5n4ins03

Com-Partida de Matemática del Uruguay
Federación Iberoamericana de Competiciones Matemáticas
Centro Latinoamericano de Matemática e Informática – CLAMI
Final Nacional 2003
“10º Aniversario de la CPM”
No se puede consultar libros ni apuntes.
No se puede usar calculadora.
Tiempo máximo: 4 horas
NIVEL 5
Problema 1: (Irlanda 10/V/2003)
Encontrar todos los enteros no nulos a y b tales que
a
2


 b a  b 2  a  b
3
Problema 2: (Italia 9/V/2003)
En la siguiente figura sabemos que DC  AB , la circunferencia C tiene diámetro AB
con centro O.
C ’ es tangente a C en F
C ’ es tangente a CD en E
C ’ es tangente a AB en G
Demostrar que el triángulo ADG es isósceles.
Problema 3: (Italia 9/V/2003)
En una isla hay solo dos tribus: los Mienteretes que siempre mienten y los Veritas que
siempre dicen la verdad.
Determinado día hay una asamblea a la que concurren 2003 habitantes de la isla. Se
sientan al azar en círculo y cada uno declara: “ las dos personas que tengo a mi lado son
Mienteretes”.
Al día siguiente se continúa con la asamblea pero uno de ellos se enfermó, por lo cual
asisten 2002 habitantes, nuevamente se sientan al azar en círculo y cada uno declara:
“Las dos personas que tengo a mi lado son de la misma tribu, que no es la mía”.
Deducir el tipo de habitante al que pertenece el enfermo.
Problema 4: (Ucrania 2003)
i  2002
Demostrar que
i
2003

 91
i 1
JUSTIFICAR TODAS LAS RESPUESTAS
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