Introducción al Control de Procesos: Respuesta Temporal

Supervisión y Control de Procesos
Bloque Temático I:
Introducción al Control de Procesos
Tema 3:
Respuesta temporal de sistemas de Control
Informática Industrial. Curso 2009/2010
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Respuesta ante una entrada arbitraria (I)
u(t)
u(t0) = δ(t0-t)
u(t1) = δ(t1-t)
δ(t1-t)
δ(t0-t)
δ(tn-t)
u(t2) = δ(t2-t)
δ(t2-t)
t0 t1 t2
tn
t
Sistema
Sistemalineal
linealeeinvariante
invariante(superposición):
(superposición):
y(t2)
y(t1)
u(tn) = δ(tn-t)
y(t)
y(t0) = u(t0)·h(t0-t0)
y(t1) = u(t0)h(t1-t0) + u(t1)·h(t1-t1)
y(t0)
y(t2) = u(t0)h(t2-t0) + u(t1)·h(t2-t1) + u(t2)·h(t2-t2)
h(t0-t0)
h(t1-t0)
t0 t1 t2
tn
Informática Industrial. Curso 2009/2010
t
y(tn) = u(t0)h(tn-t0) + u(t1)·h(tn-t1) + u(t2)·h(tn-t2) +
… + u(tn)·h(tn-tn)
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Respuesta ante una entrada arbitraria (II)
Sistema
Sistemalineal
linealeeinvariante:
invariante:
y(t2)
y(t1)
y(t)
y(t0) = u(t0)·h(t0-t0)
y(t1) = u(t0)h(t1-t0) + u(t1)·h(t1-t1)
y(t0)
y(t2) = u(t0)h(t2-t0) + u(t1)·h(t2-t1) + u(t2)·h(t2-t2)
t 0 t1 t2
tn
y(tn) = u(t0)h(tn-t0) + u(t1)·h(tn-t1) + u(t2)·h(tn-t2) +
… + u(tn)·h(tn-tn)
t
Fórmula general:
k=n
y(tn) =
∞
variable continua
Σ
u
k=0
(k)h(n-k)
∞
y(t) = u(ζ)h(t- ζ)dζ ≡ y(t) = u(t-ζ)h(ζ)dζ
-∞
-∞
Integral de convolución
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Respuesta ante una entrada arbitraria (III)
• Utilizando la integral de convolución, la respuesta ante
una entrada del tipo:
st
u = U0·e
será:
∞
∞
s(t- ζ)
y(t) = U0·e
h(ζ)dζ
-∞
-st
= U0 ·e
-sζ
·e h(ζ)dζ
= H(s)
st
·e
-∞
función de transferencia
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Respuesta ante escalón
• La entrada escalón permite observar la respuesta de un
sistema ante un tipo cambio de consigna en la
referencia muy frecuente en los sistemas de control
• La entrada escalón es la integral de la entrada impulso
(Problema: hacer la prueba con un script de Matlab)
• La salida ante escalón se puede calcular como la salida
de la función de transferencia dividida por s, ante
entrada impulso o como la integral de la salida ante
impulso:
st
δ(t)= e , s -∞
∞
∞
st
st
y(t)= H(s)/s e
st
u(t)= δ(t)dt = e dt = 1/s e
-∞
-∞
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Sistemas de primer orden
y(t)
X(s)
x(t)
•
•
•
G(s)
g(t)
Y(s)
y(t)
K/T
0,37·K/T
K: ganancia estática o en régimen permanente
T: constante de tiempo
t
T
Tangente en el origen
(pendiente K/T)
y(t)
Respuesta impulsional: X(s)=1
K
0,95·K
0,63·K
•
Respuesta a un escalón: X(s)=1/s
T
t
3·T
y(t)
T
(pendiente K)
•
Respuesta a una rampa: X(s)=1/s2
T
t
-K·T
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Sistemas de segundo orden (I)
•
•
Las raíces del polinomio (polos del sistema) son:
•
•
∀
∀
∀
•
•
Si a,b>0, el
sistema
es estable
K: ganancia estática
T=2·ξ/ωn: constante de tiempo
ξ>0: coeficiente de amortiguamiento
ωn>0: frecuencia natural del sistema
σ>0: constante de amortiguamiento o
factor de decrecimiento
Si ξ<1, ωd : frecuencia amortiguada
Si ξ <1, las raíces son complejas conjugadas:
ωn
-σ
Im
ωd
θ
ξ =cos θ
Re
-ωd
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Sistemas de segundo orden (II)
respuesta impulsional
a) Si ξ>1: sistema sobreamortiguado
X(s)
x(t)
y(t)
b) Si ξ=1: sistema críticamente amortiguado
G(s)
g(t)
Y(s)
y(t)
ξ=0
ξ=0.2
ξ=1
ξ=2
c) Si 0<ξ<1: sistema subamortiguado
t
d) Si ξ=0: sistema sin amortiguamiento
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Sistemas de segundo orden (III)
respuesta escalón
X(s)
a) Si ξ>1: sistema sobreamortiguado
x(t)
y(t)
G(s)
g(t)
Y(s)
y(t)
ξ=0
ξ=0.2
b) Si ξ=1: sistema críticamente amortiguado
ξ=1
ξ=2
c) Si 0<ξ<1: sistema subamortiguado
K
d) Si ξ=0: sistema sin amortiguamiento
t
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Control velocidad / posición
• diagrama de fuerzas:
F = m·a
y
··
u - b·x· = m·a = m·x
b·x·
u
• ecuación de posición
x
··
·
x + b/m·x = u/m
Problema:
• Calcular la velocidad ante un cambio de
referencia escalón en el acelerador (u=1*acel)
• Calcular la posición ante un cambio de
referencia escalón en el acelerador (u=1*acel)
• ¿Se alcanza el valor final comandado en la
velocidad?. ¿y en la posición?
• ¿Se puede controlar la posición del coche
sin realimentar?
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• ecuación de velocidad
v=dx/dt
v· + b/m·v = u/m
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