseño que se
describirán son aplicables a estos sistemas y pueden no ser del
todo válidos para sistemas de orden superior.
Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010
Diseño de Reguladores por Cancelación: Truxal (I)
Comportamiento original
X(s)
Y(s)
G(s)
G(s) =
Im
b
•
K G ·( s + c )
( s + (a + b· j ))·( s + (a − b· j ))
Comportamiento deseado
M(s)
X(s) +
R(s)
Y(s)
G(s)
M (s) =
_
KM
(s + d )
0.6
-c
-a
Im
0.4
Re
-b
0.4
-d
0.2
Re
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0.6
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
R ( s)·G ( s)
M ( s)
K ·( s + (a + b· j ))·( s + (a − b· j ))
⇒ R( s) =
⇒ R( s) = M
1 + R( s )·G ( s )
G ( s)·[1 − M ( s )]
K G ·( s + c )·( s + (d − K M ))
Los ceros de R(s) cancelan
Im
los polos de G(s) y los polos
M(s)
b
de R(s) a los ceros de G(s)
KM
X(s) +
M(s)
R ( s)·G ((ss) =
-c -a -(d-KM)
G(s)
s + (d − K M )
G(s)·[1-M(s)]
_
1
1.2
M (s) =
Re
-b
Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010
R(s)
Y(s)
Diseño de Reguladores por Cancelación: Truxal (II)
• Inconvenientes:
• 1) R(s) ha de ser realizable, nR ≥ mR. Esto se consigue
si nM-mM ≥ nG-mG.
• 2) La cancelación de polos y ceros no es exacta. Por lo
tanto G(s) tiene que ser de fase mínima para que el sistema final no tenga polos
inestables.
• 3) R(s) puede ser muy complicada (muchos ceros y
polos).
Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010
Control de las Perturbaciones (I)
•
Interesa que la ganancia del sistema en régimen permanente ante las perturbaciones sea
nula y que el transitorio tenga una oscilación y duración mínimas.
Z(s)
A)
X(s) +
R(s)
+
+
Y (s)
R( s )·G ( s )
=
FdT ante la entrada
X ( s) 1 + R( s )·G ( s )·H ( s)
Y (s)
G ( s)
N ( s) =
=
FdT ante la perturbación
Z ( s ) 1 + R( s)·G ( s)·H ( s)
M (s) =
Y(s)
G(s)
_
H(s)
1.2
1.2
z(t)
1
•
•
•
Si:
A) R(s) es de Tipo 0
•
•
•
0.8
y(t)
0.6
Si:
A) R(s) es de Tipo 1
0.8
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
-0.2
-2
z(t)
1
0
2
4
6
8
Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010
10
-0.2
-2
y(t)
0
2
4
6
8
10