Cálculo Diferencial Segundo parcial Tarea 1 1. Demostrar que si lım

Cálculo Diferencial
Segundo parcial
Tarea 1
1. Demostrar que si lı́m f (x) = 0 y g es una función acotada en R, entonces
x→x0
lı́m (f · g)(x) = 0. Dar un ejemplo que muestre que el resultado no se
x→x0
cumple si g no es acotada.
2. Demostrar que lı́m f (x) = lı́m f (a + h)
x→a
h→0
3. Mediante la definición de − δ, demostrar que lı́m f (x) = L si:
x→a
a) f (x) = x4 , L = a4 .
b) f (x) = x1 , a = 1, L = 1.
c) f (x) =
√x−1 , a
x−1
= 1, L = 2
4. Dar un ejemplo de una función f para la cual la siguiente proposición sea
falsa: Si |f (x)−L| < siempre que 0 < |x−a| < δ, entonces |f (x)−L| < 2
siempre que 0 < |x − a| < 2δ
5. Demostrar que lı́m f (x) = lı́m f (x − a) y lı́m f (x) = lı́m f (x3 ).
x→a
x→0
x→0
x→0
6. Demostrar que si lı́m f (x) = l y lı́m g(x) = m entonces lı́m máx(f (x), g(x)) =
x→x0
x→x0
x→x0
máx(l, m).
7. A partir de la definición, demostrar que lı́m x1 no existe (Hay que proponer
x→0
un l ∈ R como límite y verificar que no se satisface la definición de − δ).
8. Suponga que f (x) ≤ g(x) para todo x, l = lı́m f (x) y m = lı́m g(x).
x→a
x→a
Demostrar que l ≤ m. ¿ Será cierto que si f (x) < g(x) para todo x
entonces l < m.
9. Suponga que f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) para todo x y l = lı́m f (x) = lı́m h(x).
x→a
x→a
Entonces lı́m g(x) = l.
x→a
10. A partir de propiedades de límites, calcular los siguientes:
3
√
4
x−1
x→1 x−1
√
2
(d) lı́m 1− x1−x
2
x→0 n
−1
(f ) lı́m xx−1
si n
x→0
−8
(a) lı́m xx−2
(b) lı́m
x→2
√
2
(c) lı́m 1− x1−x
x→0
1
1
(e) lı́m ( (x+h)
2 − x2 )
h→0
1
∈N