DERIVADA DIRECCIONAL Y VECTOR GRADIENTE

DERIVADA DIRECCIONAL Y VECTOR GRADIENTE
Curso : Matemáticas para Economistas /UNALM/Dpto. de Economía
Prof. : Leoncio Fernández Jeri L.
La derivada direccional permite tener información del
comportamiento de la función si sus variables se modifican siguiendo el
sentido indicado por el vector gradiente.
La Derivada direccional de f en p según el vector unitario 
[ D f(p) ] es el producto escalar del gradiente en p, por  :
D f(p) = f(p). 
¿En qué sentido deberían desplazarse las variables de f,
partiendo del punto p, para que los valores de f crezcan mas
rapidamente?
Como la rapidez está dada por : f(p). . En esta expresión se
suponen ya on conocidos f y p; faltando conocer “” que haga máximo
el producto escalar.
Siendo f(p).  = f(p).  Cos  = f(p).(1). Cos 
Donde :  , es el ángulo formado por los vectores f(p) y 
f(p).  , Será máximo si y sólo si Cos  es máximo, osea cuando
= 0 y f(p) con  son colineales. Lo cual significa que el
vector unitario  debe tener el mismo sentido que el vector
gradiente de f en p.
 = f(p)
f(p)
........
(*)
(*) significa que el vector gradiente de una función f en un punto
p, f(p), de su dominio se orienta en el sentido en el cual f
crece mas rapidamente.
5to. ) En economía, es frecuente usar el vector gradiente para los
conjuntos de nivel (curvas de nivel donde el valor de la función es
constante), los cuales pueden ser : Isocuantas, Curvas de
indiferencia, Curvas de isocosto, etc.
Ejemplo : Sea una curva de indiferencia de cierta función de utilidad.
(a1, a2) representa la canasta específica de X1, X2
X2
(a1, a2)
X1
Cómo representar el vector gradiente .... ?
1) Si se conoce la forma de la función de utilidad y los valores
numéricos de a1, a2; se calculará f(a1, a2)
f(a1, a2) = U(a1, a2) = [  U(a1, a2) ,  U(a1, a2) ]
 X1
 X2
La representación sería :
X2
f(a1, a2)
X1
2) Si no se conoce la función de utilidad; considerar :
a) Los componentes del vector gradiente son positivos
(entonces cualquier segmento que parta de (a1, a2) y apunte hacia
arriba y hacia la derecha, sería el vector gradiente).
b) Para una mejor precisión trazar una tangente en (a1, a2) a la
curva de indiferencia y determinar el ángulo que forma la
tangente con el vector gradiente.
Se deduce que :
 U(a1, a2)
* Pendiente de U(a1, a2) =
 X2
= UX2 (a1, a2)
 U(a1, a2)
UX1(a1,a2)
 X1
.... (I)
* Pendiente de la recta en el punto (a1, a2) = dX2
dX1
3) Si la ecuación de la curva de indiferencia para la canasta (a1, a2)
es : U (X1,X2) = U(a1, a2) = Constante
Derivando implicitamente respecto a X1 y evaluando en (a1, a2) :
 U(a1,a2) dX1
X1 dX1
UX1 (a1,a2)
+
 U(a1,a2) dX2
 X2
dX1
+ UX2 (a1,a2) dX2
dX1

= 0
= 0
dX2 = - UX1 (a1,a2)
dX1
UX2 (a1,a2)
..................(II)
4) De (II), se obtiene :
UX2 (a1,a2) .
UX1 (a1,a2)
Pendiente U
dX2 = - 1
dX1
. Pendiente tgte.
Y según propiedad, el ángulo que se forma entre el vector
gradiente y la recta tangente es de 900
La representación es :
X2
U(a1, a2)
a2
a1
X1
OPTIMIZACION
Objetivo
Introducción
La Optimización busca la mejor alternativa factible.
Ganancias ----el objetivo será----- maximizar
Pérdidas o costos--- el objetivo -----minimizar.
La Optimización está relacionada con el problema de “economizar”
Aplicaciones de la teoría de optimización en :
Problemas de distribución económica : Teoría del consumidor, Teoría de la
producción(empresa), Economía del bienestar, Equilibrio general, etc.
Se tienen 2 técnicas de optimización : Estática y dinámica.
- Si el problema consiste en distribuir o asignar recursos escasos en un
punto del tiempo, se trata de optimización estática.
Casos : Programación clásica, Programación No Lineal, Programación
Lineal, Teoría de Juegos.
- Si el problema consiste en distribuir recursos escasos en un intervalo de
tiempo, se trata de optimización dinámica (muchos períodos)
Casos : Programación dinámica, El principio del máximo, Juegos
diferenciales, etc.
VALOR EXTREMO RELATIVO vs. VALOR EXTREMO ABSOLUTO
Sea : Y = f (X) (función univariante).
Analizando graficamente 3 casos específicos :
a)
Y
A
B
f(X) es una función constante.
A o B pueden considerarse como
máximo o mínimo, (o ninguno )
* f(X) es una función creciente
* D puede ser un mínimo
f(X)
b)
* Para X > 0, D es un mínimo
absoluto (global)
D
* f(X) función “tipo” en economía
Y
c)
* E y F son extremos relativos o locales
(en los entornos de los puntos X1 y X2)
f(X)
E
* E es un máximo relativo (pero no se
garantiza que sea un máximo absoluto)
F
* F es un mínimo relativo
X1
X
X2
* f(X) puede tener varios extremos
relativos. De ellos uno será el
máximo(mínimo) absoluto.
X* es un MAXIMO RELATIVO
de f(X), si :
f(X*)  f(X); X
Definiciones
f(X*)
f(X)
X* es un MAXIMO ABSOLUTO
de f(X), si :
f(X*) > f(X); X = X*
X*
X* es un MINIMO RELATIVO de
f(X), si :
f(X*)  f(X); X
f(X)
f(X*)
X* es un MINIMO ABSOLUTO de
f(X), si :
f(X*) < f(X); X = X*
X
X*