CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II Trabajo Práctico nº 9: Operadores Vectoriales Un campo escalar se determina por una función U = f(x, y, z) donde P(x, y, z) es un punto del espacio corriente. Un campo vectorial queda determinado por una función vectorial: 𝑎 = 𝑎1 𝑖 +𝑎2 𝑗+𝑎3 𝑘 , donde 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 son funciones escalares de (x, y, z). Por esta función vectorial, a cada punto del espacio le corresponde un vector 𝑎 . Los campos escalares y vectoriales tienen gran importancia en aplicaciones físicas. GRADIENTE 𝜕𝑈 𝜕𝑈 𝜕𝑈 El vector 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑈= 𝜕𝑥 𝑖 + 𝜕𝑦 𝑗 + 𝜕𝑧 𝑘 recibe el nombre de gradiente del campo escalar U. También se usa la notación 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑈 = ∇ 𝑈, donde ∇ ( nabla) es el operador de Hamilton, que aplicado al campo escalar U nos dá el gradiente . El operador vectorial “nabla” (∇ ) , es un símbolo (parecido a una delta invertida) que indica una secuencia de operaciones que se aplican ordenadamente a una función y están definidas por la expresión: 𝜕 𝜕 𝜕 ∇ = 𝜕𝑥 𝑖 +𝜕𝑦 𝑗 +𝜕𝑧 𝑘 El vector gradiente en cada punto (x, y) está dirigido según la normal en ese punto a la superficie de nivel de U, en el sentido del crecimiento de la función U, y nos indica la dirección de máximo crecimiento de la función U en cada punto P (x, y, z) de su dominio. DIVERGENCIA Se llama divergencia de un campo vectorial 𝑎 = 𝑎1 𝑖 +𝑎2 𝑗+𝑎3 𝑘, al escalar: div 𝑎 = 𝜕𝑎 1 𝜕𝑥 𝜕𝑎 𝜕𝑎 + 𝜕𝑦2 + 𝜕𝑧3 Usando el operador nabla, la divergencia puede interpretarse como un producto escalar: 𝜕 𝜕 𝜕 div 𝑎 = ∇ x 𝑎 = (𝜕𝑥 𝑖 +𝜕𝑦 𝑗 +𝜕𝑧 𝑘 ) x (𝑎1 𝑖 +𝑎2 𝑗+𝑎3 𝑘 ) Si bien, esta definición es artificiosa en Matemática, surge naturalmente en problemas físicos. Ej: Indica la variación de un fluído con respecto al tiempo por unidad de volumen. En cada punto la divergencia es un escalar. ROTOR Rotor de un campo vectorial 𝑎 es otro vector: Rot 𝑎 = ∇˄ 𝑎 = 𝑖 𝑗 𝑘 𝜕 𝜕 𝜕 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝑎1 𝑎2 = 𝑎3 𝑦 − 𝑎2 𝑧 𝑖 + 𝑎1 𝑧 − 𝑎3 𝑥 𝑗 + 𝑎2 𝑥 − 𝑎1 𝑦 𝑘 𝑎3 El rotor se interpreta como la medida del efecto local de la rotación de una corriente de fluído cuya velocidad es 𝑎 . En cada punto el rotor es un vector. Ejercicios: 1) Hallar el gradiente de U= 𝑥 3 +𝑦 3 +𝑧 3 − 3𝑥𝑦𝑧 en P ( 2, 1, 1). 2) Siendo U= f(x, y, z) = 3𝑥 3 -y𝑧 2 ; 𝑎 = 2xy𝑧 2 𝑖 + 2x𝑦 3 𝑗 + (xy)/z 𝑘 Calcular en P ( 1, -1, 1): a) Grad U b) Rot 𝑎 c) Div 𝑎 d) Div ( U. 𝑎 ) 3) Si la densidad en un punto P(x, y, z) está dada por f(x, y, z) = (𝑥 2 + 𝑦 2 ) / (1 + 𝑧 2 ). Verificar si la dirección de máxima variación de la densidad en P(-1, 2, 3) es la misma del vector : -0.2 𝑖 + 0.4 𝑗 - 0.3 𝑘 4) Dados: 𝑎 = 3𝑥 2 yz 𝑖 + (3x – y) 𝑗 +(5xyz - 𝑧 2 ) 𝑘 ; U = 2𝑥 2 − 3𝑦 3 −4𝑥 2 𝑦𝑧 2 . En P(-1, -1, 2) calcular: a) ∇ 𝑈 b) ∇ x 𝑎 c) ∇˄ 𝑎 5) Verificar que grad ( mU + nV) = m. grad U + n. grad V 6) Verificar que div ( U 𝑎 ) = ( grad U) x 𝑎 + U div 𝑎