Potencial en puntos del eje de un disco cargado uniformemente

Unidad 3: Potencial en puntos del eje de un disco cargado uniformemente
Supongamos que un disco de radio a está ubicado sobre el plano xy y centrado en el origen. Vamos a
determinar el potencial en cualquier punto del eje del disco (eje z) considerando que para z  , el potencial
V  0.
Podemos recurrir a la expresión del campo eléctrico. A partir del trabajo necesario para traer una carga de
prueba desde el infinito hasta un punto en el eje z, y de la definición de diferencia de potencial eléctrico
aplicamos:
z 

V ( z)  V ()   E  dr

  
ˆ
z
En este caso consideramos conocida la expresión: E 
 sg ( z )  2
k
2
2 0 
z a 
z

 
z

ˆ
ˆ
ˆ
Como dr  dxi  dy j  dzk , entonces la integral queda V ( z )   
 sg ( z )  2
 dz
2
2 0 
z a 

Pero, ¿no se podrá calcular el potencial directamente a partir de la distribución de carga, sin tener
que utilizar la expresión del campo? Para una carga puntual o para un sistema de cargas puntuales esto es
bastante simple:

V (r ) 

V (r ) 
1
q
 
4 o r  r `
1
4 o
N
qi
 r  r `
i 1
i

Donde r es el vector posición del punto en el cual queremos calcular el potencial V. Es decir el punto campo.

Los ri ` son los vectores posición de las N cargas puntuales (puntos fuente)
Si la distribución de carga es continua la sumatoria se transforma en una integral y cada carga puntual en un
elemento infinitesimal de carga. En nuestro caso en que la carga está distribuida superficialmente quedará así:
V ( z) 
1
4 o

disco
 dS`

r  zkˆ
 
r  r`

r ` xiˆ  y ˆj
Por la simetría cilíndrica que presenta la distribución de
carga, utilizaremos coordenadas cilíndricas:
V ( z) 
V ( z) 
1
4 o
1
4 o
a 2

0 0
a

0
 r `d `dr`
z 2  (r `)2
 r `dr`
z 2  (r `)2
2
 d `
0
Las variables r` y ` son independientes entre sí, de esta
manera la integral doble se puede plantear como un
producto de integrales. Además la densidad de carga  es
 
r  r `  z 2  (r´)2
dS` r `d dr´
uniforme sobre la superficie del disco, es decir no es función ni de r` ni de `. Para las integrales,  es una
constante puede salir fuera de la integral.
Algo importante para destacar: El potencial eléctrico es una magnitud escalar, lo que hace que su cálculo sea
mucho más simple que el cálculo del campo eléctrico que es una magnitud vectorial.
Proseguimos con el cálculo de las integrales…
a
a

du
 1  u 2 
V ( z) 
d

`


2



0 2 u 2 o 2  1 
4 o 0 z 2  (r `)2 0
4 o
 2 0


V ( z) 
z2  a2  z2 
z2  a2  z
2 o
2 o
a
1
 r `dr`

1
2



Cálculo del campo eléctrico a partir del potencial.
 
Por la definición de diferencia de potencial sabemos que V (b)  V (a)    E  dr . Es decir a partir de una
b
a
función vectorial (el campo) obtenemos una función escalar (el potencial) utilizando una integral curvilínea (que
incluye un producto escalar). La operación inversa que permite a partir de una función escalar (el potencial)
obtener el campo (una función vectorial) es el gradiente que en coordenadas cartesianas se expresa por
 
 ˆ  ˆ
j k
medio del siguiente operador:   iˆ 
x
y
z
El campo eléctrico es menos el gradiente del potencial eléctrico (atención: del potencial eléctrico en función
de las coordenadas del espacio). El campo eléctrico es un vector cuyo sentido coincide con el sentido en que
disminuye el potencial.
A partir de la función potencial V  V ( x; y; z ) se puede calcular el campo eléctrico:


 V ˆ V ˆ V
E  V  
i
j
y
z
 x

kˆ 

En este caso solo conocemos el potencial en puntos del eje z en función de la variable z, así que sólo
podremos calcular la componente del campo en la dirección z en función de la variable z. Es decir:
 1

1
1 1
 2z 
 2 z  kˆ

2
2
2 z2
 2 z a


 
z
Ez 
sg ( z )  2

2 o 
z  a2 

V ˆ

E  E z kˆ  
k 
z
2 o