DEFINICIONES Los campos vectoriales con divergencia nula se llaman SOLENOIDALES. Los campos vectoriales cuyo rotacional es el vector cero se llaman IRROTACIONALES Sea v ( x, y, z ) el campo de velocidades de un fluido. Si: div v = 0 div v < 0 el fluido es INCOMPRESIBLE el fluido se COMPRIME div v > 0 rot v ≠ 0 rot v = 0 el fluido se EXPANDE el fluido es TURBULENTO el fluido es NO TURBULENTO EL OPERADOR NABLA ∇ El operador nabla tiene carácter vectorial e implica obtener ordenadamente todas las derivadas parciales indicadas. En coordenadas cartesianas, se representa como: ∂ ∂ ∂ ∇ = , , ∂ x ∂ y ∂ z Cuando se aplica a una función escalar φ(x,y,z), funciona como el producto de un escalar por un vector. ∂φ ∂φ ∂φ ∂φ ∂ ∂ ∂ ∂φ ∂φ = φ = ∇ φ = , , , , i+ j+ k ∂y ∂z ∂ x ∂ y ∂ z ∂ x ∂ x ∂ y ∂ z Cuando se aplica a una función vectorial columna y una matriz renglón. F = P( x, y, z )i + Q( x, y, z ) j + R( x, y, z )k , funciona como el producto de una matriz ∂ P P ∂ x [F ][∇] = Q ∂ , ∂ , ∂ = ∂ Q ∂ x ∂ y ∂ z ∂x R ∂ R ∂ x ∂P ∂y ∂Q ∂y ∂R ∂y ∂ P ∂z ∂ Q ∂z ∂ R ∂ z Para la divergencia se puede observar que: ∂ ∂ ∂ ∂P ∂Q ∂R • (P, Q, R ) = divF = ∇ • F = + + , , ∂x ∂y ∂z ∂ x ∂ y ∂ z Y para el rotacional: i ∂ rotF = ∇ × F = ∂x P j ∂ ∂y Q k ∂ R ∂Q ∂ P ∂ R ∂Q ∂ P ∂ i + j+ k = − − − ∂ z ∂ y ∂ z ∂ z ∂ x ∂ x ∂ y R PROPIEDADES DEL OPERADOR NABLA Sea c una constante, φ(x,y,z) y ψ(x,y,z) dos funciones escalares y u ( x, y , z ) y v ( x, y , z ) dos funciones vectoriales. ∇(φ ψ ) = φ ∇ψ + ψ ∇φ ∇ × (φ u ) = φ ∇ × u + ∇φ × u ∇(c φ ) = c ∇φ ∇(φ + ψ ) = ∇φ + ∇ψ ∇ • (u + v ) = ∇ • u + ∇ • v ∇ • (c u ) = c∇ • u ∇ • (φ u ) = φ ∇ • u + u ∇φ ∇ • (u × v ) = v • (∇ × u ) − u • (∇ × v ) ∇ × (u + v ) = ∇ × u + ∇ × v ∇ × (c u ) = c ∇ × u INVARIANTES DE SEGUNDO ORDEN Sea φ(x,y,z) una función escalar cuyo gradiente es: ∇φ = ∂φ ∂φ ∂φ i+ j+ k ∂x ∂y ∂z la divergencia del gradiente de φ es: ∂ ∂ ∂ ∂ φ ∂ φ ∂ φ ∂2 φ ∂2 φ ∂2 φ = • , , , , + + = ∇2 φ ∇ • (∇ φ ) = 2 2 2 ∂y ∂z ∂ x ∂ y ∂ z ∂ x ∂ y ∂ z ∂ x A esta función escalar se le conoce como LAPLACIANO de φ(x,y,z). Cuando se φ cumple con la ecuación de LAPLACE ∇2φ = 0, se dice que φ es una FUNCIÓN ARMÓNICA. El rotacional del gradiente de φ es: i ∂ ∇ × (∇ φ ) = ∂x ∂φ ∂x j ∂ ∂y ∂φ ∂y k ∂2 φ ∂2 φ ∂2 φ ∂2 φ ∂2 φ ∂2 φ ∂ k = 0 j+ i − − − − = ∂ z ∂ y ∂ z ∂ z ∂ y ∂ x ∂ z ∂ z ∂ x ∂ x ∂ y ∂ y ∂ x ∂φ ∂z Cuando se cumple el teorema de Schwarz, podemos afirmar que el rotacional de un gradiente siempre es el vector nulo. Esto significa que: si ∇ × F = 0 entonces F = ∇φ es decir, si el campo vectorial F es irrotacional se puede afirmar que existe una función escalar φ de la cual el campo F es su gradiente. La función escalar φ recibe el nombre de función POTENCIAL del campo vectorial F . La forma de calcular la función potencial de un campo irrotacional se estudiará en el tema 3.