Conexión entre el critero basado en la energía informacional y otros

ESTADISTICA ESPAÑOLA
Vol. 33, Núm. 126, 1991, págs. 1 1 5 a 129
Conexión entre el criterio basado en la
( a,f3) - energía informacional y otros criterios
de comparación de sistemas de información
difusa
por
J. A,. PAR DO
Departamenta de Estadística e I. O.
Escuela Universitaria de Estadística
Universidad Complutense
2$040-MADRlD
RESUMEN
En este trabajo se estudia la relación entre distintos criterios
de comparación de sistemas de información difusa. En concreto
se analizará la relación entre {as extensiones de los criterios de
Lehmann y suficiencia de Blackwell con un criterio basado en la
maximización de la (a,j3) - Energía Informacional.
Palabras clave: (a,^3)-Energía Informacional; criterio de suficiencia; criterio de Lehmann.
Clasificación A MS (1980): 6 2 B 10, 9 4 D 0 5.
E- ST A f)ItiT 1C'.A E-.SP ^^iOL_A
1.
INTRODI^CClOf1!
Considérese un sistema de información probabilístico cuyos posibles resultados f^ pertenecen a un espacio ^ y supóngase que el estadístico antes
de tomar una decisión, cuyas consecuencias dependen del resultado del
experimento citado puede observar una variable aleatoria E cuyo espacio
estadístico asociado es (X,^3x, P^,) ((X,^3Xj es un espacio medible y P^ es una
distribución de probabíiidad sobre el cr-álgebra ^3X, perteneciente a una
farnilia Í P^,^^ E^ con función de densidad f(x/f^) respecto de una medida
a-finita v^ y que la informacitín recibida por e! estadístico es de naturaleza
difusa.
Se supondrá ei problerna inmerso , en un contexto bayesiano, Q será un
subconjunto del espacio euclideo n-dímensional y estará dotado de una
Q-álgebra sobre la que habrá definida una distribución de probabilidad a
priori z, que recoge el conocimiento a priori acerca del parámetro desconocido f^. Se notará por p^fl) la densidad de T respecto de una medida o^-finita
^, sobre la a-álgebra asociada a^.
La modelización de la información recibida por e! estadístico de naturaleza difusa requiere !a introducción de! concepto de sistema de información
difusa X* ( H. Tanaka, T. Okuda y K. Asai ^ 19 7 9)) sobre X. Así pues, los
resultados que se observan mediante la observación de! sistema de información probabiiístico E se supone que se pueden asirnilar a sucesos
difusos de un sístema de información difusa X*.
Sí a la hora de recoger información acerca de f^ existe la posibiiidad de
elegir entre diversos sistemas de información difusa asociados a U, la
pregunta es clara, ^ Cuál de ellos elegir para su observación?. En L. Pardo,
M. L. Menéndez y J. A. Pardo (1986, 1 989) y J. A. Pardo ( 1 989y se
estabiecieron díversos criterios de comparación entre sistemas de información difusa, en este trabajo se estudiará la relación entre ellos.
A partir de! concepto de probabilidad de un suceso difuso (Zadeh
(1968) ) se tienen ios síguientes conceptos que serán esenciales en el
desarrollo posterior:
.
1'„(.1^) = I'(.1"/ll) - 1X r^ ,(x) f(x/ll) d^^(x)
d.l` ^^^k'*,
siendc f^ ^,x^ !a función de pertenencia.
( Distribución de probabilidad condicionada sobre ^^"* dado (^ E O)
•
f^^^^^ = f (, ^'„{.^^ p((^) d^^ (l1)
(Distribución predictiva sobre ^^`^
C'ONEXION E-:NTEtE=: FL C RI I^E RIU H.-14^\DU Eti l__\ I x./SI-E ^E Ft(;I \ I^t UElti1 \( Il)\ \l
!l7
p(f)) P^,(^^^
.
P(0/.k^
(Distribución a posteriori sobre O dada la información difusa ^^" ^.^k"*).
2.
EL CRITERIO DE SUFICIENCIA Y EL CRITERIO BASADO EN LA
(a,^3)-ENERGIA INFORMACIONAL
Sean X* e Y* dos sistemas de información difusa asociados a los
sistemas de información probabilísticos
E1 °(X^ ^X^ Pr^)r^ ^ H^ E2 -(^^ ijY^ Qu)u E F)-
Definíción 1
Se dice que Y* es suficiente para .k'* y lo denotaremos }'* > S.^"* si
existe una función real h no negativa y definida sobre .k"* x}'* de tal #orma
que se verifica:
a^
h( X, YÍ P„ l^, ^d E^ E O, ^d ^^' E,^^ *
P^^ ( X)_^
k' E r'*
bJ
E
h(X,Y1=1,
b^ r'E Y*
,i^ E ,t' a
Este criterio basado en el criterio de suficiencia de Blackwell en el caso
de información nítida, ha sido estudiado ampliamente en M. L. MenéndeZ,
J. A. Pardo y L. Pardo ( 1 989).
En lo que se refiere al criterio basado en la (a, f^)- Energía I nformacional se
tiene la siguiente definición:
Definieión 2
Se dice que el sistema de información difusa ^^"* es preferido o indiferente al sistema de información difusa }'*, .ti'* >}'^^, supuesto que la densid^,d
a priori" sobre el espacio paramétrico es p(()) si
H'z (-^^*, p(. ) ) > H^^ ( ^^*, P( ^ ) )
y se dirá que ^^"* ^ }'k respecto de p(l)) si y sólo si ,^"*> }"* e}^*> .l"* donde
H^^(a"*,p(.))=
^^ ^^ P( ^^^^ [ f ^, ^^( ^^/.l^) ^ d^. ( ^^) ^'` - [ f ^ ^ p ( ^^) r d^. ( ^^) ^ ^^
con (a,^3) ^ D = { (a,^^) / 0 < a < 1, ^ < 0 o a > 1, a^^ > 1 }
Este criterio ha sido ampliamente estudiado en J. A. Pardo ( 1 989).
t^f ^^f)t^TE(^1 T11'1,tit1f A
En 1^ que se refiere a estos criterios se establecen dos resultados. EI
primero de elfos hace referencia a la relación entre los dos criterios en el
caso de que ef espacio paramétrico sea finito, mientras que el segundo no
requiere la hipótesis de que el espacio paramétrico sea finito siendo necesarías sin embargo otras restricciones que se indicarán en su momento.
Teorema 1
Sea O =^ D,,...,(^, } y pE(I) una distribución de probabilidad a priori sobre O.
Si el sistema de información difusa Y* es suficiente para el sistema de
información difusa X* entonces
^!p(. ^
Y* > ,^`*
Demostración
Por ser el sistema de información difusa Y* suficiente para X* existe una
función real h no negativa y definida sobre ^'* x Y* verificando las condiciones a) y bJ de 1a Definición 1. A partir de la función h, se define para X fijo,
la siguiente función de los valores del espacio paramétrico
E
h(X, Yj P( Y/^k)
^,1"^^^k^ - } E } *
^
?' ^ Y ^
h ( .^. Y^
Para las r variables aleatorias independientes Z^,* que toman los valores
P( Y/(Ik) con probabilidad
h t^', Y?
P( Y/,k^ = h( X, Y} /^
^• E ^^*
y que definen la variable aleatoria r-dimensional
Z = EZ^,I,,..,Z^,^l
consideramos la función
Htx,,...,x,) _ [ ^
k-1
Xk p ( Ok)
P ^ ^k) Xk ^
k-1
L
r
J
^ p(^^k^ xk
k_ 1
que según se prueba en J. A. Pardo E 1 989) es convexa respecto a sus
argumentos.
(`O1E:X!Oti E:^iTRF E=.1. C`RITE^:RIt^ BASA[j0 Eti LA t.z.^S)-f:tiE^^RGl,1 Iti+Ft)RMAC'{O^IAE_
I I9
Se tiene entonces
f^ ( ,k', }^^
1'{ ^'/f^k)
E ^Zr^
k ] _}• ^
E }•+^
h ( ^^, Y)
^
}" E }"•
^d k =
= 9.t' ( ©k)
g ^'(^k) p(^k)
^
H[ E(Z^1),..., E(Zci^) ]= E p(Ok) 9.k-(f^k)
L
k=1
^ pcok) 9xc©k^
k=1
Z pk p \ ^1k^
H [ Z©^,...,Za^ ] _ ^ ^3 ( ^k) Z © k
r
k=1
^ p(©k) Z©k
k-1
Z ^Jk P ( ^k^
E[H (Za^,...,Zor) ] _ ,^ . ^ ^ Pt©k} Z(1
} EY
k
k=1
^ a ^ P ( Y/^
r
^ P(©k) z^k
k=1
Aplicando la desigualdad de Jensen se Ilega a
^ p ( ^k^ g.^" ( ^k ^ i
k=1
^
^
k=1
^
p ( ^k ) 9.k' ( ©k)
^
a
) a<
^
r
r
^ P `©k ) 9 k' ` Qk)
k=1
(^)
C ^ [ ^ p(^kl Zp [ ^
}' E}'*
k^ 1
k
k=1
[
Z^k p(Qk)
^ ^ ^ a ^ PIY/X)
^ P(^k) Z^
k=1
k
Ahora bien
g,}^f ^k) p( C^k) },^ },* h( X, ^
g","(^k) p(f^k)
r
r
^ P ^ ©k) g.t" ^ ^k^
k=1
h ( `^
^ P ( ^k^ ^ ^
k=1
} ' E Y"
, ^ P ( Y^ ^k) ]
^7 ` X' }'} P ( Y^ ^k)
E
9 t' ( ^k) /(^ ( (^k) }" EE ^•* ^i ( X , ^ _ }• ^=
Y*
^
^ p(f^k^ ^^(^^%Úk^
k=1
^(^ /
P(X/^k) pÍf^k)
= P(^k^^ l
P ( ^k) _
120
ESTAUISTI("A ESF'AÑOLA
y
^ p(fIk) ^^
r
9.t.{^kÍ ^
^
Pt^k)
k= l
k= l
h(^k', Y) P( Y/f1k) ^
y E}*
^
h ( ,k', r^
}^ ^ }-•
r
^ p{fak^ P(X^dk)
P{X)
k=1
h(X, Y)
^
^
Y E }'^
h(X, Yj
Y E Yw
Por tanto
^ /D ! ^k^ C^ ^^ { vk^
k=1
9'.^' ( ^kÍ p { ^k)
^
k= f
L
l
r
^' l^t ^k),9X {Qkl
P(Xi
^ [P(^k/x1 ^ ^^
^ hcx, ^
Y E Y`
k=l
Por otra parte
Z^k p(fIk)
^ . [ ^ ^D^fik) Zu [ ^ [
}' E } *
k=1
k
P ( Y/.X^ _
r
k=1
^^ ^7{ ^^k) íZUk
C
Pc ^ [
` ( ^r' `^k)
^{ ^-^
= E P ( Y} [ ^ [ P { f^k % Y1 ^ ^
^' E }`*
k=1
) ^ P( ^j-^ z
]^
^
h(X, Y^
^
}" E }'*
h ( X, ^1
por lo que sustituyendo en la desigualdad (I) se tiene
f^{`k^
^
f' E }^*
h { .^', Yj
r
L
^
k^'
(L
P{flk /.^'} ^x
h ( fk', Yi
^_ ^ P{ ^1 ^ ^ [ P{flk^ Yj ]x ^^j
} ^ }*
k=1
^
}" ^ }^*
,
%! ^^ , ^^^
CONE:XlC)N EN^f^RE EL CRETERIO E3ASAD(^ EN LA (^,^i)-ENERC;IA INFORMA('EC)NAL
I Z1
donde sumando sobre X*, se obtiene
.^
^ E :k'*
P(^ [ ^ [ P(^k^^ J x ] ^ --< ^
} E}*
k=1
P( Y^ [ ^ [ P(f^k/ Y} ]
k-1
es decir
Há (X*,pl.) ) ^ H^ ( Y*,p(-) ),
^1 p(.1
-y por tanto
X* < Y* , b p(.)
EI teorema anterior afirma, cuando e1 espacio paramétrico es finito, que
el criterio de suficiencia implica el criterio basado en la (a,^3)-Energía Informacional. En este sentido, para extender esta relación cuando el espacio
paramétrico no es finito, es necesario considerar el siguiente resultado
debido a J. A. Pardo (1989).
Teorema ^
Dados los sistemas de información difusa X* e Y* se verifica que
HQ (X* x Y*, p(.) }> Hz (X*, p(.) )
d p(.}
dándose la igualdad si y sólo si P( Y/X,f^) no depende de f^.
A continuación se estudiará bajo que condiciones se verifica esta relación
cuando el espacio paramétrico no sea finito.
Teorema 3
Sean A y B dos sistemas de información probabilísticos tales que la
información que se obtiene con su observación pertenece a lus sistemas de
información difusa .k'* e Y* respectivamente, sea p(f1) una distribución a
priori sobre O y supóngase que si
^
}^ E }'*
g( Y} P( Y/f1) = 0, se verifica que, g( Y) = o
d g: Y* ^ IR ,
}'* > ^'* br p ( . ) .
b Y E Y* ,
bfI E O. Entonces si Y*> S X* se tiene que
Demostracíón
AI ser r'* > S^k'* se tiene
P(X/fI) =^
h(X, Y) P( r'/f^),
}" E }•*
por otra parte
P(X/Y,E1} P( Y/(^)
P(X/f)) _ ^
)^ ^ }^*
d f^ ^ O, ^d X^.X*
E=STADt^TtCA E.SF',A!V(lL_A
luego
[ h(^', r1 - P(,^'1 Y,f^) ^ P{ }^'/f^1 = 0
^
,^ ^ ^r•
Por lo tanto
h(,k', Y) = P(^k'/ Y, E^) .
es decir, P(X/Y, f^) es independiente de 4 y por el tearema 2 se tiene que
Há (X* x Y*, p(.) )= Há ( Y*, p(.) )
Y
HQ(x*x Y*,,o(.) )> H^(x*,p(.) )
luego
Y* > X *
3.
EL CRITERIo DE LEHMANN Y EL CRITERIO DE SUFICIENCIA
PARA SISTEMAS DE INFORMACION DIFUSA
Definicíón 3
Se dice que X* es preferido a Y* según el criterio de Lehmann y se
denota por
X* >, « y*
si existe un sisterna de información difusa U* con P(X, U/Q)=P(X/^^ P( U?
^d f^ E O, bX E X*, b U E U* y una aplicación t^ defínída sobre X* x CI* tal
que Z*= ú(X* x U*) es un sistema de información difusa con
P(Z'/4) =
^
^x, u^ ^ n r^^
P(X x U/^)
Y
µz^ (X^ ^ ^x, u^^ nr^^ ^x^X) ^ i^^x^
siendo
A { 7-) _ { ( X, (,I} ^ X* x U* / ti ( x, ^ =1^' }
de forma que la distribución de probabilidad condicionada sobre Y* dado fI
coincide con la distribución de probabilidad condicionada sobre I* dado
f^ ^ O.
(^ONEXION EN'^RE El. ('RITERI(^ BASAUO EN l._.A 1;z,^i)-ENERC;IA INf=()RMA("I(>NAL
^^^
Teorema 4
Sean X* e Y* dos sistemas de información difusa taies que X*> Lh Y
entonces ^C'* > S Y*.
Derr^ostración
Por ser .^*> L`' Y* existe un sistema de información difusa l1* verificando
.las hipótesis de la definición.
_Se probará en primer lugar que la distribución sobre X* x U* condicionada a 0 y a Xo es independiente de f^. En efecto
d X E X* , d U E U* PU{X, U/Xo) _
Pt^ ( Xo• L^
Pr,(Xo)
_
Pr1( ^?l^o) P( U)
= P( ^
,
Pr^(.^ o)
Por tanto, la distribución de ^(^k'* x U*) condicionada a.k"o y a f^ tarnpoco
depende de f^ y en consecuencia b^ ^k'o P^^{ Y/Xo) no depende de f^ ^d Y^ Y*.
Defina mos entonces
h{Y,X) = Pr^{ Y,X)
y veamos que se verifican las condiciones bajo las cuales el sistema de
información difusa ^"* es suficiente para el sistema de información difusa
Y*:
a)
P„(Y) _^
P,^(X, Y) _^
.1" E .Y *
h1 Y,.^ = 1
^:
}^ E ,^^
probabilidad.
b)
. t' E: .1' ^
Pr^( Y/^^i Pr^{^Y") _^
t' E ^^ ^
h( Y,X) Pr,(X)
^l .^ ^ X* ya que P„( ^'/^k^ es una distribución de
Por tanto como consecuencia de los resultados anteriores, se concluye
que en el caso de que el espacio paramétrico sea finito o se curnpla la
restricción impuesta en el Teorema 3, el criterio de Lehmann impiica e1
criterio introducido en este trabajo. Para finalizar, con el análisis de las
relaciones entre los tres criterios estudiados, se probará que no es necesario imponer restricciones para establecer que el criterio de Lehmann irnplica el dado en este traba jo.
4.
EL CRITERIO DE LEHMANN Y EL CRITERIO BASADO EN LA
(a,f^) - ENERGIA INFORMACtONAL
Teorema 5
Sean ^^"* e Y* dos sistemas de información difusa tales que ^k"* > L`' ^'*,
entonces .^'* > }'*, dp( . ).
124
F:STAn15TIC'A F:Si'A'VC7LA
Dem ostracián
Por ser X* > L`' Y* existe un sistema de informacián difusa U* con
P„ ( X. G-^ = P^, ( X) P( U) ^d f^ ^®, b^ ^' ^ X*, d U E U*
y una aplícación r^ definida sobre X* x U* tal que ^ (X* x U*1 es un sistema
de información difusa de forma que la distribución de probabilidad condicionada sobre Y* dado f3 E 8 coincide con la distribución de probabilidad
condicionada sobre ^(X* x U*) dado 8 E f^.
Se probar^ en primer lugar que la distribucián sobre X* x U* condicionada a 8 y X^ X* es independiente de ^. En efecto
d X^ X*, d U E U*, P(.X, U/Xo,^} _
P^Xo. U/ol
P(Xo/8)
--
^°(.x'o/a} P( U1
P(aC"o/'8}
= P( L1)
Por tanto, la distribución de ^i (X* x U*y condicionada a X y a 8 tampoco
depende de e, con lo cual se tiene que
P(8/,^,Z)
PI.x,Z/8) p(8) i
P(X, Z)
P(Z/X,f^) P(X/©) p(e) __ p(8/X)
P(Z/X^ P(X)
con Z E ^(X* x U*) .
Por una parte
H^(Y*,p(.9 }= HQ(t^ (X*x U*}, p(.) i
y por otra
H^ (X*,p(.) } = H^ (X* x ^ (X* x U*), p(.} }
.
y por el teore.ma 2
Há t Í.^^` x i1(X* x U^`} }. /^(.) }^ Í-iá (2Í(X* X U*), I^(•} f
de dande se sigue que
Há {X*,p(.) ) > Há ( Y*,p(.} }
bp(•}
luego
X * > Y*
5.
EJEMPLGIs
En este apartado se expondrán dos ejempios para clarificar los criterios
de comparación de sistemas de información difusa expuestos anteriormente.
^
('011E:XION E^1TRF EL (^RITERIO BASACX) EN LR (3.^11-f^ti1E:R^^l4 I^F()RMAC'I()^IAL
125
Ejemp/o 1
Para estudiar el rendirniento de una cierta parcela de terreno se procede
a realizar dos tipos de análisis para determinar si el terreno es apto para el
cuitivo de un determinado cereal. Ello depende de la presencia en e! terreno de dos sustancias f^, y f^2. Se denotar^i por X el primer experirnento con
dos posibles resultados { 0, 1} donde X=© significa no apto para el cultivo
y X= 1 significa apto para el cultivo siendo
P ^ X = 0 /8, } = 1 /4
P ( X = 1 /B, ) = 3 /4
P { X = 0 /82 } = 3 /4
P ( X = 1 /®2 ) = 1 /4
De la misma forma se denotar^ por Y el segundo experimento, con los
mismos resultados, siendo
P(Y = O/^,) = 23/60
P(Y = 1/4,} = 37/60
P{Y=0/82)=109/180
P(Y=1/^2)=71/1$0
Sin embargo, los experimentos X e Y no nos informan con exactitud
sobre la aptitud del terreno para el cultivo teniéndose los siguientes sistemas de información difusa
X* _ { X^', X2 } siendo
1
X' = EI terreno parece que es muy apto para el cultivo según el experimento X
X2 = EI terreno parece que no es muy apto para el cultivo según el
experimento X
con funciones de pertenencia
µxl (0) = 0-3 - ^.^^(1) = 0,^ - ^x2^0) = 0-^ - ^X'(1) = 0,3
y* - { y' , y2 } siendo
Y' = EI terreno parece que es bastante apto para el cultivo según el
experimento Y
Y^ = EI terreno parece que no es bastante apto para el cultivo según el
experimento Y
con funciones de pertenencia
^u }^^(0) = 0,03 , ,u r.^(1) = 0,63 , ,u,,^(0) = 0,97 , ,u,,2(1) = 0,37
Veamos que el sistema de información difusa X* es preferido al sistema
de información difusa Y* según el criterio de Lehmann.
1?b
E:STAI)ISTIC',1 ESP,>^()l_A
Sea U una variable aleatoria tai que P(U=0) = 7/24 y P(U=1 ^= 1 7/24
siendo LI* _{ C'' , L`2 } un sistema de información difusa sobre U con funciones de pertenencia
,c^ci(01l0.1 , ^c^^(1)=O,g- ^lc'(Q)=4,9, ^c^c^lly=o,1
con
P(X', Uk/f^,) - P(^^'/l^, ) P{ Uk) i=1,2 ; ^-1,2;k-1,2
Definamos t^ de la sigu iente forma
^(X^,U^^ ` ^^ ^
t3 (1^' , U2 } _ ^3 { ,^2, U' ) = t^ ( ^l'z, U^ ) ^ ^^
siendo
^!! (Q) - ^.t"^ (0) ^ c^l ( o) = 0.03
^r^(1 ) _ ^.t c(1 ) ^c^i(1 ) = 0.63
^^'(0) _ ^.^ 1(a} ^ c '(0) + ^.t-'(Q) ,u c.^^ (0) ^- ^.r^'(0) ^c.'{0) = 0.97
µ^'t 1 } _ ,u.r^i(1 ) ^c^'(1 } + ^.t'(1 ) ^^c^c (1 ) + ^.t-'(1 ) ^c^'(1 ) = 0.37
Resulta inmediato comprobar que
P(?_.'/f^,) = P(.^'', U'/f^,) = P( Y'/f^,) = 2/5
P(^^/^,) - I'(.^;''. Lj2/f^,) + P(.^2, U'/f^,) + P(X2, U^/(^,) = P( Y'/f.1,) = 3/5
P(f'/()2) = 4/1 5
P(^2/f^2) = 1 1/ 1 5
con lo cua^ resulta que ,^'* es preferido a}'* según el criterio de Lhemann y
com© consecuencia ^^'* es preferido a Y* según el criterio basado en la
(^,^^ -Energía Informacional.
Ejemp/o 2
Considerernos una gran colonia de insectos, de los cuales una proporción
fl ^{ fl,,112 } es infectada con un virus determinado. Para recoger información acerca de ll se dispone de dos mecanismos A(experimento X) y B
(experimento Y) siendo
P(X=0/l),)= 11/12
P(X= 1/U,)= 1/12
P ( X = 0 /f)2 ) = 1 /2
P ( X = 1 /Uz ) = 1 /2
P(Y=0/f1,)=45/70
P(Y= 1 /(),)=25/70
P(Y = 0,l^^^j = 65/7o
P(Y - 1 /^l2) = 5/l0
C'ONEXION ENTRE-^ EL C'RI TERIO BASAD{) EN LA (z,^i)-ENF.R(:;I ^^ INFC)RM:^^'IOti.^l_
^?%
Sin embargo, 1os mecanismos A y B no nos informan con exactitud sobre
la presencia o ausencia del virus teniendose los siguientes sistemas de
información difusa:
X*={^'',,k'2} donde
X' = EI insecto presenta infección con mucha certeza según el mecanismo A
X^ = EI insecto no presenta infección con mucha certeza según el mecanismo A
siendo
^ .t^^ ( CJ ) = 0, 3 , ,u .,.^ { 1) = O, 7 , ^ ^ .'10 ) = 0, 7 , ^^ .t^'(1) - o, 3
y* = { y' , Y^ } donde
Y' = EI insecto presenta infección con mucha certeza según ef inecanismo B
Y2 = EI insectc^ no presenta infección con mucha certeza según el mecanismo B
siendo
^c ^.^ ( o ) = 0,1 5 , ,u }-^ (1) = o, 8 5
,^ ,,,^o) = 0,8 5, µ r,^(1) - 0,15
En este ejemplo el sistema de información difusa X* es suficiente para
Y* ya que
P{X'/U,)=1 /3, P(X'/fI2)=1 /2, P( Y'/U,)=3/5, P( Y'/(12)=1 /5
y considerando la aplicación h definida por
h( Y',^^c'')=1 /6
h( Y2,X')=7/12
h{ Y',X2)=5/6
h( ^'2,,^'2)=5/12
se verifica que
^
P{.^''/U,)=h(Y',X') P(Y'/(^,)+h(Y2,X') P(Y2/fI,)= 1/3
P(f^''/U2) = h( Y',X') P( ^''/U2) + h( Y2,X') P( Y2/U2) = 1/2
P(^^'2/(1,) = h( Y',^^'2) P( }''/U,) + h( Y2,X2) P( }'2/U,) = 2/3
P(^^"2/(^2) = h( ^'',.^'2) P( ^''/f^2) + h( ^'2,X2) f'( Y2/U2) = 1/2
y además
h(Y',^^'')+htY',^^'2)= 1
h ( ^'2, .^'' ) + h ( }'2, .^'2 ) = 1
E:ST^IC^IST1('^1 fSP:^`^O[.A
con lo+ cual resulta que efectivamente ^k'* es suficiente para Y* y como
consecuencia ,?k'* es preferido a Y* según e! criterio basado en la
^a,(3)-Energía Informacional.
AGRADECIMIENTOS
EI autor quiere expresar su agradecimiento a los informadores del presente trabajo por sus útiles comentarios y sugerencias.
6.
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CONNECTION BETWEEN THE CRITERION BASED ON
(a,f3)-INFORMATION ENERGY AND OTHER CRITERIA FOR
COMPARING FUZZY INFORMATION SYSTEMS
SUMMARY
In this paper, the relationshíps between different criteria for
experiments where the statistícal information is of a fuzzy nature
are studient. Under a bayesian approach, it is analyzed the relationship between the criterium of sufficiency, Lehmann's criterium and that one based on (a,^3)-Information Energy.
Key
words: (a,^)-Information Energy;
Lehmann's criterium.
Sufficiency's criterium;
AMS subject classifieation.^ 62 B 10, 94 D05.