Introducción al Control de Procesos: Respuesta Temporal

Supervisión y Control de
Procesos
Bloque Temático I: Introducción al Control de Procesos
Tema 3: Respuesta temporal y frecuencial de sistemas de
Control
Supervisión y Control de Procesos
1
Respuesta ante una entrada arbitraria (I)
u(t)
δ(t1-t)
δ(t0-t)
u(t0) = δ(t0-t)
u(t1) = δ(t1-t)
δ(tn-t)
u(t2) = δ(t2-t)
δ(t2-t)
t 0 t1 t2
tn
u(tn) = δ(tn-t)
t
Sistema lineal e invariante (superposición):
y(t2)
y(t1)
y(t)
y(t0) = u(t0)·h(t0-t0)
y(t1) = u(t0)h(t1-t0) + u(t1)·h(t1-t1)
y(t0)
y(t2) = u(t0)h(t2-t0) + u(t1)·h(t2-t1) + u(t2)·h(t2-t2)
h(t0-t0)
y(tn) = u(t0)h(tn-t0) + u(t1)·h(tn-t1) + u(t2)·h(tn-t2) +
… + u(tn)·h(tn-tn)
h(t1-t0)
t0 t1 t2
Supervisión y Control de Procesos
tn
t
2
Respuesta ante una entrada arbitraria (II)
Sistema lineal e invariante:
y(t2)
y(t1)
y(t)
y(t0) = u(t0)·h(t0-t0)
y(t1) = u(t0)h(t1-t0) + u(t1)·h(t1-t1)
y(t0)
y(t2) = u(t0)h(t2-t0) + u(t1)·h(t2-t1) + u(t2)·h(t2-t2)
t0 t1 t2
tn
t
y(tn) = u(t0)h(tn-t0) + u(t1)·h(tn-t1) + u(t2)·h(tn-t2) +
… + u(tn)·h(tn-tn)
Fórmula general:
variable continua
k=n
y(tn) =
Σ
u
k=0


y(t) = u(ζ)h(t- ζ)dζ  y(t) = u(t-ζ)h(ζ)dζ
-
-
(k)h(n-k)
Integral de convolución
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Respuesta ante una entrada arbitraria (III)
• Utilizando la integral de convolución, la respuesta ante
una entrada del tipo:
st
u = U0·e
será:


s(t- ζ)
y(t) = U0·e
h(ζ)dζ
-st
-sζ
= U0 ·e ·e h(ζ)dζ
-
= H(s)
st
·e
-
función de transferencia
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Respuesta ante escalón
• La entrada escalón permite observar la respuesta de un
sistema ante un tipo cambio de consigna en la
referencia muy frecuente en los sistemas de control
• La entrada escalón es la integral de la entrada impulso
(Problema: hacer la prueba con un script de Matlab)
• La salida ante escalón se puede calcular como la salida
de la función de transferencia dividida por s, ante
entrada impulso o como la integral de la salida ante
impulso:
st
δ(t)= e , s  -
st
y(t)= H(s)/s e
st
st
u(t)= δ(t)dt = e dt = 1/s e
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Sistemas de primer orden
y(t)
K
G( s ) 
1  T ·s
•
•
•
X(s)
x(t)
K/T
Y(s)
G(s)
g(t)
y(t)
0,37·K/T
K: ganancia estática o en régimen permanente
T: constante de tiempo
K
0,95·K
t
K
y (t )  L [Y ( s)]  L [G ( s)]  e T ·u0 (t )
T
•
1
0,63·K
Respuesta a un escalón: X(s)=1/s
T
t
 G( s) 
T
y(t )  L1[Y ( s)]  L1 

K
·(
1

e
)·u0 (t )

s


•
Tangente en el origen
(pendiente K/T)
y(t)
Respuesta impulsional: X(s)=1
1
t
T
t
3·T
y(t)
T
(pendiente K)
Respuesta a una rampa: X(s)=1/s2
t
 G( s) 
y(t )  L [Y (s)]  L  2   [ K ·(t  T )  K ·T ·e T ]·u0 (t )
 s 
1
1
T
-K·T
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t
Sistemas de segundo orden (I)
•
K · n2
Ks
K
G ( s)  2


2
1 2 2·
s  2· · n ·s   n2
s
 a·s  b
·s 
·s  1
2
n
n
s  2· · n ·s    0
2
2
n
Las raíces del polinomio(polos
del sistema)son :
s1, 2   · n   n ·  2  1
•
•
•
•
•
•
•
•
K: ganancia estática
T=2·/n: constante de tiempo
>0: coeficiente de amortiguamiento
n>0: frecuencia natural del sistema
>0: constante de amortiguamiento o
factor de decrecimiento
Si <1, d : frecuencia amortiguada
Si   1 las raíces son complejas
conjugadas :
n
   · n  d   n · 1   2
-
Im
d

  cos
s1, 2    j· d
Si a,b>0, el
sistema
es estable
Re
-d
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Sistemas de segundo orden (II)
respuesta impulsional
a) Si >1: sistema sobreamortiguado
X(s)
K ·n2
A
B
G( s )  2


s  2· ·n ·s  n2 s  s1 s  s2

A  B 

y(t )  A·e s1·t  B·e s2 ·t ·u0 (t )
y(t )  K · ·t·e
n ·t
x(t)
Y(s)
y(t)
2·  2  1
y(t)
=0
=0.2
b) Si =1: sistema críticamente amortiguado
2
n
K · n
G(s)
g(t)
=1
·u0 (t )
=2
c) Si 0<<1: sistema subamortiguado
y (t ) 
K · n
1
2
·sen( d ·t )·e
 ·t
t
·u0 (t )
d) Si =0: sistema sin amortiguamiento
y(t )  K·n ·sen(n ·t )·u0 (t )
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Sistemas de segundo orden (III)
respuesta escalón
X(s)
a) Si >1: sistema sobreamortiguado

n
y (t )  K ·1 
 2·  2  1

x(t)
 e s1·t e s2 ·t  


 ·u0 (t )
s2  
 s1

y(t)
G(s)
g(t)
Y(s)
y(t)
=0
=0.2
b) Si =1: sistema críticamente amortiguado
=1
y(t )  K ·[1  (1   n ·t )·e n ·t ]·u0 (t )
=2
K
c) Si 0<<1: sistema subamortiguado


 ·t
e
y (t )  K ·1 
·sen( d ·t   )·u0 (t )
2


1




d) Si =0: sistema sin amortiguamiento
t
y(t )  K·[1  cos(n ·t )]·u0 (t )
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Control velocidad / posición
• diagrama de fuerzas:
F = m·a
y
··
· = m·a = m·x
u - b·x
·
b·x
u
• ecuación de posición
x
··
·
x + b/m·x = u/m
Problema:
• Calcular la velocidad ante un cambio de
referencia escalón en el acelerador (u=1*acel)
• Calcular la posición ante un cambio de
referencia escalón en el acelerador (u=1*acel)
• ¿Se alcanza el valor final comandado en la
velocidad?. ¿y en la posición?
• ¿Se puede controlar la posición del coche
sin realimentar?
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• ecuación de velocidad
v=dx/dt
v· + b/m·v = u/m