Capitulo seis: Resuelve ecuaciones

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Resuelve ecuaciones
Para tu diversión Imagina que vas con unos amigos a
visitar un parque de diversiones recién inaugurado. En este
parque están las montañas rusas más emocionantes del país. El
desafío a la gravedad es tan extremo que se te puede revolver el estómago con facilidad. Vas a pasar un día súper emocionante y te vas a distraer un rato de la escuela y los estudios… aunque… ¡Espera un momento!
Para que saques buen provecho de tu dinero, necesitas traer tus conocimientos
sobre ecuaciones. Imagina cuánto te vas a divertir en el viaje e imagina que te
vas a divertir mientras resuelves ecuaciones.
Piensa al respecto Una vendedora te ofrece una gorra de béisbol
por $2.75 ó 3 gorras por $8. ¿Cuál precio te conviene más?
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Carta a la familia
Estimados alumno(a) y familiares:
El siguiente capítulo trata acerca de la solución de ecuaciones. Repasaremos
los dos métodos de resolver ecuaciones que aprendimos en capítulos anteriores: el método de conjetura, verifica y mejora y el método de vuelta atrás.
Luego, aprenderemos a usar un método más eficaz: realizaremos los mismos
cambios en ambos lados de la ecuación, un método que posiblemente les es
mucho más familiar. El siguiente es un ejemplo del tipo de problemas que
vamos a resolver.
Problema: Madeline y Neil coleccionan autógrafos de jugadores de
baloncesto. Madeline tiene 9 autógrafos más que Neil y entre los dos
tienen un total de 31 autógrafos. ¿Cuántos autógrafos tiene cada quién?
Sea a el número de autógrafos que tiene Neil. Luego, escribe una
ecuación que represente que el total de autógrafos que tienen entre los
dos es 31: a a 9 31 ó 2a 9 31.
Vocabulario Aprenderemos un par de términos nuevos en este capítulo.
conjetura
modelo
¿Qué pueden hacer en el hogar?
Traten junto con su hijo(a) de buscar ejemplos del uso de ecuaciones en el
trabajo o en los lugares que visitan. ¿Pudieron resolver alguno de los ejemplos?
impactmath.com/family_letter
383
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Repasa dos métodos para resolver
ecuaciones
Ya conoces por lo menos dos métodos para resolver ecuaciones: vuelta atrás y
conjetura, verifica y mejora. El método de vuelta atrás, método que usaste en
el Capítulo 1, te puede servir para resolver muchas ecuaciones. Por ejemplo,
considera esta ecuación.
5b 3
6
3
5b 3
Para calcular la solución, primero haz un flujograma de la expresión 3 . El
flujograma muestra los pasos para calcular el valor de la expresión, el valor
de salida, para todo valor de entrada b.
b
ⴛ5
5b
ⴙ3
5b ⴙ 3
ⴜ3
Entrada
5b ⴙ 3
3
Salida
5b 3
6, necesitas determinar el valor de entrada que produce
Para resolver 3
el valor de salida 6. Haz otro flujograma, pero esta vez escribe 6 como valor
de salida y deja en blanco los otros óvalos.
ⴛ5
ⴙ3
Entrada
interés
Los flujogramas se
usan en muchas profesiones. Los constructores los usan para
describir los pasos a
seguir en la construcción de una casa; los
ingenieros para hacer
diagramas de cómo
una pieza pasa a
través del proceso de
manufactura y los electricistas para mostrar
cómo fluye la corriente
en un circuito.
384 C A P Í T U L O 6
6
Salida
Ahora usa el método de vuelta atrás, paso a paso a partir del valor de salida,
para calcular el valor de entrada. Primero pregúntate, “¿Qué número al ser
dividido entre 3 es igual a 6?” Escribe el número en el óvalo a la izquierda
del 6.
Datos
de
ⴜ3
&
Piensa comenta
Continúa usando el método de vuelta atrás, de derecha a izquierda, para
encontrar los valores de cada óvalo en el flujograma. El número en el
óvalo del extremo izquierdo es la solución a la ecuación.
¿Cuál es la solución? Reemplaza la respuesta en la ecuación para verificar si es correcta.
El método de conjetura, verifica y mejora sirve para resolver cualquier
ecuación, incluso ecuaciones que son difíciles de resolver usando el método
de vuelta atrás. Cuando se usa este método, primero se conjetura cuál podría
ser la solución y luego se verifica la conjetura al reemplazarla en la ecuación.
Si la conjetura es incorrecta, se hace otra conjetura. Después de revisar los
resultados obtenidos en cada sustitución, se puede mejorar la conjetura y
acercarse cada vez más a la solución.
Resuelve ecuaciones
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&
Piensa comenta
Considera la ecuación 3b 5 b 17.
Supón que tu primera conjetura es 1. Al reemplazar la b con 1 se obtiene
8 en el lado izquierdo de la ecuación y 18 en el lado derecho. Escribe
estos resultados en una tabla.
Conjetura 3b 5
1
8
b 17
18
Prueba 4 como segunda conjetura. Reemplaza la b con 4 en ambos lados
de la ecuación y anota tus respuestas en una copia de la tabla.
Cuando la conjetura fue 1, la diferencia entre ambos lados de la
ecuación fue 10. ¿La diferencia entre los valores obtenidos es mayor o
menor cuando se reemplaza 4 en ambos lados de la ecuación?
Si 4 no es la solución, continúa ajustando tu conjetura hasta que ambos
lados de la ecuación tengan el mismo valor. ¿Cuál es la solución?
Explica.
Investigación 1
Elige un método para resolver
El método de vuelta atrás es a veces más fácil o más eficaz que el método de
conjetura, verifica y mejora. Ahora vas a practicar ambos métodos para
resolver ecuaciones. Cuando resuelvas cada problema, piensa en cuál método
puede ser más fácil para resolverlo.
Sección de problemas
A
Usa el método de vuelta atrás para resolver cada ecuación. Verifica la solución
reemplazándola en la ecuación original.
1.
3f 2 13
2a 1
3. 3
5
2.
3(2g 12) 51
4.
3n 4
1 6
2
5
Usa el método de conjetura, verifica y mejora para resolver cada ecuación.
5.
u 4 4u 8
7.
m(m 6) 91 (Existen dos soluciones. Trata de encontrar ambas.)
LECCIÓN 6.1
6.
2q 2 4q 7
Repasa dos métodos para resolver ecuaciones 385
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Comenta con tu compañero(a) qué método de solución: vuelta atrás o conjetura, verifica y mejora es más fácil o más eficaz en cada ecuación. Luego
resuelve la ecuación.
5k 4
8. 3
3n 5
9. 2
7
5n 3
3
10.
5B 2(B 1) 16
12.
Examina las ecuaciones en los problemas 8 al 11. ¿Alguna de ellas es
difícil de resolver usando el método de vuelta atrás? De ser así, explica
por qué.
11.
4j 74 478
Resuelve cada ecuación usando el método de tu preferencia. Verifica tus
soluciones.
13.
4(5g 1) 56
3d 1
14. 3
15.
35 2s 11
16.
6d 3
4x 3 3x 4
El álgebra es una herramienta poderosa que sirve para resolver problemas
reales e importantes. Las situaciones siguientes son en general de más fácil
solución que un problema verdadero, pero te ayudarán a desarrollar las
destrezas algebraicas que necesitarás para resolver problemas verdaderos.
Sección de problemas
1.
386 C A P Í T U L O 6
B
Kim tiene $20 y ahorra $6 por semana. Noah tiene $150 y gasta $4 por
semana.
a.
¿Cuánto dinero tendrá Kim en n semanas a partir de hoy?
b.
¿Cuánto dinero tendrá Noah en n semanas a partir de hoy?
c.
Escribe una ecuación que represente a Kim y Noah con una misma
cantidad de dinero después de n semanas.
d.
Despeja n en la ecuación. ¿Qué significa la solución en esta
situación?
e.
¿Cómo puedes verificar tu solución?
Resuelve ecuaciones
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2.
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La familia de Inez está comprando un nuevo sistema estereofónico en
Sharon’s Sound Shop. El vendedor les ofrece dos opciones de plan de
pagos.
Plan A: Hacer un pago inicial de $100 y luego pagar $35 al mes,
durante 24 meses.
Plan B: No hacer ningún pago inicial y pagar $40 al mes, durante
24 meses.
a.
¿Qué plan es el más caro? Explica.
b.
Escribe una expresión para cada plan que describa la cantidad que la
familia de Inez habrá pagado después de n meses.
c.
¿Después de cuántos meses habrán pagado la misma cantidad de
dinero con ambos planes?
En los problemas 3 al 7 escribe la ecuación que describa cada situación.
Resuelve la ecuación usando el método que prefieras. Verifica tu solución.
3.
5 unidades más que un número dado es igual que triplicar 1 unidad más
que dicho número. ¿Cuál es el número?
4.
Un ángulo de un triángulo mide f grados. Uno de los otros ángulos es
dos veces más grande y el tercer ángulo es tres veces más grande.
Calcula las medidas de los tres ángulos.
5.
Un terreno rectangular es tres veces más largo que ancho. El muro que
rodea el perímetro del terreno mide 800 metros de largo. ¿Cuánto mide
el terreno de ancho?
6.
Un edificio de apartamentos tiene una antena de televisión en el techo.
La punta de la antena está a 66 metros de altura sobre el suelo. El edificio
mide 10 veces la altura de la antena. ¿Cuánto mide la antena de altura?
7.
En una clase de 25 alumnos hay 7 niñas más que niños. ¿Cuántos niños
hay en la clase?
Recuerda
La suma de las medidas de los ángulos de
cualquier triángulo es
igual a 180°.
&
Comparte
resume
1. Escribe
una ecuación que no se pueda resolver fácilmente usando el
método de vuelta atrás. Explica por qué sería difícil usar este método.
2. En
conjunto, Rachel y Zach tienen $14. Si Rachel tuviera $1 más,
tendría dos veces la cantidad de dinero que tiene Zach.
a.
Escribe y resuelve una ecuación que permita calcular cuánto
dinero tienen tanto Rachel como Zach.
b.
Explica cómo escribiste la ecuación y cómo decidiste qué método
usar para resolverla.
LECCIÓN 6.1
Repasa dos métodos para resolver ecuaciones 387
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Investigación
Aplica el método de
conjetura, verifica y
mejora con una hoja
de cálculos
de laboratorio
M AT E R I A L E S
computadora con
software de hoja de
cálculos (1 por grupo)
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El método de conjetura, verifica y mejora es un buen método para resolver
ecuaciones simples, pero puede ser muy tedioso para resolver ecuaciones más
complicadas. El proceso puede ser mucho más rápido y divertido si tienes una
computadora que haga los cálculos mientras haces el razonamiento.
Sonia decidió usar una hoja de cálculos para resolver la siguiente ecuación
con el método de conjetura, verifica y mejora:
3n 5
5n 3
2
3
Programa la hoja de cálculos
Sonia entró primero los títulos y las fórmulas, en las dos filas superiores de
las primeras cuatro columnas de la hoja de cálculos.
1
A
Variable de prueba
n
2
3
B
Lado izquierdo
(3n 5)/2
=(3*A2+5)/2
C
Lado derecho
(5n 3)/3
=(5*A2+3)/3
D
Diferencia
=B2-C2
Luego, Sonia entró a la hoja de cálculos conjeturas para el valor de n y verificó los cambios producidos en los resultados, para mejorar la elección de la
siguiente conjetura. Cuando la conjetura sea correcta, ambos lados de la
ecuación tendrán el mismo valor.
1.
La fórmula en la celda D2 calcula la diferencia entre los valores de las
celdas B2 y C2. ¿Cómo crees que Sonia va a usar esta diferencia para
decidir su siguiente conjetura?
La primera conjetura que Sonia entró como solución fue 0 en la celda A2.
Estos fueron sus resultados.
Debido a que Sonia
sospechaba que algunos de
los resultados podrían no ser
números enteros, formateó
los números en las celdas
B2, C2 y D2 para que
mostraran tres decimales.
388 C A P Í T U L O 6
1
2
A
Variable de prueba
n
0
Resuelve ecuaciones
B
Lado izquierdo
(3n 5)/2
2.500
C
Lado derecho
(5n 3)/3
1.000
D
Diferencia
1.500
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Después, entró 1 en la celda A2 como su segunda conjetura.
A
Variable de prueba
n
1
1
2
B
Lado izquierdo
(3n 5)/2
4.000
C
Lado derecho
(5n 3)/3
2.667
D
Diferencia
1.333
Pruébalo
Recuerda
Las respuestas pueden
ser positivas o negativas, y pueden ser
números enteros o
incluir decimales.
2.
Prepara en tu computadora una hoja de cálculos como la que Sonia
preparó. Entra las dos primeras conjeturas de Sonia para asegurar que la
hoja de cálculos funciona correctamente.
3.
Usa la hoja de cálculos para resolver la ecuación de Sonia. ¿Cómo vas a
saber si ya encontraste la solución?
4.
Usa la hoja de cálculos para resolver las siguientes ecuaciones. Tendrás
que cambiar las fórmulas en las celdas B2 y C2 para cada ecuación.
Presta atención a las estrategias que sigues para mejorar tus conjeturas.
¡Más tarde se te preguntará sobre ellas!
a.
5.
4S 70 18S
b.
3n 8
4n 1 2
¿Qué estrategias seguiste para mejorar tus conjeturas?
Pruébalo otra vez
Teresa, una amiga de Sonia, resolvió la ecuación creando una hoja de cálculos
que era capaz de probar una serie de 20 conjeturas a la vez. Primero programó una hoja de cálculos como la de Sonia. Luego usó el comando fill
down de la hoja de cálculos, para copiar las fórmulas en las celdas B2, C2 y
D2 en las filas 3 a 21 de las Columnas B, C y D.
Para realizar la serie de conjeturas, Teresa modificó la Columna A. Primero
entró 0 en la celda A2 y la fórmula A2 1 en la celda A3. Luego copió esta
fórmula en las celdas A4 a A21. El programa creó una columna de números
consecutivos que aumentaban 1 unidad, desde 0 en la celda A2 hasta 19 en la
celda A21.
1
2
3
4
5
A
Variable de prueba
n
0
=A2+1
=A3+1
=A4+1
6.
B
Lado izquierdo
(3n 5)/2
=(3*A2+5)/2
=(3*A3+5)/2
=(3*A4+5)/2
=(3*A5+5)/2
C
Lado derecho
(5n 3)/3
=(5*A2+3)/3
=(5*A3+3)/3
=(5*A4+3)/3
=(5*A5+3)/3
D
Diferencia
=B2-C2
=B3-C3
=B4-C4
=B5-C5
Prueba este método en tu hoja de cálculos. ¿Cómo sabrá Teresa qué
valor de n es la respuesta correcta? ¿En qué celda está la solución en la
hoja de cálculos de Teresa?
LECCIÓN 6.1
Repasa dos métodos para resolver ecuaciones 389
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Usa tu hoja de cálculos
Por supuesto, no toda ecuación tiene una solución que sea un número entero
entre 0 y 19.
7.
Datos
de
interés
Las hojas de cálculos
pueden ser muy sencillas o extremadamente
complejas. Una familia
puede usar una hoja de
cálculos para planear
su presupuesto mensual, mientras que una
gran corporación puede
usarla para elaborar
sus planes financieros.
8x 3
x 3 usando el método de
Trata de resolver la ecuación 3
Teresa. Tu primera serie de conjeturas deberá ser el conjunto de
números enteros del 0 al 19.
a.
Observa que las diferencias en la columna D aumentaron conforme
aumentaron los valores en la columna A. ¡Estas conjeturas no se
aproximan a la solución! ¿Cómo modificarías la estrategia de Teresa
para poder aproximarte a la solución?
b.
Modifica la fórmula en la columna A para que coincida con tu nueva
estrategia. ¿Hay algún 0 en la columna D? ¿De no ser así, en dónde
parece estar la solución a esta ecuación?
c.
Refina tus conjeturas si es necesario y resuelve la ecuación.
Usa una hoja de cálculos como la de Sonia o la de Teresa para resolver las
siguientes ecuaciones. Es posible que algunas soluciones no sean positivas o
enteras. Si usas el método de Teresa, quizás necesites probar más de una serie
de valores.
Presta atención a las estrategias que sigues para mejorar tus conjeturas. Se te
preguntará sobre éstas más tarde.
8.
15x 32 3x 16
9.
3n 2 n 7
7P 34
10. 3
11.
390 C A P Í T U L O 6
13P 4
2
Elige uno de los problemas 8 al 11 en la Sección de problemas A y usa
una hoja de cálculos para resolver la ecuación.
Resuelve ecuaciones
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¿Qué aprendiste?
1
12.
¿Qué estrategias puedes usar para mejorar tus conjeturas al resolver
ecuaciones en una hoja de cálculos? Asegúrate de tomar en cuenta posibles soluciones negativas y decimales, además de enteros positivos.
13.
Analiza la siguiente hoja de cálculos.
A
Variable de prueba
n
2
3
B
Lado izquierdo
4n 2
=4*A2+2
C
Lado derecho
7n 12
=7*A2+12
D
Diferencia
=B2-C2
a.
¿Qué ecuación se quiere resolver con esta hoja de cálculos?
b.
¿Qué significan las fórmulas en las celdas B2, C2 y D2?
c.
¿Qué resultados obtendrás, si entras 1 en la celda A2?
LECCIÓN 6.1
Repasa dos métodos para resolver ecuaciones 391
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Page 392
Ejercicios por tu cuenta
&
aplica
Practica
Resuelve cada ecuación usando el método de vuelta atrás.
1.
4d 7 15
2.
4(2w 1) 52
4x 7
3. 5
4.
3
2c 1
1 6
3
5
Resuelve cada ecuación usando el método de conjetura, verifica y mejora.
5.
b 5 3b 9
6.
4t 3 3t 7
7.
4r
8 5r 10
¿Cuál sería la mejor manera de resolver cada ecuación: el método de vuelta
atrás o el método de conjetura, verifica y mejora? Usa el método que creas es
mejor para resolver cada ecuación.
6y 7
8. 3
9.
5
4u 7 5 3u
10.
5t 34 17
11.
Marcus tiene 20 libros de historietas y le da 3 a su prima Lelia cada
semana. Mike tiene 10 libros de historietas y compra 2 nuevos libros
cada semana.
a.
¿Cuántos libros de historietas tendrá Marcus después de w semanas?
propias
b.
¿Cuántos libros de historietas tendrá Mike después de w semanas?
c.
Escribe una ecuación que represente la semana w en la que Marcus y
Mike tendrán el mismo número de libros de historietas.
Describe el tipo de
ecuaciones que es
más fácil resolver
con el método de
vuelta atrás y el
tipo de ecuaciones
que es más fácil
resolver con el
método de conjetura, verifica y
mejora. Explica tu
razonamiento.
d.
Resuelve la ecuación y calcula cuántas semanas van a transcurrir para
que ambos niños tengan el mismo número de libros de historietas.
Verifica la solución.
En t u s
palabras
12.
Kiran dijo, “Once más que mi número es igual que 18 más que el doble
de mi número. ¿Cuál es mi número?”
13.
Una caja contiene 64 silbatos rojos y azules. Hay 16 silbatos azules más
que silbatos rojos. Escribe y resuelve una ecuación que permita determinar cuántos silbatos rojos hay.
14.
Resuelve esta ecuación con el método de conjetura, verifica y mejora.
Existen dos soluciones. Encuentra ambas.
m(m 2) 168
392 C A P Í T U L O 6
Resuelve ecuaciones
impactmath.com/self_check_quiz
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&
amplía
Conecta
Page 393
15. Sinopsis
Charles estaba pensando en cómo resolver la ecuación
d(d 2) 46: “Parece muy sencillo. Necesito dos números que al
multiplicarse sean igual a 46. Uno de los números es 2 unidades menor
que el otro. Usaré 8 como mi primera conjetura. Dado que 6 es dos
unidades menor que 8, entonces 8 6 48. Por lo tanto, 8 no es la
solución.”
a. ¿Cuál deberá ser la siguiente conjetura de Charles?
b. Usa el método de conjetura, verifica y mejora para calcular una solución para d cuya diferencia con 46 sea 0.1 ó menos. Redondea en
centésimas.
16.
La admisión a un autocine cuesta $4.00 por vehículo, más $1.50 por
persona en el auto.
a. Escribe una ecuación que describa esta situación. Usa a para representar el ingreso total por admisión que obtiene el cine, v para el
número de vehículos y p para el número de personas.
b. Usa la ecuación para calcular cuánto dinero obtendrá el teatro, si 43
autos que transportan un total de 93 personas ven una película.
c. Usa la ecuación para calcular el precio de admisión para un auto que
lleva 3 personas.
d. El precio de admisión para una camioneta fue $16. Usa la ecuación
para calcular cuántas personas había en la camioneta.
17. Sinopsis
Trata de resolver esta ecuación usando el método de tu preferencia. ¿Qué descubriste?
n2 3 2
Datos
de
interés
El primer autocine se
inauguró el 3 de junio
de 1933, en Camden,
New Jersey. La idea fue
un éxito y para 1961
había cerca de 6,000
autocines en operación.
Pero al volverse el auto
parte importante de la
vida cotidiana, la emoción de sentarse en un
auto para ver una película disminuyó: para el
año 2002, había menos
de 1,000 autocines en
los EE.UU.
18.
Jim y Lillian jugaban a Piensa en un número. Jim dijo, “Piensa en un
número. Triplícalo. Súmale 5. Multiplica el resultado por 10.” Lillian
dijo que obtuvo 320.
a. ¿Qué ecuación podría resolver Jim para calcular el número de Lillian?
b. Usa el método de vuelta atrás para resolver la ecuación.
Fuente: www.driveintheatre.com
LECCIÓN 6.1
Repasa dos métodos para resolver ecuaciones 393
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Repaso
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Calcula cada suma.
mixto
19.
0.5 0.5
23.
Reduce cada expresión.
a.
x4
x2
2x2
1
x6
x
Page 394
x2 x2
2
2x
d. x
2
M
O
R
D
A
N
g.
20.
1
21.
0.5 0.6
22.
0.5 1.05
x3 x2
b.
(x2)3
c.
e.
2x2 x2
(x )
f. x
2
2 3
Encuentra la expresión reducida que corresponde a cada respuesta de
la tabla que se muestra a la izquierda y escribe la letra correspondiente sobre la línea siguiente. ¿Qué palabra formaste?
____
a
24.
0.5 0.51
____
b
____
c
____
d
____
e
____
f
Considera el siguiente patrón de cuadrados.
Etapa 2
Etapa 1
Etapa 4
Etapa 3
394 C A P Í T U L O 6
a.
Determina a partir de la figura cuántos cuadrados se eliminan entre
etapa y etapa.
b.
¿Cuántos cuadrados se eliminan al pasar de la etapa s a la etapa
s 1?
c.
¿Cuántos cuadrados contiene cada una de las etapas que se muestran?
d.
¿Cuántos cuadrados se necesitan para la etapa 5? ¿Cuántos para la
etapa 7?
e.
¿Qué etapa contiene 100 cuadrados?
f.
Escribe una expresión que permita calcular el número de cuadrados
en la etapa s.
Resuelve ecuaciones
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Page 395
Un modelo
para resolver
ecuaciones
En esta lección y en la siguiente, aprenderás un método para resolver ecuaciones que es más eficaz que el método de conjetura, verifica y mejora, y que
también se puede usar cuando el método de vuelta atrás no funciona.
Primero aprenderás a usar un modelo que te ayudará a pensar en cómo
resolver ecuaciones. La palabra modelo tiene varios significados. Un modelo
puede ser algo que se parece a otra cosa. Por ejemplo, es probable que hayas
visto o construido modelos de autos o aviones a escala que son idénticos a los
vehículos reales y cuyas piezas son proporcionales a las piezas reales.
V O C A B U L A R I O
modelo
En matemáticas, un modelo es algo que tiene algunas de las características
principales de algo más. En el Capítulo 1, usaste bolsas y bloques como modelo de expresiones algebraicas. Del mismo modo que colocas un número
cualquiera de bloques dentro de una bolsa, puedes reemplazar la variable de
una expresión con cualquier número. En el Capítulo 2, usaste bloques como
modelos de personas de diferentes tamaños. Aunque los bloques modelos no
parecen una persona, la relación entre el volumen y el área de superficie de
los modelos fue similar a la de los humanos.
Los modelos matemáticos y científicos permiten comprender ideas complejas
al simplificarlas o facilitar su visualización. En esta lección, vamos a usar otra
vez bolsas y bloques como modelos de expresiones algebraicas. El añadir una
balanza al modelo permitirá modelar ecuaciones algebraicas y encontrar formas más eficaces de resolverlas.
Explora
Cada bolsa de esta balanza contiene un mismo número de bloques. El
peso de las bolsas es casi insignificante en comparación con el peso de
los bloques.
¿Cuántos bloques hay en cada bolsa? Explica cómo calculaste la
respuesta.
Verifica para asegurar que tu respuesta sea la solución al acertijo.
LECCIÓN 6.2
Un modelo para resolver ecuaciones 395
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2:00 PM
Investigación 1
Page 396
Haz y resuelve acertijos
de balanza
Ahora es tu turno para dibujar acertijos de balanza y resolverlos con tus compañeros. Las
reglas para la creación de acertijos de balanza
son las siguientes.
• En todo acertijo, todas las bolsas deben
contener el mismo número de bloques.
• Ambos lados de la balanza deberán
tener el mismo número total de bloques,
con diferentes combinaciones de número
de bolsas y bloques individuales en cada
lado.
Sección de problemas
A
1.
Dibuja tu propio acertijo usando un máximo
de 10 bloques en cada lado de la balanza,
incluyendo los bloques en el interior de las bolsas.
Intercambia acertijos con tu compañero y resuelve
el acertijo de tu compañero.
2.
Ahora dibuja un acertijo más difícil. Usa un total de 12 ó más bloques
en cada lado. Intercambia acertijos con tu compañero y resuelve el acertijo de tu compañero.
Cuando resuelvas los acertijos de balanza de la Sección de problemas B, trata
de pensar en más de una estrategia para resolver cada uno de ellos.
Sección de problemas
1.
396 C A P Í T U L O 6
B
Zoe y Luis retaron a sus compañeros a que resolvieran el siguiente acertijo de balanza.
a.
¿Cuántos bloques hay en cada bolsa? Verifica tu solución.
b.
¿Qué estrategia usaste para resolver cada acertijo?
Resuelve ecuaciones
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Los compañeros de Zoe y Luis crearon acertijos similares. Resuelve cada
acertijo calculando cuántos bloques contiene cada bolsa.
2.
el acertijo de Tanya y Craig
4.
el acertijo de Imran y Zach
3.
el acertijo de Margaret y Ana
5.
el acertijo de Lisa y Trent
&
Comparte
resume
Elige uno de los acertijos de balanza de la Sección de problemas B.
Explica el método de solución que seguiste de modo que alguien en otra
clase lo pueda entender. Asegúrate de justificar tu razonamiento.
LECCIÓN 6.2
Un modelo para resolver ecuaciones 397
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Investigación 2
Page 398
Mantén las cosas balanceadas
Es probable que hasta este momento hayas visto y usado una variedad de
estrategias para resolver problemas de balanzas. En esta investigación te concentrarás en resolver acertijos “manteniendo las cosas balanceadas”. Pronto
verás cómo la manera de pensar implicada en esta estrategia te va a servir
para resolver ecuaciones.
E J E M P L O
Malik resolvió el problema 5 en la Sección de problemas B de la manera
siguiente.
Estoy tratando de mantener
balanceados mentalmente
los platillos. Si quito lo mismo
de cada lado, lo que quede en
los platillos seguirá
balanceado. Puedo eliminar
una bolsa de cada lado y
obtengo lo siguiente.
Después podría
quitar 2 bolsas más
y un bloque de cada
lado…
Lo que queda debe ser
igual. Por lo tanto, cada
bolsa contiene 5 bloques.
Verifícalo: 3 bolsas y 6
bloques es igual a
3 5 + 6 = 21 bloques.
En el otro: 4 bolsas y 1
bloque es igual a 4 5 + 1 =
21 bloques. ¡Funciona!
Malik mantuvo el balance al retirar el mismo número de bolsas o bloques de cada lado, hasta que se quedó con 1 bolsa a la derecha y 5 bloques a la izquierda.
Sección de problemas
C
Mantén las cosas balanceadas para resolver cada acertijo. Anota en cada paso
lo que haces, así como lo que queda en cada lado de la balanza. Dibuja cada
paso si así lo prefieres. Asegúrate de verificar las soluciones.
1.
2.
398 C A P Í T U L O 6
Resuelve ecuaciones
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En el Capítulo 1, escribiste expresiones algebraicas que describían situaciones
relacionadas con bolsas y bloques. De igual manera, puedes escribir ecuaciones algebraicas que describan los acertijos de balanza.
E J E M P L O
Kate creó el siguiente acertijo de balanza.
En este lado, Kate puso 2 bolsas
de bloques y 5 bloques individuales. Si n representa el número
de bloques en cada bolsa,
entonces el número de bloques en
“dos bolsas y cinco bloques” es
2n 5.
En este lado, Kate puso 3 bolsas
de bloques y 2 bloques individuales. El número de bloques en
“tres bolsas y dos bloques” es
3n 2.
2n + 5
3n + 2
Dado que ambos lados están balanceados, el número de bloques a la
izquierda, 2n 5, es igual el número de bloques a la derecha, 3n 2.
Esto se puede expresar con la siguiente ecuación.
2n 5 3n 2
Cuando calcules el número de bloques en cada bolsa, habrás calculado
el valor de n.
Sección de problemas
1.
D
Examina la balanza de Kate.
a.
Calcula el número de bloques en cada bolsa.
b.
Verifica que tu respuesta sea la solución de la ecuación
2n 5 3n 2.
LECCIÓN 6.2
Un modelo para resolver ecuaciones 399
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2.
Page 400
Nguyen creó el siguiente acertijo de balanza.
a.
Sea b el número de bloques en cada bolsa. Escribe una ecuación que
describa el acertijo de balanza de Nguyen.
b.
Usa el dibujo para calcular el valor de b.
c.
Verifica que tu respuesta a la parte b sea la solución de la ecuación.
&
Piensa comenta
Shamariah creó el siguiente acertijo de balanza.
• Escribe una ecuación que represente el acertijo de Shamariah.
• ¿Cuántos bloques contiene cada bolsa?
• Verifica que tu respuesta sea la solución de la ecuación.
Joel le dijo a Shamariah que su acertijo no se podría hacer con bloques de
verdad porque cada bolsa tendría que incluir medio bloque. Shamariah le contestó que ella había pensado en un método ligeramente diferente: usar bloques
de barro para que fuera fácil dividirlos. De este modo, podría crear acertijos
de balanza que incluyeran fracciones de bloque.
400 C A P Í T U L O 6
Resuelve ecuaciones
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Sección de problemas
E
En los siguientes acertijos las bolsas pueden contener fracciones de bloque.
1.
Helena creó el siguiente acertijo.
H
2.
a.
Escribe una ecuación que describa el acertijo de Helena.
b.
¿Cuántos bloques contiene cada bolsa? Explica cómo calculaste la
solución.
c.
Verifica que tu respuesta a la parte b sea la solución de la ecuación.
Toby creó el siguiente acertijo.
T
a.
Escribe una ecuación que describa el acertijo de Toby.
b.
¿Cuántos bloques contiene cada bolsa? Explica cómo calculaste la
solución.
c.
Verifica que tu respuesta a la parte b sea la solución de la ecuación.
&
Comparte
resume
1. Crea
un acertijo de balanza para el cual la solución no sea un número
entero de bloques. Intercambia acertijos con tu compañero y resuelve
el acertijo de tu compañero.
2. Escribe
una ecuación que describa tu acertijo. Explica por qué la
ecuación describe el acertijo.
3. Verifica
que la solución al acertijo sea también la solución de la
ecuación.
LECCIÓN 6.2
Un modelo para resolver ecuaciones 401
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Investigación 3
Page 402
Resuelve problemas con
acertijos de balanza
Ya has visto que la solución a un acertijo de balanza es igual a la solución de
la ecuación que representa al acertijo. Ahora resolverás ecuaciones creando y
resolviendo acertijos de balanza. En algunos casos, las soluciones no serán
números enteros.
Sección de problemas
1.
2.
F
Considera la ecuación 3n 8 5n 2.
a.
Dibuja un acertijo de balanza que represente la ecuación. Explica
cómo sabes que el acertijo representa la ecuación.
b.
Usa tu acertijo para resolver la ecuación. Verifica tu respuesta reemplazándola en la ecuación.
Considera la ecuación 4t 6 13 2t.
a.
Dibuja un acertijo de balanza que represente la ecuación. Explica
cómo sabes que el acertijo representa la ecuación.
b.
Usa tu acertijo para resolver la ecuación. Verifica tu respuesta reemplazándola en la ecuación.
Trata de resolver las siguientes ecuaciones. Esta vez en lugar de dibujar el
acertijo de balanza, trata sólo de imaginarlo. Verifica cada solución reemplazándola en la ecuación.
3.
402 C A P Í T U L O 6
2h 3 h 10
Resuelve ecuaciones
4.
4t 6 13 3t
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Cuando un problema se puede representar con una ecuación, a veces es posible
también dibujar o imaginar un acertijo de balanza para calcular su solución.
Sección de problemas
1.
2.
G
Jenny estaba llenando botellas con un tanque de agua.
Después de que llenó dos botellas, sobraban 7 litros de
agua en el tanque. Después de que llenó cuatro botellas,
sobraban 2 litros de agua en el tanque.
a.
Sea v la cantidad de agua contenida en cada
botella. Escribe una ecuación que permita
calcular el valor de v.
b.
Resuelve la ecuación imaginando un acertijo
de balanza. Verifica tu respuesta.
Maya dijo, “Estoy pensando en un número.
Si lo multiplico por 6 y le sumo 5, obtengo
el mismo resultado que si lo multiplico
por 3 y le sumo 17.”
a.
Usa M para representar el número de
Maya. Escribe una ecuación que
permita calcular el valor de M.
b.
Resuelve la ecuación imaginando
un acertijo de balanza. Verifica tu
solución.
&
Comparte
resume
Explica cómo puedes usar un acertijo de balanza para resolver una
ecuación. Tu explicación deberá ser lo suficientemente clara como para que
alguien en otra clase pueda entenderla.
LECCIÓN 6.2
Un modelo para resolver ecuaciones 403
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Page 404
Ejercicios por tu cuenta
&
aplica
Practica
Los alumnos en la clase de la Srta. Ávila crearon varios acertijos de balanza.
En los ejercicios 1 al 4, indica cuántos bloques contiene cada bolsa.
1.
acertijo de Chondra y Toshiro
2.
acertijo de Alberto y Elena
3.
acertijo de Benita y Ayana
4.
acertijo de Molly y Jona
5.
Crea tres acertijos de balanza que tengan un total de 11 bloques en cada
lado. Escribe una ecuación para cada acertijo y resuélvela.
6.
Raphael y Gary crearon el siguiente acertijo de balanza. ¿Cuántos bloques contiene cada bolsa? Anota cada uno de los pasos que seguiste
para resolver el acertijo.
7.
Considera el siguiente acertijo de balanza.
Recuerda
En un acertijo de
balanza cada bolsa
contiene un mismo
número de bloques.
404 C A P Í T U L O 6
a.
Escribe una ecuación que describa el acertijo. Sea n el número de
bloques en cada bolsa.
b.
Usa el dibujo para calcular el valor de n.
c.
Verifica que tu respuesta a la parte b sea la solución a la ecuación.
Resuelve ecuaciones
impactmath.com/self_check_quiz
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8.
9.
&
amplía
Conecta
10.
Page 405
Considera la ecuación 3p 10 5p 3.
a.
Dibuja un acertijo de balanza que represente la ecuación. Explica
cómo sabes que el acertijo describe la ecuación.
b.
Usa el dibujo para resolver la ecuación. Verifica tu respuesta reemplazándola en la ecuación.
Nicky dijo, “La suma de un número más 21 es igual a multiplicar 4
veces ese número. ¿Cuál es el número?”
a.
Representa el número de Nicky con N y escribe una ecuación que
permita calcular el valor de N.
b.
Resuelve la ecuación imaginando un acertijo de balanza. Verifica tu
solución.
Cada una de las siguientes balanzas contiene diferentes conjuntos de
bloques, jacks y canicas. Cada canica tiene una masa de 10 gramos.
a.
Calcula la masa de cada jack y la masa de cada bloque. Describe los
pasos que seguiste.
b.
La siguiente balanza contiene bloques, canicas y jacks al igual que la
parte a, pero además contiene algunos palillos de dientes. Calcula la
masa de cada palillo de dientes.
LECCIÓN 6.2
Un modelo para resolver ecuaciones 405
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11.
12.
En t u s
propias
palabras
Susan dijo,
“Cuando pienso en
resolver una
ecuación usando
un acertijo de
balanza, pienso en
hacer los mismos
cambios en ambos
lados.” ¿A qué
crees que se
refiere?
406 C A P Í T U L O 6
13.
Page 406
Sareeta y su hermano Khalid llenaron bolsas con dulces para regalarlas
durante el cumpleaños de Sareeta. Cada quien tomó una misma cantidad
de dulces y, luego, cada quien por su parte empezó a llenar bolsas con
un mismo número de dulces. Sareeta llenó cinco bolsas y le sobró un
dulce. Khalid llenó cuatro bolsas y le sobraron siete dulces (los cuales
decidió comerse).
a.
Sea n el número de dulces en una bolsa. Escribe una expresión que
describa el modo en que Sareeta repartió sus dulces.
b.
Escribe una expresión que describa las cuatro bolsas de Khalid y los
siete dulces que le sobraron.
c.
Debido a que Sareeta y Khalid
empezaron con un mismo
número de dulces, es posible
balancear la distribución
de los dulces. Dibuja un
acertijo de balanza que
represente esta situación.
d.
Escribe una ecuación que
represente tu acertijo
de balanza.
e.
Usa el acertijo de balanza
para calcular cuántos dulces
hay en cada bolsa.
f.
Demuestra que tu respuesta a la parte e es la solución a la ecuación.
Lee la historia acerca de Sareeta y Khalid en el ejercicio 11.
a.
Inventa una historia similar que se pueda representar con la ecuación
3n 2 2n 9.
b.
Dibuja un acertijo de balanza para la ecuación y calcula el valor de n.
c.
Demuestra que tu respuesta a la parte b es la solución a la ecuación.
Considera la ecuación 2v 50 7v 30.
a.
Describe una situación que coincida con esta ecuación.
b.
Calcula el valor de v. Verifica tu respuesta.
c.
Explica qué significa la solución en términos de la situación descrita
en la parte a.
Resuelve ecuaciones
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14.
Page 407
Estudia el patrón de figuras.
Figura 0
Figura 1
Figura 2
Figura 3
a.
¿Cuántos cuadrados habrá en la figura 4? ¿Cuántos en la figura 5?
b.
Escribe una expresión que represente el número de cuadrados en
la figura n.
c.
¿Cuántos cuadrados habrá en la figura 20?
d.
Escribe una ecuación que te permita calcular cuál figura tendrá
25 cuadrados. Resuelve la ecuación.
15. Reto
Sergei y Hilary estaban
recortando serpentinas de una longitud determinada para una fiesta.
Sergei tomó una tira de papel
crepé y dijo que la tira alcanzaría
para cortar una serpentina y le
sobrarían 3 pies. Hilary dijo que
si la tira de papel fuera 1 pie más
larga, serviría para cortar exactamente dos serpentinas.
Repaso
mixto
a.
Calcula cuánto miden las serpentinas que están cortando
Sergei y Hilary. Muestra cómo
calculaste tu respuesta.
b.
Calcula la longitud de la tira de
papel crepé que tomó Sergei.
Calcula cada producto.
16.
4
12
17.
8 2.5
20.
4
18.
2
4 8
21.
8
64
24.
31,500,000
Calcula cada cociente.
19.
50
4
48
Escribe cada número usando notación científica.
22.
800
23.
LECCIÓN 6.2
24,000
Un modelo para resolver ecuaciones 407
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Page 408
25.
Dibuja un árbol de factores para determinar todos lo factores primos
de 12.
26.
Despeja a en la ecuación 7a 5 2a 15.
Grafica cada relación lineal. Coloca g en el eje vertical.
27.
g 32a 4
28.
g 14a 2
29.
g a 1.5
30. Estadística
La tabla muestra la distribución aproximada de los tipos
de sangre en la población de EE.UU. “Positivo” y “negativo” indican si
la sangre de una persona posee o no un componente particular llamado
factor Rh.
Tipos de sangre en EE.UU.
Tipo de sangree
O positivo
O negativo
A positivo
A negativo
B positivo
B negativo
AB positivo
AB negativo
Datos
de
a.
¿Qué porcentaje de personas en los Estados Unidos tienen sangre
tipo Rh negativo?
b.
La población proyectada de los EE.UU. para el año 2050 es de
391,000,000 personas. Si la distribución de los tipos de sangre no
cambia mucho, ¿cuántas personas tendrán sangre tipo AB negativo en
el año 2050?
c.
Hacia el año 2050, ¿cuál será la diferencia entre el número de personas con Rh positivo y el número de personas con Rh negativo?
d.
Supón que el porcentaje de personas con sangre tipo B negativo se
duplicará para el año 2050. ¿Cuántas personas tendrían este tipo de
sangre en el año 2050?
interés
El factor Rh es una
proteína presente en
los glóbulos rojos de la
sangre de cerca del
85% de las personas.
Se conoce como Rh
porque fue identificado
por primera vez en la
sangre de los monos
rhesus.
408 C A P Í T U L O 6
Porcentaje
38
7
34
6
9
2
3
1
Resuelve ecuaciones
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Piensa en
símbolos
Kate resolvió la ecuación 2k 11 4k 3 imaginando un acertijo de
balanza.
Mostraré
2k + 11 = 4k + 3 como
si fueran bolsas y bloques
en una balanza. Un lado
de la balanza tiene 11
bloques y 2 bolsas. El
otro lado tiene 4 bolsas
y 3 bloques.
Puedo quitar 2
bolsas de cada lado
y la escala seguiría
balanceada. Elimino
2 bolsas de k de
ambos lados y me
quedan 11 = 2k + 3.
Si quitara 3 bloques de cada
lado, ¿qué me quedaría?
Vamos a ver…me quedaría
8 = 2k. Ahora puedo ver que
en las dos bolsas restantes
debe haber un total de
8 bloques…, por lo tanto,
¡cada bolsa deberá contener
4 bloques: 4 = k!
Kate resumió su solución en símbolos.
4k + 3
2k + 11 =
3
11 = 2k +
8 = 2k
4 =k
cada lado
bolsas de
2
r
a
in
lim
ee
da lado
después d
ues de ca
q
lo
b
3
r
aba Ł
e elimina
que qued
lo
e
d
después d
d
a
la mit
e eliminar
después d
lado
en cada
Explora
Piensa acerca de cómo resolverías la ecuación 14 3a 7a 2,
usando un acertijo de balanza. En cada paso de tu solución, usa una
ecuación que exprese lo que queda en la balanza. Luego resume la solución en símbolos, al igual que Kate. Si así lo prefieres, después de cada
paso dibuja lo que sobra en la balanza.
LECCIÓN 6.3
Piensa en símbolos 409
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Investigación 1
Page 410
Escribe soluciones usando
símbolos
Ya has resuelto ecuaciones dibujando e imaginando acertijos de balanza.
Ahora practicarás el uso de símbolos para representar los diferentes pasos en
tus soluciones.
Sección de problemas
A
Resuelve cada ecuación dibujando o imaginando un acertijo de balanza.
Resume la solución en símbolos, al igual que Kate.
1. 2x 7 5x 4
2. 4r 20 10r 5
En la balanza descrita al inicio de esta lección, Kate rotuló la solución para
describir cómo cambiaron los lados de la balanza en cada paso.
A continuación, se presenta otra vez la solución de Kate, pero esta vez las etiquetas describen las operaciones matemáticas. Estas operaciones muestran
cómo cambió la ecuación a cada paso.
E J E M P L O
2k 11 4k 3
11 2k 3
8 2k
4k
después de restar 2k de cada lado
después de restar 3 de cada lado
después de dividir cada lado entre 2
Sección de problemas
1.
B
Copia las soluciones en símbolos de ambos problemas de la Sección de
problemas A. A un lado de cada paso, explica cómo cambió la ecuación
desde el paso anterior.
Trata de resolver las siguientes ecuaciones usando solamente símbolos y
haciendo las mismas operaciones en ambos lados. Trata de que la ecuación
resultante sea más sencilla después de cada paso. A un lado de cada paso de
la solución, explica cómo cambió la ecuación desde el paso anterior. Si tienes
algún problema, dibuja o imagina un acertijo de balanza.
410 C A P Í T U L O 6
2.
3y 17 4y 6
3.
3x 4 x 14
Resuelve ecuaciones
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Page 411
&
Comparte
resume
Explica por qué el realizar la misma operación matemática en ambos lados
de una ecuación es lo mismo que realizar el mismo tipo de cambio en
ambos lados de una balanza.
Investigación 2
Haz lo mismo en ambos lados
Los acertijos de balanza y las ecuaciones se pueden resolver haciendo cambios iguales en ambos lados. En cada paso se reduce el problema hasta que la
solución es clara.
Sección de problemas
C
Trata de resolver cada ecuación haciendo la misma operación matemática en
ambos lados y sin pensar en un acertijo de balanza. A un lado de cada paso de
la solución, explica cómo cambió la ecuación desde el paso anterior.
1.
5x x 4
2.
r 12 3r 4
3.
2P 20 5P 6
4.
5y 3 3y 15
5.
Kenneth creó un acertijo numérico.
Estoy pensando en un
número. Si los multiplico por 5
y luego le resto 9, obtengo dos
veces mi número original.
Escribe una ecuación que permita calcular el número que pensó Kenneth.
Resuelve la ecuación haciendo las mismas operaciones en ambos lados.
A un lado de cada paso de la solución, explica cómo cambió la ecuación
desde el paso anterior. Asegúrate de verificar la solución.
El acertijo numérico de Kenneth es un ejemplo de cuándo no sería útil pensar
en un acertijo de balanza. Esto se debe a que sería muy difícil usar un acertijo
de balanza para restar 9 bloques de 5 bolsas. ¡Inténtalo y observa!
LECCIÓN 6.3
Piensa en símbolos 411
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Page 412
Hacer los mismos cambios en ambos lados es un método que sirve para
resolver una gran cantidad de ecuaciones. A partir de ahora, puedes usar este
método para resolver cualquier ecuación, independientemente de que la
ecuación se pueda modelar o no con un acertijo de balanza.
Sección de problemas
D
Resuelve cada ecuación haciendo los mismos cambios en ambos lados. Si te
sirve de ayuda, explica cómo cambia la ecuación en cada paso. Verifica tus
soluciones.
1.
2P 7 4P 10
2.
3r 2 r
3.
2a 6 0
4.
y 3 2y 6
5.
1.5x 3.5 8 x
4
6. 5x
7.
12
Zach, Luis y Shaunda calcularon la solución correcta para esta ecuación:
5r 16 r
Zach primero restó 5r en ambos lados. Luis primero sumó 16 en ambos
lados. Shaunda primero dividió ambos lados entre 5.
a.
Resuelve la ecuación comenzando con el primer paso de Zach.
b.
Resuelve la ecuación comenzando con el primer paso de Luis.
c.
Resuelve la ecuación comenzando con el primer paso de Shaunda.
d.
¿Cuál de los tres métodos parece ser más sencillo? Explica por qué.
&
Comparte
resume
1. Considera
la ecuación 2x 1 12x 72.
a.
Explica por qué sería difícil resolverla usando un acertijo de balanza.
b.
Explica por qué se puede resolver haciendo los mismos cambios en
ambos lados.
2x 1 12x 72 haciendo los mismos cambios en ambos
lados. Explica cómo cambió la ecuación en cada paso.
2. Resuelve
412 C A P Í T U L O 6
Resuelve ecuaciones
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2:07 PM
Investigación 3
Page 413
Resuelve más ecuaciones
Ya viste que al hacer los mismos cambios en ambos lados, se pueden resolver
ecuaciones que son difíciles de resolver usando los acertijos de balanza.
Ahora vas a practicar resolviendo algunas ecuaciones adicionales.
Sección de problemas
E
1.
Resuelve la ecuación 5 2x 3x sumando primero la misma cantidad
a ambos lados. Verifica tu solución.
2.
Resuelve la ecuación 10 4z 2z 2. Verifica tu solución.
3.
Resuelve la ecuación 12B B 4 multiplicando primero ambos lados
por la misma cantidad. Verifica tu solución.
4.
Resuelve la ecuación 3k 8 k.
Resuelve cada ecuación ejecutando los mismos cambios en ambos lados.
Datos
de
interés
Los hámsters promedian de 6 a 8 crías por
camada, ¡pero en algunas ocasiones llegan a
parir 15 ó más crías.
Las crías nacen sin
pelo y no abren los ojos
durante una o dos
semanas.
5.
4b 2 6b 4
6.
2c 1 9 3c
7.
2d 1 14 d
8.
5e 2.5 2.5 7.5e
9.
El hámster de Maya tuvo una camada de crías. Después de que Maya
regaló a tres de las crías, quedaron 34 de la camada. ¿Cuántas crías le
quedaron a Maya?
LECCIÓN 6.3
Piensa en símbolos 413
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2:07 PM
Page 414
Cuando se resuelve una ecuación haciendo la misma operación en ambos
lados, por lo general se trata de hacer la ecuación más sencilla en cada paso.
¿Qué pasaría si complicaras más la ecuación en cada paso?
E J E M P L O
x7
3x 21
5x 21 2x
5x 2 19 2x
2.5x 1 9.5 x
Primero escribe la solución.
Multiplica ambos lados por 3.
Suma 2x a ambos lados.
Resta 2 de ambos lados.
Divide ambos lados entre 2.
En la Sección de problemas F vas a crear problemas de álgebra complicados.
Primero vas a comenzar con una ecuación simple y luego realizarás operaciones en ambos lados para hacerla más complicada. Cuando creas que tu
ecuación sea suficientemente difícil, reta a un compañero a que la resuelva.
¡Trata de sorprender a tus compañeros!
Sección de problemas
F
1.
Verifica que la solución final del ejemplo sea 7.
2.
Explica por qué 7 es la solución de todas las ecuaciones en el ejemplo.
3.
Crea tu propia ecuación “complicada”. Primero, elige un número. Luego,
escribe la ecuación x tu número. Después, realiza tres o cuatro veces
las mismas operaciones en ambos lados para que la ecuación se complique. Verifica que el número que elegiste sea la solución de tu
ecuación final. (Si no lo es, repasa tus pasos y corrige el problema.)
4.
Intercambia ecuaciones con tu compañero y resuelve la ecuación de tu
compañero.
&
Comparte
resume
Explica por qué la solución de una ecuación no cambia, cuando modificas
la ecuación haciendo idénticas operaciones en ambos lados de la misma.
414 C A P Í T U L O 6
Resuelve ecuaciones
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2:07 PM
Page 415
Ejercicios por tu cuenta
&
aplica
Practica
Resuelve cada ecuación imaginando o dibujando un acertijo de balanza.
Escribe los pasos de tu solución en símbolos. Verifica las soluciones.
1.
2x 9 6x 1
2.
6z 28 12z 10
3.
29 6w 11w 4
4.
9 5v 2v 12
Resuelve cada ecuación usando símbolos. Al lado de cada paso, explica cómo
cambió la ecuación desde el paso anterior. Verifica las soluciones.
5.
2a 10 6a 2
6.
9b 28 12b 7
Resuelve cada ecuación haciendo las mismas operaciones en ambos lados.
Verifica las soluciones.
7.
3 9c 12c
9.
2k 6 4k 5
1
10. 4m
11.
9.25n 3.3 1.3 0.75n
12.
0.1p 6 7
13.
17r 4 34r 2
14.
2s 7 10s 7
15.
Darnell dijo: “Si multiplicas el número de perros que tengo por 8 y
después restas 10, obtienes el mismo número que si triplicas el número
de perros que tengo y sumas 5.”
16.
8.
18 d 7d 6
30
a.
Escribe una ecuación que permita calcular cuántos perros tiene
Darnell.
b.
Resuelve la ecuación haciendo las mismas operaciones en ambos
lados. Verifica la solución.
Karl dijo, “Si divido la edad de mi perro entre 4 y resto 2, obtengo el
mismo resultado que si divido la edad de mi perro entre 8.”
a.
Escribe una ecuación que permita calcular la edad del perro.
b.
Resuelve la ecuación haciendo las mismas operaciones en ambos
lados. Verifica la solución.
impactmath.com/self_check_quiz
LECCIÓN 6.3
Piensa en símbolos 415
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2:08 PM
17.
Page 416
Considera la ecuación 27q 100 2q.
a.
Resuelve la ecuación sumando primero 100 a ambos lados.
b.
Resuelve la ecuación restando primero 2q de ambos lados.
c.
Resuelve la ecuación restando primero 27q de ambos lados.
d.
¿Cuál de las soluciones fue la más sencilla?
Resuelve cada ecuación haciendo las mismas operaciones en ambos lados.
1
18. 2q
d
20. 7
&
amplía
Conecta
3 10.5 q
12 d
1
19. 3c
3c 9
2
21. 7d
2 3d 457
22.
Kate está preparando un almuerzo para sus
tres mejores amigas, pero el único jugo
que tiene son las botellas pequeñas que le
gustan tanto a su hermana, quien tiene 16
botellas de jugo de manzana. Kate llena un
vaso de 10 onzas para cada amiga y uno para
ella y le sobran 6 botellas de jugo. Escribe
una ecuación que permita calcular cuántas
onzas de jugo contiene cada botella. Resuelve
la ecuación.
23.
Escribe tres ecuaciones cuya solución sea 5.
24.
Yago trató de resolver esta ecuación usando un acertijo de balanza.
5r 7 13 2r 3r
¿Cuál crees que fue la solución que calculó Yago?
25.
Odell trató de resolver la ecuación 6(x 7) 4x 3 y anotó los
siguientes pasos:
6(x 7) 4x 3
6x 4x 10
2x 10
x 5
después de restar 7 de ambos lados
después de restar 4x de ambos lados
después de dividir ambos lados entre 2
Al verificar la solución, Odell encontró que no estaba correcta. ¿Cuál
fue su error?
Reto Resuelve cada ecuación haciendo las mismas operaciones en ambos
lados.
26. x
416 C A P Í T U L O 6
3
Resuelve ecuaciones
27. v
21
28.
5
x
9 4
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2:08 PM
29.
En t u s
propias
palabras
Describe dos o
más tipos de
ecuaciones que
sean difíciles de
modelar con acertijos de balanza.
¿Crees que estas
ecuaciones
pueden resolverse
fácilmente si se
hacen las mismas
operaciones en
ambos lados de
cada ecuación?
Explica.
Page 417
Puedes resolver muchas ecuaciones dibujando dos rectas y calculando el
punto donde se intersecan. Considera la ecuación 2x 3 1 3x.
a.
Grafica en una misma gráfica y 2x 3 y y 1 3x.
b.
Anota las coordenadas del punto donde las rectas se intersecan.
c.
Ahora resuelve 2x 3 1 3x haciendo las mismas operaciones
en ambos lados.
d.
Compara la coordenadas x del punto de intersección de las ecuaciones y 2x 3 y y 1 3x y la solución de
2x 3 1 3x. Explica por qué tiene sentido.
e.
Resuelve 3x 4 6 2x trazando dos rectas.
Resuelve cada ecuación.
3x 4
4
3(x 4) 5
33.
Kate tiene cuatro paquetes de globos y 8 globos individuales. Su hermano le dio 3 paquetes y 20 globos individuales más. Ahora tiene el
doble del número de globos que tenía al principio.
31.
7(x 4) 2(x 1)
x
30.
32.
8
a.
Escribe y resuelve una ecuación que permita calcular cuántos globos
hay en cada paquete.
b.
¿Cuántos globos tenía Kate al principio?
34. Geometría
El volumen de un cilindro se calcula con la fórmula
V r2h, donde r es el radio y h es la altura.
a.
Los cilindros A y B tienen el mismo volumen. Escribe una ecuación
que permita calcular la altura del cilindro B. Explica cómo escribiste
tu ecuación.
6 cm
4 cm
h
6 cm
A
b.
B
Resuelve la ecuación para calcular la altura del cilindro B, al 0.1 cm
más cercano.
LECCIÓN 6.3
Piensa en símbolos 417
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Repaso
mixto
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2:08 PM
Page 418
Evalúa cada expresión.
2
35. 1
3
38.
276
7.4
12.1
3
36. 8
15
37.
0.05 40
9
39. 4
27 16
40.
0.7
2
Escribe la factorización prima de cada número usando exponentes. Por ejemplo, 200 23 52.
41.
98
44.
Copia y completa la tabla.
42.
Fracción
1
2
Decimal
0.5
Porcentaje
50%
54
43.
36
3
5
0.65
21%
Ordena de menor a mayor cada grupo de números.
45.
0.05, 0.001, 5, 1, 15
1 3 1 3 1
46. 2, 4, 4, 2, 3
47.
Calcula el área y la circunferencia de un círculo cuyo radio mide 2 cm.
48. Reto
Calcula el área de un cuadrado, si uno de sus lados mide s cm y
su diagonal mide 1.5 cm. Muestra cómo se puede calcular la respuesta.
49.
Recuerda
El teorema de
Pitágoras indica que
si a y b son los
catetos de un
triángulo rectángulo
y c es la hipotenusa,
entonces
a2 b2 c2.
418 C A P Í T U L O 6
La superficie de los Estados Unidos cubre cerca de 2.38 109 acres,
incluyendo las masas de agua, y tiene una población aproximada de
281,000,000 personas.
a.
Expresa la población de los Estados Unidos usando notación
científica.
b.
Expresa el área total de los Estados Unidos usando notación estándar.
c.
Calcula el número de personas por acre en los Estados Unidos.
50. Probabilidad
Gregory puso una ficha azul, una verde y dos rojas en
una caja. Luego le pidió a Mai que sacara una ficha sin ver el interior de
la caja.
a.
¿Cuál es la probabilidad de que Mai saque una ficha roja?
b.
Supón que Gregory agrega tres fichas azules más a las cuatro fichas
originales en la caja. ¿Cuál es ahora la probabilidad de que Mai
saque una ficha azul? ¿Cuál la de una ficha roja?
Resuelve ecuaciones
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5/8/04
2:59 AM
Page 419
Reduce
ecuaciones
Muchos de los problemas que encontramos todos los días, se pueden resolver
usando técnicas matemáticas como el escribir y resolver ecuaciones algebraicas. A veces, las ecuaciones que se escriben para resolver el problema se
ven muy complicadas. Sin embargo, a menudo es posible reducir las ecuaciones y hacerlas más sencillas, facilitando así su solución.
&
Piensa comenta
Modifica esta ecuación para que sea más fácil resolverla. Explica cada
paso de la reducción.
2n 3(n 1) 43
Resuelve la ecuación reducida y verifica que la solución sea también
solución de la ecuación original.
Investigación 1
Construye y resuelve
ecuaciones
Ya has escrito y resuelto muchas ecuaciones para resolver problemas. A
veces, la ecuación que se escribe para describir una situación se puede reducir
antes de resolverla. Ya conoces algunas de las técnicas que sirven para modificar expresiones y hacerlas más sencillas.
E J E M P L O
Jonna y Don coleccionan
autógrafos de jugadores de
béisbol. Jonna tiene 5 autógrafos más que Don. Si
entre ambos tienen 19 autógrafos en total, ¿cuántos
tiene cada amigo?
Maya resolvió el problema
de la siguiente manera.
Sea n el número de autógrafos que tiene Don. Entonces Jonna tiene n + 5.
n + (n + 5) = 19
n + n + 5 = 19
2n + 5 = 19
2n = 14
n=7
Combina los autógrafos de Don y Jonna.
Elimina los paréntesis.
Suma n más n .
Resta 5 de ambos lados.
Divide ambos lados entre 2.
Entonces , Don tiene 7 autógrafos y Jonna tiene 12. El total es 19
autógrafos. La solución está correcta.
LECCIÓN 6.4
Reduce ecuaciones 419
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2:09 PM
Page 420
Sección de problemas
A
1.
Zoe pensó en el problema del
ejemplo de una manera diferente.
“Sea J el número de autógrafos que
tiene Jonna. Dado que Don tiene 5
menos que Jonna, entonces debe
tener J 5 autógrafos.”
a. Escribe la ecuación que Zoe
tuvo que resolver.
b. ¿Crees que Zoe obtendrá el
mismo número de autógrafos
que obtuvo Maya para Jonna y
Don? ¿Por qué?
c. Resuelve la ecuación de Zoe.
Verifica la solución.
2.
Iván y Shanee tienen entre los dos 48 aviones
a escala. Iván tiene tres veces más aviones que Shanee. Escribe y resuelve
una ecuación que permita calcular cuántos aviones tiene cada alumno.
3.
Melissa tiene 1 animal de peluche más que el doble de animales de
peluche que tiene Rachel. Latanya tiene un tercio del total de animalitos
de peluche que tiene Melissa. Juntas, las tres amigas tienen 38 animales
de peluche. Escribe y resuelve una ecuación que permita calcular cuántos animales de peluche tiene cada una.
En las secciones de problemas B y C practicarás la modificación de expresiones para hacerlas más sencillas y fáciles de usar.
Sección de problemas
Datos
de
interés
Las primeras tarjetas
de béisbol se imprimieron a finales del
siglo XIX y se vendían
junto con cigarrillos. En
1933, empezaron a
venderse en un mismo
paquete junto con chicle: ¡un chicle y una tarjeta por un centavo!
Fuente: www.baseballalmanac.com
420 C A P Í T U L O 6
B
Verónica está ordenando un grupo de tarjetas de béisbol por marca: Players,
Best y Atlantic. En los problemas 1 al 4, escribe y resuelve ecuaciones que
sirvan para calcular el número de tarjetas de béisbol en cada montón. Verifica
que las soluciones tengan sentido.
1.
Verónica empieza con 103 tarjetas de béisbol, todas de las marcas
Players y Best. Hay 11 tarjetas Best más que tarjetas Players.
2.
El siguiente montón de tarjetas de Verónica tiene un total de 98 tarjetas
marcas Players y Atlantic. Hay 36 tarjetas Atlantic menos que tarjetas
Players.
3.
El tercer montón tiene 112 tarjetas que Verónica dividió en dos grupos.
El grupo Atlantic tiene tres veces más tarjetas que el grupo Best.
4.
El último montón es una mezcla de las tres marcas y contiene 136 tarjetas. Una vez que Verónica las ordena en tres grupos, el grupo de tarjetas
Players contiene 7 veces más tarjetas que el doble del número de tarjetas en el grupo Best y el grupo de tarjetas Atlantic es tres veces mayor
que el grupo de tarjetas Best.
Resuelve ecuaciones
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5/2/04
11:15 AM
Page 421
El empleado de una tienda de libros está ordenando varias cajas de libros, con
libros que se deben ordenar en los estantes. El empleado clasifica en tres grupos los libros de cada caja: ficción, no ficción e infantil. En los problemas
5 al 7, escribe y resuelve ecuaciones que sirvan para calcular el número de
libros en cada grupo.
5. La primera caja tiene 31 libros. El grupo de libros de no ficción tiene
5 libros menos que el grupo de libros de ficción, y el grupo de libros
infantiles tiene 15 libros más que el grupo de libros de ficción.
6. En la siguiente caja el grupo de libros de ficción tiene tres veces tantos
libros como el grupo de libros infantiles y el grupo de libros de no ficción tiene dos libros menos que el grupo de libros infantiles. En total,
hay 78 libros.
7. En la tercera caja el grupo de libros de no ficción tiene un libro más que
el doble del número de libros en el grupo de libros de ficción y el grupo
de libros infantiles tiene el doble del número de libros que el grupo de
libros de no ficción. La diferencia entre el número de libros infantiles y
el número de libros de ficción es 47.
Sección de problemas
C
Resuelve cada ecuación.
1.
3n 2 n
2.
5(s 2) 22 32
3.
7(t 3) 1 3(t 4)
4.
3(2x 1) 2(x 3) 12(x 10)
&
Comparte
resume
y resuelve la ecuación 3(n 4) 2(n 12) 2n. Explica
cada paso de tu solución.
1. Reduce
2. Resuelve
la ecuación 3x x (x 4) 24. Verifica tu solución.
LECCIÓN 6.4
Reduce ecuaciones 421
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2:10 PM
Investigación 2
Page 422
Resta con paréntesis
Al inicio de la Investigación 1, Maya escribió una ecuación para mostrar
cómo sumar dos colecciones de autógrafos de jugadores de béisbol. Maya
encerró entre paréntesis la suma n 5, porque la suma representaba el
número de autógrafos que poseía una persona.
n (n 5) 19
Para sumar una expresión de este tipo, se puede simplemente eliminar los
paréntesis. Por ejemplo, la ecuación anterior se puede escribir como
n n 5 19
En esta investigación, explorarás lo que sucede cuando restas expresiones con
paréntesis.
Datos
de
interés
Algunas de las tarjetas
de béisbol más raras y
más valiosas llegan a
costar menos si están
firmadas por el
jugador, que si no
están firmadas.
&
Piensa comenta
¿Cómo calcularías el valor de la expresión 63 (10 3)?
Simón y Jin Lee evaluaron 63 (10 3) de diferentes maneras.
• Simón sumó 10 más 3 y luego restó a 63 el resultado.
• Jin Lee restó un número por vez a 63: primero restó 10 y luego restó 3.
¿Qué método prefieres tú? ¿Son correctos ambos métodos? Explica.
Simón se preguntaba si toda suma se podría restar, restando un número
cada vez. Después de probar con varios casos, Simón dijo que él cree
que a (b c) y a b c son expresiones equivalentes. (Recuerda:
Dos expresiones son equivalentes si tienen el mismo valor para
cualquier valor de las variables.) ¿Tiene razón? Explica.
V O C A B U L A R I O
conjetura
422 C A P Í T U L O 6
El enunciado de Simón es una conjetura: un enunciado que se cree verdadero
de acuerdo con el estudio de algunos casos. Si la conjetura de Simón es verdadera, las dos expresiones: a (b c) y a b c, producirán resultados
idénticos sea cual sea el valor con que se reemplacen las variables. Si puedes
hallar un solo caso en el cuál los resultados obtenidos con ambas expresiones
sean diferentes entre sí, entonces puedes concluir que no son equivalentes y
que la conjetura de Simón es falsa.
Resuelve ecuaciones
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2:10 PM
Page 423
D
Sección de problemas
Verifica la conjetura de Simón. Prueba un mínimo de cuatro conjuntos de valores para a, b y c. Anota tus resultados en una tabla como la siguiente que
muestra los resultados para a 50, b 3 y c 12. Prueba una variedad de
valores para a, b y c. Considera casos en los que
• a sea mayor que (b c)
• a sea menor que (b c)
• c sea un número negativo
• b sea un número negativo
a
50
b
3
c
12
bc
15
a (b c)
35
abc
35
En base a tu investigación, ¿crees que la conjetura de Simón es correcta?
Es probable que ya te hayas convencido de que la conjetura de Simón es
correcta. Para demostrar que es correcta, sin embargo, debes demostrar que
es cierta para todo valor de las variables. Debido a que no es posible probar
todas las combinaciones de valores, puedes usar el álgebra y tus conocimientos sobre operaciones con números negativos para demostrar que la conjetura
es verdadera para todo conjunto de valores.
Ya sabes que restar un número es lo mismo que sumar su opuesto y que
sumar un número es lo mismo que restar su opuesto.
5 2 5 2
15 8 15 8
También sabes que el opuesto de un número es igual a 1 multiplicado por el
número.
3 1 3
(11) 1 11
&
Piensa comenta
La serie de pasos siguientes demuestran que a (b c) a b c.
Explica cada paso.
Paso 1: a (b c) a (b c)
Paso 2:
a 1(b c)
a 1 b 1 c
Paso 3:
Paso 4:
abc
Por lo tanto, a (b c) a b c.
LECCIÓN 6.4
Reduce ecuaciones 423
384-447_06elMSMgr7.sp andrea
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2:10 PM
Page 424
Sección de problemas
E
Evalúa cada expresión.
1.
40 (10 6)
2.
35 (5 8)
3.
17.5 (6.4 0.7)
Elimina los paréntesis de cada expresión. Luego, reduce la expresión si es
posible.
4.
7 (7 s)
5.
12 (r 8)
6.
(t 7) 3
Shaunda tiene una estrategia para resolver mental y rápidamente problemas
de resta complicados.
E J E M P L O
Para calcular 63 19, Shaunda primero estima la respuesta. Resta 20
de 63 para obtener 43 y luego corrige el estimado. Dado que restó 1
unidad de más (20 es 1 mayor que 19), entonces suma 1 al estimado
para obtener 44 como resultado.
La estrategia de Shaunda expresada en símbolos es:
63 19 63 20 1 43 1 44
Sección de problemas
1.
Resuelve cada problema con el método de Shaunda. Primero aproxima
restando 20 y luego suma la cantidad necesaria para corregir el resultado. Escribe los pasos en símbolos del mismo modo que en el ejemplo.
a.
2.
F
63 18
b.
63 17
c.
63 15
En los siguientes problemas el número que se resta es cercano a 200.
Modifica el método de Shaunda y aplícalo para calcular cada resta.
Escribe los pasos en símbolos.
a.
351 197
b.
351 195
c.
351 190
Zach dijo que después de examinar sus respuestas a los problemas 1 y 2, cree
que a (b c) es equivalente a a b c.
3.
424 C A P Í T U L O 6
Observa la versión en símbolos del ejemplo de Shaunda: 63 19 63 20 1 43 1 44. ¿Qué valores crees que Zach señalaría
como los valores de a, b y c?
Resuelve ecuaciones
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2:10 PM
4.
Page 425
Usa la tabla para probar las dos expresiones de la conjetura de Zach con
un mínimo de cuatro conjuntos de valores para a, b y c. La tabla muestra
un ejemplo. Prueba casos en los cuales
• a sea mayor que (b c)
• c sea mayor que b
• a sea menor que (b c)
• b sea un número negativo
a
50
b
12
bc
9
c
3
a (b c)
41
abc
41
En base a tus resultados, ¿crees que la conjetura de Zach sea correcta?
5.
Zach dijo que la prueba de su conjetura es muy similar a la prueba de la
conjetura de Simón en la sección Piensa y comenta, de la página 423.
Éste es el primer paso de la prueba de Zach.
a (b c) a (b c)
a.
Explica por qué este primer paso es un enunciado verdadero.
b.
Termina la prueba. Si necesitas ayuda, vuelve a examinar la prueba
de la conjetura de Simón. Asegúrate de explicar cada paso de tu
prueba.
Sección de problemas
G
Evalúa cada expresión.
1.
50 (10 6)
2.
50 (10 6)
3.
50 (6 10)
Elimina los paréntesis de cada expresión. Después, reduce la expresión si es
posible.
4.
12 (r 8)
5.
5 (5 n)
6.
3 (7 t)
7.
15r (3r s)
&
Comparte
resume
Elige una de las expresiones de los problemas 4 al 7 de la Sección de problemas G y explica cómo lo resolviste. Escribe una explicación diseñada
para convencer a otra persona de que tu reducción es correcta.
LECCIÓN 6.4
Reduce ecuaciones 425
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2:11 PM
Investigación 3
Page 426
Más práctica
con paréntesis
En la Investigación 2, estudiaste que las dos expresiones siguientes siempre son
iguales, independientemente de los valores que adquieran x y y. Sin embargo,
es probable que aún no estés convencido de que realmente sean iguales.
10 (x y)
10 x y
Piénsalo de esta forma: Imagina que tienes $10 y que debes x dólares a tus
papás y y dólares a tu mejor amigo. ¿Cuánto dinero te quedará si pagas ambas
deudas?
Puedes sumar tus deudas, x y, luego restar el total de $10 y la cantidad que
te queda es 10 (x y). O puedes restar las deudas una a la vez y la cantidad que te queda es 10 x y. En ambos casos, te sobrará la misma cantidad de dinero. Por lo tanto, las dos expresiones deben ser iguales.
Sección de problemas
H
1.
Luis le debe a su hermana menor x dólares. Debido a que quería comprar un libro nuevo, la hermana le pidió a Luis que le pagara algo del
dinero. Luis dijo que le daría y dólares.
a. Después de pagar y dólares, ¿cuánto le debe Luis a su hermana?
b. Luis se quedó con $15 dólares, después de pagar a su hermana los y
dólares que le prometió. Si Luis le pagara el resto del dinero que le
debe, ¿cuánto le quedaría? Encuentra dos expresiones que representen esta cantidad.
2.
Zoe quería pedir dinero prestado a dos de sus hermanos.
Debido a que ninguno quiso
hacerle un préstamo, Zoe les
propuso un trato: si se tarda
más de una semana en pagarles, les pagará el doble de la
cantidad que le prestaron. Su
hermano le prestó x dólares y
su hermana le prestó y dólares.
La pobre de Zoe no pudo conseguir dinero durante dos semanas, hasta que un amigo le pagó $25 que
le había pedido prestados.
¿Qué expresiones representan la cantidad de dinero con la que Zoe se
quedó, después de pagar a sus hermanos el doble de la cantidad que le
prestaron?
a.
426 C A P Í T U L O 6
25 2(x y)
Resuelve ecuaciones
b.
25 (2x 2y)
c.
25 2x 2y
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2:11 PM
Page 427
Jena dice que cuando tiene que multiplicar una expresión entre paréntesis por
una cantidad, primero usa la propiedad distributiva para multiplicar los elementos dentro del paréntesis y luego usa las reglas para sumar y restar expresiones entre paréntesis.
E J E M P L O
La siguiente es la manera como Jena redujo 5 2(3 8).
Primero distribuyó el 2:
5 (6 16)
Luego aplicó la regla para restar números entre paréntesis: 5 6 16
Luego restó y sumó:
15
La siguiente es la manera como redujo 12k 3(7 2k), usando el
mismo método:
12k 3(7 2k) 12k (21 6k)
12k 21 6k
18k 21
Ahora vas a practicar la combinación de adición y sustracción de números
entre paréntesis, con algunas de las destrezas previas que has desarrollado,
para mejorar tu capacidad de reducir expresiones con paréntesis.
Sección de problemas
I
Reduce cada expresión.
1.
5r 2(r 8)
2.
32L 3(L 7)
3.
12n 2(n 4)
4.
4(3x 2) 3x
5.
5(g
3)
6.
8t 13(12t 30)
Escribe una expresión equivalente sin paréntesis.
7.
a d(b c)
8.
a d(b c)
9.
a d(b c)
10.
a d(b c)
11.
En el ejemplo, examinaste cómo redujo Jena 5 2(3 8). Otra forma
de reducir 5 2(3 8) se muestra a continuación. Explica el razonamiento usado en cada paso.
a.
5 2(3 8) 5 2(3 8)
b.
5 (6 16)
c.
5 (6 16)
d.
5 6 16
e.
15
LECCIÓN 6.4
Reduce ecuaciones 427
384-447_06elMSMgr7.sp andrea
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2:11 PM
Page 428
Usa el método de tu preferencia para resolver cada ecuación. Verifica tus
respuestas.
12.
12 12(2n 6) 7
13.
2(2q 4) 2q 24
14.
2x (4 x) 5
15.
4r 3(r 1) 0
16.
La tienda de deportes Sunny vende raquetas de tenis para principiantes
por $40 cada una. La mayoría de los clientes que compra una de estas
raquetas, también compra varias latas de pelotas de tenis que cuestan
$2.50 cada una. La cuenta de un cliente tiene tres partes:
Datos
de
interés
• el precio de la raqueta
Hasta la década de
1980, las raquetas de
tenis se hacían de
madera. Las raquetas
de tenis de madera,
fabricadas en los
EE.UU. por primera vez
en la década de 1870,
son ahora un artículo
de colección.
• el precio total por las pelotas
• el impuesto sobre las ventas, equivalente al 7% del precio combinado
de la raqueta y las pelotas
a.
Un cliente compra una raqueta y x latas de pelotas. Escribe una
expresión para cada una de las tres partes de la cuenta del cliente.
b.
Escribe una expresión que describa la cuenta total: incluyendo la
raqueta, x latas de pelotas y el impuesto sobre las ventas.
c.
Aurelia compró una raqueta y algunas latas de pelotas. Su cuenta
total fue $53.50. Escribe y resuelve una ecuación que permita
calcular cuántas latas de pelotas compró.
&
Comparte
resume
1. Reduce
y resuelve la siguiente ecuación. Explica los pasos que
seguiste de manera que puedas convencer a alguien de que tu
ecuación reducida está correcta.
5n 13(3n 6) 14(8n 12)
2.
428 C A P Í T U L O 6
Verifica tu respuesta reemplazándola en la ecuación original.
Resuelve ecuaciones
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Ejercicios por tu cuenta
&
aplica
Practica
Datos
de
interés
La moneda de 10 centavos Winged Liberty
Head fue acuñada de
1916 a 1945. El diseñador de la moneda
incluyó alas en el gorro
de Liberty para representar la libertad de
pensamiento, pero a
menudo la imagen es
confundida con el dios
romano Mercurio; razón
por la que la moneda
se conoce comúnmente
como la moneda de 10
centavos de Mercurio.
1.
Jon y Joanna tienen entre ambos 19 juegos de computadora. Joanna tiene
3 juegos más que Jon. Escribe y resuelve una ecuación que permita calcular el número de juegos que cada una tiene. Verifica tu respuesta.
2.
Malik y cinco de sus amigos donaron cambio en un evento para recaudar fondos en la escuela para comprar comida a niños sin hogar. En
conjunto donaron $4.40. Tres de los amigos donaron 20 centavos menos
que Malik y dos de ellos donaron 10 centavos más que él. Escribe y
resuelve una ecuación que permita calcular cuánto donó Malik. Verifica
tu respuesta.
3.
Peter tiene 52 pimientos en escabeche divididos en 3 grupos. El segundo
grupo tiene 7 pimientos más que el primero. El tercer grupo tiene
3 pimientos menos que el primero. Escribe y resuelve una ecuación que
permita calcular cuántos pimientos hay en cada grupo. Verifica tu
respuesta.
4.
El Sr. Álverez horneó 60 tartas de frutas para la venta de pasteles de la
escuela y las colocó en cuatro bandejas. La segunda bandeja tenía el
doble de tartas que la primera. La tercera bandeja tenía 1 más que la
segunda. La cuarta bandeja tenía 5 más que la
primera. Escribe y resuelve una ecuación que
permita calcular cuántas tartas hay en cada bandeja. Verifica tu respuesta.
5.
Gloria ordenó en tres hileras, en base a su calidad, su colección de monedas de 10¢ de Winged
Liberty Head. La segunda hilera tiene el doble de
monedas que la primera, la tercera hilera tiene 36 monedas más que la
segunda y la primera hilera tiene 43 menos que la tercera. ¿Cuántas
monedas hay en cada hilera? Muestra cómo calculaste tu respuesta.
Resuelve cada ecuación.
6.
d (2d 3) 13(d 1)
7.
5(2x 1) 3x 2(x 5)
Evalúa cada expresión.
8.
72 (12 9)
9.
11.
38 (7 28)
12.
72 (12 9)
10.
12.5 (3.3 9.5)
291 (84 45)
13.
5 (2.8 5.9)
Elimina los paréntesis de cada expresión. Luego, reduce la expresión si es
posible.
14.
8 (x 8)
15.
15 (8 y)
16.
x (37 x)
17.
6 (12 n)
18.
5s (6r s)
19.
8x (2x 3y)
impactmath.com/self_check_quiz
LECCIÓN 6.4
Reduce ecuaciones 429
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Page 430
Escribe una expresión sin paréntesis equivalente a cada expresión.
20.
A (B C)
21.
A (B C)
22.
A (B C)
Elimina los paréntesis de cada expresión. Luego, reduce la expresión si es
posible.
23.
2(a 8) 30
24.
30 4(t 7)
25.
5 3(n 5)
26.
15r 2(r s)
27.
3t 3(10 t)
28.
7x 12(2x 4y)
29.
m 4(m 5)
30.
4p 7(2p 2)
31.
4(x 2) 5(3x 2)
Resuelve cada ecuación.
&
amplía
Conecta
430 C A P Í T U L O 6
32.
8 (4 n) 18
33.
8 (n 4) 18
34.
6x 2(x 1) 10
35.
2x 3(x 1) 17
36.
3y 4(y 2) 78
37.
2(x 3) x 63
38.
5(x 2) 6x
39.
6 2(8 2r) 20
40.
3 2.5(m 2) m2 4
41.
r 8 3(1 r) 2
42.
GameWorld vende sistemas de juego SuperSpeed en $100. Cada cartucho de juego cuesta $40 y el impuesto sobre las ventas es 6% del precio
total por todos los artículos.
a.
Escribe una expresión que describa el costo total, incluyendo
impuesto, de un sistema SuperSpeed más g cartuchos de juego.
b.
Un cliente compró varios juegos y pagó un total de $360.40. Escribe
y resuelve una ecuación que permita calcular cuántos juegos compró.
43.
Inventa un problema semejante a los incluidos en la
Sección de problemas A, sobre dos amigos que coleccionan estampillas postales. Asegúrate que el problema
se pueda resolver de modo que cada amigo tenga un
número diferente de estampillas. Incluye la explicación
de cómo inventaste el problema y de cómo se resuelve.
44.
Durante las elecciones de un pueblo los tres candidatos
que recibieron más votos fueron: Malone, Lawton y
Spiros. Malone recibió 60 votos más que el doble de votos que recibió
Lawton. Spiros recibió 362 votos más que Lawton. En total, se registraron 2,430 votos. ¿Cuántos votos recibió cada candidato? ¿Quién ganó
la elección? Muestra cómo calculaste tu respuesta.
Resuelve ecuaciones
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45.
Page 431
Esta conversación ocurrió un día después de las elecciones de la clase.
Desiree:
—Escuché que Evita ganó las elecciones para representar a
nuestra clase en el consejo estudiantil.
Reynoldo: —Sí, ¡pero estuvo muy cerrada! Obtuvo sólo 1 voto más
que Mai.
Tom:
—Seguro que no estuvo muy cerrada para el tercer lugar.
Mai obtuvo el doble de votos que Lu-Chan.
Lehie:
¿Votaron todos?
Ken:
—Sí, excepto James, quien todavía está en su casa con
varicela.
De los 27 alumnos en la clase, sólo Evita, Mai y Lu-Chan recibieron
votos. ¿Cuántos votos recibió cada uno? Muestra cómo calculaste tu
respuesta.
46. Nuna tiene y años de edad. En 30 años, su edad será tres veces mayor
que su edad actual. Escribe y resuelve una ecuación que describa esta
situación.
47. Dos orugas están entrando y saliendo del hoyo de una cerca. Las orugas
se alternan para entrar o salir primero. La oruga más grande mide L de
largo y la oruga más pequeña mide S de largo. El hoyo está a 9 cm de
altura del suelo.
Observa la ilustración i. La expresión 9 L S representa la altura
sobre el suelo que alcanza la cabeza de la oruga más adelantada.
Recuerda que el hoyo
está a 9 cm de altura
sobre el suelo.
Datos
de
interés
Las orugas de las
mariposas monarca se
alimentan de las hojas
del algodoncillo. Estas
hojas contienen un
veneno que hace que
las orugas adquieran
un sabor desagradable
para aves y otros
depredadores.
Relaciona las 12 expresiones con su ilustración correspondiente.
Algunas ilustraciones concuerdan con más de una expresión y
algunas expresiones concuerdan con más de una ilustración.
a.
9 (S L)
b.
9 (S L)
c.
9 (S L)
d.
9SL
e.
9LS
f.
9LS
g.
9 (L S)
h.
9 (L S)
i.
9SL
9SL
k.
9 (S L)
l.
9 (L S)
j.
LECCIÓN 6.4
Reduce ecuaciones 431
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48.
Page 432
Determina todos los conjuntos de expresiones equivalentes en las partes
a a la l del ejercicio 47.
Reemplaza cada
Recuerda
Las expresiones equivalentes producen resultados idénticos si se
usan idénticos valores
para las mismas variables.
por o para que el enunciado sea correcto.
49.
7 (A B) 7 A
50.
14 (A B) 14 A
51.
12 (A B) 12
52.
Una gráfica a veces te puede ayudar a identificar expresiones equivalentes. Por ejemplo, x 5 y 5 x no son expresiones equivalentes
porque y x 5 y y 5 x no producen la misma gráfica.
B
A
B
B
10
y
y5x
x
10
10
yx5
10
Sin embargo, 8 (x 5) y 8 x 5 son equivalentes porque
y 8 (x 5) y y 8 x 5 producen la misma gráfica.
10
y
En t u s
propias
y = 8 (x 5)
y=8x5
palabras
Describe una
situación que se
pueda representar
tanto con:
a (b c) como
con a b c.
Explica por qué
ambas expresiones
se aplican en la
misma situación.
432 C A P Í T U L O 6
x
10
10
10
Grafica varios puntos de cada par de ecuaciones para trazar sus rectas y
determinar si las expresiones de cada parte son equivalentes entre sí.
a.
y 4 (x 5) y y 4 (5 x)
b.
y 7 (3 x) y y 7 x 3
Resuelve ecuaciones
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53.
Page 433
Albert y Mary intentaron reducir la siguiente expresión que parece ser
algo complicada.
4 2(5x 10)
Albert dijo que la expresión era igual a 2(5x 10). Mary dijo que era
igual a 4 10x 20. ¿Tiene razón Albert? ¿Tiene razón Mary? Si no
tiene razón ninguno de los dos, ¿qué errores cometieron?
Repaso
mixto
Evalúa cada expresión.
7
54. 8
12
3
55. 5
13
2
56. 9
13
5
57. 3
12
7
58. 2
1
4
59. 3
26
1
60. 4
110
1
61. 1
0
7
62. 5
110
63.
2
Ordena las fracciones de mayor a menor.
1
3
2
7
3
8
2
9
3
11
4
19
Sin usar una calculadora, predice si cada producto es menor que 0, igual a
0 ó mayor que 0.
64.
45
26
65.
n2
66.
(3)7 37
Geometría Calcula el área y el perímetro de cada figura.
67.
Esta figura es un rectángulo.
68.
Esta figura es un trapecio.
1 cm
10 cm
6 cm
6 cm
16 cm
20 cm
69. Geometría
Un bloque en forma de prisma mide 8 pulgadas de largo,
1 pulgada de ancho y 6 pulgadas de altura.
a.
¿Cuál es el volumen del prisma? ¿Cuál es su área de superficie?
b.
Otro bloque con forma de prisma tiene una altura tres veces mayor
que el primer prisma. ¿Cuál es su volumen? ¿Cuál es su área de
superficie?
c.
Un cilindro tiene el mismo volumen que el prisma original y una
altura de 12 pulgadas. ¿Cuál es el área de la base del cilindro?
LECCIÓN 6.4
Reduce ecuaciones 433
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2:13 PM
Page 434
Usa expresiones
Algunos alumnos están participando en el juego Piensa en un número.
Piensa en un número.
Resta el número
que pensaste
primero. ¿Qué
te quedó?
Duplícalo y
luego súmale
20.
Yo
Yo
Yo
tengo también. también
10.
tengo
10.
Ahora divide
el resultado por
la mitad.
¡Pero todos
pensamos
¡Es
números
magia!
diferentes!
Parece cosa de magia que todos hayan obtenido la misma respuesta, a pesar
de que pensaron números diferentes. Pero no es magia. Las personas que
inventan estos juegos usan el álgebra para asegurar que sus trucos funcionen.
Explora
Juega el mismo Piensa en un número de la tira cómica con diferentes
números. ¿Siempre obtienes 10?
Usa la variable n en vez de un número y escribe expresiones que
describan los resultados obtenidos después de cada paso.
Usa el álgebra para reducir la expresión final. Luego explica a tu compañero por qué siempre se obtiene 10.
434 C A P Í T U L O 6
Resuelve ecuaciones
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Investigación 1
Juegos con números
En esta investigación usarás el álgebra para entender y crear tus propios
juegos de Piensa en un número.
Sección de problemas
1.
A
El siguiente es otro juego de Piensa en un número.
• Piensa en un número.
• Súmale 5.
• Resta 5 al número original.
• Resta el segundo resultado del primer resultado.
2.
a.
Prueba el juego. ¿Qué obtuviste?
b.
Prueba el juego con diferentes números: un número menor que 5, un
número mayor que 100, un número negativo y un número que no sea
un número entero. ¿Qué notas en los resultados?
c.
Ahora usa la variable n en lugar de un número. ¿Qué obtuviste como
expresión final? Usa lo aprendido en la lección previa para reducir
la expresión.
El siguiente es un juego más.
• Piensa en un número.
• Súmale 6.
• Multiplica el resultado por 2.
• Réstale 4.
• Divídelo por la mitad.
• Réstale el número que pensaste primero.
Juega con tu compañero varias veces usando números diferentes. Luego
usa el álgebra para explicar qué ocurre.
3.
Crea junto con tu compañero un juego propio de Piensa en un número
en el que siempre obtengan el mismo número como resultado. Pruébalo
con otra pareja de alumnos. Asegúrate que puedas explicar por qué
funciona.
LECCIÓN 6.5
Usa expresiones 435
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2:15 PM
Page 436
El siguiente es un tipo diferente del juego Piensa en un número.
Piensa en
un número.
Súmale 5.
Me quedó 18.
Ahora, multiplica el
resultado por 3.
Réstale 15. ¿Cuál es el
resultado?
A mí no me quedó
18. Me quedó 12.
Eso fue
porque
pensaste
en 4.
Entonces
pensaste
en 6.
Sección de problemas
¡Increíble! ¿Cómo
adivinaste el número
que pensamos?
B
1.
Comenta con tu compañero este nuevo juego. ¿Cómo funciona? Quizás
sea más fácil entender, si reemplazan la variable con el número y luego
reducen las expresiones obtenidas siguiendo las instrucciones del juego.
2.
Simón inventó este juego de Piensa en un número.
• Piensa en un número.
• Réstaselo a 20 y duplica el resultado.
• Réstale 40 al nuevo resultado.
Cuando Monique dijo que ella obtuvo 14, Simón dijo que ella había
pensado en 7. Peter obtuvo 6 y Simón le dijo que él había pensando en
3. El resultado de Marta fue 8; Simón sonrió y dijo: “¡Cuatro!”
3.
436 C A P Í T U L O 6
a.
¿Cómo pudo adivinar Simón el número que pensó cada persona?
b.
Usa el álgebra para demostrar cuál va a ser el resultado que Simón
siempre va a obtener. Practica el juego con varios números para verificar que tu predicción sea correcta. Asegúrate de que algunos
números no sean números enteros.
Inventa junto con tu compañero un juego nuevo de Piensa en un número
que les permita adivinar el número que otra persona pensó. Usa el álgebra para determinar cuál deberá ser el resultado y después prueba tu
juego con otra pareja de alumnos.
Resuelve ecuaciones
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&
Comparte
resume
Tara utilizó la siguiente regla para su juego de Piensa en un número.
3n 15
3
5
Tara dice que cuando la persona con quien juega le dice el resultado, ella le
contesta: “Ese fue el número con que empezaste” y asegura que siempre
tiene la razón.
1. Escribe
las instrucciones que Tara podría decir a una persona con la
que esté jugando.
2. ¿Siempre
Investigación 2
le funciona el truco a Tara? Explica por qué.
Reduce ecuaciones para
graficarlas
En el Capítulo 5, graficaste ecuaciones lineales: ecuaciones cuyas gráficas son
líneas rectas. Ya sabes que una ecuación de la forma de y ax b es una
ecuación lineal. Sin embargo, si las ecuaciones están escritas de otra manera
puede ser difícil determinar si son lineales. A veces es más fácil graficar una
ecuación o determinar si es lineal, si primero la reduces.
Sección de problemas
1.
C
Considera esta ecuación:
y x 12(2x 5)
a.
¿Crees que la relación entre x y y es lineal? ¿Por qué?
b.
Reduce la expresión del lado derecho de la ecuación. ¿La ecuación
reducida es lineal? ¿Por qué?
c.
Haz una tabla de valores y la gráfica de la relación. Incluye algunos
valores negativos de x en la tabla.
d.
¿Cómo puedes determinar a partir de la tabla y la gráfica si la
ecuación es lineal?
e.
Usa la ecuación reducida para calcular la pendiente de la recta.
Verifícala con la gráfica.
LECCIÓN 6.5
Usa expresiones 437
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2:16 PM
2.
Page 438
Considera la ecuación y 3(x 1) 2(1 x).
a.
¿Crees que representa una relación lineal? ¿Por qué?
b.
Reduce la ecuación. ¿Es lineal?
c.
Haz una tabla de valores y la gráfica de la ecuación. Incluye algunos
valores negativos de x en la tabla.
d.
¿Cómo puedes determinar a partir de la tabla y la gráfica si la
ecuación es lineal?
e.
Usa la ecuación reducida para calcular la pendiente de la recta.
Verifícala con la gráfica.
El siguiente problema te brindará más oportunidades de explorar la relación
entre las ecuaciones lineales y sus gráficas.
Sección de problemas
1.
2.
D
Considera la ecuación 2y 6x 3.
a.
Realiza los mismos cambios en ambos lados de 2y 6x 3 para
obtener una nueva versión de la ecuación con y aislada en el lado
izquierdo. ¿Cómo puedes determinar si la ecuación representa una
relación lineal?
b.
Si hicieras su gráfica, ¿cuál sería su pendiente?
c.
Haz la gráfica para verificar tu predicción.
Considera esta gráfica.
7
6
5
4
3
2
1
7 6 5 4 3
1
1
y
x
1 2 3 4 5 6 7
2
3
4
5
6
7
438 C A P Í T U L O 6
a.
Escribe una ecuación que represente la gráfica anterior.
b.
Realiza los mismos cambios en ambos lados de tu ecuación para
obtener una forma diferente de la misma ecuación.
Resuelve ecuaciones
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3.
Page 439
Considera estas ecuaciones.
i.
2y 3x 4
ii.
2y 3x 7
iii.
3x 2y 1
a.
Grafica todas las ecuaciones en una misma gráfica.
b.
¿Qué tienen en común estas gráficas? ¿Qué diferencias presentan?
c.
Escribe las ecuaciones con y aislada en el lado izquierdo, para
demostrar que las tres relaciones son lineales. ¿Cuál es la pendiente
de cada recta?
&
Comparte
resume
Estudia las dos rectas de la gráfica.
7
6
5
4
y
n
m
1
7 6
4 3
1
1
x
1 2 3 4 5 6 7
2
3
4
5
6
7
1. Identifica
la ecuación correspondiente a las rectas m y n,
respectivamente.
a.
4y 2x 8
b.
2y 4x 8
2. Escribe
ambas ecuaciones de modo que y quede aislada en el lado
izquierdo de la ecuación.
3. ¿Cuál
versión de cada ecuación es más fácil de graficar?
4. ¿Cuál
versión se puede usar para determinar más fácilmente si la
ecuación es lineal?
LECCIÓN 6.5
Usa expresiones 439
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2:16 PM
Page 440
Ejercicios por tu cuenta
&
aplica
Practica
1.
Considera este juego de Piensa en un número.
• Piensa en un número.
• Súmale 4 y anota el resultado.
• Réstale 4 al primer número y anota el resultado.
• Súmale 8 al primer resultado y luego resta el segundo resultado.
2.
a.
Prueba este juego usando números positivos, negativos y fracciones.
¿Qué pasa?
b.
Usa el álgebra para explicar las observaciones que hiciste en la
parte a.
c.
Supón que la última instrucción es: “Suma 8 al segundo resultado y
luego resta el primer resultado.” ¿Qué pasará en este caso? Usa el
álgebra para demostrar por qué ocurre esto.
Chondra inventó su propio truco con números.
• Piensa en un número.
• Multiplícalo por 4 y luego réstale 6.
• Divide el resultado entre 2.
• Súmale 3.
• Dime tu resultado.
3.
440 C A P Í T U L O 6
a.
Chondra siempre adivina el número original, una vez que le dicen el
resultado final. Prueba el juego con varios números y calcula la
relación entre el número inicial y el resultado final.
b.
Representa el número con n y usa otra vez el juego inventado por
Chondra. Reduce el resultado final para explicar la relación que obtuviste en la parte a.
Escoge un número cualquiera. Resta 9 menos el número y duplica el
resultado. Resta 19 menos el nuevo resultado. Réstale 1 y luego resta el
número original.
a.
Prueba el juego con varios números. ¿Qué observas?
b.
Representa el número inicial con n y escribe una expresión que
describa el resultado final. Reduce tu expresión.
Resuelve ecuaciones
impactmath.com/self_check_quiz
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4.
5.
&
amplía
Conecta
6.
Page 441
Considera la ecuación y 2(x 1) 3(2 x).
a.
Haz una tabla de valores y una gráfica de la relación.
b.
¿Es una ecuación lineal? Explica cómo lo sabes.
c.
Escribe la ecuación en la forma y ax b. Usa la ecuación
reducida para calcular la pendiente de la gráfica.
Considera las tres siguientes ecuaciones.
i.
4y 5x 8
ii.
4y 5x 12
iii.
5x 4y 2
a.
Grafica en una misma gráfica las tres relaciones.
b.
¿Qué tienen en común las gráficas? ¿Qué diferencias presentan?
c.
Escribe las ecuaciones de manera que demuestren ser relaciones
lineales.
Crystal jugó el siguiente juego de Piensa en un número con sus compañeros. Ella aseguró que siempre iba a adivinar el número en que
habían pensado, después de escuchar sus respuestas.
• Piensa en un número.
• Resta 9 menos el número y el resultado multiplícalo por 10.
• Suma el resultado al número inicial.
• Divide el resultado entre 9.
a.
Prueba el juego con varios números. Prueba con números de un
dígito, de dos dígitos, negativos y fracciones. ¿Qué descubriste?
b.
Ahora representa el número inicial con n. ¿Qué obtienes en la
expresión final? Redúcela.
c. ¡Pruébalo!
Crystal dijo, “Si agregas un paso adicional a mi juego
(réstale 10 al resultado) los jugadores siempre obtendrán su número
original.” Usa tu expresión reducida de la parte b para demostrar que
esto es verdadero.
LECCIÓN 6.5
Usa expresiones 441
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9:00 AM
7.
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Busca en tu casa una página de un calendario dividido en meses o copia
el siguiente calendario.
Datos
de
interés
Los aztecas, quienes
habitaron el centro de
lo que ahora es México,
tenían un extenso
conocimiento de la
astronomía y las
matemáticas. Un calendario de piedra es uno
de los diversos tipos
de calendarios que
desarrollaron los
aztecas.
442 C A P Í T U L O 6
a.
Dibuja un rectángulo alrededor de seis fechas del calendario, no
todas en una misma semana. Suma los pares de fechas ubicados en
esquinas opuestas del rectángulo. ¿Qué observas en las sumas?
b.
Dibuja más rectángulos alrededor de diferentes conjuntos de seis
fechas. Suma los pares de fechas ubicados en esquinas opuestas de
cada rectángulo y anota tus resultados. ¿Qué notaste?
c.
Ahora vas a usar expresiones algebraicas para explorar lo que has
descubierto. Sea n el número en la esquina superior derecha de cada
rectángulo. Escribe expresiones en términos de n que representen los
números en las otras tres esquinas. Nota que tienes que considerar
dos tipos diferentes de rectángulos: A y B.
d.
En ambos tipos de rectángulos, suma las expresiones de las esquinas
opuestas y compara los resultados. ¿Qué puedes concluir?
Resuelve ecuaciones
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8.
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Considera estas ecuaciones.
En t u s
2y x 7
propias
palabras
Explica por qué el
álgebra ayuda a
demostrar cómo
funcionan los juegos de Piensa en
un número.
4y 2x 14
a.
Supón que x representa el número de bloques en una bolsa y que y
representa el número de bloques en una caja. Dibuja un acertijo de
balanza para cada ecuación.
b.
Supón que cada bolsa tiene tres bloques. ¿Cuántos bloques debe
haber en cada caja del primer acertijo? ¿Y en el segundo acertijo?
c.
Supón que cada caja tiene cuatro bloques. ¿Cuántos bloques debe
haber en cada bolsa del primer acertijo? ¿Y en el segundo acertijo?
d.
Elige otro número para la cantidad de bloques contenidos en cada
bolsa. ¿Cuántos bloques debe haber en cada caja del primer acertijo,
según este nuevo número? ¿Y en el segundo acertijo?
e.
¿Qué te indican tus observaciones de las partes b a la d sobre la
relación entre x (representa el número de bloques en cada bolsa) y y
(representa el número de bloques en cada caja) para las dos ecuaciones? En otras palabras, ¿qué sabes acerca del valor de y para
cualquier valor de x? Explica.
f.
La siguiente es la gráfica de 2y x 7. ¿Cómo crees que será la
gráfica de 4y 2x 14? Grafica algunos puntos para verificar tu
respuesta.
10
8
6
4
2
12
y
8 6 4 2
x
2 4 6 8 10 12
4
Repaso
mixto
Calcula cada diferencia.
8
9. 5
25
8
10. 3
1
3
11. 1
0
7
13. 5
57
4
14. 7
110 150
Calcula cada producto.
12.
2 13
15.
Lehie dibujó el siguiente flujograma. Indica qué ecuación trató Lehie de
resolver. Luego copia y completa el flujograma.
5
2
LECCIÓN 6.5
12
23
Usa expresiones 443
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2:17 PM
Page 444
16. Geometría
17.
18.
Considera el siguiente cilindro.
a.
Calcula el volumen del cilindro.
b.
Calcula el volumen de un cilindro cuyo
radio sea el doble del radio de este cilindro.
c.
Calcula el volumen de un cilindro cuya
altura sea el doble de la altura de este cilindro.
r cm
h cm
La compañía Metal Manufacturing fabrica alambre de cobre. Las barras
de cobre se pasan por prensas que alargan el metal a diferentes longitudes.
a.
Una barra de metal de 1 metro que se hace pasar por una Máquina X,
sale convertida en una tira de cobre de 4 metros en el extremo
opuesto de la máquina. Si se hiciera pasar la tira de 4 metros otra vez
por la misma máquina, ¿qué longitud tendría la pieza de alambre
resultante?
b.
La Máquina Y alarga una barra de cobre hasta 8 veces su tamaño
original. ¿Cuántas veces se necesita hacer pasar la barra de cobre de
2 metros por la máquina Y, para obtener una pieza de la misma
longitud que la pieza final obtenida en la parte a?
c.
Una barra de cobre de 1 centímetro se hace pasar por la Máquina X y
luego por la Máquina Y. ¿Cuál es la longitud de la pieza de alambre
producida?
d.
Una barra de cobre se hace pasar por la Máquina X y luego por la
Máquina Y, produciendo una pieza de alambre de 12.8 metros.
¿Cuántos centímetros de largo medía la barra original?
Los siguientes triángulos tienen la misma forma pero diferente tamaño.
A
B
a
b
c
a.
Mide los lados de ambos triángulos. ¿Qué observas en los resultados?
b.
Mide los ángulos de ambos triángulos. ¿Qué observas en los
resultados?
Capítulo 6
444 C A P Í T U L O 6
C
Resuelve ecuaciones
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Capítulo 6
2:17 PM
Page 445
Repaso&
autoevaluación
Resumen del capítulo
V O C A B U L A R I O
conjetura
modelo
En este capítulo, repasaste dos métodos para resolver ecuaciones: el método
de vuelta atrás y el método de conjetura, verifica y mejora. También
aprendiste nuevas formas de resolver ecuaciones, empezando con el modelo
de acertijos de balanza con el que aprendiste a realizar las mismas operaciones en ambos lados de una ecuación.
Aprendiste también algunas maneras de reducir ecuaciones complicadas,
incluyendo reglas para sumar y restar expresiones entre paréntesis.
Finalmente, escribiste expresiones y ecuaciones para varias situaciones y
usaste tus nuevas destrezas para reducir dichas ecuaciones y resolverlas. El
uso de tus conocimientos de álgebra para escribir una misma expresión de
diferentes maneras, te permitió demostrar conjeturas y encontrar nuevas formas de reconocer relaciones lineales.
Estrategias y aplicaciones
Las preguntas de esta sección te ayudarán a repasar y aplicar las ideas y
estrategias más importantes desarrolladas en este capítulo.
Resuelve ecuaciones usando diferentes métodos
1.
2.
Resuelve cada ecuación usando el método de conjetura, verifica y mejora o el método de vuelta atrás. Explica por qué elegiste el método que
usaste.
a.
(3x 32) 4 7
b.
2x
3(x 5) 2
Describe cada método para resolver ecuaciones e incluye dos ejemplos
de ecuaciones que se pueden resolver con cada método.
a.
método de conjetura, verifica y mejora
b.
método de vuelta atrás
c.
uso de un acertijo de balanza
d.
hacer las mismas operaciones en ambos lados
impactmath.com/chapter_test
Repaso & autoevaluación 445
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Page 446
Escribe ecuaciones para resolver problemas
3.
Los tres gatos de Alisha están bajo dieta especial. Scout es el gato
menos activo. Squeaky es el más activo y puede comer dos veces más
comida para gatos que Scout. El tercer gato, Picard, recibe 90 g de
comida diarios. Alisha alimenta a los tres gatos con un total de 240 g de
comida diaria. Escribe y resuelve una ecuación que permita calcular la
cantidad diaria de comida que cada gato recibe.
4.
Francisco está copiando unos archivos de computadora, pero ninguno de
los cuatro disquetes de colores que tiene está completamente en blanco.
El disquete rojo tiene el menor espacio disponible. El disquete azul
tiene 100 kilobytes (Kb) más de espacio que el rojo. El disquete verde
tiene 10 Kb más que el triple de espacio disponible en el azul. El disquete amarillo tiene 78 Kb menos que seis veces el espacio disponible
en el rojo.
5.
446 C A P Í T U L O 6
a.
Elige una variable y úsala para escribir expresiones que describan la
cantidad de espacio disponible en cada disquete.
b.
Los disquetes azul y verde tienen en conjunto la misma cantidad de
espacio disponible que el disquete amarillo. Escribe y resuelve una
ecuación que permita calcular la cantidad de espacio disponible en
cada disquete.
Kimiko dividió sus casetes en tres categorías: rock, hip hop y música de
películas. Tiene 10 casetes más de hip hop que de música de películas y
tiene en la categoría de rock, 3 casetes menos que cuatro veces el
número de casetes de hip hop. Asimismo, tiene 33 casetes más de rock
que de hip hop. Escribe y resuelve una ecuación que permita calcular
cuántos casetes de cada categoría tiene.
Resuelve ecuaciones
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Escribe y reduce expresiones
6.
Juega este juego de Piensa en un número.
• Piensa en un número.
• Súmale 8 y multiplica el resultado por 6.
• Réstale 6 y divide el resultado entre 3.
• Réstale el número original.
• Réstale el número original otra vez.
7.
a.
Representa el número inicial con n y escribe una ecuación que
muestre todos los pasos del juego. No reduzcas tu expresión.
b.
Demuestra que el resultado final siempre es 14. Explica cada paso de
tu demostración.
Considera la relación descrita por esta ecuación:
2(x y) 3(5 x) 3
a.
Reacomoda y escribe la ecuación en la forma familiar y ax b.
b.
Grafica la relación. Elige por lo menos dos puntos de la recta y
reemplaza las coordenadas en la ecuación original para verificar tus
resultados.
Demuestra tus destrezas
Reduce cada expresión.
8.
a 2(a 3)
9.
2b (3 b)
10.
12 (3r 7)
11.
2d(1 c) (3 d)
12.
4(3
b) 2(3b 2) 7(b 2)
Resuelve cada ecuación.
13.
7s 12 3s 4
14.
2(1 c) (2 c) 10
2
15. 3M
16.
M4
3t 1.3 2.6 3.5t
3x 5
17. 3
18.
8x 12
6
4(5 2b) 3(2b 10) 7(b 2)
Repaso & autoevaluación 447