SOLUCIÓN DE EJERCICIOS DEL TEMA XXI

DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE UN ESTADÍSTICO
(LA MEDIA Y LA PROPORCIÓN)
SOLUCIÓN DE EJERCICIOS DEL TEMA XXI
1.
X → N ( µ , σ / n ) = N (1,69; 0,0225)
Y → N ( µ , σ / n ) = N (68,2; 0,45)
a). P(1,66 ≤ X ≤ 1,70) = P( X ≤ 1,70) – P( X ≤ 1,66).
0 ,6 7 0 0
X 1 − µ 1, 70 − 1, 69
Tipificando: z 1 =
=
= 0 , 44
0 , 0225
σ / n
z2 =
N (0 ,1 )
0 ,0 9 1 8
X 2 − µ 1, 66 − 1, 69
=
= − 1,33
0 , 0225
σ / n
-1 ,3 3
0 ,4 4
zi
P(1,65 ≤ X ≤ 1,70) = P(-1,33 ≤ z ≤ 0,44) = F(0,44) - F(-1,33) = 0,6700 – 0,0918 = 0,5782.
b). P( X ≥ 1,72) = P(z ≥
P( Y ≥ 67) = P(z ≥
1, 72 − 1, 69
) = P (z ≥ 1,33) = 0,0918
0 , 0225
67 − 68 , 2
) = P(z ≥ −2,67) = 0,9962
0 , 45
Se pide P( X ∩ Y ). Como X e Y son independientes, X e Y también lo son. Por tanto:
P( X ∩ Y ) = 0,0918 · 0, 9962 = 0,0914
c). Sabemos que P(z1 ≤ z ≤ z2) = 0,50:
Según las tablas de la normal:
z -0,67 y
0,25 1=
Sustituyendo en la fórmula: z =
z = 0,67
0,75 1
X −µ
:
σ / n
0,75
N (0,1)
X 1 − 68 , 2
; X 1 = 67,90
− 0,67 =
0, 45
X 2 − 68 , 2 ; X = 68,50
2
0 , 67 =
0 , 45
0,25
z1
0,50
z2
Z
Por tanto, el 50% central de los sujetos tienen una media en peso entre 67,9 y 68,5 kg.
d). Sabemos que P( X ≥ 1,71) = 0,67.
Por tanto: P(z ≥ 1,71) = 0,67. Donde, z = 0,44
Si X → N (1,69; 0,09) , para que z sea 0,44: 0 , 44 =
1, 71 − 1, 69
. Despejando, n = 3,92.
0 , 09 / n
Por tanto, para que la probabilidad de que la media en estatura sea mayor que 1,71 sea 0,67 el
tamaño de la muestra ha de ser de 4 sujetos.
SOLUCIÓN A PRÁCTICA 1.21
DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE UN ESTADÍSTICO
(LA MEDIA Y LA PROPORCIÓN)
2.
Siendo X: número de aciertos, X → B(x; n = 15; π = 0,20)
Si la muestra tiene 1 sujeto P (X ≥ 5) = 0,164 (según las tablas de la binomial).
Con una muestra de 200 sujetos, 0,164 · 200 = 32,8.
Por tanto, cabe esperar que 33 sujetos acierten más de 4 preguntas
3.
Como n > 17; P → N (E(P), σ(P)). Donde: E(P) = π = 0,45
σ(P) = π ⋅ (1 − π )/ n = (0,45 ⋅ 0,55)/200 = 0,035
Solución sin corrección por continuidad:
P (P ≥ 0,50) = P (z ≥
0,50 - 0,45
) = P (z ≥ 1,43) = 0,0764.
0,035
Solución con corrección por continuidad:
P (z ≥
[0,50 - (0,5/200) ] - 0,45
0,035
) = P (z ≥ 1,36) = 0,0869
Nota: Este problema también puede resolverse mediante X → N (E(X), σ(X)).
Donde: E(X) = n π = 90
σ(X) = nπ ⋅ (1 − π) = 90 ⋅ 0,55 = 7,036
Sin corrección por continuidad: P (X ≥ 100) = P (z ≥
100 - 9 0
) = P (z ≥ 1,42) = 0,0778
7 , 036
Con corrección por continuidad: P (X ≥ 100) = P (z ≥
4.
(100 - 0,5) - 9 0
) = P (z ≥ 1,35) = 0,0885
7 ,036
Como n > 17; P → N (E(P), σ(P)). Donde: E(P) = π = 0,30
σ(P) = π ⋅ (1 − π)/n = (0,30 ⋅ 0,70)/100 = 0,046
Solución sin corrección por continuidad:
P (P ≤ 0,40) = P (z ≤
0,40 - 0,30
) = P (z ≤ 2,17) = 0,9850
0,046
Solución con corrección por continuidad:
P (z ≤
[0,40
- (0,5/100) ] - 0,30
) = P (z ≤ 2,07) = 0,9808
0,046
Nota: Este problema también puede resolverse mediante X → N (E(X), σ(X)). Se deja como ejercicio
para el alumno.
SOLUCIÓN A PRÁCTICA 1.21