Programación lineal difusa

Programación Lineal
Difusa
Carolina Ospina
Juan Felipe Tenorio
PROGRAMACIÓN LINEAL DIFUSA
Caso General
n
C X
max
j
j 1
i
n
s .t 
j 1
X
j
A X
ij
 0 j 
j

i

Bi

 
n

m

PROGRAMACIÓN LINEAL DIFUSA
Primer Caso
Aquí la variable difusa es B i
Bi se define de la
siguiente manera
n
max
c x
j
j 1
i
n
s .t 
j 1
x
j
a x
ij
 0 j 
j

B


i


m
Bi
 
n
i
1 Cuando x 
bi

 
bi pi  x
 
Cuando b i  x 
pi


 0 Cuando b i  p i  x

b
i

p
i
PROGRAMACIÓN LINEAL DIFUSA
Primer Caso
• Se busca z l siendo esta la resolución del
sistema con el bi mas pequeño.
• Se busca z up siendo este la resolución del
sistema con el bi mas grande (bi+pi).
PROGRAMACIÓN LINEAL DIFUSA
Primer Caso
Ahora el problema se convierte en el siguiente de
problema de optimación clásico
max 
s .t 
z
up
n
pi 


z
l
  cx   z
a ij x j  b i  p i i  N m
i 1
, x j  0
l
j
Nn


PROGRAMACIÓN LINEAL DIFUSA
EJEMPLO
Una compañía elabora dos productos. El producto p1 y el
producto p2 tienen una utilidad por unidad de $0.40 y $
0.30 respectivamente. Cada unidad de p1 requiere el
doble de tiempo de elaboración que el producto p2. El
total de tiempo de elaboración es al menos de 500
horas/día, y puede ser extendida a 600 horas/día, si se
trabaja horas extras. Se dispone de materia prima
suficiente para 400 unidades de ambos productos/día,
pero en base a experiencias previas esta materia prima
puede ser extendida a 500 unidades/día.
Encontrar el modelo PL que nos maximice la utilidad.
PROGRAMACIÓN LINEAL DIFUSA
Segundo Caso
Se puede reescribir entonces:
n
max
c x
j
j 1
i
max
n
s .t 
j 1
x
j
n
A x
ij
 0 j 
j

B i i 
 
n
Donde A y B son difusas,
con A=<s,l,r> y B=<t,u,v>

m

c x
j
j 1
n
s .t 
j 1
x
j
i
s , l , r  x  t , u , v 
ij
 0 j 
ij
ij
 
n
j
i
i
i
i   m 
PROGRAMACIÓN LINEAL DIFUSA
Segundo Caso
Se tiene que:
A B
si , s1  s 2 , s1  l1  s 2  l 2 ,
s1  r1  s 2  r2 .
Además :  s1 , l1 , r1    s 2 , l 2 , r2 
 s1  s 2 , l1  l 2 , r1  r2 
 s1 , l1 , r1   x   s1 x , l1 x , r1 x 
PROGRAMACIÓN LINEAL DIFUSA
Segundo Caso
El problema se puede reescribir
entonces así:
n
max
c x
j
j 1
i
n
s x
s .t
j 1
ij
 s
ij
 s
ij
j
x
j
 0 j 
i
l x

r x
n
j 1
t

n
j 1

ij
ij
 
n

j
j

t

i
t
i

u
i
v
i
PROGRAMACIÓN LINEAL DIFUSA
EJEMPLO
Considere en siguiente problema de
Programación Lineal difuso
max z  5 x1  4 x 2
s .t  4 , 2 ,1  x1  5 , 3 ,1  x 2   24 , 5 ,8 
 4 ,1, 2  x1  1, 0 . 5 ,1  x 2
x1  x 2  0
 12 , 6 , 3 
PROGRAMACIÓN LINEAL DIFUSA
Conclusiones
• Los problemas de programación lineal
difusa se ajustan más a la realidad, dado
a su cualidad de modelar cambios
(rangos) en sus variables.
• El método difuso del caso 2 posee
restricciones más fuertes que las del
caso 1.